體系搭建體系搭建一、向量的有關(guān)概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度)．2．向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）幾何表示法：用一條有向線段表示向量．如，等．（3）坐標表示法：在平面直角坐標系中，設(shè)向量的起點為在坐標原點，終點A坐標為，則稱為的坐標，記為=．3．相等向量：長度相等且方向相同的向量．向量可以自由平移，平移前后的向量相等．兩向量與相等，記為．4．零向量：長度為零的向量叫零向量．零向量只有一個，其方向是任意的．5．單位向量：長度等于1個單位的向量．單位向量有無數(shù)個，每一個方向都有一個單位向量．6．共線向量：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量．任一組共線向量都可以移到同一直線上．規(guī)定：與任一向量共線．注：共線向量又稱為平行向量．7．相反向量：長度相等且方向相反的向量．二、向量的運算1．運算定義運算圖形語言符號語言坐標語言加法與減法+==記=(x1，y1)，=(x2，y2)則=(x1+x2，y1+y2)=(x2-x1，y2-y1)+=實數(shù)與向量的乘積記=(x，y)則兩個向量的數(shù)量積記則=x1x2+y1y22．運算律加法：①(交換律)；②(結(jié)合律)實數(shù)與向量的乘積：①；②；③兩個向量的數(shù)量積：①·=·；②()·=·()=(·)；③(+)·=·+·3．運算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)，使，稱為的線性組合．①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的．③當基底是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標表示的基礎(chǔ)．向量坐標與點坐標的關(guān)系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A(x，y)，則=(x，y)；當向量起點不在原點時，向量坐標為終點坐標減去起點坐標，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x2-x1，y2-y1)(2)兩個向量平行的充要條件符號語言：坐標語言為：設(shè)非零向量，則∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0．(3)兩個向量垂直的充要條件符號語言：坐標語言：設(shè)非零向量，則(4)兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：①即(求線段的長度)；②(垂直的判斷)；③(求角度)．例題分析例題分析考點1利用向量解決平面幾何中的求值或最值問題【例1】．已知O為坐標原點，向量＝（3cosx，3sinx），＝（3cosx，sinx），＝（，0），x∈（0，）．（1）求證：（﹣）⊥；（2）若△ABC是等腰三角形，求x的值．解：（1）∵＝（0，2sinx），∴，∴（﹣）⊥．（2）若△ABC是等腰三角形，則AB＝BC，∴（2sinx）2＝（3cosx﹣）2+sin2x，整理得：，解得cosx＝0，或cosx＝，∵x∈（0，），∴cosx＝，x＝．變式訓(xùn)練【變1-1】．滿足＜0的△ABC（）A．一定為銳角三角形 B．一定為直角三角形 C．一定為鈍角三角形 D．可能為銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形解：因為＜0，可得accos∠B＜0，所以cos∠B＜0，則∠B是鈍角，則△ABC是鈍角三角形．故選：C．【變1-2】．點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足，則點O是△ABC的（）A．三角形的內(nèi)心 B．三角形的外心 C．三角形的重心 D．三角形的垂心解：∵；∴＝＝＝0；∴；同理，，；∴O是△ABC三條高線的交點；∴點O是△ABC的垂心．故選：D．【變1-3】（多選）．已知點O為△ABC所在平面內(nèi)一點，滿足，（其中λ，μ∈R）（）A．當λ＝μ時，直線OC過邊AB的中點 B．若，且λ＝μ＝1，則 C．若λ＝2，μ＝3時，△AOB與△AOC的面積之比為2：3 D．若，且，則λ，μ滿足λ2+u2＝1解：對于A，設(shè)AB的中點為D，則當λ＝μ時，有，即得O，C，D三點共線，故直線OC過邊AB的中點，故A正確；對于B，由于且λ＝μ＝1時，，故O為△ABC的外心和重心，故△ABC為等邊三角形，則∠BAO＝30°，由可得，故，故B正確；對于C，延長OA至A′，使OA′＝3OA，延長OB至B′，使OB′＝2OB，連接A′B′，設(shè)其中點為E，連接OE并延長至C′，使EC′＝EO，連接A′C′，B′C′，則四邊形OA′C′B′是平行四邊形，所以，而λ＝2，μ＝3時，，故，即C，O，C′三點共線，且，根據(jù)同底等高三角形面積相等，則S△AOC＝S△AOC′＝S△AOB′＝2S△AOB，即△AOB與△AOC的面積之比為1：2，故C錯誤；對于D，因為，且，由得，，所以，即λ2+μ2＝1，故D正確，故選：ABD．【變1-4】．已知△ABC中，|AB|＝2，|AC|＝4，∠BAC＝60°，P為線段AC上任意一點，則的范圍是[﹣，4]．解：△ABC中，|AB|＝2，|AC|＝4，∠BAC＝60°，設(shè)PA＝x，x∈[0，4]，則＝（）?＝＝x（4﹣x）×cos180°+2（4﹣x）×cos60°＝x2﹣5x+4＝，∵x∈[0，4]，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當x＝時，有最小值﹣；當x＝0時，有最大值4，所求的范圍是[﹣，4]．故答案為：[﹣，4]【變1-5】．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E為CD的中點，則的值為（）A．1 B． C． D．解：在菱形ABCD中，∠BAD＝60，∴△ABD為正三角形，由＜＞＝60°，可得＜＞＝180°﹣60°＝120°．∴＝（+）?＝+＝2×2×cos60°+1×2×cos120°＝2﹣1＝1，故選：A．【變1-6】．四邊形ABCD中，AB＝4，∠A＝∠B＝60°，∠D＝150°，則的最小值為（）A． B． C．3 D．﹣3解：延長AD，BC交于E，∵∠A＝∠B＝60°，∠D＝150°，∴∠DCB＝90°，∠E＝60°，△ABE為等邊三角形，設(shè)CE＝x，則DC＝x，DA＝4﹣2x，x∈（0，2），＝3x2﹣6x＝3（x﹣1）2﹣3，當x＝1時，的最小值為﹣3．故選：D．【變1-7】．四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD相交于點O，且OB＝2OD，AC＝2，過點D作DE⊥AC，垂足為E，若?＝6，則四邊形ABCD的面積為．解：∵OB＝2OD，∴，則?＝，∴＝2，又∵DE⊥AC，∴||2＝2，得||＝，∴S△DAC＝×AC×DE＝＝，又S△BAC＝2S△DAC＝2，四邊形ABCD的面積為．故答案為：．考點2向量在物理中的簡單應(yīng)用【例2】．已知＝（1，0），＝（0，1），一動點P從P0（﹣1，2）開始，沿著與向量的+相同的方向做勻速直線運動，速度的大小為|+|m/s．另一動點Q從Q0（﹣2，﹣1）開始，沿著與向量3+2相同的方向做勻速直線運動，速度的大小|3+2|m/s，設(shè)P，Q在t＝0s時分別在P0，Q0處，問當PQ⊥P0Q0，所需的時間t為多少？解：∵＝（1，0），＝（0，1），∴，其一個單位向量為，，∴3+2＝（3，2），其一個單位向量為，|3+2|＝，由題意可得，P，Q的運動示意圖，如圖所示，∵，∴，同理可得，∵P0（﹣1，2），Q0（﹣2，﹣1），∴P（t﹣1，t+2），Q（3t﹣2，2t﹣1），∴，∵PQ⊥P0Q0，∴，即1﹣2t+9﹣3t＝0，解得t＝2，∴當PQ⊥P0Q0，所需的時間t為2．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，已知兩條繩上的拉力分別是，，且，與水平夾角均為45°，，則物體的重力大小為（）A．20N B． C．10N D．解：如圖，∵，∴||＝10×＝20N，∵物體被兩根輕質(zhì)細繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，∴物體的重力大小為20N，故選：A．【變2-2】．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東2km/h．一艘小貨船準備從河南岸的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250m的碼頭C處卸貨．若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當小貨船的航程最短時，小貨船航行的速度是km/h．解：由題意，當小貨船的航程最短時，航線路線為線段AB，設(shè)小貨船航行速度為v，水流的速度為v1，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為v2，作出示意圖如下：因為一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東2km/h，AB＝250，BC＝250，在Rt△ABC中，有tan∠ACB＝＝，所以∠ACB＝，∠CAB＝，所以＜，＞＝+＝，＝﹣，所以||＝|﹣|＝＝＝＝2，所以小貨船航行速度的大小為2km/h．故答案為：2．【變2-3】．如圖，某班體重為70kg的體育老師在做引體向上示范動作，兩只胳膊的夾角為60°，拉力大小均為F，若使身體能向上移動，則拉力F的最小整數(shù)值為405N．（取重力加速度大小為g＝10m/解：設(shè)兩只胳膊的向上的合力為F1，則F1＝G，由題意可得，F(xiàn)1＝＝G＝mg＝70×10所以F＝≈405N．故答案為：405考點3向量與解三角形綜合問題【例3】．在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知向量＝（cosA，sinA），＝（1，﹣1），且∥．（1）求角A的大??；（2）若a＝2，asinB﹣csinA＝0，求△ABC的面積．解：（1）已知，，∵，∴，得，∵0＜A＜π，∴．（2）由asinB﹣csinA＝0，根據(jù)正弦定理得ab﹣ca＝0，即b＝c．根據(jù)余弦定理得，將b＝c代入得，解得3b3＝24，即得，．變式訓(xùn)練【變3-1】．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是為a，b，c，2ccosA＝bcosA+acosB．（1）求A；（2）若b＝8，c＝5，O為△ABC內(nèi)切圓的圓心，，求λ+μ的值．解：（1）在△ABC中，2ccosA＝bcosA+acosB，由正弦定理得2sinCcosA＝sinBcosA+sinAcosB，即2sinCcosA＝sin（A+B），又sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC，所以2sinCcosA＝sinC，而sinC＞0，∴2cosA＝1，得，又0＜A＜π，所以．（2）由（1）得，則，由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝64+25﹣40＝49，解得a＝7，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，得，∴．又，∴，又，，所以，∴，得5λ+16μ①，同理，得5λ+4μ②，①②聯(lián)立，解得，，所以．【變3-2】．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知6bcos2＝3b﹣2a+3c，D是AC邊上一點，AD＝2DC，BD＝2．（1）求cosB；（2）求的最大值．解：（1）因為6bcos2＝3b﹣2a+3c，所以可化為6b×＝3b﹣2a+3c，可得3b+3bcosA＝3b﹣2a+3c，由正弦定理可得3sinBcosA＝3sinC﹣2sinA，在三角形ABC中，3sinBcosA＝3sin（A+B）﹣2sinA，化簡整理得：3sinAcosB＝2sinA，因為A∈（0，π），sinA≠0，所以cosB＝．（2）因為＝＝（）＝，＝，又因為BD＝2，所以4＝，所以＝9﹣（a）＝9﹣（4a2+c2），又cos∠ADB+cos∠CDB＝0，所以，所以，可得，可得4ac＝3[a2+c2﹣（c2+2a2﹣12）]，所以4ac＝3[18﹣（c2+2a2）]＝54﹣（c2+4a2），因為4ac≤（2a）2+c2，所以54﹣（c2+4a2）≤4a2+c2，可得54≤（4a2+c2），所以4a2+c2≥，所以﹣（4a2+c2），所以＝9﹣（4a2+c2）＝，所以的最大值．【變3-3】．已知a，b，c分別是銳角△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，向量，，設(shè)．（Ⅰ）若f（A）＝2，求角A；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若，，求三角形ABC的面積．解：（Ⅰ）因為f（A）＝2，即，所以或（舍去）（Ⅱ）由（I）可得A＝，因為，則，所以cosB+cosC＝2cosA＝1，又因為，所以cosB+cos（）＝＝1．所以sin（B+）＝1，因為B為三角形內(nèi)角，所以所以三角形ABC是等邊三角形，由，所以面積S＝＝．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．已知O是△ABC內(nèi)一點，滿足，則S△ABC：S△OBC＝（）A．3：1 B．1：3 C．2：1 D．1：2解：根據(jù)題意，設(shè)BC的中點為D，則＝，則+＝+＝，若，則＝，所以O(shè)是中線AD上靠近點D的三等分點，即OD＝AD，則S△ABC：S△OBC＝3：1，故選：A．2．已知D是△ABC內(nèi)部（不含邊界）一點，若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，＝x+y，則x+y＝（）A． B． C． D．1解：根據(jù)題意，如圖：設(shè)AD與BC交于點E，設(shè)BE＝xBC，則有＝x，若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，則有S△BCD：S△ABC＝＝，則DE＝AE，則有AD＝AE，即＝，故S△ABD＝S△ABE＝S△ABC，又由S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，即S△ABD：S△ABC＝5：（5+4+3）＝5：12，則有＝，解可得x＝，即＝，故＝＝（+）＝+×＝+＝+（﹣）＝+，又由＝x+y，則x＝，y＝，故x+y＝+＝，故選：A．3．已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內(nèi)一點P，若，則點P與△ABC的位置關(guān)系是（）A．P在AB邊上 B．P在AC邊上 C．P在BC邊上 D．P在△ABC內(nèi)部解：根據(jù)題意，若，必有＝﹣，變形可得：＝﹣2，則P在邊AC上，故選：B．4．過△ABC的中線AD的中點E作直線PQ分別交AB、AC于P、Q兩點，若，則＝（）A．4 B． C．3 D．1解：由D為BC的中點可知，＝＝＝＝，∵，設(shè)，∴＝＝＝（1﹣λ）+，∵，∴＝（1﹣λ）m+∵與不共線∴，（1﹣λ）m＝，∴．故選：A．5．已知平面向量與的夾角為30°，則的最大值為（）A． B．2 C．4 D．8解：根據(jù)題意，如圖，設(shè)＝，＝2，則＝+2，平面向量與的夾角為30°，則∠AOB＝30°，過點A作AD⊥OB，交OB與點D，易得AD＝OAsin30°＝||，又由AD≤AB，可得||≤2||，所以≤4，所以的最大值為4．故選：C．6．已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一動點且滿足＝λ（），則動點P的軌跡一定通過△ABC的（）A．重心 B．內(nèi)心 C．外心 D．垂心解：根據(jù)題意，在△ABC中，由正弦定理可得＝，設(shè)＝＝，則＝mλ（+），則點P在△ABC中邊BC的中線上，故點P一定經(jīng)過△ABC的重心，故選：A．7．若，點C在∠AOB外，且，設(shè)實數(shù)m，n滿足，則（）A．﹣2 B．2 C． D．解：∵，∴＝＝①∵，且兩邊同時平方可得，整理可得，②①②聯(lián)立可得，故選：C．8．平面內(nèi)△ABC及一點O滿足，則點O是△ABC的（）A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心解：平面內(nèi)△ABC及一點O滿足＝，可得?＝0，所以O(shè)在∠CAB的平分線上，＝，可得：?＝0，所以O(shè)在∠ACB的平分線上，則點O是△ABC的內(nèi)心．故選：C．（多選）9．已知，是平面內(nèi)的兩個單位向量，且，則的值可能為（）A． B． C． D．1解：根據(jù)題意，設(shè)＝，＝，＝+＝+，若，則＜，＞＝∠AOB＝60°，又由，是平面內(nèi)的兩個單位向量，則∠BOE＝AOE＝30°，如圖：設(shè)＝t（+）＝t（+），過點C作CD⊥OB，垂足為D，連接AC，過點A作AM⊥OB，垂足為M，則|﹣t（+）|＝|﹣|＝||，∠BOE＝30°，則|t（+）|＝||＝||，則有|﹣t（+）|+|t（+）|＝||+||≥||＝，（當且僅當ACM三點共線時等號成立）故|﹣t（+）|+|t（+）|的最小值為，故選：CD．10．如圖，已知函數(shù)，A1，A2，A3是圖象的頂點，O，B，C，D為f（x）與x軸的交點，線段A3D上有五個不同的點Q1，Q2，…，Q5，記（i＝1，2，…，5），則n1+n2+…+n5的值為（）A． B．45 C． D．解：由題意得，函數(shù)f（x）的周期T＝1，即B，C，D的橫坐標分別為1，2，3，故，則，因為，故，故＝＝．故選：D．11．設(shè)P為不等邊銳角三角形ABC內(nèi)一點，且滿足5＝2+，則三角形PBC的面積與三角形ABC的面積之比為．解：解法一：因為5＝2+，所以5＝2（﹣）+（﹣），整理得，2+2+＝，由奔馳定理知，S△PBC?+S△PAC?+S△PAB?＝，所以＝＝．解法二：由5＝2+，知＝+，根據(jù)等和線，可知點P在的倍線上，設(shè)△ABC的高為h，則△PBC的高為h，所以＝＝．故答案為：．12．已知向量，，滿足++＝，||＝2，與﹣所成的角為120°，則當t∈R時，的取值范圍是．解：如圖所示，記向量，＝，﹣＝，則由題意結(jié)合向量的加減運算可得AC＝2，∠AOB＝120°在結(jié)合數(shù)乘的意義可得：＝＝＝＝||，代表點A到直線BD上動點的距離，而當t變化時，點F在直線BD上運動，當F運動到圖中的點E處，此時AE⊥BD，使點A到直線BD上動點的距離最小，在RT△AOE中，AO＝，AE＝AOsin∠AOB＝，故≥AE＝，故答案為：13．已知△ABC是圓心為O，半徑為R的圓的內(nèi)接三角形，M是圓O上一點，G是△ABC的重心．若，則＝6R2．解：∵，∴＝＝+＝．故答案為：6R2．14．等腰三角形△ABC中，AB＝AC，點D在線段BC上，AB⊥AD，BD＝3，CD＝1，則△ABC面積為，點M是△ABC外接圓上任意一點，則?最大值為3+3．解：等腰三角形△ABC中，AB＝AC，點D在線段BC上，AB⊥AD，BD＝3，CD＝1，可得：AB2＝BD2﹣AD2，AC2＝AD2+DC2﹣2AD?DCcos∠ADC＝AD2+1+2AD?1?，9﹣AD2＝AD2+1+2AD?1?＝1+，可得AD＝，則AB＝AC＝，A到BC的距離為：＝，∴△ABC面積為：＝2．設(shè)△ABC的外心即BC中點為O，外接圓的半徑為：R，2R＝＝＝3，R＝，cos∠BAO＝＝．由平面向量的線性運算知，，所以?＝＝+，由圖可知：＝||?||cos∠BAO＝＝3．當時，（）max＝＝3，則?最大值為3+3．故答案為：2；3+3．15．在平面直角坐標系xOy中，異于原點的A、B、C三點滿足OA2+2OB2+3OC2＝6，則△ABC面積的最大值為解：如圖，以A為坐標原點建系，設(shè)AB＝a，O（x，y），∵OA2+2OB2+3OC2＝6，∴OA2+2OB2＝6﹣3OC2，∴x2+y2+2[（x﹣a）2+y2]＝6﹣3OC2，化簡得，所以y的最大值為，所以＝，所以＝，當且僅當“”時取等號，經(jīng)驗證成立．故答案為：．16．如圖，在平面斜坐標系xOy中，∠xOy＝θ，平面上任意一點P關(guān)于斜坐標系的斜坐標這樣定義：若（其中，分別是x軸，y軸正方向的單位向量），則P點的斜坐標為（x，y），向量的斜坐標為（x，y）．給出以下結(jié)論：①若θ＝60°，P（2，﹣1），則||＝；②若P（x1，y1），Q（x2，y2），則；③若P（x，y），λ∈R，則λ；④若，，則；⑤若θ＝60°，以O(shè)為圓心，1為半徑的圓的斜坐標方程為x2+y2+xy﹣1＝0．其中所有正確的結(jié)論的序號是①②③⑤．解：①∵θ＝60°，P（2，﹣1），∴||＝＝＝，故①正確；②∵P（x1，y1），Q（x2，y2），∴＝+＝（x1+x2）+（y1+y2），∴，故②正確；③∵P（x，y），λ∈R，∴＝＝，∴λ，故③正確；④＝（）?（）＝x1x2+y1y2+（x1x2+y1y2）（），故④錯誤；⑤若θ＝600，以O(shè)為圓心，1為半徑的圓滿足||＝1，設(shè)P（x，y），則＝1，化為x2+y2+2xycos60°＝1，∴x2+y2+xy﹣1＝0．故滿足條件的圓的斜坐標方程為x2+y2+xy﹣1＝0．故⑤正確．故答案為：①②③⑤．17．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AB的中點，F(xiàn)，G是AD，BC的三等分點（AF＝AD，BG＝BC）．設(shè)＝，＝．（Ⅰ）用，表示，．（Ⅱ）如果||＝||，用向量的方法證明：EF⊥EG．解：（Ⅰ）根據(jù)題意，點E是AB的中點，F(xiàn)，G是AD，BC的三等分點，且AF＝AD，BG＝BC，＝﹣＝﹣＝﹣，＝+＝+，（Ⅱ）證明：根據(jù)題意，若||＝||，則?＝（﹣）?（+）＝||2﹣||2＝0，則⊥，必有EF⊥EG．18．已知△ABC中，過重心G的直線PQ交線段AB于P，交線段AC于Q，連結(jié)AG并延長交BC于點D，設(shè)的面積為S1，△ABC的面積為S2，．（1）用表示，并證明為定值；（2）求的取值范圍．解：（1）根據(jù)題意，；∵，P，G，Q三點共線，則存在λ，使得，即，即，∴，整理得3mn＝m+n，所以為定值；（2）根據(jù)題意，由（1），∴，∵，∴，∴，則當時，取得最小值，當時，取得最大值，∴的取值范圍為．19．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，（1）求角B的大小；（2）若點D在邊AC上，且AD＝2DC，BD＝2，求△ABC面積的最大值．解：（1）由正弦定理及，知sinBcosC＝sinA+sinCsinB，因為sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，所以0＝cosBsinC+sinCsinB，因為sinC≠0，所以tanB＝＝﹣，因為B∈（0，π），所以B＝．（2）因為AD＝2DC，所以＝+＝+＝+（﹣）＝+，所以||2＝（+）2＝++?，即4＝c2+a2+accos∠ABC＝c2+a2+ac?（﹣），化簡得c2+4a2﹣2a