2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試（C）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2解析：解方程x2-3x+2=0得A={1,2}。由A∪B=A知B?A，方程x2-ax+a-1=0可化為(x-1)(x-(a-1))=0，其根為x=1或x=a-1。若B={1}，則a-1=1，解得a=2；若B={1,2}，則a-1=2，解得a=3；綜上，a=2或3，選C。函數(shù)f(x)=log?(x2-4x+5)的定義域是（）A.(-∞,1)∪(5,+∞)B.(-∞,1]∪[5,+∞)C.RD.[1,5]解析：由x2-4x+5>0，判別式Δ=16-20=-4<0，故二次函數(shù)x2-4x+5恒大于0，定義域?yàn)镽，選C。已知向量a=(2,3)，b=(m,-6)，若a⊥b，則m的值為（）A.-4B.4C.9D.-9解析：由a⊥b得a·b=0，即2m+3×(-6)=0，解得m=9，選C。函數(shù)y=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：由周期公式T=2π/|ω|=2π/2=π，選B。某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12πcm3B.18πcm3C.24πcm3D.36πcm3解析：由三視圖知該幾何體為圓柱，底面半徑r=3cm，高h(yuǎn)=4cm，體積V=πr2h=π×32×4=36πcm3，選D。已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2i，則|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2解析：z=2i/(1+i)=2i(1-i)/[(1+i)(1-i)]=(2i+2)/2=1+i，|z|=√(12+12)=√2，選B。已知直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=2√3，則k=（）A.±√3B.±√2C.±1D.0解析：圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=4，圓心(1,0)，半徑r=2。圓心到直線距離d=|k+1|/√(k2+1)，由垂徑定理得d2+(|AB|/2)2=r2，即(k+1)2/(k2+1)+3=4，解得k=0，選D。從5名男生和3名女生中任選3人參加志愿者活動(dòng)，則所選3人中至少有1名女生的概率是（）A.15/28B.17/28C.23/28D.27/28解析：總選法C?3=56種，無(wú)女生的選法C?3=10種，至少1名女生的概率P=1-10/56=23/28，選C。已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3解析：導(dǎo)函數(shù)f'(x)與x軸交于兩點(diǎn)，且在交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值變號(hào)，故f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)，選C。已知等比數(shù)列{an}中，a1=2，a4=16，則該數(shù)列的前5項(xiàng)和S5=（）A.30B.31C.62D.63解析：公比q3=a4/a1=8，q=2，S5=2(2?-1)/(2-1)=62，選C。已知直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)且與直線2x-y+3=0垂直，則直線l的方程為（）A.x+2y-5=0B.x-2y+3=0C.2x+y-4=0D.2x-y=0解析：已知直線斜率為2，故l的斜率為-1/2，方程為y-2=-1/2(x-1)，化簡(jiǎn)得x+2y-5=0，選A。若不等式x2+ax+1≥0對(duì)一切x∈(0,1/2]恒成立，則a的最小值為（）A.-2B.-5/2C.0D.2解析：分離參數(shù)得a≥-(x+1/x)，函數(shù)y=x+1/x在(0,1/2]上單調(diào)遞減，當(dāng)x=1/2時(shí)，y=5/2，故a≥-5/2，最小值為-5/2，選B。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,2]上的最大值是______。解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-1-3+2=-2，f(0)=2，f(2)=8-12+2=-2，最大值為2。已知復(fù)數(shù)z=(1+i)(2-i)，則z的實(shí)部是______。解析：z=2-i+2i-i2=2+i+1=3+i，實(shí)部為3。某學(xué)校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)，從高二年級(jí)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，成績(jī)分組為[80,90)，[90,100)，…，[140,150]，得到頻率分布直方圖，其中成績(jī)?cè)赱120,130)的頻率是0.3，則該組的頻數(shù)是______。解析：頻數(shù)=樣本容量×頻率=50×0.3=15。已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0，過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=2√5，則直線l的方程是______。解析：圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+2)2=9，圓心(1,-2)，半徑r=3。設(shè)直線l：y=k(x-2)，即kx-y-2k=0，圓心到直線距離d=|k+2-2k|/√(k2+1)=|2-k|/√(k2+1)。由d2+(√5)2=9得(2-k)2/(k2+1)=4，解得k=0或k=-4/3，方程為y=0或4x+3y-8=0。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1。（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。解析：（1）f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/2=π；（2）x∈[0,π/2]時(shí)，2x+π/4∈[π/4,5π/4]，sin(2x+π/4)∈[-√2/2,1]，故f(x)max=√2×1=√2，f(x)min=√2×(-√2/2)=-1。（12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E是BC的中點(diǎn)。（1）求證：A1B∥平面AEC1；（2）求三棱錐C1-AEC的體積。解析：（1）連接A1C交AC1于O，連接OE，易證OE∥A1B，由線面平行判定定理得證；（2）VC1-AEC=VE-ACC1=1/3×S△ACC1×h，h為E到平面ACC1的距離，即AB/2=1，S△ACC1=1/2×2×2=2，體積=1/3×2×1=2/3。（12分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a3=5，a5=9。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=2^an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。解析：（1）設(shè)公差為d，由a5-a3=2d=4得d=2，a1=5-2×2=1，an=1+2(n-1)=2n-1；（2）bn=2^(2n-1)=(4^n)/2，Sn=1/2×(4+42+…+4?)=1/2×4(4?-1)/(4-1)=2(4?-1)/3。（12分）某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，每件A產(chǎn)品獲利30元，每件B產(chǎn)品獲利40元。生產(chǎn)A產(chǎn)品需用甲原料3kg、乙原料2kg，生產(chǎn)B產(chǎn)品需用甲原料2kg、乙原料4kg?，F(xiàn)有甲原料120kg，乙原料100kg，問(wèn)如何安排生產(chǎn)可使利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解析：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，約束條件：3x+2y≤120，2x+4y≤100，x≥0,y≥0，目標(biāo)函數(shù)z=30x+40y。可行域頂點(diǎn)為(0,0),(40,0),(30,10),(0,25)，代入得z最大值在(30,10)處，z=30×30+40×10=1300元。（12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過(guò)點(diǎn)(2,1)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：m2=(4k2+1)/5。解析：（1）e=c/a=√3/2，c2=3/4a2，b2=a2-c2=a2/4，代入點(diǎn)(2,1)得4/a2+1/(a2/4)=1，解得a2=8，b2=2，方程為x2/8+y2/2=1；（2）聯(lián)立方程得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得5m2=4k2+1，即m2=(4k2+1)/5。（14分）已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3x+1。（1）若a=1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。解析：（1）a=1時(shí)，f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0，故f(x)在R上單調(diào)遞增；（2）f'(x)=3x2-6ax+3≥0在(2,3)恒成立，即2a≤x+1/x，函數(shù)y=x+1/x在(2,3)單調(diào)遞增，最小值為2+1/2=5/2，故2a≤5/2，解得a≤5/4。參考答案速查一、選擇題1.C2.C3.C4.B5.D6.B7.D8.C9.C10.C11.A12.