2025年下學期高二數(shù)學學業(yè)水平模擬測試（D）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=lnxD.f(x)=2?已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥b，則m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分別是（）A.π，1B.2π，1C.π，2D.2π，2已知復數(shù)z滿足z(1+i)=2i，則|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12cm3B.18cm3C.24cm3D.36cm3在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，C=60°，則c=（）A.√7B.√13C.4D.5已知直線l?：ax+2y+6=0與l?：x+(a-1)y+a2-1=0平行，則實數(shù)a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2從1，2，3，4，5這5個數(shù)中任取2個數(shù)，則這2個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的極大值點為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F且斜率為√3的直線與拋物線交于A，B兩點，則|AB|=（）A.8/3B.4C.16/3D.8已知函數(shù)f(x)=log?(x+1)，若f(a)+f(b)=2，則a+b的最小值為（）A.1B.2C.3D.4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，則f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值為______。已知等比數(shù)列{a?}中，a?=1，a?=8，則數(shù)列{a?}的前5項和S?=______。已知某學校高二年級共有學生1000人，其中男生600人，女生400人。為了解學生的視力情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取容量為50的樣本，則應抽取男生______人。已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，則ω=，φ=。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}。（1）求A∩B；（2）若不等式x2-ax+b<0的解集為A∩B，求a，b的值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=sinxcosx+√3cos2x-√3/2。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2√2，PA=3。（1）求證：AB⊥平面PAC；（2）求三棱錐P-ABC的體積。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1。（1）證明：數(shù)列{a?+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{a?}的通項公式。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)。（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求m2的取值范圍。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+x(a∈R)。（1）若a=1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍。參考答案及評分標準一、選擇題（每小題5分，共60分）C2.A3.B4.A5.B6.C7.A8.A9.B10.A11.D12.C二、填空題（每小題5分，共20分）614.3115.3016.2，π/3三、解答題（共70分）（本小題滿分10分）解：（1）由x2-4x+3<0，得1<x<3，所以A=(1,3)?！?分由2x-3>0，得x>3/2，所以B=(3/2,+∞)。……4分因此，A∩B=(3/2,3)?！?分（2）因為不等式x2-ax+b<0的解集為(3/2,3)，所以方程x2-ax+b=0的兩根為3/2和3。……7分由根與系數(shù)的關(guān)系，得a=3/2+3=9/2，b=3/2×3=9/2。……10分（本小題滿分12分）解：（1）f(x)=sinxcosx+√3cos2x-√3/2=1/2sin2x+√3×(1+cos2x)/2-√3/2……2分=1/2sin2x+√3/2cos2x……4分=sin(2x+π/3)……6分所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π/2=π。……7分（2）因為x∈[0,π/2]，所以2x+π/3∈[π/3,4π/3]。……8分當2x+π/3=π/2，即x=π/12時，f(x)取得最大值1；……10分當2x+π/3=4π/3，即x=π/2時，f(x)取得最小值-√3/2?！?2分（本小題滿分12分）（1）證明：因為AB=AC=2，BC=2√2，所以AB2+AC2=4+4=8=BC2，所以AB⊥AC?！?分因為PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以PA⊥AB?！?分又因為PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC?！?分（2）解：因為PA⊥平面ABC，所以PA是三棱錐P-ABC的高?！?分因為S△ABC=1/2×AB×AC=1/2×2×2=2，……10分所以三棱錐P-ABC的體積V=1/3×S△ABC×PA=1/3×2×3=2。……12分（本小題滿分12分）（1）證明：因為a???=2a?+1，所以a???+1=2(a?+1)?！?分又因為a?+1=2≠0，所以數(shù)列{a?+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列?！?分（2）解：由（1）知，a?+1=2×2??1=2?，……9分所以a?=2?-1?！?2分（本小題滿分12分）解：（1）因為橢圓C的離心率e=c/a=√3/2，所以c=√3/2a?！?分又因為a2=b2+c2，所以a2=b2+3/4a2，即a2=4b2。……2分因為橢圓C過點(2,1)，所以4/a2+1/b2=1。……3分聯(lián)立解得a2=8，b2=2，所以橢圓C的標準方程為x2/8+y2/2=1?！?分（2）設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，聯(lián)立方程組{x2/8+y2/2=1，y=kx+m，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0?！?分因為直線l與橢圓C交于A，B兩點，所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-8)>0，即m2<8k2+2。……7分由根與系數(shù)的關(guān)系，得x?+x?=-8km/(1+4k2)，x?x?=(4m2-8)/(1+4k2)?！?分因為OA⊥OB，所以x?x?+y?y?=0。又因為y?y?=(kx?+m)(kx?+m)=k2x?x?+km(x?+x?)+m2，所以x?x?+y?y?=(1+k2)x?x?+km(x?+x?)+m2=0。……9分代入得(1+k2)(4m2-8)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=0，化簡得5m2=8k2+8/5?！?1分因為m2=8k2/5+8/25≥8/25，且m2<8k2+2=5m2-8/5+2=5m2+2/5，所以m2的取值范圍是[8/25,+∞)。……12分（本小題滿分12分）解：（1）當a=1時，f(x)=xlnx-x2+x，定義域為(0,+∞)。……1分f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2。……2分令g(x)=lnx-2x+2，則g'(x)=1/x-2。當x∈(0,1/2)時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當x∈(1/2,+∞)時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減。……3分因為g(1/2)=ln(1/2)-1+2=1-ln2>0，g(1)=0-2+2=0，g(e)=1-2e+2=3-2e<0，所以存在x?∈(1/2,1)，使得g(x?)=0?！?分因此，當x∈(0,x?)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x∈(x?,+∞)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減?！?分所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,x?)，單調(diào)遞減區(qū)間為(x?,+∞)，其中x?∈(1/2,1)。……6分（2）因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f'(x)=lnx+1-2ax+1=lnx-2ax+2≤0在(1,+∞