2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)藝術(shù)設(shè)計(jì)背景試題（二）一、選擇題（本大題共10小題，每題6分，共60分）紋樣對(duì)稱(chēng)與函數(shù)圖像某設(shè)計(jì)師創(chuàng)作的青花瓷紋樣以函數(shù)$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$為基礎(chǔ)圖案，若將該紋樣繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到新圖案對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A.$y=\frac{1}{2}\arcsin(-x)-\frac{\pi}{6}$B.$y=-\frac{1}{2}\arccosx+\frac{\pi}{6}$C.$y=\frac{1}{2}\arccos(-x)-\frac{\pi}{6}$D.$y=-\frac{1}{2}\arcsinx+\frac{\pi}{6}$雕塑材質(zhì)的密度計(jì)算某藝術(shù)工作室用兩種密度分別為$\rho_1=2.7\\text{g/cm}^3$（鋁合金）和$\rho_2=8.9\\text{g/cm}^3$（銅合金）的材料制作雕塑，兩種材料按體積比$3:2$混合后的平均密度為（）A.$5.02\\text{g/cm}^3$B.$5.34\\text{g/cm}^3$C.$5.68\\text{g/cm}^3$D.$6.12\\text{g/cm}^3$展覽空間的幾何分割某美術(shù)館展廳為棱長(zhǎng)6米的正方體，現(xiàn)用平面$x+y+z=6$（單位：米）將其分割為兩部分，則較小部分的體積為（）A.$24\\text{m}^3$B.$36\\text{m}^3$C.$48\\text{m}^3$D.$54\\text{m}^3$色彩調(diào)和的概率模型設(shè)計(jì)師從紅、黃、藍(lán)、綠4種主色調(diào)中隨機(jī)選取2種配色，再?gòu)?種輔助色中隨機(jī)選取1種，若“紅與綠不能同時(shí)作為主色調(diào)”為限制條件，則符合要求的配色方案有（）A.18種B.24種C.30種D.36種字體設(shè)計(jì)的黃金比例某品牌LOGO的字體寬高比遵循黃金分割率$\omega=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，若將字體高度放大為原來(lái)的2倍，寬度保持不變，則新寬高比與$\omega$的差的絕對(duì)值為（）A.$0.382$B.$0.618$C.$1.236$D.$1.618$舞臺(tái)燈光的照射范圍舞臺(tái)上方距離地面8米處懸掛一盞半徑為0.5米的圓形光源，光束呈圓錐狀投射到地面形成圓形光斑，若圓錐母線與軸線夾角為30°，則光斑的面積為（）A.$4\pi\\text{m}^2$B.$9\pi\\text{m}^2$C.$16\pi\\text{m}^2$D.$25\pi\\text{m}^2$編織紋樣的數(shù)列規(guī)律某傳統(tǒng)編織紋樣中，第$n$層（$n\geq1$）的菱形數(shù)量為$a_n=2n-1$，若紋樣共有10層，且每層菱形邊長(zhǎng)為$b_n=\frac{1}{2^n}$米，則所有菱形的總面積為（）A.$\frac{10}{9}\\text{m}^2$B.$\frac{17}{16}\\text{m}^2$C.$\frac{31}{32}\\text{m}^2$D.$\frac{63}{64}\\text{m}^2$海報(bào)排版的優(yōu)化問(wèn)題某海報(bào)設(shè)計(jì)要求：矩形版面面積為$128\\text{cm}^2$，左右邊距各2cm，上下邊距各1cm，設(shè)版面寬為$x\\text{cm}$，則印刷區(qū)域面積$S(x)$的最大值為（）A.$72\\text{cm}^2$B.$80\\text{cm}^2$C.$96\\text{cm}^2$D.$108\\text{cm}^2$陶藝旋轉(zhuǎn)成型的曲線方程陶藝師將曲線$y=\sqrt{x}(0\leqx\leq4)$繞$x$軸旋轉(zhuǎn)一周形成花瓶的主體部分，則該旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A.$4\pi$B.$8\pi$C.$16\pi$D.$32\pi$藝術(shù)市場(chǎng)的數(shù)據(jù)分析某藝術(shù)平臺(tái)2025年1-6月的月成交額（單位：萬(wàn)元）分別為：120，150，130，180，200，220，若用線性回歸模型預(yù)測(cè)7月成交額，其回歸方程為$\hat{y}=bx+a$，則$\hat{y}$的值為（）A.235B.242C.250D.258二、填空題（本大題共6小題，每題6分，共36分）浮雕的空間向量計(jì)算在空間直角坐標(biāo)系中，某浮雕的兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)坐標(biāo)為$A(1,2,3)$和$B(4,6,8)$，則向量$\overrightarrow{AB}$在平面$z=0$上的投影向量模長(zhǎng)為_(kāi)_________。馬賽克鑲嵌的排列組合用3種顏色的正方形馬賽克（每種顏色至少用1塊）鑲嵌$2\times3$的矩形墻面，若允許旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)后重合的圖案視為同一方案，則不同的鑲嵌方案有__________種。音樂(lè)與數(shù)學(xué)的頻率關(guān)系某藝術(shù)裝置通過(guò)聲波頻率模擬色彩變化，已知“C調(diào)”基頻為261.6Hz，若頻率每升高1個(gè)八度（12個(gè)半音）變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則“C調(diào)”第5個(gè)半音（頻率比為$2^{5/12}$）的頻率為_(kāi)_________Hz（精確到0.1）。折紙藝術(shù)的三角函數(shù)應(yīng)用將長(zhǎng)為10cm的矩形紙片沿對(duì)角線折疊，若重疊部分的面積為$12\\text{cm}^2$，則矩形的寬為_(kāi)_________cm。展覽動(dòng)線的最短路徑某畫(huà)廊平面圖為半徑10米的圓形，A、B為直徑兩端，若游客從A出發(fā)沿圓周行走至C，再沿直線走到B，且$\angleAOC=60^\circ$（O為圓心），則總路程的最小值為_(kāi)_________米。數(shù)字藝術(shù)的迭代生成某算法生成藝術(shù)圖案的規(guī)則為：第1步生成1個(gè)基礎(chǔ)圖形，第$n$步（$n\geq2$）在前一步基礎(chǔ)上每個(gè)圖形分裂為2個(gè)新圖形，同時(shí)消失1個(gè)舊圖形，則第10步生成的圖形總數(shù)為_(kāi)_________。三、解答題（本大題共6小題，共84分）（14分）服裝設(shè)計(jì)中的函數(shù)建模某設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)的連衣裙下擺輪廓可近似視為函數(shù)$y=\frac{1}{2}x^2-4x+10$（單位：dm），其中$x\in[0,8]$表示水平方向距離。（1）求下擺輪廓的最低點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸方程；（2）若裙擺需增加荷葉邊，其邊緣曲線為原函數(shù)圖像向上平移2dm后再沿x軸方向拉伸為原來(lái)的1.5倍，求新曲線的函數(shù)解析式。（14分）雕塑的立體幾何計(jì)算如圖，某不銹鋼雕塑由一個(gè)底面半徑為3m、高為4m的圓柱和一個(gè)同底的圓錐組合而成，圓錐母線與底面所成角為60°。（1）求該雕塑的表面積（結(jié)果保留$\pi$）；（2）若將雕塑表面全部鍍上厚度為0.1cm的鈦合金涂層，鈦合金密度為$4.5\\text{g/cm}^3$，求所需鈦合金的質(zhì)量（精確到1kg）。（14分）藝術(shù)展覽的概率統(tǒng)計(jì)分析某美術(shù)館舉辦“數(shù)字藝術(shù)展”，觀眾需通過(guò)預(yù)約系統(tǒng)選擇參觀時(shí)段（上午/下午）和展覽主題（A/B/C）。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示：選擇上午參觀的概率為0.6，其中60%會(huì)選擇主題A；選擇下午參觀的觀眾中，選擇B、C主題的比例為3:2。（1）求觀眾選擇主題A的概率；（2）若某天上午有100名觀眾，用隨機(jī)變量X表示選擇主題A的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望與方差。（14分）建筑藝術(shù)中的圓錐曲線某藝術(shù)中心的穹頂截面為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，已知橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若在橢圓上存在一點(diǎn)P，使得$\angleF_1PF_2=60^\circ$（$F_1,F_2$為焦點(diǎn)），求$\triangleF_1PF_2$的面積。（14分）藝術(shù)市場(chǎng)的數(shù)列與不等式某藝術(shù)品2025年的拍賣(mài)底價(jià)為100萬(wàn)元，若每年價(jià)格增長(zhǎng)率為$r$（$0<r<1$），且滿(mǎn)足：第3年價(jià)格不超過(guò)150萬(wàn)元；第5年價(jià)格至少比第3年增長(zhǎng)20%。（1）求$r$的取值范圍；（2）若按此增長(zhǎng)率，第$n$年價(jià)格為$a_n=100(1+r)^n$，證明：$\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}<\frac{10}{9r}$。（14分）跨學(xué)科綜合探究——分形藝術(shù)與數(shù)學(xué)分形藝術(shù)通過(guò)自相似結(jié)構(gòu)生成復(fù)雜圖案，其中“科赫雪花”的生成規(guī)則為：初始圖形（第0代）為邊長(zhǎng)1的正三角形；第$n$代圖形：將每邊三等分，以中間段為邊向外