2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)易錯題專項(xiàng)訓(xùn)練（一）一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1.函數(shù)的定義域與值域題目1已知函數(shù)$f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4}}{\log_2(x+1)}$，求函數(shù)$f(x)$的定義域。易錯點(diǎn)分析忽略分母中對數(shù)函數(shù)的定義域要求，忘記$x+1>0$且$x+1\neq1$；根號內(nèi)表達(dá)式非負(fù)的條件容易寫成$x^2-4\geq0$，但解不等式時易漏掉$x\leq-2$的情況；多個限制條件取交集時出現(xiàn)計算錯誤。正確解析要使函數(shù)有意義，需滿足以下條件：根號內(nèi)非負(fù)：$x^2-4\geq0\Rightarrowx\leq-2$或$x\geq2$；對數(shù)的真數(shù)大于0：$x+1>0\Rightarrowx>-1$；對數(shù)的底數(shù)不為1：$x+1\neq1\Rightarrowx\neq0$。綜合以上條件，取交集得$x\geq2$。因此，函數(shù)的定義域?yàn)?[2,+\infty)$。題目2已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2+2x+a}{x}$，$x\in[1,+\infty)$，若對任意$x\in[1,+\infty)$，$f(x)\geq0$恒成立，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。易錯點(diǎn)分析直接將$f(x)\geq0$轉(zhuǎn)化為$x^2+2x+a\geq0$，忽略$x\in[1,+\infty)$的條件；利用二次函數(shù)求最值時，忘記對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，導(dǎo)致最值計算錯誤；忽略分離參數(shù)后函數(shù)的單調(diào)性分析。正確解析由$f(x)\geq0$得$\frac{x^2+2x+a}{x}\geq0$，因?yàn)?x\in[1,+\infty)$，所以$x>0$，不等式等價于$x^2+2x+a\geq0$，即$a\geq-x^2-2x$。令$g(x)=-x^2-2x$，$x\in[1,+\infty)$，則$g(x)$的對稱軸為$x=-1$，開口向下，在$[1,+\infty)$上單調(diào)遞減。因此，$g(x)_{\max}=g(1)=-1-2=-3$，所以$a\geq-3$。故實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是$[-3,+\infty)$。2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義題目3已知曲線$y=x^3-3x^2+2x$在點(diǎn)$P$處的切線平行于直線$y=-x+1$，求點(diǎn)$P$的坐標(biāo)。易錯點(diǎn)分析混淆“在點(diǎn)$P$處的切線”與“過點(diǎn)$P$的切線”，導(dǎo)致設(shè)點(diǎn)時出錯；求導(dǎo)后令導(dǎo)數(shù)等于切線斜率，但解方程時漏解；求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)后，未驗(yàn)證切線是否與直線平行（雖然本題中導(dǎo)數(shù)等于斜率即可，但需注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線斜率）。正確解析對$y=x^3-3x^2+2x$求導(dǎo)得$y'=3x^2-6x+2$。因?yàn)榍芯€平行于直線$y=-x+1$，所以切線斜率為$-1$，即$3x^2-6x+2=-1$。解方程$3x^2-6x+3=0$，即$x^2-2x+1=0$，得$x=1$。將$x=1$代入曲線方程得$y=1-3+2=0$，所以點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(1,0)$。3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值題目4已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$在區(qū)間$(2,3)$上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。易錯點(diǎn)分析錯誤地認(rèn)為$f'(x)>0$是函數(shù)單調(diào)遞增的充要條件，忽略$f'(x)\geq0$的情況；求導(dǎo)后直接令$f'(x)\geq0$在$(2,3)$上恒成立，但分離參數(shù)時未考慮函數(shù)的最值；利用基本不等式求最值時，忽略等號成立的條件。正確解析$f'(x)=3x^2-6ax+3$，因?yàn)楹瘮?shù)在$(2,3)$上單調(diào)遞增，所以$f'(x)\geq0$在$(2,3)$上恒成立，即$3x^2-6ax+3\geq0\Rightarrowx^2-2ax+1\geq0\Rightarrow2a\leqx+\frac{1}{x}$。令$h(x)=x+\frac{1}{x}$，$x\in(2,3)$，則$h'(x)=1-\frac{1}{x^2}$。因?yàn)?x\in(2,3)$，所以$x^2>1$，$h'(x)>0$，即$h(x)$在$(2,3)$上單調(diào)遞增。因此，$h(x)$在$(2,3)$上的值域?yàn)?(\frac{5}{2},\frac{10}{3})$，所以$2a\leq\frac{5}{2}\Rightarrowa\leq\frac{5}{4}$。故實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是$(-\infty,\frac{5}{4}]$。二、三角函數(shù)與解三角形1.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)題目5已知函數(shù)$f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的部分圖像如圖所示，求$\omega$和$\varphi$的值。（圖像特征：相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{\pi}{2}$，且過點(diǎn)$(\frac{\pi}{3},1)$）易錯點(diǎn)分析混淆相鄰對稱軸之間的距離與周期的關(guān)系，錯誤地認(rèn)為距離等于周期；代入點(diǎn)的坐標(biāo)求$\varphi$時，忽略$\omega$的值對相位的影響；未根據(jù)$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$的條件確定$\varphi$的唯一值。正確解析由相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{\pi}{2}$，可知函數(shù)的周期$T=2\times\frac{\pi}{2}=\pi$，又$T=\frac{2\pi}{\omega}\Rightarrow\omega=2$，所以$f(x)=\sin(2x+\varphi)$。因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)$(\frac{\pi}{3},1)$，所以$\sin(2\times\frac{\pi}{3}+\varphi)=1\Rightarrow\frac{2\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\mathbb{Z}\Rightarrow\varphi=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$。又$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$，所以$k=0$，$\varphi=-\frac{\pi}{6}$。綜上，$\omega=2$，$\varphi=-\frac{\pi}{6}$。2.三角恒等變換題目6化簡：$\frac{\sin(2\alpha+\beta)}{\sin\alpha}-2\cos(\alpha+\beta)$。易錯點(diǎn)分析不會將$2\alpha+\beta$拆分為$(\alpha+\beta)+\alpha$，導(dǎo)致無法利用兩角和的正弦公式展開；展開后合并同類項(xiàng)時出現(xiàn)符號錯誤；化簡過程中忽略三角函數(shù)的基本關(guān)系，無法將式子化為最簡形式。正確解析將$2\alpha+\beta$拆分為$(\alpha+\beta)+\alpha$，則：原式$=\frac{\sin[(\alpha+\beta)+\alpha]}{\sin\alpha}-2\cos(\alpha+\beta)$$=\frac{\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha+\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha}{\sin\alpha}-2\cos(\alpha+\beta)$$=\frac{\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha}{\sin\alpha}+\cos(\alpha+\beta)-2\cos(\alpha+\beta)$$=\frac{\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha}{\sin\alpha}-\cos(\alpha+\beta)$$=\frac{\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha-\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha}{\sin\alpha}$$=\frac{\sin[(\alpha+\beta)-\alpha]}{\sin\alpha}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$。3.解三角形題目7在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對的邊分別為$a$，$b$，$c$，已知$a=2$，$b=3$，$\cosC=\frac{1}{3}$，求邊$c$及$\sinA$的值。易錯點(diǎn)分析利用余弦定理求$c$時，公式記憶錯誤，寫成$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，但代入數(shù)據(jù)時出現(xiàn)計算錯誤；求$\sinC$時，忽略$\sin^2C+\cos^2C=1$，或忘記$C$為三角形內(nèi)角，$\sinC>0$；利用正弦定理求$\sinA$時，比例關(guān)系顛倒，寫成$\frac{a}{\sinC}=\frac{c}{\sinA}$。正確解析由余弦定理得$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=2^2+3^2-2\times2\times3\times\frac{1}{3}=4+9-4=9$，所以$c=3$。因?yàn)?\cosC=\frac{1}{3}$，$0<C<\pi$，所以$\sinC=\sqrt{1-\cos^2C}=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。由正弦定理得$\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\Rightarrow\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{2\times\frac{2\sqrt{2}}{3}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$。綜上，$c=3$，$\sinA=\frac{4\sqrt{2}}{9}$。三、數(shù)列1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算題目8已知等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_3+a_7=10$，$S_9=45$，求數(shù)列${a_n}$的公差$d$。易錯點(diǎn)分析等差數(shù)列的性質(zhì)記憶錯誤，如$a_3+a_7=2a_5$，但寫成$a_3+a_7=a_{10}$；前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$與$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$混淆，代入數(shù)據(jù)錯誤；解方程組時計算失誤。正確解析因?yàn)?{a_n}$是等差數(shù)列，所以$a_3+a_7=2a_5=10\Rightarrowa_5=5$。又$S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=\frac{9\times2a_5}{2}=9a_5=45$，符合題意。設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，則$a_5=a_1+4d=5$。由于題目中只給出兩個條件，而$a_1$和$d$兩個未知數(shù)，需要再找一個條件。但根據(jù)現(xiàn)有條件，$a_5=5$和$S_9=45$是等價的，因此公差$d$無法唯一確定？（此處錯誤，需重新分析）修正：題目中$a_3+a_7=10$和$S_9=45$并非獨(dú)立條件，因?yàn)?S_9=9a_5$，而$a_3+a_7=2a_5=10$，所以$a_5=5$，$S_9=45$恒成立。因此，題目條件不足，無法確定公差$d$。（注：原題可能存在疏漏，若補(bǔ)充條件如$a_1=1$，則可解得$d=1$）題目9已知等比數(shù)列${a_n}$中，$a_2=2$，$a_5=16$，求數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。易錯點(diǎn)分析等比數(shù)列的通項(xiàng)公式記憶錯誤，寫成$a_n=a_1d^{n-1}$（混淆公差與公比）；求公比$q$時，忽略$q$可能為負(fù)數(shù)的情況，但本題中$a_2=2$，$a_5=16$，$q^3=8$，$q=2$唯一；前$n$項(xiàng)和公式中，忘記分$q=1$和$q\neq1$討論，但本題中$q=2\neq1$，可直接用公式$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。正確解析設(shè)等比數(shù)列的公比為$q$，則$a_5=a_2q^3\Rightarrow16=2q^3\Rightarrowq^3=8\Rightarrowq=2$。又$a_2=a_1q=2\Rightarrowa_1=1$。所以$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1(1-2^n)}{1-2}=2^n-1$。2.數(shù)列的遞推關(guān)系題目10已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式。易錯點(diǎn)分析不會將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，忽略構(gòu)造法的應(yīng)用；構(gòu)造新數(shù)列時，等式兩邊加常數(shù)錯誤，如寫成$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，但驗(yàn)證時發(fā)現(xiàn)錯誤；忘記新數(shù)列的首項(xiàng)，導(dǎo)致通項(xiàng)公式錯誤。正確解析由$a_{n+1}=2a_n+1$，兩邊同時加1得$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$。令$b_n=a_n+1$，則$b_{n+1}=2b_n$，且$b_1=a_1+1=2$，所以${b_n}$是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。因此，$b_n=2\times2^{n-1}=2^n$，所以$a_n=b_n-1=2^n-1$。四、不等式1.一元二次不等式題目11解不等式$x^2-(a+1)x+a<0$，其中$a$為實(shí)數(shù)。易錯點(diǎn)分析未對$a$進(jìn)行分類討論，直接認(rèn)為不等式的解集為$(1,a)$或$(a,1)$；當(dāng)$a=1$時，不等式化為$(x-1)^2<0$，解集為空集，但易寫成全體實(shí)數(shù)；比較$a$與1的大小時，順序顛倒，導(dǎo)致解集區(qū)間錯誤。正確解析不等式可化為$(x-1)(x-a)<0$。當(dāng)$a>1$時，不等式的解集為$(1,a)$；當(dāng)$a=1$時，不等式化為$(x-1)^2<0$，解集為$\varnothing$；當(dāng)$a<1$時，不等式的解集為$(a,1)$。2.線性規(guī)劃題目12已知變量$x$，$y$滿足約束條件$\begin{cases}x+y\leq5\2x-y\leq4\-x+y\leq1\x\geq0,y\geq0\end{cases}$，求目標(biāo)函數(shù)$z=2x+3y$的最大值。易錯點(diǎn)分析畫出可行域時，不等式方向判斷錯誤，如將$2x-y\leq4$畫成$2x-y\geq4$；找不到可行域的頂點(diǎn)，導(dǎo)致無法代入目標(biāo)函數(shù)求最值；代入頂點(diǎn)坐標(biāo)時計算錯誤，如將$(2,3)$代入$z=2x+3y$得$z=4+9=13$，但實(shí)際最大值可能在其他頂點(diǎn)。正確解析首先畫出可行域：$x+y=5$與$2x-y=4$的交點(diǎn)：聯(lián)立方程得$x=3$，$y=2$，即$(3,2)$；$x+y=5$與$-x+y=1$的交點(diǎn)：聯(lián)立方程得$x=2$，$y=3$，即$(2,3)$；$2x-y=4$與$x=0$的交點(diǎn)：$(0,-4)$（舍去，因?yàn)?y\geq0$）；$-x+y=1$與$x=0$的交點(diǎn)：$(0,1)$；$x=0$，$y=0$也是可行域的頂點(diǎn)。可行域的頂點(diǎn)為$(0,0)$，$(0,1)$，$(2,3)$，$(3,2)$，$(5,0)$。代入目標(biāo)函數(shù)$z=2x+3y$：$(0,0)$：$z=0$；$(0,1)$：$z=3$；$(2,3)$：$z=4+9=13$；$(3,2)$：$z=6+6=12$；$(5,0)$：$z=10$。因此，目標(biāo)函數(shù)的最大值為13，在點(diǎn)$(2,3)$處取得。五、立體幾何1.空間幾何體的體積與表面積題目13已知一個正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為$\sqrt{3}$，求該三棱錐的體積。易錯點(diǎn)分析正三棱錐的底面是正三角形，計算底面積時忘記乘以$\frac{\sqrt{3}}{4}$；求高時，混淆斜高與高的概念，用側(cè)棱長直接作為高；勾股定理應(yīng)用錯誤，如高$h$、側(cè)棱長$l$、底面外接圓半徑$r$的關(guān)系應(yīng)為$h=\sqrt{l^2-r^2}$，但寫成$h=\sqrt{l^2-(\frac{底面邊長}{2})^2}$。正確解析底面是正三角形，邊長為2，底面積$S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3}$。底面外接圓半徑$r=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$（正三角形外接圓半徑公式$r=\frac{a}{\sqrt{3}}$）。三棱錐的高$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2}=\sqrt{3-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$。體積$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{15}}{3}=\frac{\sqrt{45}}{9}=\frac{3\sqrt{5}}{9}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。2.空間直線與平面的位置關(guān)系題目14已知直線$l\perp$平面$\alpha$，直線$m\subset$平面$\beta$，則“$\alpha\parallel\beta$”是“$l\perpm$”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件易錯點(diǎn)分析忽略線面垂直的性質(zhì)：如果一條直線垂直于一個平面，那么它垂直于平面內(nèi)的所有直線；認(rèn)為“$\alpha\parallel\beta$”是“$l\perpm$”的必要條件，即若$l\perpm$，則$\alpha\parallel\beta$，但實(shí)際上$\alpha$與$\beta$可能相交。正確解析若$\alpha\parallel\beta$，因?yàn)?l\perp\alpha$，所以$l\perp\beta$，又$m\subset\beta$，所以$l\perpm$，充分性成立；若$l\perpm$，直線$m\subset\beta$，不能推出$l\perp\beta$，因此無法推出$\alpha\parallel\beta$，必要性不成立。故“$\alpha\parallel\beta$”是“$l\perpm$”的充分不必要條件，選A。六、解析幾何1.直線與圓的位置關(guān)系題目15已知圓$C$：$(x-1)^2+(y+2)^2=4$，直線$l$：$3x+4y+m=0$，若直線$l$與圓$C$相切，求實(shí)數(shù)$m$的值。易錯點(diǎn)分析圓心坐標(biāo)記錯，將$(x-1)^2+(y+2)^2=4$的圓心寫成$(1,2)$（忽略$y+2=(y-(-2))$）；點(diǎn)到直線的距離公式記錯，寫成$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A+B}}$（忘記平方）；相切時距離等于半徑，解方程時漏解，如$|3-8+m|=10$，解得$m=15$或$m=-5$，但只寫一個解。正確解析圓$C$的圓心為$(1,-2)$，半徑$r=2$。直線$l$與圓$C$相切，則圓心到直線的距離等于半徑，即$d=\frac{|3\times1+4\times(-2)+m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3-8+m|}{5}=\frac{|m-5|}{5}=2$。所以$|m-5|=10\Rightarrowm-5=10$或$m-5=-10\Rightarrowm=15$或$m=-5$。因此，實(shí)數(shù)$m$的值為15或$-5$。2.圓錐曲線題目16已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$(2,1)$，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。易錯點(diǎn)分析離心率公式記錯，寫成$e=\frac{c}$或$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$；忽略$a^2=b^2+c^2$的關(guān)系，無法將離心率轉(zhuǎn)化為$a$與$b$的關(guān)系；代入點(diǎn)$(2,1)$后解方程錯誤，如$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，結(jié)合$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$c^2=a^2-b^2$，解得$a^2=8$，$b^2=2$，但計算過程中出現(xiàn)符號錯誤。正確解析由離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，又$c^2=a^2-b^2$，所以$\frac{3}{4}a^2=a^2-b^2\Rightarrowb^2=\frac{1}{4}a^2$。因?yàn)闄E圓過點(diǎn)$(2,1)$，所以$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，將$b^2=\frac{1}{4}a^2$代入得$\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1\Rightarrow\frac{8}{a^2}=1\Rightarrowa^2=8$，則$b^2=2$。因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。七、概率與統(tǒng)計1.古典概型題目17從1，2，3，4，5這5個數(shù)字中隨機(jī)抽取3個數(shù)字，求這3個數(shù)字之和為偶數(shù)的概率。易錯點(diǎn)分析計算基本事件總數(shù)時，混淆排列與組合，寫成$A_5^3=60$，但本題是組合問題，總數(shù)應(yīng)為$C_5^3=10$；事件“3個數(shù)字之和為偶數(shù)”包含的基本事件分析錯誤，忽略“3個偶數(shù)”的情況，但本題中只有2個偶數(shù)（2，4），所以不可能有3個偶數(shù)，只能是“1偶2奇”；計算概率時分母或分子錯誤，如分子寫成$C_2^1C_3^2=6$，分母$C_5^3=10$，概率為$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，但錯誤地寫成$\frac{4}{10}=\frac{2