2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)周測(cè)（第十九周）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）下列命題中為真命題的是（）A.?x∈R，x2+1<0B.?x∈Z，3x+1是整數(shù)C.?x∈R，|x|>0D.?x∈Q，x2=2解題思路：本題考查全稱(chēng)量詞與存在量詞的真假判斷。A選項(xiàng)中，x2+1≥1恒成立，故為假命題；C選項(xiàng)中，當(dāng)x=0時(shí)|x|=0，故為假命題；D選項(xiàng)中，滿(mǎn)足x2=2的x為無(wú)理數(shù)，故為假命題；B選項(xiàng)中，當(dāng)x=1時(shí)3x+1=4是整數(shù)，故為真命題。答案：B命題“?x∈[0，π]，sinx≥0”的否定是（）A.?x∈[0，π]，sinx<0B.?x∈[0，π]，sinx<0C.?x?[0，π]，sinx<0D.?x?[0，π]，sinx<0解題思路：全稱(chēng)命題的否定為存在性命題，需將“?”改為“?”，并否定結(jié)論。原命題結(jié)論為“sinx≥0”，否定后為“sinx<0”。答案：B已知命題p：2是偶數(shù)，命題q：2是質(zhì)數(shù)，則下列命題為真命題的是（）A.p∧qB.p∧?qC.?p∧qD.?p∧?q解題思路：p為真命題，q為真命題，故p∧q為真命題。答案：A“x>1”是“x2>1”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解題思路：由x>1可推出x2>1，但x2>1時(shí)x可能小于-1，故“x>1”是“x2>1”的充分不必要條件。答案：A命題“若a>b，則ac2>bc2”的逆否命題是（）A.若ac2>bc2，則a>bB.若a≤b，則ac2≤bc2C.若ac2≤bc2，則a≤bD.若ac2<bc2，則a<b解題思路：逆否命題需將原命題的條件和結(jié)論互換并同時(shí)否定。原命題條件為“a>b”，結(jié)論為“ac2>bc2”，故逆否命題為“若ac2≤bc2，則a≤b”。答案：C已知命題p：?x∈R，x2+2x+3=0，則?p為（）A.?x∈R，x2+2x+3≠0B.?x∈R，x2+2x+3=0C.?x∈R，x2+2x+3≠0D.?x?R，x2+2x+3≠0解題思路：存在性命題的否定為全稱(chēng)命題，需將“?”改為“?”，并否定結(jié)論。答案：C若命題“p∨q”為真，“?p”為真，則（）A.p真q真B.p假q真C.p真q假D.p假q假解題思路：“?p”為真，則p為假；“p∨q”為真，故q必須為真。答案：B下列命題中，全稱(chēng)量詞命題的個(gè)數(shù)是（）①所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；②?x∈R，x2+1≥1；③有的無(wú)理數(shù)的平方是有理數(shù)。A.0B.1C.2D.3解題思路：①②為全稱(chēng)量詞命題，③為存在量詞命題。答案：C設(shè)命題p：?x∈[1，2]，x2-a≥0；命題q：?x∈R，x2+2ax+2-a=0。若p∧q為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.a≤-2或a=1B.a≤-2或1≤a≤2C.a≥1D.-2≤a≤1解題思路：p為真時(shí)a≤1，q為真時(shí)Δ=4a2-4(2-a)≥0，解得a≤-2或a≥1。p∧q為真，故a≤-2或a=1。答案：A已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|mx-1=0}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值集合是（）A.{1，1/2}B.{0，1，1/2}C.{0，2，1}D.{2，1/2}解題思路：A={1，2}，當(dāng)m=0時(shí)B=?，滿(mǎn)足B?A；當(dāng)m≠0時(shí)，x=1/m∈A，故1/m=1或2，解得m=1或1/2。綜上，m的取值集合為{0，1，1/2}。答案：B下列命題中，真命題是（）A.?x∈R，sinx+cosx=2B.?x∈(0，π)，sinx>cosxC.?x∈R，x2+x=-1D.?x∈(0，+∞)，e?>x+1解題思路：sinx+cosx=√2sin(x+π/4)≤√2<2，故A為假命題；當(dāng)x=π/6時(shí)sinx=1/2<cosx=√3/2，故B為假命題；x2+x+1=(x+1/2)2+3/4≥3/4>0，故C為假命題；令f(x)=e?-x-1，f'(x)=e?-1>0在(0，+∞)上恒成立，故f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，f(x)>f(0)=0，故D為真命題。答案：D已知命題p：函數(shù)f(x)=x2-2ax+1在(1，+∞)上單調(diào)遞增；命題q：函數(shù)g(x)=log?x（a>0且a≠1）在(0，+∞)上單調(diào)遞減。若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(0，1)B.[1，+∞)C.(0，1]D.(0，+∞)解題思路：p為真時(shí)a≤1，q為真時(shí)0<a<1。p∨q為真，p∧q為假，故p真q假或p假q真。當(dāng)p真q假時(shí)，a=1；當(dāng)p假q真時(shí)，無(wú)解。綜上，a的取值范圍是{1}。答案：B二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）命題“若x2+y2=0，則x=y=0”的否命題是________。答案：若x2+y2≠0，則x≠0或y≠0已知命題p：?x∈[1，2]，x2-a≥0，若?p為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________。解題思路：?p為“?x∈[1，2]，x2-a<0”，即?x∈[1，2]，a>x2。x2在[1，2]上的最大值為4，故a>1。答案：(1，+∞)設(shè)p：|x-1|<2，q：x2-2x-3<0，則p是q的________條件。（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）解題思路：p：-1<x<3，q：-1<x<3，故p是q的充要條件。答案：充要已知命題p：?x∈R，ax2+2x+1=0，若命題p為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________。解題思路：當(dāng)a=0時(shí)，x=-1/2，滿(mǎn)足條件；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ=4-4a≥0，解得a≤1且a≠0。綜上，a≤1。答案：(-∞，1]三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷真假：（1）p：?x∈R，x2-x+1≥0；（2）q：?x∈R，x2+2x+2≤0。解題思路：（1）?p：?x∈R，x2-x+1<0。因?yàn)閤2-x+1=(x-1/2)2+3/4≥3/4>0，故?p為假命題。（2）?q：?x∈R，x2+2x+2>0。因?yàn)閤2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0，故?q為真命題。（12分）已知集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2m<x<m+1}，若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解題思路：A=(1，3)。當(dāng)B=?時(shí)，2m≥m+1，解得m≥1；當(dāng)B≠?時(shí)，需滿(mǎn)足2m≥1，m+1≤3，2m<m+1，解得1/2≤m<1。綜上，m的取值范圍是[1/2，+∞)。（12分）已知命題p：方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根；命題q：方程4x2+4(m-2)x+1=0無(wú)實(shí)根。若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解題思路：p為真時(shí)，Δ=m2-4>0，-m<0，解得m>2；q為真時(shí)，Δ=16(m-2)2-16<0，解得1<m<3。p∨q為真，p∧q為假，故p真q假或p假q真。當(dāng)p真q假時(shí)，m≥3；當(dāng)p假q真時(shí)，1<m≤2。綜上，m的取值范圍是(1，2]∪[3，+∞)。（12分）已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+5（a>1）。（1）若f(x)的定義域和值域均是[1，a]，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若f(x)在區(qū)間(-∞，2]上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x?，x?∈[1，a+1]，總有|f(x?)-f(x?)|≤4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解題思路：（1）f(x)在[1，a]上單調(diào)遞減，故f(1)=a，f(a)=1，解得a=2。（2）f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=a，由題意得a≥2。f(x)在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，a+1]上單調(diào)遞增，故f(x)max=f(1)=6-2a，f(x)min=f(a)=5-a2。由|f(x?)-f(x?)|≤4，得f(x)max-f(x)min≤4，解得-1≤a≤3。又a≥2，故a的取值范圍是[2，3]。（12分）已知命題p：關(guān)于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集為?；命題q：函數(shù)y=(2a2-a)?為增函數(shù)。若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解題思路：p為真時(shí)，Δ=(a-1)2-4a2<0，解得a>1/3或a<-1；q為真時(shí)，2a2-a>1，解得a>1或a<-1/2。p∨q為真，p∧q為假，故p真q假或p假q真。當(dāng)p真q假時(shí)，1/3<a≤1；當(dāng)p假q真時(shí)，-1≤a<-1/2。綜上，a的取值范圍是[-1，-1/2)∪(1/3，1]。（12分）已知函數(shù)f(x)=log?(x2-2x-3)。（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）若f(x)≥log?(x2+x+3)，求x的取值范圍。解題思路：（1）由x2-2x-3>0，解得x<-1或x>3，故定義域?yàn)?-∞，-1)∪(3，+∞)。（2）由題意得x2-2x-3≥x2+x+3，且x2-2x-3>0，x2+x+3>0，解得x≤-2。故x的取值范圍是(-∞，-2]。四、附加題（10分，不計(jì)入總分）已知函數(shù)f(x)=x