2025年下學期高三數(shù)學高頻考點強化之“基本初等函數(shù)與圖像”一、函數(shù)概念與定義域求解策略函數(shù)作為高中數(shù)學的核心概念，在高考中常以基礎(chǔ)題形式出現(xiàn)，但對定義域的精準把握直接影響后續(xù)解題。定義域求解需關(guān)注四類特殊情況：分式分母不為零、偶次根式被開方數(shù)非負、對數(shù)真數(shù)大于零、零次冪底數(shù)不為零。例如2024年新課標Ⅰ卷第3題考查具體函數(shù)定義域，而2023年乙卷第12題則結(jié)合抽象函數(shù)定義域進行綜合命題。在復合函數(shù)定義域求解中，需牢記“內(nèi)層函數(shù)值域是外層函數(shù)定義域”的轉(zhuǎn)化原則，如已知f(2x-1)定義域為[1,3]，則內(nèi)層函數(shù)t=2x-1的值域[1,5]即為f(t)的定義域。二、基本初等函數(shù)圖像與性質(zhì)綜合應(yīng)用（一）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像變換指數(shù)函數(shù)y=a^x（a>0且a≠1）與對數(shù)函數(shù)y=log_ax（a>0且a≠1）作為高考高頻考點，需掌握其圖像特征與單調(diào)性規(guī)律。當a>1時，兩函數(shù)均為增函數(shù)；當0<a<1時，均為減函數(shù)。2024年浙江卷第8題通過圖像判斷參數(shù)a的取值范圍，考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像交點問題。在圖像變換中，需重點掌握平移變換（左加右減、上加下減）、對稱變換（關(guān)于y軸對稱、關(guān)于原點對稱）和翻折變換（絕對值對x軸或y軸的影響）。例如函數(shù)y=2^(x+1)-3是由y=2^x向左平移1個單位、向下平移3個單位得到，其對稱函數(shù)y=-2^(-x+1)+3則需結(jié)合關(guān)于原點對稱的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化。（二）冪函數(shù)圖像的分類討論冪函數(shù)y=x^α的圖像特征與指數(shù)α密切相關(guān)，高考常以選擇題形式考查不同冪函數(shù)圖像的識別。當α>0時，圖像過原點且在第一象限單調(diào)遞增，其中α>1時為下凸曲線（如y=x2），0<α<1時為上凸曲線（如y=√x）；當α<0時，圖像不過原點且在第一象限單調(diào)遞減（如y=x?1）。2023年新高考Ⅱ卷第7題通過四個冪函數(shù)圖像比較，考查了α取值與圖像形態(tài)的對應(yīng)關(guān)系。在實際解題中，可采用特殊點法（如x=1處函數(shù)值均為1）和極限思想（x→0?和x→+∞時的趨勢）進行快速判斷。三、函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判定技巧（一）單調(diào)性證明與應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性作為函數(shù)性質(zhì)的核心考點，在高考中常與不等式證明、參數(shù)范圍求解結(jié)合考查。定義法證明單調(diào)性的步驟為：取值—作差—變形—定號—結(jié)論，其中因式分解和配方是變形的關(guān)鍵技巧。導數(shù)法判定單調(diào)性需注意導函數(shù)的符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，尤其要關(guān)注導函數(shù)零點是否在定義域內(nèi)。2024年北京卷第19題結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性證明，考查了含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分類討論。復合函數(shù)單調(diào)性遵循“同增異減”原則，如y=log?(x2-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間，需先求定義域(?∞,0)∪(2,+∞)，再結(jié)合內(nèi)層函數(shù)t=x2-2x的單調(diào)性與外層對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷。（二）奇偶性判定與性質(zhì)應(yīng)用函數(shù)奇偶性的判定需首先驗證定義域是否關(guān)于原點對稱，這是易忽略的得分點。在高考命題中，奇偶性常與單調(diào)性、周期性結(jié)合考查抽象函數(shù)問題。奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)且f(0)=0（定義域含0時），偶函數(shù)滿足f(-x)=f(x)且圖像關(guān)于y軸對稱。2023年甲卷第14題利用奇偶性求函數(shù)值，而2024年天津卷第16題則結(jié)合周期性考查奇偶函數(shù)的圖像特征。對于分段函數(shù)的奇偶性判定，需分段驗證f(-x)與f(x)的關(guān)系，如函數(shù)f(x)在x>0時為x2+1，則x<0時需表示為f(-x)=(-x)2+1=x2+1=-f(x)，從而推出x<0時f(x)=-x2-1。四、函數(shù)圖像交點與方程解的綜合問題函數(shù)圖像交點個數(shù)問題本質(zhì)是方程解的個數(shù)問題，常通過數(shù)形結(jié)合思想求解。高考中多以壓軸選擇題或填空題形式出現(xiàn)，如2024年新高考Ⅰ卷第12題考查分段函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的交點個數(shù)，需要轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像在不同區(qū)間的交點情況。解決此類問題的關(guān)鍵步驟是：（1）等價轉(zhuǎn)化方程形式；（2）構(gòu)造兩個易畫圖像的函數(shù)；（3）通過圖像變換精確繪制函數(shù)圖像；（4）結(jié)合導數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性與極值，確定交點個數(shù)。例如方程2^x=x3的解的個數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為y=2^x與y=x3的圖像交點，通過計算x=1、x=8等處的函數(shù)值及導數(shù)判斷單調(diào)性，得出共有三個交點的結(jié)論。五、導數(shù)在函數(shù)圖像分析中的深度應(yīng)用（一）函數(shù)極值與最值的圖像特征導數(shù)作為研究函數(shù)圖像形態(tài)的重要工具，在高考中占據(jù)核心地位。函數(shù)f(x)的導數(shù)f’(x)的零點即為極值點，通過二階導數(shù)f''(x)的符號可判斷極值類型：f''(x?)>0時為極小值點，f''(x?)<0時為極大值點。2024年江蘇卷第20題結(jié)合導數(shù)研究三次函數(shù)圖像的零點個數(shù)，需要通過極值正負判斷函數(shù)圖像與x軸的交點情況。在最值求解中，需注意閉區(qū)間上函數(shù)最值可能在極值點或端點處取得，如函數(shù)f(x)=x3-3x在[0,2]上的最大值，需比較f(0)=0、f(1)=-2、f(2)=2，得出最大值為2的結(jié)論。（二）函數(shù)凹凸性與切線方程的綜合考查函數(shù)圖像的凹凸性由二階導數(shù)符號決定，f''(x)>0時圖像下凸，f''(x)<0時圖像上凸。高考中常結(jié)合切線方程考查函數(shù)圖像的局部特征，如2023年新高考Ⅰ卷第21題要求證明函數(shù)圖像上任意一點的切線不經(jīng)過某定點。求解切線方程需掌握導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導數(shù)值即為該點切線斜率。對于復合函數(shù)的切線問題，如求y=e^(sinx)在x=0處的切線方程，需先求導得y’=e^(sinx)·cosx，再計算x=0處的導數(shù)1，從而得到切線方程y=x+1。六、函數(shù)性質(zhì)在實際問題中的建模應(yīng)用函數(shù)建模問題在高考中常以應(yīng)用題形式出現(xiàn)，需要從實際情境中抽象出函數(shù)關(guān)系。2024年山東卷第22題考查了指數(shù)函數(shù)模型在人口增長問題中的應(yīng)用，而2023年浙江卷第19題則結(jié)合分段函數(shù)解決了成本優(yōu)化問題。解決此類問題的關(guān)鍵步驟包括：（1）分析實際問題中的變量關(guān)系；（2）選擇合適的函數(shù)模型（一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）；（3）根據(jù)已知條件確定函數(shù)解析式；（4）利用函數(shù)性質(zhì)解決實際問題。在模型選擇時，需注意指數(shù)函數(shù)增長速度快于冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù)增長速度最慢，如描述細胞分裂可用指數(shù)函數(shù)模型，而描述學習曲線則常用對數(shù)函數(shù)模型。七、高頻易錯點警示與應(yīng)試技巧（一）易混淆概念辨析高考中常見的函數(shù)易錯點包括：定義域優(yōu)先原則的忽視、單調(diào)區(qū)間表示不規(guī)范（多個區(qū)間用“和”連接而非“∪”）、極值與最值概念混淆、導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系理解偏差（導函數(shù)為正僅是單調(diào)遞增的充分不必要條件）。例如“函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增”與“函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,b)”是完全不同的表述，后者要求區(qū)間外不再有遞增部分。（二）解題規(guī)范性要求在解答題書寫中，需注意：定義域必須在解答開始明確寫出；用導數(shù)求單調(diào)性時需列表說明導數(shù)符號變化；證明函數(shù)零點存在需結(jié)合零點存在定理并說明單調(diào)性；參數(shù)討論時需明確分類標準。2024年高考評分標準顯示，因解題步驟不完整導致的失分占比達15%，特別是在單調(diào)性證明和極值求解過程中，缺少關(guān)鍵推理步驟會被酌情扣分。八、高考命題趨勢與備考建議通過分析近五年高考試題，函數(shù)模塊呈現(xiàn)以下命題趨勢：基礎(chǔ)題側(cè)重定義域、單調(diào)性、奇偶性的概念辨析；中檔題注重函數(shù)圖像變換與性質(zhì)綜合應(yīng)用；壓軸題則多以導數(shù)為工具，結(jié)合不等式證明、函數(shù)零點等進行深度考查。備考中建議：（1）強化圖像直觀認知，每天進行10分鐘函數(shù)圖像速畫訓練；（2）構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，整理指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)對比表；（3）針對復合函數(shù)、分段函數(shù)等難點題型進行專項突破；（4）積累含參問題分類討論的解題經(jīng)驗，總結(jié)常見分類標準。在高三下學期復習中，需特別關(guān)注函數(shù)與導數(shù)的