1、一個(gè)六位數(shù)，假如它的前三位數(shù)碼與后三位數(shù)碼完全相同，依次也相同，由此六位數(shù)

可以被()整除。

A.IllB.1000C.1001D.1111

解：依題意設(shè)六位數(shù)為abcahc,則abcabc=aX10'+bX10'+cXlO'+a

X102+bX10+c=aX102(103+l)+bX10(103+l)+c(103+l)

=(aX103+bX10+c)(103+l)=1001(aX103+bX10+c),而

aX10：'+bX10+c是整數(shù)，所以能被1001整除。故選C

方法二：代入法

2、若S=———J------廠，則S的整數(shù)部分是

----1----+......

198019812001

解：因1981、1982……2001均大于1980,所以S〉一「=儂=9(),

22x-L22

1980

又1980、1981……2000均小于2001,所以S<——-——=幽=90—,

22x-L2222

2001

從而知S的整數(shù)部分為90o

3、設(shè)有編號(hào)為1、2、3……100的100盞電燈，各有接線開(kāi)關(guān)限制著，

起先時(shí)，它們都是關(guān)閉狀態(tài)，現(xiàn)有100個(gè)學(xué)生，第1個(gè)學(xué)生進(jìn)來(lái)時(shí)，

凡號(hào)碼是1的倍數(shù)的開(kāi)關(guān)拉了一下，接著其次個(gè)學(xué)生進(jìn)來(lái)，由號(hào)碼是

2的倍數(shù)的開(kāi)關(guān)拉一下，第n個(gè)(n^lOO)學(xué)生進(jìn)來(lái)，凡號(hào)碼是n的

倍數(shù)的開(kāi)關(guān)拉一下，如此下去，最終一個(gè)學(xué)生進(jìn)來(lái)，把編號(hào)能被100

整除的電燈上的開(kāi)關(guān)拉了一下，這樣做過(guò)之后，請(qǐng)問(wèn)哪些燈還亮著。

解：首先，電燈編號(hào)有幾個(gè)正約數(shù)，它的開(kāi)關(guān)就會(huì)被拉幾次，由于一起

先電燈是關(guān)的，所以只有那些被拉過(guò)奇數(shù)次的燈才是亮的，因?yàn)橹?/p>

有平方數(shù)才有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，所以那些編號(hào)為1、2\3\4\5\6\

7\8\92、IO?共io盞燈是亮的。

4、某商店經(jīng)銷一批襯衣，進(jìn)價(jià)為每件m元，零售價(jià)比進(jìn)價(jià)高aM后因

市場(chǎng)的改變，該店把零售價(jià)調(diào)整為原來(lái)零售價(jià)的b%出售，則調(diào)價(jià)后

每件襯衣的零售價(jià)是

(

)

A.m(l+a%)(l-b%)元B.元

C.m(l+a%)b%jED.m(l+a%b%)元

解：依據(jù)題意，這批襯衣的零售價(jià)為每件ni(1+a%)元，因調(diào)整后的零

售價(jià)為原零售價(jià)的b隊(duì)所以調(diào)價(jià)后每件襯衣的零售價(jià)為m(1+a%)

b%元。

應(yīng)選C

5、假如a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且a+b+c=0,則，_+上+上+加。的全

Ia|\b\|c\|abc\

部可能的值為（）

A.0B.1或-1C.2或-2D.0或-2

解：由已知，a,b,c為兩正一負(fù)或兩負(fù)一正。

①當(dāng)a,b,c為兩正一負(fù)時(shí)：

ahc1abci匚匚2ahcahc八

一+——+一—=一1所以一+—+—+-----=0;

kl\b\|c|Iabc||。|\b\\c\|abc|

②當(dāng)a,b,c為兩負(fù)一正時(shí):

bc,abc，匚c、iQbcahc八

+——+——=-l,------=1所以——+——+—+-----=0

|b||c\|abc||a\\b\\c\\abc\

由①②知於備言焉全部可能的值為°。

應(yīng)選A

6、在aABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若NB=60°,則

的值為

a+bc+b

()

A.1B.近

22

C.1D.V2

解：過(guò)A點(diǎn)作ADJLCD于D,在RtaBDA中，則于NB=60°,所以DB=

AD=—Co在RtAADC中，DC?=AC2—AD?,所以有(a—C)2

222

=b2-C2,整理得a2+c2=b2+ac,從而有

4

c2+cb+a2+ab_a2+c2+ab+bc

----------1----------

a+bc+b(a+b)(c+b)ac+ab+l)c+b~

應(yīng)選C

7、設(shè)aVbVO,a2+b2=4ab,則*的值為

a-b

()

A.V3B.V6C.2D.3

解：因?yàn)?a+b)、6ab,(a-b)2=2ab,由于a<b<0,得

a+b=-J6ab,a-h=72ab，故"+"=75o

a-h

應(yīng)選A

8.已矢口a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,則多項(xiàng)式

a2+b2+c2-ab-bc-ca的值為

()

A.0B.1C.2D.3

解:*/a2+b2+c2-ab-be-ca=-[(a-b)2+(b-c)2+(c-tz)2],

2

又。一〃二-1,/?-c=-Lc-a=2

...原式」[(_1)2+(_I)2+22]=3

9、已知abcWO,且a+b+c=O,則代數(shù)式《+貯+J的值是

becaab

()

A.3B.2C.1D.0

解：原式=一（b+c）.。+_（。+。）電+_3+力＞。

heacab

,aa、,bb、,cc、

=-(7+-)-(-+-)~(_+7)

bcacab

abcr

=—+—+—=3

abc

10、某商品的標(biāo)價(jià)比成本高p%,當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧損成本,

售價(jià)的折扣（即降價(jià)的百分?jǐn)?shù)）不得超過(guò)d%,則d可用p表示為—

解：設(shè)該商品的成本為a,則有a（l+p%）（『d%）=a,解得d=3-

100+p

11＞已知實(shí)數(shù)z、y、z滿意x+y=5與z2=xy+y-9,則

x+2y+3z=_______________

解：由已知條件知（x+1）+y=6,（x+1）?y=z"+9,所以x+1,y是

t?—6t+z2+9=0的兩個(gè)實(shí)根，方程有實(shí)數(shù)解,則/\=（-6）2-4（Z2

+9）=-4Z2^0,從而知Z=0,解方程得X+1=3,y=3o所以x+2y+3z

=8

12.氣象愛(ài)好者孔宗明同學(xué)在x（x為正整數(shù)）天中視察到：①有7個(gè)是

雨天；②有5個(gè)下午是晴天；③有6個(gè)上午是晴天；④當(dāng)下午下雨

時(shí)上午是晴天。則x等于（）

A.7B.8C.9D.10

選C。設(shè)全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天

晴d天。由題可得關(guān)系式①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②+

③一④得2d-a=4,即d=2,故b=4,c=3,于x=a+b+c+d=9。

13、有編號(hào)為①、②、③、④的四條賽艇，其速度依次為每小時(shí)匕、匕、

匕、七千米，且滿意匕＞%＞匕＞j＞0,其中，以為河流的水流速

度（千米/小時(shí)），它們?cè)诤恿髦羞M(jìn)行追逐賽規(guī)則如下：（1）匹條艇在

同一起跑線上，同時(shí)動(dòng)身，①、②、③是逆流而上，④號(hào)艇順流而下。

（2）經(jīng)過(guò)1小時(shí)，①、②、③同時(shí)掉頭，追逐④號(hào)艇，誰(shuí)先追上④

號(hào)艇誰(shuí)為冠軍，問(wèn)冠軍為兒號(hào)？

23：動(dòng)身1小時(shí)后，①、②、③號(hào)艇與④號(hào)艇的距離分別為

Si=［（匕一口水）+（珠+匕）］x1=匕+v4

各艇追上④號(hào)艇的時(shí)間為

t.=匕+匕=匕+.=］+2一

'（匕十%）一"水+L）匕一匕匕一?

對(duì)匕＞%＞匕＞&有。＜%＜%，即①號(hào)艇追上④號(hào)艇用的時(shí)間最

小，①號(hào)是冠軍。

14.有一水池，池底有泉水不斷涌出，要將滿池的水抽干，用12臺(tái)水泵

需5小時(shí)，用10臺(tái)水泵需7小時(shí)，若要在2小時(shí)內(nèi)抽干，至少需水泵

幾臺(tái)？

解：設(shè)起先抽水時(shí)滿池水的量為一泉水每小時(shí)涌出的水量為y，水泵

每小時(shí)抽水量為z,2小時(shí)抽干滿池水需n臺(tái)水泵，則

x+5y=5xl2z①

<x+7y=7x10z②

x+2y<2nz③

由①②得卜一%z,代入③得：35Z+10Z42〃Z

y=5z

???/7222,，故n的最小整數(shù)值為23。

2

答：要在2小時(shí)內(nèi)抽干滿池水，至少須要水泵23臺(tái)

15.某賓館一層客房比二層客房少5間，某旅游團(tuán)48人，若全支配在第

一層，每間4人，房間不夠，每間5人，則有房間住不滿；若全支

配在其次層，每3人，房間不夠，每間住4人，則有房間住不滿，

該賓館一層有客房多少間？

解：設(shè)第一層有客房工間，則其次層有(%+5)間，由題可得

4%<48<5%①

3(x+5)<48<40+5)②

,4x<48口口3

由①得：\，即93cx<12

48<5x5

上不，曰[3(x+5)<48

由②得：\，即nn7Vx<11

48<4(.r+5)

???原不等式組的解集為93Vx<11

.??整數(shù)x的值為x=10。

答：一層有客房10間。

16、某生產(chǎn)小組開(kāi)展勞動(dòng)競(jìng)賽后，每人一天多做10個(gè)零件，這樣8個(gè)

人一天做的零件超過(guò)200個(gè)，后來(lái)改進(jìn)技術(shù)，每人一天又多做27個(gè)零

，‘牛，這樣他們4個(gè)人一天所做零件就超過(guò)勞動(dòng)競(jìng)賽中8個(gè)人做的零件，

問(wèn)他們改進(jìn)技術(shù)后的生產(chǎn)效率是勞動(dòng)競(jìng)賽前的幾倍？

解：設(shè)勞動(dòng)競(jìng)賽前每人一天做X個(gè)零件

由題意性+1。)>20。

14(x+l()+27)>8(x+10)

解得15Vx<17

??、是整數(shù)???x=16

(16+37)^-16^3.3

故改進(jìn)技術(shù)后的生產(chǎn)效率是勞動(dòng)競(jìng)賽前的3.3倍。

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練(5)

（方程應(yīng)用）

一、選擇題：

1、甲乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)動(dòng)身，相背而行1小時(shí)后他們分別到達(dá)各

自的終點(diǎn)A與B,若仍從原地動(dòng)身，互換彼此的目的地，則甲在乙到

達(dá)A之后35分鐘到達(dá)B,甲乙的速度之比為（）

A.3：5B.4：3C.4：5D.3：4

2、某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品，每件獲利潤(rùn)8

元，每提高一個(gè)檔次，每件產(chǎn)品利潤(rùn)增加2元，用同樣工時(shí)，最低

檔次產(chǎn)品每天可生產(chǎn)60件，提高一個(gè)檔次將削減3件，假如獲利潤(rùn)

最大的產(chǎn)品是第R檔次（最低檔次為第一檔次，檔次依次隨質(zhì)量增

加），則R等于（）

A.5B.7C.9D.10

3、某商店出售某種商品每件可獲利m元，利潤(rùn)為20%（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）,

進(jìn)價(jià)

若這種商品的進(jìn)價(jià)提高25%,而商店將這種商品的售價(jià)提高到每件仍

可獲利m元，則提價(jià)后的利潤(rùn)率為

（）

A.25%B.20%C.16%D.12.5%

4、某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)需a天完成，在甲做了c（c<a）天后，剩下工作

由乙單獨(dú)完成還需b天，若起先就由甲乙兩人共同合作，則完成任

務(wù)需（）天

A.cB.abC.。+b-cD.be

a-t-ba4-b—c2a+h+c

5、A、B、C三個(gè)足球隊(duì)實(shí)行循環(huán)競(jìng)賽，下表給出部分競(jìng)賽結(jié)果:

競(jìng)賽場(chǎng)

球隊(duì)勝負(fù)平進(jìn)球數(shù)失球數(shù)

次

A22場(chǎng)1

B21場(chǎng)24

C237

則：A、B兩隊(duì)競(jìng)賽時(shí)，A隊(duì)與B隊(duì)進(jìn)球數(shù)之比為

()

A.2：0B.3：1C.2：1D.0：2

6、甲乙兩輛汽車進(jìn)行千米競(jìng)賽，當(dāng)甲車到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，乙車距終點(diǎn)還有a

千米(0<a<50)現(xiàn)將甲車起跑處從原點(diǎn)后移a千米，重新起先競(jìng)

賽，則競(jìng)賽的結(jié)果是()

A.甲先到達(dá)終點(diǎn)B.乙先到達(dá)終點(diǎn)

C.甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)D.確定誰(shuí)先到與a值無(wú)關(guān)

7、一只小船順流航行在甲、乙兩個(gè)碼頭之間需a小時(shí)，逆流航行這段

路程需b小時(shí)，則一木塊順?biāo)鬟@段路需()小時(shí)

A辿B.辿C.qI),金

a-bb-aa-bb-a

8、A的年齡比B與C的年齡和大16,A的年齡的平方比B與C的年齡和

的平方大1632,則A、B、C的年齡之和是

()

A.210B.201C.102D.120

二、填空題

1、甲乙兩廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，都支配把全年的產(chǎn)品銷往濟(jì)南，這樣兩

廠的產(chǎn)品就能占有濟(jì)南市場(chǎng)同類產(chǎn)品的工，然而實(shí)際狀況并不志向，

4

甲廠僅有工的產(chǎn)品，乙廠僅有」的產(chǎn)品鐺到了濟(jì)南，兩廠的產(chǎn)品僅占

23

了濟(jì)南市場(chǎng)同類產(chǎn)品的,，則甲廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量與乙廠該產(chǎn)品的年

3

產(chǎn)量的比為_(kāi)______________

2、假期學(xué)校組織360名師生外出旅游，某客車出租公司有兩種大客車

可供選擇，甲種客車每輛有40個(gè)座位，租金400元；乙種客車每輛

有50個(gè)座位，租金480元，則租用該公司客車最少需用租金______

____元。

3、時(shí)鐘在四點(diǎn)與五點(diǎn)之間，在時(shí)刻(時(shí)針與分針)在

同一條直線上？

4、為民房產(chǎn)公司把一套房子以標(biāo)價(jià)的九五折出售給錢先生，錢先生在

三年后再以超出房子原來(lái)標(biāo)價(jià)60%的價(jià)格把房子轉(zhuǎn)讓給金先生，考慮

到三年來(lái)物價(jià)的總漲幅為40%,則錢先生事實(shí)上按%的利

率獲得了利潤(rùn)（精確到一位小數(shù)）

5、甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員在長(zhǎng)100米的游泳池兩邊同時(shí)起先相向游泳，甲游

100米要72秒，乙游100米要60秒，略去轉(zhuǎn)身時(shí)間不計(jì)，在12分

鐘內(nèi)二人相遇次。

6、已知甲、乙、丙三人的年齡都是正整數(shù)，甲的年齡是乙的兩倍，乙

比丙小7歲，三人的年齡之和是小于70的質(zhì)數(shù)，且質(zhì)數(shù)的各位數(shù)字

之和為13,則甲、乙、丙三人的年齡分別是

三、解答題

1、某項(xiàng)工程，假如由甲乙兩隊(duì)承包，22天完成，需付180000元；由乙、

丙兩隊(duì)承包，3,天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包，2。天

47

完成，需付160000元，現(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完

成的前提下，哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用最少？

2、甲、乙兩汽車零售商（以下分別簡(jiǎn)稱甲、乙）向某品牌汽車生產(chǎn)廠

訂購(gòu)一批汽車，甲起先定購(gòu)的汽車數(shù)量是乙所訂購(gòu)數(shù)量的3倍，后

來(lái)由于某種緣由，甲從其所訂的汽車中轉(zhuǎn)讓給乙6輛，在提車時(shí)，

生產(chǎn)廠所供應(yīng)的汽車比甲、乙所訂購(gòu)的總數(shù)少了6輛，最終甲所購(gòu)

汽車的數(shù)量是乙所購(gòu)的2倍，試問(wèn)甲、乙最終所購(gòu)得的汽車總數(shù)最

多是多少量？最少是多少輛?

3、8個(gè)人乘速度相同的兩輛小汽車同時(shí)趕往火車站，每輛車乘4人（不

包括司機(jī)），其中一輛小汽車在距離火車站15km的地方出現(xiàn)故障，

此時(shí)距停止檢票的時(shí)間還有42分鐘。這時(shí)惟一可利用的交通工具是

另一輛小汽車，已知包括司機(jī)在內(nèi)這輛車限乘5人，且這輛車的平

均速度是60km/h,人步行的平均速度是5km/ho試設(shè)計(jì)兩種方案，

通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這8個(gè)人能夠在停止檢票前趕到火車站。

4、某鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)到縣城參觀，規(guī)定汽車從縣城動(dòng)身于上午7時(shí)到達(dá)學(xué)

校，接參觀的師生馬上動(dòng)身到縣城，由于汽車在赴校途中發(fā)生了故障，

不得不停車修理，學(xué)校師生等到7時(shí)10分仍未見(jiàn)汽車來(lái)接，就步行走

向縣城，在行進(jìn)途中遇到了已修理好的汽車，馬上上車趕赴縣城，結(jié)果

比原來(lái)到達(dá)縣城的時(shí)間晚了半小時(shí)，假如汽車的速度是步行速度的6倍,

問(wèn)汽車在途中解除故障花了多少時(shí)間？

數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（5）方程應(yīng)用參考答案

一、選擇題

1、Do解：設(shè)甲的速度為匕千米/時(shí)，乙的速度為嗎千米/時(shí)，依據(jù)題

意知，從動(dòng)身地點(diǎn)到A的路程為匕千米，到B的路程為叱千米，從

而有方程:

七』=史，化簡(jiǎn)得12（工）2+7（工）一12=0,解得工=3（'=—3不

匕彩60v2v2v24v23

合題意舍去）。應(yīng)選D。

2、Co解：第k檔次產(chǎn)品比最低檔次產(chǎn)品提高了（k-1）個(gè)檔次，所

以每天利潤(rùn)為

），=[60—3（%—1）][8+2（攵-1）]

=—6比―9）2+864

所以，生產(chǎn)第9檔次產(chǎn)品獲利潤(rùn)最大，每天獲利864元。

3、Co解：若這商品原來(lái)進(jìn)價(jià)為每件a元，提價(jià)后的利潤(rùn)率為X%,

則:二；胃⑹“/。解這個(gè)方程組'得a?即提價(jià)后的利潤(rùn)率

為16%o

4、Bo解：設(shè)甲乙合作用工天完成。

1，

由題意：d+j）x=l,解得x故選B。

aba+b-c

5、Ao解：A與B競(jìng)賽時(shí)，A勝2場(chǎng)，B勝0場(chǎng)，A與B的比為2：0。就

選Ao

6、Ao解：設(shè)從起點(diǎn)到終點(diǎn)S千米，甲走（s+a）千米時(shí)，乙走x千米

/、/、（$-。）（$+。）a2

S：（S—。）=（S+。）：犬/.X=----------------=s------

ss

c2〃2

va2>05>0一>0s-----<s即甲走（s+a）千米時(shí),

as

2

乙走（s-幺）千米。甲先到。故選心

7、Bo解：設(shè)小船自身在靜水中的速度為v千米/時(shí)，水流速度為x千

米/時(shí)，甲乙之間的距離為S千米，于是有u+x=u—x=?求得

ab

x也所以建邊。

2abxb-a

8、Co解：設(shè)A、B、C各人的年齡為A、B、C,則八=1^3+16①

A2=(B+C)2+1632②由②可得(A+B+C)(A—B—C)=1632③,

由①得A—B—C=16④，①代入③可求得A+B+C=102

二、填空題

K2：lo解甲廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為工,乙廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為)，0

則：J+：=，解得x=2y/.x:y=2:1

-x+-y

233

2、3520o解：因?yàn)?輛甲種客車可以乘坐360人，故最多須要9輛客

車；又因?yàn)?輛乙種客車只能乘坐350人，故最多須要8輛客車。

①當(dāng)用9輛客車時(shí)，明顯用9輛甲種客車需用租金最少，為400X9

=3600元；

②當(dāng)用8輛客車時(shí)，因?yàn)?輛甲種客車，1輛乙種客車只能乘坐40X

7+50=330人，而6輛甲種客車，2輛乙種客車只能乘坐40X6+50

X2=340人，5輛甲種客車，3輛乙種客車只能乘坐40X5+50X3

=350人,4輛甲種客車，4輛乙種客車只能乘坐40X4+50X4=360

人，所以用8輛客車時(shí)最少要用4輛乙種客車，明顯用4輛甲種客

車，4輛乙種客車時(shí)需用租金最少為400X4+480X4=3520元。

3、4點(diǎn)212分或4點(diǎn)549分時(shí)，兩針在同始終線上。

1111

解：設(shè)四點(diǎn)過(guò)x分后，兩針在同始終線上，

若兩針重合，則6x=120+'x,求得尤=212分，

211

若兩針成180度角，則6x=120+,x+180,求得x=549分c

211

所以在4點(diǎn)212分或4點(diǎn)54色分時(shí)，兩針在同始終線上。

1111

4、20.3o解：錢先生購(gòu)房開(kāi)支為標(biāo)價(jià)的95%,考慮到物價(jià)上漲因素，錢

先生轉(zhuǎn)讓房子的利率為?+60%—-1=—-1。0.203=20.3%

95%(1+40%)0.95x1.4

5、共11次。

6、30歲、15歲、22歲。

解：設(shè)甲、乙、丙的年齡分別為x歲、y歲、z歲，則

x=2y①

?y=z-1②

x+y+z<70且x+y+z為質(zhì)數(shù)③

明顯x+y+z是兩位數(shù)，而13=4+9=5+8=6+7

???x+y+z只能等于67④。由①②④三式構(gòu)成的方程組，得x=30,

y=15,z=22o

三、解答題

1、設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需x、y、z天完成，

—1I—I=—5

xy12

，x=44

貝|J.J_+=_1_解得,y=6

yz15

）z=10

—1I—1=7—

zx20

再設(shè)甲、乙、內(nèi)單獨(dú)工作一天，各需〃、八w元,

/(〃+y)=180000

u=45500

解得卜=

則y(v+vv)=150000,29500

w=1050()

y(w+w)=160000

于是，甲隊(duì)單獨(dú)承包費(fèi)用是45500X4=182000（元），由乙隊(duì)單獨(dú)承

包費(fèi)用是29500X6=177000（元），而丙不能在一周內(nèi)完成，所以,

乙隊(duì)承包費(fèi)最少。

2、解：設(shè)甲、乙最終所購(gòu)得的汽車總數(shù)為x輛，在生產(chǎn)廠最終少供的6

輛車中，甲少要了丁輛（0w），w6）,乙少要了（6-y）輛，則有

31

-（x+6）-6-y=2[-（x+6）+6-（6-y）],整理后得x=18+12y。

44.

當(dāng)），=6時(shí)，工最大，為90；當(dāng)y=0時(shí)，x最小為18。

所以甲、乙購(gòu)得的汽車總數(shù)至多為90輛，至少為18輛。

3、解：［方案一］:當(dāng)小汽車出現(xiàn)故障時(shí)，乘這輛車的4個(gè)人下車步行,

另一輛車將車內(nèi)的4個(gè)人送到火車站，馬上返回接步行的4個(gè)人到

火車站。

設(shè)乘出現(xiàn)故障汽車的4個(gè)人步行的距離為此相，依據(jù)題意，有

■x-I15+15-xI

5-60

解得*=型，因此這8個(gè)人全部到火車站所需時(shí)間為

13

故此方案可行。

［方案二］:當(dāng)小汽車出現(xiàn)故障時(shí)，乘這輛車的4個(gè)人下車步行，另

一輛車將車內(nèi)的4個(gè)人送到某地方后，讓他們下車步行，再馬上返

回接出故障汽車而步行的另外4個(gè)人，使得兩批人員最終同時(shí)到達(dá)

車站。

分析此方案可知，兩批人員步行的距離相同，如圖所示，D為無(wú)故障

汽車人員下車地點(diǎn)，C為有故障汽車人員上車地點(diǎn)。因此，設(shè)AC=

BD=y,有

上=15-）*5—2.v解得）,=2。因此這8個(gè)人同時(shí)到火車站所需時(shí)間為

560

2+土工二衛(wèi)（小時(shí)）=37（分鐘）＜42（分鐘），故此方案可行。

56060

ACDB

故障點(diǎn)火車站

4、解：假定解除故障花時(shí)x分鐘，如圖設(shè)點(diǎn)A為縣城所在地，點(diǎn),C為學(xué)

校所在地，點(diǎn)B為師生途中與汽車相遇之處。在師生們晚到縣城的

30分鐘中，有10分鐘是因晚動(dòng)身造成的，還有20分鐘是由于從C

到B步行代替乘車而耽擱的，汽車所晚的30分鐘，一方面是由于解

除故障耽擱了九分鐘，但另一方面由于少跑了B到C之間的一個(gè)來(lái)回

而省下了一些時(shí)間，已知汽車速度是步行速度的6倍，而步行比汽車

從C到B這段距離要多花20分鐘，由此汽車由C至B應(yīng)花生=4（分

6-1

鐘），一個(gè)來(lái)回省下8分鐘，所以有1-8=30x=38即汽車在途中

解除故障花了38分鐘。

ABC

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（7）

（邏輯推理）

一、選擇題：

1、世界杯足球賽小組賽，每個(gè)小組4個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)競(jìng)賽，每場(chǎng)競(jìng)賽勝

隊(duì)得3分，敗隊(duì)得0分，平局時(shí)兩隊(duì)各得1分，小組賽完以后，總積

分最高的兩個(gè)隊(duì)出線進(jìn)入下輪競(jìng)賽，假如總積分相同，還要按凈勝球

排序，一個(gè)隊(duì)要保證出線，這個(gè)隊(duì)至少要積

()

A.6分B.7分C.8分D.9分

2、甲、乙、丙三人競(jìng)賽象棋，每局競(jìng)賽后，若是和棋，則這兩個(gè)人接著

競(jìng)賽，直到分出輸贏，負(fù)者退下，由另一個(gè)與勝者競(jìng)賽，競(jìng)賽若干局

后，甲勝4局，負(fù)2局；乙勝3局，負(fù)3局，假如丙負(fù)3局，則丙勝

()

A.0局B.1局C.2局D.3局

3、已知四邊形ABCD從下列條件中①AB〃CD②BC〃AI)③AB=CI)④

BC=AD⑤NA=NC⑥NB=ND,任取其中兩個(gè)，可以得出“四邊

形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的狀況有

()

A.4種B.9種C.13種D.15種

4、某校初三兩個(gè)畢業(yè)班的學(xué)生和老師共100人，一起在臺(tái)階上拍畢業(yè)照

留念，攝影師要將其排列成前多后少的梯形陣(排數(shù)23),且要求各

行的人數(shù)必需是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一排

兩人間的空檔處，則滿意上述要求的排法的方案有

()

A.1種B.2種C.4種D.0種

5、正整數(shù)n小于100,并且滿意等式圖+圖+囿=〃，其中國(guó)表示不

超過(guò)x的最大整數(shù)，這樣的正整數(shù)n有（）個(gè)

A.2B.3C.12D.16

6、周末晚會(huì)上，師生共有20人參與跳舞，其中方老師和7個(gè)學(xué)生跳舞,

張老師和8個(gè)學(xué)生跳舞……依次下去，始終到何老師，他和參與跳舞

的全部學(xué)生跳過(guò)舞，這個(gè)晚會(huì)上參與跳舞的學(xué)生人數(shù)是

（）

A.15B.14C.13D.12八

7、如圖某三角形展覽館由25個(gè)正三角形展室組成，每?jī)?W\

個(gè)相鄰展室（指有公共邊的小三角形）都有門相通，若

某參觀者不愿返回已參觀過(guò)的展室（通過(guò)每個(gè)房間至少一次），則他

至多能參觀（）個(gè)展室。

A.23B.22C.21D.20

8、一副撲克牌有4種花色，每種花色有13張，從中隨意抽牌，最小要

抽（）張才能保證有4張牌是同一花色的。

A.12B.13C.14D.15

二、填空題：

1、視察下列圖形:

④

①②③

依據(jù)①②③的規(guī)律，圖④中三角形個(gè)數(shù)

2、有兩副撲克牌，每副牌的排列依次是：第一張是大王，其次張是小王，

然后是黑桃、紅桃、方塊、梅花四種花色排列，每種花花色的牌又按

A,1,2,3,……J,Q,K的依次排列，某人把按上述排列的兩副撲

克牌上下疊放在一起，然后從上到下把第一張丟掉，把其次張放在最

底層，再把第三張丟掉，把第四張放在最底層，……如此下去，直到

最終只剩下一張牌，則所剩的這張牌是

3、用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個(gè)數(shù)字一共可組成

個(gè)能被5整除的三位數(shù)

4、將7個(gè)小球分別放入3個(gè)盒子里，允許有的盒子空著不放，試問(wèn)有—

種不同放法。

5、有1997個(gè)負(fù)號(hào)“一”排成一行，甲乙輪番改“一”為正號(hào)“+”，每

次只準(zhǔn)畫一個(gè)或相鄰的兩個(gè)“一”為“+”，先畫完“一”使對(duì)方無(wú)

法再畫為勝，現(xiàn)規(guī)定甲先畫，則其必勝的策略是

6、有100個(gè)人，其中至少有1人說(shuō)假話，又知這100人里隨意2人總有

個(gè)說(shuō)真話，則說(shuō)真話的有人。

三、解答題

1、今有長(zhǎng)度分別為1、2、3、……、9的線段各一條，可用多少種不同

的方法從中選用若干條組成正方形？

2、某校派出學(xué)生204人上山植樹(shù)15301株，其中最少一人植樹(shù)50株，

最多一人植樹(shù)100株，證明至少有5人植樹(shù)的株數(shù)相同。

3、袋中裝有2002個(gè)彈子，張偉和王華輪番每次可取1,2或3個(gè)，規(guī)定

誰(shuí)能最終取完彈子誰(shuí)就獲勝，現(xiàn)由王華先取，問(wèn)哪個(gè)獲勝？他該怎樣

玩這場(chǎng)嬉戲？

4、有17個(gè)科學(xué)家，他們中的每一個(gè)都和其他的科學(xué)家通信，在他們的

通信中僅僅探討三個(gè)問(wèn)題，每一對(duì)科學(xué)家相互通信時(shí)，僅僅探討同一

個(gè)問(wèn)題。證明至少有三個(gè)科學(xué)家關(guān)于同一個(gè)題目相互通信

數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（7）邏輯推理參考答案

一、選擇題

1、答B(yǎng)。解：4個(gè)隊(duì)單循環(huán)競(jìng)賽共競(jìng)賽6場(chǎng)，每場(chǎng)競(jìng)賽后兩隊(duì)得分之和

或?yàn)?分（即打平），或?yàn)?分（有輸贏），所以6場(chǎng)后各隊(duì)的得分之

和不超過(guò)18分，若一個(gè)隊(duì)得7分，剩下的3個(gè)隊(duì)得分之和不超過(guò)11

分，不行能有兩個(gè)隊(duì)得分之和大于或等于7分,所以這個(gè)隊(duì)必定出線,

假如一個(gè)隊(duì)得6分，則有可能還有兩個(gè)隊(duì)均得6分，而凈勝球比該隊(duì)

多，該隊(duì)仍不能出線。應(yīng)選瓦

2、答B(yǎng)。解有人勝一局，便有人負(fù)一局，已知總負(fù)局?jǐn)?shù)為2+3+3=8,

而甲、乙勝局?jǐn)?shù)為4+3=7,故丙勝局?jǐn)?shù)為8-7=1,應(yīng)選B。

3、答B(yǎng)。解：共有15種搭配。①和②③和④⑤和⑥①和③②

和④①和⑤①和⑥②和⑤②和⑥能得出四邊形ABCD

是平行四邊形。

①和④②和③③和⑤③和⑥④和⑤④和⑥不能得出四

邊形ABCD是平行四邊形。應(yīng)選B。

4、答B(yǎng)。解:設(shè)最終一排k個(gè)人,共n排，各排人數(shù)為k,k+1,k+2……

k+（n-l）o由題意必+"（〃T）=100,即〃［2%+（〃-1）］=200,因k、n

2

都是正整數(shù),且n23,所以〃<2攵+（〃-1）,且n與2攵+（〃-1）的奇偶

性相同，將200分解質(zhì)因數(shù)可知n=5或n=8,當(dāng)n=5時(shí)，k=18,當(dāng)

n=8時(shí)，，k=9,共有兩種方案。應(yīng)選B。

5、答D。解：由"+?+"=〃，以與若x不是整數(shù)，則［x］<x知，2|n,

236

31n,61n,即n是6的倍數(shù),因此小于100的這樣的正整數(shù)有［華］=16

個(gè)。應(yīng)選D。

6、答C。解設(shè)參與跳舞的老師有x人，則第一個(gè)是方老師和（6+1）個(gè)

學(xué)生跳過(guò)舞；其次是張老師和（612）個(gè)學(xué)生跳過(guò)舞；第三個(gè)是王老

師和（6+3）個(gè)學(xué)生跳過(guò)舞……第x個(gè)是何老師和（6+x）個(gè)學(xué)生跳過(guò)

舞，所以有x+（6+x）=20,???x=7,20-7=13o故選C。

7、答C。解：如圖對(duì)展室作黑白相間染色，得10個(gè)白室，15個(gè)黑室，

按要求不返回參觀過(guò)的展室，因此，參觀時(shí)必定是從黑室到白室或從

白室到黑室（不會(huì)出現(xiàn)從黑到黑，或從白到白），由于白室只有10個(gè),

為使參觀的展室最多，只能從黑室起先，順次經(jīng)過(guò)全部的白室，最終

到達(dá)黑室，所以，至多能參觀到21個(gè)展室。選C。

8、選B。解：4種花色相當(dāng)于4個(gè)抽屜，設(shè)最少耍抽x張撲克，問(wèn)題相

當(dāng)于把x張撲克放進(jìn)4個(gè)抽屜，至少有4張牌在同一個(gè)抽屜，有x=3

X4+l=13o故選B。

二、填空題

1、解：依據(jù)圖中①、②、③的規(guī)律，可知圖④中的三角形的個(gè)數(shù)為1+4+3

X4+32X4+3'X4=1+4+12+36+108=161（個(gè)）

2、解：依據(jù)題意，假如撲克牌的張數(shù)為2、2\2二……2n,則依照上

述操作方法，剩下的一張牌就是這些牌的最終一張，例如：手中只有

64張牌，依照上述操作方法，最終只剩下第64張牌，現(xiàn)在手中有108

張牌，多出108-64=44（張），假如依照上述操作方法，先丟掉44

張牌，則此時(shí)手中恰有64張牌，而原來(lái)依次的第88張牌恰好放在手

中牌的最底層，這樣，再接著進(jìn)行丟、留的操作，最終剩下的就是原

依次的第88張牌，依據(jù)兩副撲克牌的花色排列依次88-54-2-26=6,

所剩的最終一張牌是其次副牌中的方塊6。

3、解：百位上的數(shù)共有9個(gè)，十位上的數(shù)共有10個(gè)，個(gè)位上的數(shù)共有

2個(gè)，因此全部的三位數(shù)共9X10X2=180。

4、解：設(shè)放在三個(gè)盒子里的球數(shù)分別為八y、z,球無(wú)區(qū)分，盒子無(wú)

區(qū)分，故可令在”0,依題意有卜+"z=7,于是3^7,X>2-L,

x>y>z>03

故x只有取3、4、5、6、7共五個(gè)值。

①x=3時(shí)，y+z=4,貝Ijy只取3、2,相應(yīng)z取1、2,故有2種放法;

②x=4時(shí)，y+z=3,貝Uy只取3、2,相應(yīng)z取0、1,故有2種放法;

③x=5時(shí):y+z=2,則y只取2、1,相應(yīng)z取1、0,故有2種放法;

④x=6時(shí)，y+z=l,則y只取1,相應(yīng)z取0,故有1種放法；

⑤x=7時(shí):y+z=0,則y只取0,相應(yīng)z取。，故有1種放法；

綜上所求，故有8種不同放法。

5、解：先把第999個(gè)（中間）“一”改為“+”，然后，對(duì)乙的每次改

動(dòng)，甲做與之中心對(duì)稱的改動(dòng)，視數(shù)字為點(diǎn)，對(duì)應(yīng)在數(shù)軸上，這1997

個(gè)點(diǎn)正好關(guān)于點(diǎn)（999）對(duì)稱。

6、解：由題意說(shuō)假話的至少有1人，但不多于1人，所以說(shuō)假話的1

人,說(shuō)真話的99人。

三、1、解：1+2+3+……9=45,故正方形的邊長(zhǎng)最多為11,而組成的正

方形的邊長(zhǎng)至少有兩條線段的和，故邊長(zhǎng)最小為7。

7=1+6=2+5=3+4

8=1+7=2+6=3+5

9+1=8+2=7+3=6+4

9+2=8+3=7+4=6+5

9=1+8=2+7=3+6=4+5

故邊長(zhǎng)為7、8、10、11的正方形各一個(gè)，共4個(gè)。而邊長(zhǎng)為9的邊

可有5種可能能組成5種不同的正方形。所以有9種不同的方法組成

正方形。

2、證明：利用抽屜原理，按植樹(shù)的多少，從50至100株可以構(gòu)造51

年抽屜，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為至少有5人植樹(shù)的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里。(用

反證法)假設(shè)無(wú)5人或5人以上植樹(shù)的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那只有

4人以下植樹(shù)的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，而參與植樹(shù)的人數(shù)為204人，

每個(gè)抽屜最多有4人，故植樹(shù)的總株數(shù)最多有：

4(50+51+52+……+100)=4X(5Q+100)x51=15300<15301,得

2

出沖突。因此，至少有5人植樹(shù)的株數(shù)相同。

3、解：王華獲勝。

王華先取2個(gè)彈子，將2000(是4的倍數(shù))個(gè)彈子留給張偉取，不

記張偉取多少個(gè)彈子，設(shè)為X個(gè)，王華總跟著取(4-X)個(gè)，這樣總

保證將4的倍數(shù)個(gè)彈子留給張偉取，如此下去，最終一次是將4個(gè)彈

子留給張偉取，張偉取后，王華一次取完余下的彈子。

4、解析在探討與某些元素間關(guān)系相關(guān)的存在問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常利用染色造

抽屜解題。17位科學(xué)家看作17個(gè)點(diǎn)，每?jī)晌豢茖W(xué)家相互通信看作是

兩點(diǎn)的連線段，關(guān)于三個(gè)問(wèn)題通信可看作是用三種顏色染成的線段，

如用紅色表示關(guān)于問(wèn)題甲的通信，藍(lán)色表示問(wèn)題乙通信，黃色表示問(wèn)

題丙通信.這樣等價(jià)于：有17個(gè)點(diǎn)，任三點(diǎn)不共線，每?jī)牲c(diǎn)連成一

條線段，把每條線段染成紅色、藍(lán)色和黃色，且每條線段只染一種顏

色，證明肯定存在一個(gè)三角形三邊同色的三角形。

證明：從17個(gè)點(diǎn)中的一點(diǎn)，比如點(diǎn)A處作引16條線段，共三種顏色,

由抽屜原理至少有6條線段向色，設(shè)為AB、AC、AD、AE、AF>AG且

均為紅色。

若B、C、D、E、F、G這六個(gè)點(diǎn)中有兩點(diǎn)連線為紅線，設(shè)這兩點(diǎn)為B、

C,則aABC是一個(gè)三邊同為紅色的三角形。

若B、C、D、E、F、G這六點(diǎn)中任兩點(diǎn)的連線不是紅色，則考慮5條

線段BC、BD、BE、BF、BG的顏色只能是兩種，必有3條線段同色，

設(shè)為BC、BD、BE均為黃色，再探討4CDE的三邊的顏色，要么同為

藍(lán)色，則4CDE是一個(gè)三邊同色的三角形，要么至少有一邊為黃色，

設(shè)這邊為CD,則4CDE是一個(gè)三邊同為黃色的三角形。

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（8）

（命題與三角形邊角不等關(guān)系）

一、選擇題:

1、如圖8T,已知AB=10,P是線段AB上隨意一點(diǎn)，在AB的同側(cè)分別

以AP和PB為邊作兩個(gè)等邊三角形APC和BPD,則線段CD的長(zhǎng)度的

最小值是（）

A.4B.5C.6D.5(V5-1)

2、如圖8-2,四邊形ABCD中NA=60°NB=ND=90。,AD=8,AB

=7,則BC+CD等于

()

A.6V3B.5V3C.4V3D.373

3、如圖8-3,在梯形ABCD中,AD〃BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,

若EF〃BC,且梯形AEFD與梯形EBCF的周長(zhǎng)相等，則EF的長(zhǎng)為

（）

A.竺B.史C.22

4、已知aABC的三個(gè)內(nèi)角為A、13、(：且。=4+13,B=C+A,y=C+B,

則a、B、Y中，銳角的個(gè)數(shù)最多為

()

A.1B.2C.3D.0

5、如圖8-4,矩形ABCD的長(zhǎng)AD=9cm,寬AB=3cm,將其折疊，使點(diǎn)D

與點(diǎn)B重合，則折疊后DE的長(zhǎng)和折前......一〕%A|A―T

圖8-4

A.4cm4\0cniB.5cmVlOc/w

C.4cm26cmD.5cm2y[3cm

6、一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,a,b,另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為

a,b,b,其中a>b,若兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角相等，則里的值等于

b

()

A.O+iB.—+1C.石+2D.火+2

2222

7、在凸10邊形的全部?jī)?nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)最多是

()

A.0B.1C.3D.5

8、若函數(shù))，=^攵>0)與函數(shù)丁=4的圖象相交于A,C兩點(diǎn)，AB垂直x

x

軸于B,則aABC的面積為

()

A.1B.2C.kD.k2

二、填空題

1、若四邊形的一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)為d,另一組對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,

b,則d與等的大小關(guān)系是

2、如圖8-5,AA'、BB'分別是NEAB、

的平分線，若AA，=BB'=AB,則NBAC的

度數(shù)為

3、已知五條線段長(zhǎng)度分別是3、5、7、9、11,將其中不同的三個(gè)數(shù)組

成三數(shù)組，比如（3、5、7）、（5、9、11）……問(wèn)有多少組中的三個(gè)

數(shù)恰好構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)

4、如圖8-6,P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若PA=3,PB=4,

PC=5,則PD=______________

5、如圖8-7,甲樓樓高16米，乙樓座落在

甲樓的正北面，已知當(dāng)?shù)囟林形?2時(shí)

太陽(yáng)光線與水平面的夾角為30。，此時(shí)求

D

圖8-7

①假如兩樓相距20米，則甲樓的影子落

在乙樓上有多高？②假如甲樓的影

子剛好不落在乙樓上，則兩樓的距離應(yīng)當(dāng)是米。

6、如圖8-8,在aABC中，ZABC=60°，點(diǎn)P是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，使得

NAPB=NBPC=NCPA,且PA=8,PC=6,則PB=

三、解答題

1、如圖8-9,AD是AABC中BC邊上的中線,

求證：AD<1（AB+AC）

2

2、已知一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為P,問(wèn)這個(gè)三角形的最大邊長(zhǎng)度在哪個(gè)范圍

內(nèi)改變?

3、如圖8-10,在RtAABC中，NACB=90。,

CD是角平分線，DE〃BC交AC于點(diǎn)E,DF

〃AC交BC于點(diǎn)F。

圖8-10

求證：①四邊形CEDF是正方形。

②CD』=2AE?BF

4、從1、2、3、4……、2004中任選k個(gè)數(shù)，使所選的k個(gè)數(shù)中肯定可

以找到能構(gòu)成三角形邊長(zhǎng)的三個(gè)數(shù)（這里要求三角形三邊長(zhǎng)互不相

等），試問(wèn)滿意條件的k的最小值是多少？

數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（8）參考答案

一、選擇題

1、如圖過(guò)C作CEJ_AD于E,過(guò)D作DFJ_PB于F,過(guò)

D作DG_LCE于G。

明顯DG=EF=』AB=5,CD2DG,當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，有CD=DG=5,

2

所以CD長(zhǎng)度的最小值是5。

2、如圖延長(zhǎng)AB、DC相交于E,在RtZ^ADE中，可求

得AE=16,DE=86，于是BE=AE—AB=9,在Rt

△BEC中，可求得BC=36，CE=6V3,于是CD=DE—CE=26BC

+CD=5V3o

3、由已知AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF百

：.AD+AE+FD=EB+BC+CF=AB+BC+CD)=\\

Apr)F

VEF/7BC,AEF//AD,—

EBFC

AEDF=DF=-^CD=—

設(shè)一=—k,AE=

EBFCk+\k+1k+lk+i

6k4k13A+3.13Z+3

AD十AE十FD=