本節(jié)課是2024年新人教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第六章《幾何圖形初步》中的6.3.1角的概念，本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容包括角的概念(含靜態(tài)定義與動(dòng)態(tài)定義)、角的四種表示方法、角的度量單位(度、分、秒)及其換算規(guī)則，同時(shí)涵蓋鐘面角的規(guī)律與計(jì)算方法，以及以正北、正南為基準(zhǔn)描述物體相對(duì)位置的方位角相關(guān)知識(shí).角是幾何圖形中的基本圖形之一，是后續(xù)學(xué)習(xí)相交線、平行線、三角形、四邊形等幾何知識(shí)的重要基礎(chǔ).角的概念從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)角度進(jìn)行定義，有助于學(xué)生從不同視角理解角的本質(zhì).靜態(tài)定義強(qiáng)調(diào)角的構(gòu)成要素，即公共端點(diǎn)和兩條射線；動(dòng)態(tài)定義則體現(xiàn)了角的形成過程，從運(yùn)動(dòng)變化的角度深化對(duì)角的認(rèn)識(shí)，蘊(yùn)含了運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)和數(shù)形結(jié)合的思想.角的多種表示方法為準(zhǔn)確描述角提供了便利，不同的表示方法適用于不同的情境，學(xué)生需要熟練掌握并能根據(jù)具體情況選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉绞?角的度量單位度、分、秒是角的度量與運(yùn)算的基礎(chǔ)，其60進(jìn)制的換算規(guī)則與時(shí)間的時(shí)、分、秒換算類似，學(xué)生可以通過類比進(jìn)行理解和學(xué)習(xí).鐘面角和方位角是角在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用.鐘面角問題可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與日常生活的緊密聯(lián)系，通過探究時(shí)針與分針的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.方位角在航海、航空、測(cè)量等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)方位角有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和應(yīng)用意識(shí).基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：理解角的兩種定義與四種表示法，掌握度分秒換算及角度計(jì)算，會(huì)算簡(jiǎn)單鐘面角、定物體方位角.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析(1)理解角的形成，理解角的概念，掌握角的兩種定義形式和四種表示方法.(2)認(rèn)識(shí)角的度量單位，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的換算和角度計(jì)算.(3)了解鐘面角，能求簡(jiǎn)單的鐘面角.(4)了解方位角，能確定具體物體的方位.對(duì)于目標(biāo)(1),通過觀察生活中的實(shí)例、動(dòng)手畫圖以及對(duì)射線旋轉(zhuǎn)過程的分析，學(xué)生能理解角的形成，深刻理解角的概念，熟練掌握角的兩種定義形式和四種表示方法，并能在不同情境中準(zhǔn)確運(yùn)用這些表示方法來描述角.對(duì)于目標(biāo)(2),通過閱讀教材、教師講解以及實(shí)際的換算練習(xí)，學(xué)生能認(rèn)識(shí)角的度量單位度、分、秒，理解它們之間的換算關(guān)系，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的度、分、秒之間的換算以及角度的計(jì)算，包括角的和、差等基本運(yùn)算.對(duì)于目標(biāo)(3),通過對(duì)鐘面結(jié)構(gòu)的觀察、分析時(shí)針與分針的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及相關(guān)例題的學(xué)習(xí)和練習(xí)，學(xué)生能了解鐘面角的特點(diǎn)，掌握求簡(jiǎn)單鐘面角的方法，能夠計(jì)算給定時(shí)刻時(shí)針與分針?biāo)傻慕嵌?對(duì)于目標(biāo)(4),通過對(duì)實(shí)際場(chǎng)景中方位描述的分析、結(jié)合地圖等工具進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)生能了解方位角的概念，理解方位角的表示方法和應(yīng)用場(chǎng)景，能根據(jù)給定的方位角信息確定具體物體的方位.三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生在小學(xué)對(duì)角的認(rèn)知停留在直觀層面，難理解射線旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)定義，無法關(guān)聯(lián)動(dòng)靜態(tài)角的圖形；對(duì)角的不同表示方法，因適用條件和規(guī)范不清，易寫錯(cuò)頂點(diǎn)字母、誤用量角符號(hào)或漏標(biāo)弧線；角度換算中，不熟練度分秒的60進(jìn)制規(guī)則，難關(guān)聯(lián)已有十進(jìn)制運(yùn)算知識(shí)，換算時(shí)易忘乘除60;計(jì)算鐘面角時(shí)，不明確時(shí)針和分針的運(yùn)動(dòng)速度，無法正確分析位置關(guān)系，缺乏非整點(diǎn)時(shí)刻的解題思路；應(yīng)用方位角時(shí)，因理解不透徹，難區(qū)分方向表述，且缺乏空間想象力和綜合分析能力，無法準(zhǔn)確確定物體方位.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：理解角的動(dòng)態(tài)形成；規(guī)范用角的表示法；準(zhǔn)確進(jìn)行度分秒換算；算鐘面角兼顧時(shí)針，定方位角辨方向.四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)【思考】(1)觀察下列日常生活中的常見物體，這些物體給我們的形象是什么?(2)它們有什么共同特征?拉近數(shù)學(xué)與生活的距離；二是借助“物體形象”與“共同特征”的提問，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提煉角的直觀屬性，為后續(xù)理解角的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)定義奠定感性基礎(chǔ)，自然過渡到新知學(xué)習(xí).(二)新知講解知識(shí)點(diǎn)1角的概念及表示方法I角的靜態(tài)定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角.【注意】角的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩邊張開的幅度有關(guān).Ⅱ角的表示方法：角用符號(hào)“∠”來表示.1.用3個(gè)或1個(gè)大寫字母表示：∠AOB或∠BOA或∠O2.用一個(gè)小寫希臘字母加弧線表示：La3.用一個(gè)數(shù)字加弧線表示：∠1【思考】如圖，能把∠a記作∠O嗎?為什么?∠a還可以怎樣表示呢?答：不能，因?yàn)閳D中以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的角有3個(gè)，∠0分不清究竟表示哪個(gè)角.∠a可以表示為∠AOB.【小結(jié)】唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可只用頂點(diǎn)的一個(gè)字母來表示這個(gè)角.Ⅲ角的動(dòng)態(tài)定義：角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.B【思考】如果射線OB繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，還會(huì)形成什么角呢?1.如圖，射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，形成什么角?2.繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，又形成什么角?0A(B)【小結(jié)】平角的兩邊形成一條直線，但不能說平角就是直線；周角的兩邊重合形成一條射線，但不能說周角就是射線.知識(shí)點(diǎn)2角的度量及換算我們常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量單位.把一個(gè)周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°;把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，記作1';把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，記作1".1周角=360°;1平角=180°;1°=60′;1′=60”∠α的度數(shù)是48度56分37秒，記作：∠α=48°56'37"想一想：借助三角尺，我們能直接畫出哪些度數(shù)的特殊角?以度、分、秒為單位的角的度量制，叫作角度制.此外，還有其他度量角的單位制.例如，以后將要學(xué)到的以弧度為基本度量單位的弧度制，在軍事上經(jīng)常使用的角的密位制，等等.BBAi最早明確使用角度制的文字記載于希臘學(xué)者托勒密(Ptolemaeus,約90—168)的《天文學(xué)大成》.托勒密在書中將圓周分為360等份，將1份記為1°,并采用古巴比倫的六十進(jìn)制，定義出度、分、秒，這樣便形成了角度制.知識(shí)點(diǎn)3鐘面角鐘表在生活當(dāng)中相當(dāng)常見，瑞士的鐘表更以其精密而聞名世界.在鐘表當(dāng)中，系，在不同的時(shí)刻它們有著一定的夾角，我們把這個(gè)夾角叫作鐘面角(0度~180度),那么如何計(jì)算某一時(shí)刻的鐘面角呢?時(shí)針360°,則每小時(shí)轉(zhuǎn)30°,每分鐘轉(zhuǎn)0.5°.98分針60分鐘轉(zhuǎn)一圈，所以分針每分鐘轉(zhuǎn)6°知識(shí)點(diǎn)4方位角在航行、測(cè)繪等工作中，經(jīng)常以正北、正在航行、測(cè)繪等工作中，經(jīng)常以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向例如：射線OA的方向是北偏東45°;射線OB的方向是南偏西60°注意：當(dāng)角度為45°時(shí)，可以表達(dá)為東南、東北、西南、西北方向【設(shè)計(jì)意圖】借靜態(tài)定義+判斷練習(xí)、動(dòng)態(tài)定義+動(dòng)圖思考夯實(shí)角的認(rèn)知并區(qū)分易混概念，明確角的度量單位與換算關(guān)系，結(jié)合思考與拓展培養(yǎng)技能、拓寬視野，再?gòu)纳钋腥胍龑?dǎo)鐘面角與方位角的知識(shí)應(yīng)用，整體層層遞進(jìn)，深化概念理解、培養(yǎng)基礎(chǔ)技能，同時(shí)提升實(shí)際應(yīng)用能力與空間觀念.(三)典型例題一、角的概念與表示例1下列能用∠AOB,∠O,∠1三種方法表示同一個(gè)角的圖形是(D)ABCD【針對(duì)練習(xí)】1.如圖，可以將角表示為∠AOB或∠O或∠1;2.如圖，共有3個(gè)角，分別表示為∠ABD,∠DBC,∠ABC二、角的度量與換算例2(1)0.5°=30',0.15'=9”;【小結(jié)】角的換算：(1)高級(jí)單位化低級(jí)單位：1?=60',1'′=60”,1?=3600".(2)低級(jí)單位化高級(jí)單位：2.下列角度換算正確的是(B)A.72.5°=72°50′B.24.2C.18°18'18"=18.33°D.23°12'36"=23.48°三、鐘面角例3(1)鐘表在2點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)傻慕鞘嵌嗌俣?解：鐘表在2點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針在“2”與“3”的最中間，而分針指向“6”,這時(shí)時(shí)針與分針的夾角應(yīng)為30°÷2+30?×3=105°.(2)鐘表在12點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角是多少度?解：時(shí)針從12點(diǎn)初始位置(0°)轉(zhuǎn)了15×0.5°=7.5°,15分時(shí)，分針轉(zhuǎn)了15×6°=90°,指向數(shù)字“3”,此時(shí)兩針夾角為分針位置角度減去時(shí)針偏移角度，【針對(duì)練習(xí)】1.8點(diǎn)整，時(shí)針與分針的夾角為120°,1點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為1352.(1)從8點(diǎn)到8點(diǎn)40分，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為20:(2)鐘表在7:00時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為150°;(3)鐘表在4:30時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為45°.3.鐘表上1時(shí)25分，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角是多少度?答：時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角是107.5°.四、方位角例4如圖，貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上.同時(shí)，在它北偏東40°、南偏西10°、西北(北偏西45°)方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B、貨輪C和海島D.仿照表示燈塔方位的方法，畫出表示客輪B、貨輪C、和海島D方向的射線.解：以點(diǎn)O為頂點(diǎn)，表示正北方向的射線為角的一邊，畫40°的角，使它的另一邊OB落在東與北之間.射線OB的方向就是北偏東40°,即客輪B所在位置.類似地，你能在圖中畫出表示貨輪C和海島D方向的射線嗎?【小結(jié)】表示方向的角的畫法：①確定中心，以參照物為中心；②確定始邊，以正北或正南方向?yàn)槭歼?；③確定偏向，偏東或偏西；④確定角度，畫出終邊；終邊所指的方向就表示物體所在的方向.【針對(duì)練習(xí)】1.如圖，射線OA表示的方向是北偏西40°_;射線OB表示的方向是南A0B/在它的南偏東30°方向發(fā)現(xiàn)了海島B.在圖中畫出射線OA,OB,OC.北A、C南1.下列說法：①由兩條射線組成的圖形是角；②角的邊越長(zhǎng)，角越大；③∠AOB與∠BAO表示的是同(D)A.180°B.160°C.150°4.如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)E在邊AC上，連接BE.(2)寫出以B為頂點(diǎn)的角：∠ABE,∠ABC,∠EB(3)圖中共有7個(gè)小于平角的角，請(qǐng)全部列出.解：圖中7個(gè)小于平角的角分別為∠A,∠C,∠ABE,∠ABC,∠EBC,∠AEB,∠BEC.5.下圖是一個(gè)公園的示意圖，下列說法：①孔雀館在大門的北偏東50°方向；②猴山在大門的正北方向；③獅子園在大門的南偏東30°方向；④盆景園在大門的正東方向.其中正確的是①②④.(填序號(hào))猴大山門東東【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)題目覆蓋角的概念辨析、角度換算與比較、鐘面角計(jì)算、角的表示