第=page11頁，共=sectionpages11頁廣東省六校聯(lián)盟2026屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考（期中）數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A=x8<2x<500，B=A.3,5,8 B.5,8 C.8,10 D.1,3,52.已知復(fù)數(shù)z滿足zi=1+2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=(

)A.52 B.5 C.3.設(shè)a、b∈R，則“1b>1a”是“b<a<0A.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形的IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去.則前6個(gè)正方形面積和為(

)

A.6332 B.314 C.6385.已知函數(shù)f(x)=ex+aeA.當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在0,+∞單調(diào)遞增

B.當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在0,+∞單調(diào)遞減

C.當(dāng)a=?1時(shí)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在0,+∞單調(diào)遞增

D.當(dāng)a=?1時(shí)，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在0,+∞單調(diào)遞減6.已知1sin10°?A.1 B.2 C.2 D.7.已知函數(shù)f(x)=exlna?ax(a>1)，若f(x)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的值為A.e B.e C.e2 8.在三棱錐A?BCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD+∠CBD=π2，且BD=BC=4，則已知三棱錐A?BCD外接球表面積的最小值為(

)A.(85+4)π B.(85+8)π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φA.該圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為fx=2sin2x+π3

B.函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線x=?5π12對稱

C.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)10.如圖，棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P,Q分別是棱CC1，棱BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)MA.若λ+μ=1，則CM⊥DB1

B.若λ=μ，則三棱錐B1?AMC的體積為定值

C.若μ=12,0?λ?1，則直線PM與直線BC所成角的最小值為60°

11.如圖，在一次社會實(shí)踐中某學(xué)校數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)組設(shè)計(jì)一個(gè)“門把手”，其縱截面輪廓線近似曲線C：y2=x3?2x+2的一部分，則A.點(diǎn)(1,1)在C上

B.在(1,1)處C的切線，其與C的交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)

C.若C在x軸上方的部分為函數(shù)fx的圖象，則x=63是fx的極小值點(diǎn)

D.C在三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.所有棱長均為4的三棱錐的體積是

．13.如圖，4×6的方格紙(小正方形的邊長為1)中有一個(gè)向量OA(以圖中的格點(diǎn)O為起點(diǎn)，格點(diǎn)A為終點(diǎn))，則滿足OA?OB=1的格點(diǎn)B共有

個(gè)(規(guī)定橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn))．14.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1，且2Sn=an+1?1n∈四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)如圖，在?ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，α=∠BAD，β=∠DAC．(1)證明：BDDC(2)若D為BC的中點(diǎn)，AB=4，AC=2，β=90°，求三角形ACD16.(本小題15分)如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，側(cè)面PAD⊥平面ABCD，?PAD是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=1．(1)求B到平面PCD的距離；(2)線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得平面EAC與平面DAC夾角的余弦值為155？若存在，求出PE17.(本小題15分)已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足nlga(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an?1an+1，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為18.(本小題17分某科研小組研發(fā)了一款新式無人機(jī)，其生產(chǎn)過程有4道工序，前3道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道工序是出廠檢測，包括智能檢測與人工檢測，其中智能檢測為次品的會自動淘汰，合格的進(jìn)入流水線進(jìn)行人工檢測．已知該新式無人機(jī)在生產(chǎn)中前3道工序的次品率分別為158(1)若某批次生產(chǎn)了這款新式無人機(jī)1000架，記X為該批次經(jīng)過前3道工序合格的架數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)已知某批次的新式無人機(jī)智能檢測顯示合格率為4950(3)該科研小組為了慶祝獲得研究成果，舉行聯(lián)歡晚會，晚會期間，該小組組織了一個(gè)現(xiàn)場抽獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：參與游戲的幸運(yùn)觀眾，每次都要有放回地含有10張紅色卡片和10張綠色卡片的箱子中隨機(jī)抽取一張，指揮無人機(jī)運(yùn)送匹克球，直到獲得獎(jiǎng)品為止，每次游戲開始時(shí)，甲箱中有足夠多的匹克球，乙箱中沒有球，若抽到紅色卡片，則從甲箱中運(yùn)一個(gè)匹克球到乙箱；若抽到綠色卡片，則從甲箱中運(yùn)兩個(gè)匹克球到乙箱，當(dāng)乙箱中的匹克球數(shù)目達(dá)到9個(gè)，下一輪直接達(dá)到11個(gè)，獲得優(yōu)惠券，游戲結(jié)束；當(dāng)乙箱中的匹克球數(shù)目達(dá)到10個(gè)時(shí)，獲得獎(jiǎng)品大禮包一個(gè)，獲得大禮包時(shí)游戲結(jié)束．求游戲結(jié)束時(shí)，幸運(yùn)觀眾獲得優(yōu)惠券的概率．19.(本小題17分已知函數(shù)f(x)=ax(a>1,且a≠1)(1)若f(x)=ex、h(x)=x(2)若函數(shù)g(x)=lnx與h(x)=x(3)已知a>0且a≠1,若函數(shù)f(x)=ax與g(x)=logax參考答案1.B

2.B

3.A

4.C

5.C

6.D

7.A

8.B

9.AB

10.ABD

11.ACD

12.1613.4

14.2

15.(1)證明：在

?BAD

中，

BDsin∠BAD在

?CAD

中，

DCsin∠DAC由于

∠BDA+∠CDA=180°

，故

sin所以

BDDC=(2)解：因?yàn)棣?90°，故DA⊥AC，故α=∠BAD為銳角，

又BDDC=AB?sinαAC?sinβ，且D為BC的中點(diǎn)，AB=4，AC=2，

故11=4sin

16.解：(1)取AD的中點(diǎn)O，連接PO，OC，

因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，

所以PO⊥AD，

又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以PO⊥平面ABCD，

如圖所示，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OC，OD，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,?1,0)，D(0,1,0)，C(1,0,0)，B(1,?1,0)，P(0,0,3)，

CP=(?1,0,3)，CD=(?1,1,0)，

設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，

所以n?CP=?x+3z=0n?CD=?x+y=0，

令z=1，則n=(3,3,1)，

又BC=(0,1,0)，

故B到平面PCD的距離d=|BC?n||n|=3×0+3×1+1×0(3)2+(3)2+12=37=17.解：(1)由nlgan+1=(n+1)lgan，得lgan+1n+1=lgann，可知數(shù)列l(wèi)g?ann是常數(shù)列，

所以lgann=lga11=lg3，所以lgan=nlg3=18.解：(1)設(shè)新式無人機(jī)經(jīng)過前3道工序后是合格品的率為P，

則P=(1?158)(1?159)(1?160)=5760=1920，

由條件，可得X∽B(1000,1920)，

所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1000×1920=950(架)；

(2)設(shè)新式無人機(jī)智能檢測合格為事件A，人工檢測合格為事件B，則P(A)=4950，P(AB)=1920，

所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1920×5049=9598，即人工隨機(jī)抽檢一架新式無人機(jī)怡好為合格品的率約為9598．

(3)?①設(shè)乙箱中有n個(gè)球的率為Pn(1≤n≤10)，第一次抽紅色卡片，新式無人機(jī)運(yùn)送1個(gè)匹克球，概率為12，即P1=12，

乙箱中有2個(gè)球，有兩類情況，所以P2=12×12+12=34，

乙箱中有n(3≤n≤9)個(gè)球的情況有：

(i)無人機(jī)已運(yùn)送(n?2)個(gè)球，又抽到綠色卡片，其概率為12Pn?2;

(ii)無人機(jī)已運(yùn)送(n?1)個(gè)球，又抽到紅色卡片，其概率為12Pn?1;

所以Pn=12Pn?2+1219.解：(1)y=x2ex，則y′=2xex+x2ex=x(x+2)ex，

由y′=0，得到x=?2或x=0，

當(dāng)y′>0時(shí)，(?∞,?2)和(0,+∞)為函數(shù)增區(qū)間，當(dāng)y′<0時(shí)，(?2,0)為函數(shù)減區(qū)間，

所以y=x2ex在x=?2處取到極大值，極大值為4e2，

在x=0處取到極小值，極小值為0，

故函數(shù)y=x2ex的極大值為4e2，極小值為0；

(2)設(shè)直線l為曲線g(x)=lnx在點(diǎn)(x1,g(x1))處的切線，g′x=1x1，

所以l:y?lnx1=1x1(x?x1)，即l:y=1x1x+lnx1?1;

設(shè)直線l為曲線h(x)=xa(x>0,a≠0)在點(diǎn)(x2,h(x2))處的切線，

h′(x)=axa?1，

所以l:y?x2a=ax2a?1(x?x2)，

即l:y=ax2a?1x+(1?a)x2a;

由題意知1x1=ax2a?1lnx1?1=(1?a)x2a，，因?yàn)閤1>0，x2>0，可知a>0，

由1x1=ax2a?1可得lnx1=?lna?(a?1)lnx2，

將其代入lnx1?1=(1?a)x2a可得：(a?1)(lnx?xa)+lna+1=0，

令p(x)=(a?1)(lnx?xa)+lna+1，則p(x)在(0,+∞)上有零點(diǎn)，

令q(x)=lnx?xa，則q′(x)=1?axax，a>0，x>0，

令q′(x)>0，解得0<x<1a1a;令q′(x)<0，解得x>1a1a;

q(x)在區(qū)間(0,1a1a)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1a1a,+∞)上單調(diào)遞減，

當(dāng)a>1時(shí)，p(x)在區(qū)間(0,1a1a)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1a1a,+∞)上單調(diào)遞減，

且p(1a1a)=(a?1)(1aln1a?1a)+lna+1=