2025年考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)強(qiáng)化練習(xí)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一1.設(shè)函數(shù)f(x)=arcsin(x^2-x)，則f'(x)=.2.極限lim(x→0)[(1+x)^{1/x}-e]/x=.3.曲線y=x^3-3x^2+2在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為.4.設(shè)f(u,v)=uv+u^2，則f(x+y,x-y)=.5.設(shè)D為區(qū)域{(x,y)|x^2+y^2≤1,x≥0,y≥0}，則二重積分I=∫∫_D(x^2+y^2)dA=.6.行列式|A|=|[1,2,3;0,1,4;-1,2,5]|的值為.7.設(shè)向量α=(1,1,1),β=(1,2,3),γ=(2,3,t)，若α,β,γ線性相關(guān)，則t=.8.設(shè)矩陣A=[(1,2);(3,4)],則矩陣A的秩r(A)=.9.設(shè)A為n階可逆矩陣，則(A^*)^(-1)=.10.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，E(X^2)=2，則P{X>0}=.二1.討論函數(shù)f(x)=(x-1)ln(x+1)-x在區(qū)間(-1,+∞)上的單調(diào)性.2.計(jì)算不定積分∫xlnxdx.3.求函數(shù)f(x)=x^2+ax+b在區(qū)間[-1,1]上的最大值與最小值，其中a,b為常數(shù)，且f(0)=2.4.計(jì)算二重積分I=∫∫_Dy^2dA，其中D是由拋物線y=x^2和y=x^3所圍成的平面區(qū)域.5.解線性方程組:x1+2x2+x3=1,2x1+3x2+x3=2,3x1+5x2+2x3=3.6.設(shè)向量組α1=(1,1,2),α2=(1,3,a),α3=(2,0,4)，(1)當(dāng)a取何值時(shí)，向量組α1,α2,α3線性無關(guān)？(2)當(dāng)a取何值時(shí)，向量組α1,α2,α3線性相關(guān)？并求其一個(gè)線性關(guān)系式.7.設(shè)矩陣A=[(1,0,1);(0,1,0);(1,0,2)],求矩陣A的特征值和特征向量.8.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，均服從N(0,1)分布，求隨機(jī)變量Z=X^2+Y^2的概率密度函數(shù).9.從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件，已知其中有3件次品，現(xiàn)從中再任取3件，求取到的次品件數(shù)X的分布律和數(shù)學(xué)期望E(X).三1.證明：當(dāng)x>0時(shí)，不等式x>ln(1+x)成立.2.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)。證明：在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f'(ξ)=0.3.計(jì)算三重積分I=∫∫∫_ΩxyzdV，其中閉區(qū)域Ω由曲面x=0,y=0,z=0,x+2y+3z=6所圍成.4.討論n階矩陣A=[(1,a,a,...,a);(a,1,a,...,a);(...;(a,a,a,1)]的可逆性，其中a≠0.若可逆，求其逆矩陣A^(-1).5.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2已知。隨機(jī)抽取樣本X1,X2,...,Xn，求μ的最大似然估計(jì)量.四1.求冪級數(shù)∑_{n=1}^∞(x-1)^n/(2^n*n)的收斂域.2.將函數(shù)f(x)=x^2(0≤x≤π)展開成以2π為周期的余弦級數(shù).3.一個(gè)袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中不放回地依次取出3個(gè)球。(1)求取出的3個(gè)球均為紅球的概率.(2)已知取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)白球，求其中恰有兩個(gè)白球的概率.---試卷答案一1.2x(x-1)/sqrt(1-(x^2-x)^2)2.-e/23.y=-2x+24.2xy+x^2-y^25.π/46.-37.28.29.(A^T)^(-1)10.1-e^(-λ)二1.f'(x)=lnx-1/(x+1).令f'(x)>0,解得x>1;令f'(x)<0,解得-1<x<1.故f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增.2.∫xlnxdx=(1/2)x^2lnx-(1/4)x^2+C3.f'(x)=2x+a.令f'(x)=0,得x=-a/2.當(dāng)-a/2∈[-1,1]即-2≤a≤2時(shí)，f(x)在x=-a/2處取極值.f(-1)=1-a+b,f(1)=1+a+b,f(-a/2)=(a^2/8)-(a^2/4)+b=-a^2/8+b.比較大小得：若-2≤a≤0,最大值為f(1)=1+a+b,最小值為f(-1)=1-a+b;若0<a≤2,最大值為f(1)=1+a+b,最小值為f(-a/2)=-a^2/8+b.由f(0)=2得b=2.若-2≤a≤0,最大值為3+a,最小值為1-a;若0<a≤2,最大值為1+a+2,最小值為-a^2/8+2.4.D由y=x^2和y=x^3在x=0和x=1處相交圍成.I=∫[0,1]∫[x^3,x^2]y^2dydx=∫[0,1](1/3)y^3|_{x^3}^{x^2}dx=(1/3)∫[0,1](x^6-x^9)dx=(1/3)[(1/7)x^7-(1/10)x^10]|_{0}^{1}=1/21.5.對增廣矩陣施行初等行變換:[(1,2,1|1);(2,3,1|2);(3,5,2|3)]→[(1,2,1|1);(0,-1,-1|0);(0,-1,-1|0)]→[(1,2,1|1);(0,1,1|0);(0,0,0|0)].得同解方程組x1+2x2+x3=1,x2+x3=0.令x3=t,則x2=-t,x1=1-x2-x3=1+t.通解為(x1,x2,x3)=(1+t,-t,t)或?qū)懗上蛄啃问絰=(1,0,0)^T+t(-1,-1,1)^T,t∈R.6.(1)對矩陣A=[(1,1,2);(1,3,a);(2,0,4)]施行初等行變換:[(1,1,2);(0,2,a-2);(0,-2,-4)]→[(1,1,2);(0,1,(a-2)/2);(0,0,0)].為使矩陣A的秩r(A)=3(向量組線性無關(guān)),需要(a-2)/2≠0,即a≠2.當(dāng)a≠2時(shí)，向量組α1,α2,α3線性無關(guān).(2)當(dāng)a=2時(shí)，向量組α1,α2,α3線性相關(guān).由行簡化階梯形[(1,1,2);(0,1,1);(0,0,0)],得α3=-α1+α2.即存在不全為0的常數(shù)-1,1,1,使-α1+α2+α3=0.7.|λE-A|=|(λ-1,0,-1);(0,λ-1,0);(-1,0,λ-2)|=(λ-1)|(λ-1,0);(0,λ-2)|-(-1)|(0,-1);(λ-1,0)|=(λ-1)^2(λ-2).特征值為λ1=λ2=1,λ3=2.對λ1=1,解(E-A)x=0:[(0,0,-1);(0,0,0);(-1,0,-1)|(0,0,0)]→[(1,0,1)|(0,0,0)].得x1+x3=0.令x2=k,x3=-k,x1=k.特征向量為k(1,0,-1)^T,k≠0.可取(1,0,-1)^T.對λ3=2,解(2E-A)x=0:[(1,0,-1);(0,1,0);(-1,0,0)|(0,0,0)]→[(1,0,-1)|(0,0,0);(0,1,0)|(0,0,0);(0,0,1)|(0,0,0)]→[(1,0,0)|(0,0,1);(0,1,0)|(0,0,0);(0,0,0)|(0,0,0)].得x1=0,x2=0.令x3=k,特征向量為k(0,0,1)^T,k≠0.可取(0,0,1)^T.特征值為1(重根),對應(yīng)特征向量k1(1,0,-1)^T;特征值為2,對應(yīng)特征向量k2(0,0,1)^T.8.Z=X^2+Y^2服從自由度為2的卡方分布,即Z~χ^2(2).其概率密度函數(shù)為f_Z(z)={(z/2)*e^(-z/2)ifz≥0,0ifz<0}.9.X可能取值為0,1,2,3.P{X=0}=C(7,3)/C(10,3)=35/120.P{X=1}=C(3,1)*C(7,2)/C(10,3)=3*21/120=63/120.P{X=2}=C(3,2)*C(7,1)/C(10,3)=3*7/120=21/120.P{X=3}=C(3,3)/C(10,3)=1/120.分布律為:X|0|1|2|3P|35/120|63/120|21/120|1/120E(X)=0*(35/120)+1*(63/120)+2*(21/120)+3*(1/120)=(63+42+3)/120=108/120=9/10.三1.令f(x)=x-ln(1+x).則f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x).當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又f(0)=0.故當(dāng)x>0時(shí),f(x)>f(0)=0,即x-ln(1+x)>0,得x>ln(1+x).2.由羅爾定理知，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0.3.原式=∫[0,6]∫[0,6-x]∫[0,6-x-2y]xyzdzdydx=∫[0,6]∫[0,6-x][x^2/2*y*(6-x-2y)]dydx=(1/2)∫[0,6]x^2[y(6-x-2y)-y^2]|_{0}^{6-x}dx=(1/2)∫[0,6]x^2[(6-x)(6-x)-(6-x)^2/2]dx=(1/4)∫[0,6]x^2(6-x)^2dx=(1/4)∫[0,6](36x^2-12x^3+x^4)dx=(1/4)[(12x^3-3x^4+x^5/5)]|_{0}^{6}=(1/4)[864-648+6^5/5]=(1/4)[216+7776/5]=(1/4)*(10800+7776)/5=(18576/20)=928.8.4.令E=det(A-λI)=|(1-λ,a,a);(a,1-λ,a);(a,a,1-λ)|=(1-λ)[(1-λ)^2-a^2]-a[a(1-λ)-a]-a[a-a(1-λ)]=(1-λ)[(1-λ)^2-a^2]-a^2(1-λ)=(1-λ)[(1-λ)^2-a^2-a^2]=(1-λ)[(1-λ)^2-2a^2].令E=0,得λ=1或(1-λ)^2=2a^2,即λ=1或λ=1±√2a^2.當(dāng)a≠0時(shí),λ=1±√2a^2≠1(因?yàn)椤?a^2>0).故矩陣A僅有零特征值1,其他特征值為1±√2a^2(均非零).由于a≠0,1±√2a^2≠0,且1±√2a^2≠1,故矩陣A可逆.為求A^(-1),可設(shè)A^(-1)=[(x,y,z);(w,u,v);(p,q,r)],則AA^(-1)=I.[(1,2,3);(2,1,3);(3,2,1)][(x,y,z);(w,u,v);(p,q,r)]=[(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)]得方程組:x+2w+3p=1,y+2u+3q=0,z+2v+3r=0,2x+w+3p=0,2y+u+3q=1,2z+v+3r=0,3x+2w+p=0,3y+2u+q=0,3z+2v+r=1.解此方程組（方法如第二題第5小題），得x=-1/4,y=1/4,z=1/4;w=1/4,u=-1/4,v=1/4;p=1/4,q=1/4,r=-1/4.故A^(-1)=[(-1/4,1/4,1/4);(1/4,-1/4,1/4);(1/4,1/4,-1/4)].5.X的概率密度函數(shù)為f(x)=σ/sqrt(2π)*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2)).似然函數(shù)L(μ)=(1/√(2πσ^2))^(n)*exp[-(Σ(xi-μ)^2)/(2σ^2)].對數(shù)似然函數(shù)lnL(μ)=-nln(σ)-(1/2)ln(2π)-(Σ(xi-μ)^2)/(2σ^2).令d/dμlnL(μ)=-Σ(xi-μ)/σ^2=0.得μ的最大似然估計(jì)量μ?=(1/n)Σ(xi).四1.令|x-1|/(2^n*n)=0,得x=1.收斂半徑R=2.收斂域?yàn)?-1,3).當(dāng)x=-1時(shí),∑_{n=1}^∞(2^n*n)/(2^n*n)=∑_{n=1}^∞1發(fā)散;當(dāng)x=3時(shí),∑_{n=1}^∞(2^n*n)/(2^n*n)=∑_{n=1}^∞1發(fā)散.故收斂域?yàn)?-1,3).2.f(x)在[0,π]上為偶函數(shù).展開為余弦級數(shù)S(x)=a0/2+∑_{n=1}^∞an*cos(nx),x∈[0,π].a0=(2/π)∫[0,π]x^2dx=(2/π)*(π^3/3)=2π^2/3.an=(2/π)∫[0,π]x^2*cos(nx)dx=(2/π)[(x^2*sin(nx))/n|_{0}^π-∫[0,π](2xsin(nx))/ndx]=(2/π)[0-(2/n)∫[0,π]xsin(nx)dx]=-4/(nπ)[-