(2025年)有限元復習題及答案1.簡述有限元法將連續(xù)介質問題轉化為離散問題的核心步驟。有限元法的離散化過程包含以下關鍵步驟：①連續(xù)體分割：將求解區(qū)域劃分為有限個形狀規(guī)則的單元（如三角形、四面體等），單元通過節(jié)點連接；②位移模式假設：對每個單元內的場變量（如位移）采用基于節(jié)點值的插值函數(shù)（形函數(shù)）近似，建立單元內任意點場變量與節(jié)點值的關系；③單元特性分析：通過力學原理（如虛功原理、最小勢能原理）或加權余量法，推導單元剛度矩陣（或傳導矩陣等）及單元載荷向量；④整體方程組組裝：將所有單元的剛度矩陣和載荷向量按節(jié)點編號組裝為整體剛度矩陣和整體載荷向量，反映各單元間的力學聯(lián)系；⑤邊界條件施加：根據(jù)問題實際約束（如位移固定、力載荷）修改整體方程組，確保解的唯一性；⑥方程組求解：通過直接法（如高斯消元）或迭代法（如共軛梯度法）求解修正后的線性方程組，得到節(jié)點場變量值；⑦結果后處理：通過節(jié)點值和形函數(shù)計算單元內應力、應變等派生量，評估計算精度。2.推導一維等截面桿單元在局部坐標系下的剛度矩陣（設單元長度為l，彈性模量為E，截面積為A）。設一維桿單元的局部坐標為ξ（ξ∈[0,l]），節(jié)點1位于ξ=0，節(jié)點2位于ξ=l。單元內任意點的位移u(ξ)可表示為線性插值：u(ξ)=N?u?+N?u?，其中形函數(shù)N?=1-ξ/l，N?=ξ/l。根據(jù)胡克定律，應變ε=du/dξ=(-u?/l+u?/l)=B{u}，其中B=[-1/l1/l]為應變矩陣。應力σ=Eε=EB{u}。由虛功原理，單元內虛功等于外力虛功：∫?^lσδεAdξ=δ{u}^T{F}^e。其中δε=Bδ{u}，代入得：δ{u}^T[∫?^lAEB^TBdξ]{u}=δ{u}^T{F}^e。由于δ{u}任意，單元剛度矩陣K^e=∫?^lAEB^TBdξ。計算積分：B^TB=[(1/l2)-1/l2;-1/l21/l2]，積分后K^e=(EA/l)[1-1;-11]。3.說明二維三角形常應變單元（CST單元）的形函數(shù)構造方法，并指出其主要局限性。CST單元采用三節(jié)點三角形，節(jié)點編號1、2、3，對應坐標(x?,y?)、(x?,y?)、(x?,y?)。形函數(shù)基于面積坐標（L?,L?,L?，滿足L?+L?+L?=1）構造，形式為N_i=L_i（i=1,2,3）。面積坐標L_i=(a_i+b_ix+c_iy)/(2Δ)，其中Δ為三角形面積，a_i=x_jy_k-x_ky_j（j,k為另外兩節(jié)點），b_i=y_j-y_k，c_i=x_k-x_j。CST單元的局限性：①應變和應力在單元內為常數(shù)（“常應變”名稱由來），導致應力在單元邊界不連續(xù)，精度較低；②對彎曲變形描述能力差，需通過加密網(wǎng)格補償；③單元網(wǎng)格畸變（如大角度或過小角度）會顯著降低計算精度；④無法反映場變量的高階變化，適用于粗網(wǎng)格或低精度初步分析。4.對比本質邊界條件與自然邊界條件的定義及施加方式，舉例說明兩者在有限元模型中的具體應用。本質邊界條件（強制邊界條件）直接規(guī)定場變量在邊界上的值，如位移u=ū、溫度T=T?，其數(shù)學形式為u|_Γ?=ū；自然邊界條件規(guī)定場變量的導數(shù)在邊界上的值，如面力t=σ·n、熱流q=-k?T·n，數(shù)學形式為σ·n|_Γ?=t。施加方式：本質邊界條件通過修改剛度矩陣或載荷向量實現(xiàn)，常用方法有直接代入法（將對應行/列置1和ū）、罰函數(shù)法（引入大剛度項）、拉格朗日乘子法（增廣方程組）；自然邊界條件通過載荷向量積分自動滿足，如面力載荷F=∫Γ?tNdΓ直接加入整體載荷向量。實例：懸臂梁固定端（x=0）的位移約束u=0、v=0為本質邊界條件，需強制施加；自由端（x=L）的集中力F為自然邊界條件，通過積分轉化為節(jié)點載荷。5.解釋等參元中“等參變換”的含義，推導四節(jié)點四邊形等參元的坐標變換方程，并說明雅可比矩陣在單元積分中的作用。等參變換指單元的幾何坐標與場變量（如位移）采用相同階次的形函數(shù)進行插值。即幾何坐標(x,y)=∑N_i(ξ,η)(x_i,y_i)，位移(u,v)=∑N_i(ξ,η)(u_i,v_i)，其中(ξ,η)為局部坐標（ξ,η∈[-1,1]），N_i為形函數(shù)（如四節(jié)點單元N_i=(1+ξ_iξ)(1+η_iη)/4，ξ_i、η_i為節(jié)點局部坐標）。四節(jié)點四邊形等參元的坐標變換方程為：x=∑?^4N_i(ξ,η)x_i=[(1-ξ)(1-η)/4]x?+[(1+ξ)(1-η)/4]x?+[(1+ξ)(1+η)/4]x?+[(1-ξ)(1+η)/4]x?y=∑?^4N_i(ξ,η)y_i（形式同上，替換x_i為y_i）。雅可比矩陣J=?(x,y)/?(ξ,η)=[?x/?ξ?x/?η;?y/?ξ?y/?η]，其行列式|J|用于將局部坐標下的積分轉化為物理坐標下的積分（dxdy=|J|dξdη）。若單元發(fā)生嚴重畸變（如|J|≤0），積分無法正確計算，導致剛度矩陣奇異或結果錯誤。6.簡述伽遼金有限元法的基本思想，結合一維熱傳導方程（-kd2T/dx2=q，k為熱導率，q為內熱源）推導其弱形式。伽遼金法屬于加權余量法，基本思想是選擇與形函數(shù)相同的權函數(shù)（即N_i），使微分方程的余量在求解域內與所有權函數(shù)正交（積分等于0），從而將強形式轉化為弱形式（降低導數(shù)階次，便于處理邊界條件）。對于一維熱傳導方程，強形式為：-kd2T/dx2=q（x∈[0,L]），邊界條件T(0)=T?（本質），-kdT/dx(L)=q_L（自然）。引入權函數(shù)w(x)，余量R=-kd2T/dx2-q，伽遼金條件∫?^LwRdx=0，即∫?^Lw(-kd2T/dx2-q)dx=0。對第一項分部積分：∫?^L-kwd2T/dx2dx=-kwdT/dx|?^L+∫?^Lkdw/dxdT/dxdx。代入邊界條件：x=0時T=T?（w任意，dT/dx未知），x=L時-kdT/dx=q_L（即dT/dx=-q_L/k）。因此，邊界項為-kw(L)(-q_L/k)+kw(0)dT/dx(0)=w(L)q_L+kw(0)dT/dx(0)。由于本質邊界條件T(0)=T?已約束，w(0)=0（權函數(shù)在本質邊界上為0以避免引入額外變量），故邊界項僅剩w(L)q_L。最終弱形式：∫?^Lkdw/dxdT/dxdx=∫?^Lwqdx+w(L)q_L。7.分析線性方程組“剛度矩陣”的主要特性（至少列出4點），并說明為什么需要對其進行邊界條件處理。剛度矩陣K的特性：①對稱性：由能量互等定理（K_ij=K_ji）；②稀疏性：僅當節(jié)點i與j共享單元時K_ij≠0，非零元素集中在主對角線附近；③半正定性：無約束時存在剛體位移（如平動、轉動），K的行列式為0；④帶狀分布：非零元素分布在以主對角線為中心的帶狀區(qū)域內，帶寬與節(jié)點編號順序相關。未施加邊界條件時，剛度矩陣半正定，方程組有無窮多解（對應剛體位移）。通過施加本質邊界條件（如固定部分節(jié)點位移），可消除剛體位移，使K變?yōu)檎ň仃?，保證方程組有唯一解。8.比較h型網(wǎng)格加密與p型階次提升兩種誤差控制方法的適用場景，結合具體工程問題說明選擇依據(jù)。h方法通過減小單元尺寸（增加單元數(shù)量）提高精度，p方法通過增加形函數(shù)階次（保持單元數(shù)量，提升插值多項式次數(shù)）提高精度。適用場景對比：①h方法適用于梯度變化劇烈區(qū)域（如應力集中、邊界層），通過局部加密網(wǎng)格捕捉細節(jié)；p方法適用于光滑場問題（如彈性體的高次諧波響應），高階形函數(shù)可更準確描述場變量的連續(xù)變化。②h方法計算量隨單元數(shù)增加呈O(N2)增長（N為節(jié)點數(shù)），p方法計算量隨階次p增加呈O(p^d)增長（d為空間維度），高維問題中p方法效率更高。③h方法對網(wǎng)格質量敏感（需避免畸變單元），p方法對網(wǎng)格畸變有更好的魯棒性（高階形函數(shù)可補償一定程度的幾何失真）。實例：齒輪齒根處應力集中（梯度大）宜用h方法，在齒根區(qū)域局部加密網(wǎng)格；渦輪葉片的高周疲勞分析（應力場光滑但需高精度）宜用p方法，通過提升單元階次減少網(wǎng)格數(shù)量，降低計算成本。9.針對平面應力問題，寫出四節(jié)點矩形單元的應變矩陣B的具體形式（設單元在局部坐標系下邊長為2a和2b，節(jié)點按逆時針順序編號）。平面應力問題中，應變向量ε=[ε_xx,ε_yy,γ_xy]^T，位移向量u=[u,v]^T。四節(jié)點矩形單元在局部坐標系(ξ,η)（ξ∈[-1,1],η∈[-1,1]）下的形函數(shù)N_i=(1+ξ_iξ)(1+η_iη)/4（i=1~4，節(jié)點局部坐標：1(-1,-1),2(1,-1),3(1,1),4(-1,1)）。應變矩陣B=[B?B?B?B?]，其中B_i=[?N_i/?x0;0?N_i/?y;?N_i/?y?N_i/?x]。由于矩形單元為正交接，局部坐標與物理坐標滿足x=aξ,y=bη（a、b為半邊長），故?N_i/?x=(?N_i/?ξ)(?ξ/?x)=[ξ_i(1+η_iη)/(4a)]，?N_i/?y=(?N_i/?η)(?η/?y)=[η_i(1+ξ_iξ)/(4b)]。代入得B_i具體形式（以i=1為例，ξ?=-1,η?=-1）：B?=[-(1-η)/(4a)0;0-(1-ξ)/(4b);-(1-ξ)/(4b)-(1-η)/(4a)]同理可推導i=2~4的B_i矩陣（符號隨ξ_i、η_i變化）。10.某懸臂梁長度L=2m，截面為矩形（寬b=0.1m，高h=0.2m），彈性模量E=200GPa，自由端受集中力F=10kN。采用兩個兩節(jié)點桿單元（假設平面彎曲問題簡化為軸向拉壓是否合理？若不合理，應如何修正單元類型？若采用正確單元類型，計算最大彎曲正應力的理論解與有限元解的相對誤差（設單元劃分足夠細）。①合理性分析：兩節(jié)點桿單元僅能描述軸向拉壓變形，無法反映彎曲引起的橫向位移和正應力分布（彎曲正應力沿截面高度線性變化，桿單元假設軸向位移均勻），因此將平面彎曲簡化為拉壓不合理。②修正單元類型：應采用梁單元（如歐拉-伯努利梁單元，考慮彎曲剛度）或二維平面應力/應變單元（如四節(jié)點四邊形單元），后者可更準確描述截面內的應力分布。③理論解與誤差計算：根據(jù)材料力學，懸臂梁自由端受集中力時，最大彎曲正應力發(fā)生在固定端上/下邊緣，σ_max=M_max/W_z，其中M_max=F·L=1