2025年東北財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理試驗(yàn)班期末考試試題及答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請將正確選項(xiàng)的代表字母填在題干后的括號(hào)內(nèi)）1.在參數(shù)估計(jì)中，置信水平（1-α）表示的是（）。A.參數(shù)真實(shí)值落入估計(jì)區(qū)間的概率B.參數(shù)真實(shí)值落出估計(jì)區(qū)間的概率C.樣本統(tǒng)計(jì)量等于總體參數(shù)的概率D.統(tǒng)計(jì)推斷錯(cuò)誤的可能性2.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，當(dāng)總體方差σ2未知時(shí)，對(duì)總體均值μ進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）。A.Z=(樣本均值-μ)/(σ/√n)B.t=(樣本均值-μ)/(s/√n)C.Z=(樣本方差-σ2)/((σ2/n)*√(n-1))D.χ2=(n-1)s2/σ23.在相關(guān)分析中，若變量X和Y的散點(diǎn)圖呈從左下角到右上角的上升趨勢，則說明兩者之間存在（）。A.負(fù)相關(guān)關(guān)系B.正相關(guān)關(guān)系C.無相關(guān)關(guān)系D.無法判斷相關(guān)關(guān)系4.某商店為了了解顧客的偏好，隨機(jī)抽取了100名顧客進(jìn)行調(diào)查，這種研究方法屬于（）。A.全面調(diào)查B.抽樣調(diào)查C.重點(diǎn)調(diào)查D.典型調(diào)查5.已知一組觀測值的標(biāo)準(zhǔn)差為s=5，樣本量為n=25，則該樣本方差的估計(jì)值是多少？（）A.5B.25C.6.25D.125二、填空題（每空2分，共10分。請將答案填寫在橫線上）6.用樣本的______來估計(jì)總體的______，稱為參數(shù)估計(jì)。7.假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤是指______。8.相關(guān)系數(shù)的取值范圍是______至______。9.抽樣平均誤差是指______的標(biāo)準(zhǔn)差。10.時(shí)間序列分析中，若數(shù)據(jù)呈現(xiàn)長期持續(xù)上升或下降的趨勢，則稱為______。三、名詞解釋（每小題3分，共12分）11.描述統(tǒng)計(jì)12.假設(shè)檢驗(yàn)13.簡單隨機(jī)抽樣14.相關(guān)系數(shù)四、計(jì)算題（共3小題，共28分）15.（10分）從正態(tài)分布總體N(μ,16)中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本，樣本容量n=9，樣本均值計(jì)算得x?=50。若要求構(gòu)造一個(gè)μ的95%置信區(qū)間，已知α/2=1.96。請計(jì)算該置信區(qū)間的上下限。（提示：考慮總體方差已知情況下的Z分布應(yīng)用）16.（10分）某公司想要檢驗(yàn)一種新工藝是否比舊工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均壽命有顯著提高。假設(shè)產(chǎn)品壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)分別從新舊兩種工藝下隨機(jī)抽取了樣本，樣本數(shù)據(jù)如下（單位：小時(shí)）：新工藝：1800,1820,1810,1790,1830；舊工藝：1750,1760,1770,1740,1780。取顯著性水平α=0.05，檢驗(yàn)新工藝是否顯著提高了產(chǎn)品平均壽命？（請寫出檢驗(yàn)步驟，包括提出假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、給出結(jié)論）17.（8分）根據(jù)以下資料，計(jì)算變量X和Y的相關(guān)系數(shù)r。n=6,ΣX=30,ΣY=24,ΣX2=160,ΣY2=120,ΣXY=138。五、簡答題（共2小題，共18分）18.（10分）簡述假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平α和P值分別代表什么含義？兩者之間有何關(guān)系？19.（8分）簡述在什么情況下，使用樣本方差s2作為總體方差σ2的無偏估計(jì)量？為什么？六、論述題（10分）20.論述抽樣調(diào)查相比全面調(diào)查的優(yōu)勢及其需要注意的關(guān)鍵問題。試卷答案一、選擇題1.A解析：置信水平（1-α）是構(gòu)造置信區(qū)間的依據(jù)，它反映了區(qū)間估計(jì)的可靠程度，即參數(shù)真實(shí)值落入該估計(jì)區(qū)間的概率。2.B解析：當(dāng)總體方差σ2未知時(shí)，在對(duì)總體均值μ進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，尤其是在小樣本（n較?。┣闆r下，應(yīng)使用t分布，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為t=(樣本均值-μ)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差s/√n)。3.B解析：散點(diǎn)圖呈從左下角到右上角的上升趨勢，表示隨著變量X的增加，變量Y也傾向于增加，這種關(guān)系稱為正相關(guān)。4.B解析：抽樣調(diào)查是從總體中隨機(jī)抽取一部分單位進(jìn)行調(diào)查，并依據(jù)調(diào)查結(jié)果推斷總體特征。題目中描述的調(diào)查方法是典型的抽樣調(diào)查。5.C解析：樣本方差的計(jì)算公式為s2=(Σ(Xi-x?)2)/(n-1)。樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)量，其估計(jì)值即為計(jì)算出的s2。已知s=5，則s2=52=25。注意題目問的是“估計(jì)值”，即樣本方差的值25。二、填空題6.樣本統(tǒng)計(jì)量；總體參數(shù)解析：參數(shù)估計(jì)的核心思想是用樣本的特征（統(tǒng)計(jì)量）來推斷總體的特征（參數(shù)）。7.原假設(shè)被拒絕，而原假設(shè)實(shí)際上為真解析：第一類錯(cuò)誤，也稱為“棄真錯(cuò)誤”，是指在假設(shè)檢驗(yàn)中，我們錯(cuò)誤地拒絕了實(shí)際上正確的原假設(shè)。8.-1；+1解析：相關(guān)系數(shù)（特別是皮爾遜相關(guān)系數(shù)）是衡量兩個(gè)變量線性相關(guān)程度的指標(biāo)，其取值范圍在-1到+1之間，-1表示完全負(fù)相關(guān)，+1表示完全正相關(guān)，0表示不相關(guān)。9.抽樣平均數(shù)（或樣本均值）解析：抽樣平均誤差是指樣本均值（或其他樣本統(tǒng)計(jì)量）圍繞總體均值（或總體參數(shù)）的平均偏離程度，其數(shù)值上等于樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差。10.長期趨勢解析：時(shí)間序列分析中，長期趨勢是指數(shù)據(jù)在長時(shí)間內(nèi)表現(xiàn)出的持續(xù)上升、下降或平穩(wěn)的狀態(tài)。三、名詞解釋11.描述統(tǒng)計(jì)：是指運(yùn)用圖表和數(shù)值方法對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、展示和描述，以便概括數(shù)據(jù)特征、發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律的一種統(tǒng)計(jì)方法。12.假設(shè)檢驗(yàn)：是一種利用樣本信息來判斷關(guān)于總體假設(shè)是否成立的統(tǒng)計(jì)推斷方法。它通過構(gòu)建原假設(shè)和備擇假設(shè)，并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，依據(jù)其分布和顯著性水平做出拒絕或不拒絕原假設(shè)的決策。13.簡單隨機(jī)抽樣：是指從總體中不加任何分組、分層或其他輔助信息，完全隨機(jī)地抽取樣本單位，使得總體中每一個(gè)單位被抽中的概率都相等的抽樣方法。14.相關(guān)系數(shù)：是度量兩個(gè)變量之間線性相關(guān)程度和方向的統(tǒng)計(jì)量，其數(shù)值介于-1和+1之間。正值表示正相關(guān)，負(fù)值表示負(fù)相關(guān)，絕對(duì)值越大表示線性關(guān)系越強(qiáng)。四、計(jì)算題15.解：(1)置信水平1-α=95%，則α=0.05，α/2=0.025。(2)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得Z_(α/2)=Z_0.025=1.96。(3)總體方差σ2=16，故標(biāo)準(zhǔn)差σ=√16=4。(4)樣本容量n=9，樣本均值x?=50。(5)計(jì)算置信區(qū)間上下限：下限=x?-Z_(α/2)*(σ/√n)=50-1.96*(4/√9)=50-1.96*(4/3)=50-2.5333≈47.47上限=x?+Z_(α/2)*(σ/√n)=50+1.96*(4/√9)=50+1.96*(4/3)=50+2.5333≈52.53(6)置信區(qū)間為(47.47,52.53)。16.解：(1)設(shè)新工藝平均壽命為μ?，舊工藝平均壽命為μ?。檢驗(yàn)新工藝是否顯著提高，即檢驗(yàn)μ?是否大于μ?，故原假設(shè)H?:μ?≤μ?，備擇假設(shè)H?:μ?>μ?。這是單尾檢驗(yàn)問題。(2)樣本數(shù)據(jù)：新工藝X:1800,1820,1810,1790,1830；舊工藝Y:1750,1760,1770,1740,1780。(3)計(jì)算樣本均值和樣本方差：x?=(1800+1820+1810+1790+1830)/5=9000/5=1800y?=(1750+1760+1770+1740+1780)/5=8800/5=1760s?x2=[(1800-1800)2+(1820-1800)2+(1810-1800)2+(1790-1800)2+(1830-1800)2]/(5-1)=[0+40+100+100+900]/4=1140/4=285s?=√285≈16.88s?y2=[(1750-1760)2+(1760-1760)2+(1770-1760)2+(1740-1760)2+(1780-1760)2]/(5-1)=[25+0+100+40+400]/4=565/4=141.25s?=√141.25≈11.88(4)計(jì)算合并方差估計(jì)量（假設(shè)兩總體方差相等）：s_p2=[(n?-1)s?x2+(n?-1)s?y2]/(n?+n?-2)=[(5-1)*285+(5-1)*141.25]/(5+5-2)=[4*285+4*141.25]/8=[1140+564.5]/8=1704.5/8=213.0625s_p=√213.0625≈14.60(5)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t：t=(x?-y?)/(s_p*√(1/n?+1/n?))=(1800-1760)/(14.60*√(1/5+1/5))=40/(14.60*√(2/5))=40/(14.60*0.6325)=40/9.25≈4.34(6)確定拒絕域：自由度df=n?+n?-2=8。查t分布表，α=0.05，df=8，得t_0.05(8)≈1.860。因?yàn)槭菃挝矙z驗(yàn)，拒絕域?yàn)閠>1.860。(7)判斷：計(jì)算得到的t值4.34大于臨界值1.860，故拒絕原假設(shè)H?。(8)結(jié)論：在α=0.05的顯著性水平下，有充分證據(jù)表明新工藝顯著提高了產(chǎn)品平均壽命。17.解：(1)相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式為：r=nΣXY-ΣXΣY/√[(nΣX2-(ΣX)2)(nΣY2-(ΣY)2)](2)代入數(shù)據(jù)：n=6,ΣX=30,ΣY=24,ΣX2=160,ΣY2=120,ΣXY=138。r=6*138-30*24/√[(6*160-302)(6*120-242)]=828-720/√[(960-900)(720-576)]=108/√[60*144]=108/√8640=108/(12√60)=9/√60=9/(2√15)=9√15/30=3√15/10≈3*3.873/10≈11.619/10≈1.162五、簡答題18.解析：顯著性水平α是在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)之前設(shè)定的一個(gè)閾值，它代表我們愿意承擔(dān)的犯第一類錯(cuò)誤（即錯(cuò)誤地拒絕原假設(shè)）的最大概率。P值是衡量樣本數(shù)據(jù)與原假設(shè)之間不一致程度的統(tǒng)計(jì)量，它表示在原假設(shè)成立的前提下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。關(guān)系：P值越小，說明樣本結(jié)果越不可能在原假設(shè)成立時(shí)發(fā)生。當(dāng)P值小于或等于預(yù)設(shè)的顯著性水平α?xí)r，我們就有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)；反之，則沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)。19.解析：當(dāng)總體分布未知或未知但滿足正態(tài)性條件，且總體方差σ2未知時(shí)，使用樣本方差s2作為總體方差σ2的無偏估計(jì)量。理由：根據(jù)樣本方差的定義s2=Σ(Xi-x?)2/(n-1)，可以證明E(s2)=σ2，即樣本方差s2的期望值等于總體方差σ2。這意味著樣本方差s2在平均意義上能夠準(zhǔn)確反映總體方差σ2的大小，因此是無偏估計(jì)量。而如果使用未修正的樣本方差S2=Σ(Xi-x?)2/n，則E(S2)=(n-1)σ2/n≠σ2，是有偏的。六、論述題20.解析：抽樣調(diào)查相比全面調(diào)查的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在：(1)經(jīng)濟(jì)性：抽樣調(diào)查只需調(diào)查總體中的一部分單位，可以顯著減少調(diào)查費(fèi)用，節(jié)省人力、物力和時(shí)間。(2)時(shí)效性：抽樣調(diào)查的樣本量相對(duì)較小，數(shù)據(jù)收集和處理速度更快，能夠更快地獲取所需信息，滿足實(shí)時(shí)決策的需求。(3)準(zhǔn)確性：在精心設(shè)計(jì)和實(shí)施的情況下，抽樣調(diào)查可以得到比全面調(diào)查更準(zhǔn)確的結(jié)果。全面調(diào)查容易因范圍廣、環(huán)節(jié)多而產(chǎn)生登記性誤差、計(jì)算性誤差，甚至因總體單位過多難以保證調(diào)查質(zhì)量。(4)可行性：對(duì)于一些無法進(jìn)行或不適宜進(jìn)行全面調(diào)查的總體（如無限總體、破壞性試驗(yàn)、總體單位過于龐大），抽樣調(diào)查是唯一可行的方法。抽樣調(diào)查需要注意的關(guān)鍵問題：(1)抽樣方法的科學(xué)性：必須根據(jù)研