4-5復(fù)合泊松過程一、復(fù)合泊松過程的定義二、復(fù)合泊松過程的性質(zhì)三、典型例子引例：保險公司保險金儲備問題：設(shè)某保險公司人壽保險者在時刻t1,t2,…時死亡，其中0<t1<t2<…<tn<…是隨機變量（因投保者在何時死亡，預(yù)先是不得而知的），在tn時刻死亡者的家屬持保險單可索取保險金X(n)。設(shè){X(n),n=1,2,…}是一獨立同分布隨機變量列，令N(t)表示在[0,t]內(nèi)死亡的人數(shù)，則{N(t),t≥0}是一強度為

的泊松過程，故此保險公司在[0,t]時間內(nèi)應(yīng)該準備支付的保險金總額即為1.復(fù)合泊松過程定義定義設(shè){N(t),t≥0}是一強度為

的泊松過程，{X(n),n=1,2,…}是獨立同分布隨機變量序列，且N(t)與X(n)相互獨立。規(guī)定X(0)=0，若令則稱{Y(t),t≥0}是一由{N(t),t≥0}復(fù)合而成的復(fù)合泊松過程。2.復(fù)合泊松過程的性質(zhì)（1）{Y(t),t≥0}是一獨立增量過程；（2）{Y(t),t≥0}的增量具有平穩(wěn)性，即增量的分布只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)；（3）{Y(t),t≥0}的特征函數(shù)為復(fù)習——證明：（4）若E|X(1)|2<+∞，則{Y(t),t≥0}的均值函數(shù)為證明：這因為（5）若E|X(1)|2<+∞，則{Y(t),t≥0}的方差函數(shù)為代入上式即得

(1)Y(t)的特征函數(shù)。

(2)D[Y(t)]。例：是復(fù)合泊松過程，N(t)個強度為5的泊松過程，X(0)=0,X(n)(n=1,2,…)它們是相互獨立且具有相同分布的隨機變量，其概率密度為例保險公司保險金儲備問題.設(shè)壽命投保人的死亡數(shù)是一個強度為

的泊松過程，X(n)(n=1,2,…)表示第n個死亡者的死亡賠償金額，它們是相互獨立且具有相同分布的隨機變量，其概率密度為令Y(t)表示在[0,t)時段內(nèi)，保險公司支付的全部賠償費。試求：

(1)在[0,t)時段內(nèi)保險公司平均支付的賠償費；

(2)D[Y(t)]。是一復(fù)合泊松過程，由復(fù)合泊松過程性質(zhì)知故在[0,t)時段內(nèi)保險公司平均支付的賠償費為解：設(shè)N(t)表示[0,t)時段內(nèi)死亡人數(shù)，令X(0)＝0,則定理設(shè){N(t),t≥0}是一強度為

的泊松過程，{X(n),n=1,2,…}是獨立同0－1分布隨機變量序列，P(X(i)=1)=p,且N(t)與X(n)相互獨立。規(guī)定X(0)=0，則{Y(t),t≥0}為強度為

p泊松過程。證明：（1）{Y(t),t≥0}是一獨立增量過程；（2）{Y(t),t≥0}的增量具有平穩(wěn)性，即增量的分布只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)；（3）P{Y(0)=0}=1Y(t)服從參數(shù)為

p的泊松分布。(1),(2),(3),(4),得出{Y(t),t≥0}為強度為

p泊松過程。

例設(shè)N(t)表示在[0,t)內(nèi)到達商場的顧客數(shù)，平均每10分鐘進入25人，N(t)為泊松過程，每位顧客購物的概率為0.2，而且每位顧客是否購物是相互獨立的，而且與顧客數(shù)相互獨立，令Y(t)表示在[0,t)時段內(nèi)購物的顧客數(shù)。（1）計算在第3分鐘到第5分鐘之間到達顧客數(shù)N(t)的概率分布。（2）證明：Y