第六節(jié)譜密度的物理意義一、實(shí)函數(shù)（確定信號(hào)）的功率譜密度二、隨機(jī)過程的功率譜密度三、寬平穩(wěn)過程的功率譜密度四、實(shí)平穩(wěn)過程的功率譜密度——性質(zhì)五、譜函數(shù)與譜分解式一、實(shí)函數(shù)（確定信號(hào)）的功率譜密度2、實(shí)函數(shù)的頻譜則它的Fourier變換存在:并稱為其頻譜定理：Parseval等式（能量公式）證明Parseval’等式我們稱為的能量譜密度。證明：4、平均功率通常情況下，狄利克雷條件不能滿足，如正弦函數(shù)。所以我們轉(zhuǎn)而去研究在上的平均功率。5、定義x(t)的功率譜密度為公式刻畫了平均功率隨頻率的變化規(guī)律。這也是功率譜密度這個(gè)名字的由來二、隨機(jī)過程的功率譜密度設(shè)隨機(jī)過程在均方可積，定義為隨機(jī)過程的平均功率.西南交通大學(xué)王沁1、設(shè)實(shí)平穩(wěn)過程在均方可積，定義為實(shí)平穩(wěn)過程的平均功率.三、實(shí)平穩(wěn)過程的平均功率設(shè)平穩(wěn)過程在均方可積，定義為平穩(wěn)過程過程的平均功率.2.定理.(維納-辛欽公式)設(shè)均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)在任一有限區(qū)間上只有有限個(gè)極值，且在上絕對(duì)可積，則有證明：三、實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度的性質(zhì)第一式表明了譜密度曲線下的總面積（即平均功率）等于平穩(wěn)過程的均方值；第二式表明了譜密度的零頻率分量等于相關(guān)函數(shù)曲線下的總面積。

4、設(shè)X(t)與Y(t)為兩個(gè)正交的平穩(wěn)過程(即RXY(s,t)=0）則Z(t)=X(t)+Y(t)的譜密度為兩過程的譜密度之和，即則有四、實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜函數(shù)第5節(jié)平穩(wěn)過程的功率譜密度西南交通大學(xué)王沁功率譜是功率譜密度函數(shù)的簡稱，它定義為單位頻帶內(nèi)的信號(hào)功率。功率譜表示了信號(hào)功率隨著頻率的變化關(guān)系，即信號(hào)功率在頻域的分布狀況。西南交通大學(xué)王沁PSD

(PowerSpectralDensity)

功率譜密度則它的Fourier變換存在

1.功率譜密度的定義

2、歐拉公式（1）（2）X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX(τ)與譜密度SX(ω)是一付氏變換對(duì)，即3.維納一辛欽公式這樣，在應(yīng)用中我們可根據(jù)實(shí)際情形選擇適當(dāng)?shù)臅r(shí)間域方法或頻率域方法去解決實(shí)際問題。這兩式即著名的維納一辛欽公式，它說明了平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)和譜密度之間的密切關(guān)系，揭示了從時(shí)間角度描述平穩(wěn)過程X(t)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律和從頻率角度描述X(t)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律之間的聯(lián)系。上兩式成立的條件是RX(τ)與SX(ω)絕對(duì)可積，即

例1已知一平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為試求其譜密度。

4、

已知自相關(guān)函數(shù)求譜密度-11直接計(jì)算

例1已知一平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為試求其譜密度。

例1-0已知一平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為試求其譜密度。

5.維納一辛欽公式(常用的公式）

試求其譜密度。

西南交通大學(xué)王沁例3

已知一實(shí)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為

其中α,ω0均為常數(shù)，試求其譜密度。對(duì)τ配方可得:西南交通大學(xué)王沁例4解西南交通大學(xué)王沁西南交通大學(xué)王沁第5節(jié)平穩(wěn)過程的功率譜密度(1)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(2)功率譜密度的性質(zhì)(3)已知功率譜密度如何求自相關(guān)函數(shù)一、平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1.復(fù)習(xí)：自相關(guān)函數(shù)的定義：那么，X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX(τ)與譜密度SX(ω)是一傅氏變換對(duì)，即二.維納一辛欽公式X(t)的相關(guān)函數(shù)RX(τ)與譜密度SX(ω)是一付氏變換對(duì)，即三、平穩(wěn)過程的功率譜的性質(zhì)（1）功率譜SX(ω)是

的實(shí)值非負(fù)函數(shù)。(2)若X(t)為實(shí)平穩(wěn)過程，則其譜密度為偶函數(shù)。4.設(shè)X(t)與Y(t)為兩個(gè)正交的平穩(wěn)過程(即RXY(s,t)=0）則Z(t)=X(t)+Y(t)的譜密度為兩過程的譜密度之和，即則有證明：四.已知功率譜，求自相關(guān)函數(shù)第一類：功率譜是有理函數(shù)，求其自相關(guān)函數(shù)。解(1)例

已知平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度為試求其自相關(guān)函數(shù)RX(τ)和平均功率W。Step2:Step1:Step3:Step4:例

已知 ，其中s0，c為常數(shù)，試求RX(τ)。

第二類：功率譜是呈負(fù)指數(shù)衰減到零，求其自相關(guān)函數(shù)。5.雙邊譜密度與單邊譜密度(1)雙邊譜密度由于定義3.1式中的譜密度SX(ω)在整個(gè)頻率軸ω上都有定義，因此被稱為X(t)的雙邊譜密度,即(2)單邊譜密度定義3.2

設(shè)X(t)為實(shí)平穩(wěn)過程,SX(ω)為定義3.1中定義的雙邊譜密度，則稱

為X(t)的單邊譜密度.見下圖0ωSX(ω)

例

設(shè)平穩(wěn)過程的譜密度為

試求X(t)的自相關(guān)函數(shù)，單邊譜密度與平均功率。單邊譜密度為

例3.9設(shè)平穩(wěn)過程的譜密度為

試求X(t)的自相關(guān)函數(shù)，單邊譜密度與平均功率。再由性質(zhì)5

可知，SX(ω)的逆變換為單邊譜密度為利用δ-函數(shù)求譜密度與自相關(guān)函數(shù)第5節(jié)平穩(wěn)過程的功率譜密度在工程中遇到的平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)一般有以下三種情況：（1）當(dāng)τ→∞時(shí)，RX(τ)→0，其傅立葉變換SX(ω)存在；（2）當(dāng)τ→∞時(shí)，RX(τ)→mX

，此時(shí)在ω=0處引入

-函數(shù)，可求出的傅立葉變換SX(ω)；（3）當(dāng)τ→∞時(shí)，RX(τ)呈振蕩形式，引入

函數(shù)，也可求出RX(τ)的付立葉變換SX(ω)。1、δ-函數(shù)的定義定義：

若函數(shù)為則稱其為δ-函數(shù)。通常用單位有向線段來表示.

─函數(shù)常用來表示作用在一點(diǎn)的沖擊力或脈沖信號(hào)。當(dāng)沖擊力或脈沖發(fā)生在t0時(shí)刻，這時(shí)定義

─函數(shù)為據(jù)此可得：2、─函數(shù)的基本性質(zhì)：

據(jù)此，我們可得到

─函數(shù)的付立葉變換對(duì)：利用上面的兩式，求實(shí)際情況中三種自相關(guān)函數(shù)(功率譜)形式對(duì)應(yīng)的譜密度（自相關(guān)函數(shù)）。據(jù)此可得：據(jù)此，我們可得到

─函數(shù)的付立葉變換對(duì)：西南交通大學(xué)王沁例

白噪聲過程：通常稱譜密度在整個(gè)頻率軸

上為非零常數(shù)，且均值為0的平穩(wěn)過程為白噪聲過程，簡稱白噪聲（由于白色光的光譜成分大體上是均勻的，白噪聲因此而得名），其功率譜密度為3.已知功率譜，利用δ-函數(shù)求自相關(guān)函數(shù)這表明白噪聲的平均功率是無限的，因此白噪聲只是一個(gè)理想的數(shù)學(xué)模型，是一個(gè)相對(duì)的概念。例

若平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度如下：求其對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)。

例已知隨機(jī)電報(bào)信號(hào)過程的自相關(guān)函數(shù)為試求其功率譜密度。解：由于自相關(guān)函數(shù)存在直流分量，故在ω=0處引入

─函數(shù)，即可求出功率譜密度，即4、已知自相關(guān)函數(shù)，利用δ-函數(shù)求功率譜

例

已知一隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為試求其功率譜密度。解：由于此自相關(guān)函數(shù)既包括直流分量，又包括一個(gè)頻率為ω0的正弦分量，因此，分別在ω=0和ω=±ω0處引入

─函數(shù)，可得譜密度強(qiáng)調(diào)一下：白噪聲過程的概念(1)白噪聲過程：通常稱譜密度在整個(gè)頻率軸

上為非零常數(shù)，且均值為0的平穩(wěn)過程為白噪聲過程，簡稱白噪聲。(2)設(shè)隨機(jī)過程{X(n),n=±1,±2,…}為實(shí)的互不相關(guān)隨機(jī)變量序列，且其自相關(guān)函數(shù)為易見此過程為一寬平穩(wěn)過程。這個(gè)平穩(wěn)序列稱為離散白噪聲.例

若平穩(wěn)過程X(t)在有限頻率帶上的功率譜密度為常數(shù)，在此頻率帶之外為零，即稱此過程為限帶白噪聲，對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為此時(shí)X(t)與X(t+τ)不相關(guān)。西南交通大學(xué)王沁第七節(jié)平穩(wěn)過程的譜分解1、平穩(wěn)過程的譜表示定理4.1

設(shè){X(t),-∞<t

<+∞}是零均值，且均方連續(xù)的復(fù)平穩(wěn)過程，其譜密度為SX(ω)，則X(t)可表示為1平穩(wěn)過程的譜表示稱為X(t)的隨機(jī)譜函數(shù)。隨機(jī)譜函數(shù)Z(ω)

具有以下性質(zhì)：2

{Z(ω),-∞<ω<+∞}是右連續(xù)的正交增量過程；3

對(duì)于任意的ω1<ω2稱為X(t)的譜分布函數(shù)，或稱功率譜函數(shù)，簡稱譜函數(shù)。定理4.1表明一個(gè)平穩(wěn)過程可表示為隨機(jī)譜函數(shù)的傅立葉積分,而隨機(jī)譜函數(shù)的增量的二階矩可用譜密度函數(shù)來描述。

注意到X(t)為平穩(wěn)過程,而Z(ω)為X(t)的線性函數(shù)的均方積分,因而亦為一平穩(wěn)隨機(jī)過程,且為一正交增量過程。由X(t)的譜分解式可見

X(t)實(shí)際上是和式均方收斂的極限，換言之，我們可用Xn(t)來逼近X(t)，而Xn(t)的表達(dá)式表明，它就是頻率為ωj的具有隨機(jī)振幅[Z(ωj+1)-Z(ωj)]的隨機(jī)簡諧振動(dòng)的疊加，而Z(ω)是正交增量過程，故Xn(t)中的各隨機(jī)振幅[Z(ωj+1)-Z(ωj)]是互不相關(guān)的，如果對(duì)

的分割加密，再取極限，即得例3.14

設(shè)平穩(wěn)過程X(t)的相關(guān)函數(shù)為即平穩(wěn)過程X(t)的譜表示就是說明X(t)為無限多個(gè)各種不同頻率隨機(jī)振動(dòng)的疊加的一種數(shù)學(xué)描述。其中

、

是正數(shù)，試求X(t)的譜密度、譜函數(shù)。

解：由X(t)的自相關(guān)函數(shù)，利用付氏變換可得，其譜密度為推論4.1

設(shè)X(t)為零均值的均方連續(xù)正態(tài)平穩(wěn)過程的充要條件是它的譜分解式中的隨機(jī)譜函數(shù)為正態(tài)獨(dú)立增量過程。2實(shí)平穩(wěn)過程的譜分解定理定理4.2

設(shè){X(t),-∞<t<+∞}是零均值，且均方連續(xù)的實(shí)平穩(wěn)過程，其譜函數(shù)為FX(ω)，則X(t)可表示為隨機(jī)函數(shù)有以下性質(zhì)：2

對(duì)于任意不相重疊的區(qū)間：[ω1,ω2],[ω3,ω4]，有3

對(duì)于任意的ω1<ω2,有3復(fù)平穩(wěn)時(shí)間序列的譜分解定理4.3

設(shè){X(n),n=0,±1,±2,…}是零均值的復(fù)平穩(wěn)序列，其譜函數(shù)為FX(ω)，則X(n)可表示為

為X(t)的隨機(jī)譜函數(shù)，滿足以下性質(zhì)3

對(duì)于任意的ω1<ω2，有對(duì)于實(shí)平穩(wěn)序列,有相應(yīng)譜分解定理如下：

2

{Z(ω),-∞<ω<+∞}是右連續(xù)的正交增量過程；定理4.4

設(shè){X(n),n=0,±1,±2,…}是零均值的實(shí)平穩(wěn)序列，其譜函數(shù)為FX(ω)，則X(n)可表示為稱為X(n)的隨機(jī)譜函數(shù)，具有以下性質(zhì)：2

對(duì)于任意不相重疊的區(qū)間:3

對(duì)于任意的ω1<ω2，有[ω1,ω2],[ω3,ω4]，有

（1）試證明{Y(n),n