3.3探索與表達規(guī)律（第1課時）（教學(xué)設(shè)計）1.教學(xué)內(nèi)容本課時是北師大版七年級上冊第三章整式及其加減，第三節(jié)探索與表達規(guī)律第一課時，內(nèi)容為在日歷問題背景中尋找不同的規(guī)律，感受規(guī)律的多樣性，進而用代數(shù)式表示規(guī)律，并借助運算論證一些數(shù)量關(guān)系的正確性。2.內(nèi)容解析本課時主要以日歷問題為背景，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。日歷在日常生活中很常見，其中數(shù)量關(guān)系的規(guī)律比較容易被發(fā)現(xiàn)，探索規(guī)律往往是對事物進行一般化表示的重要工作，是抽象地分析數(shù)學(xué)對象的開始，也是今后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)。因此本課時的重點在于用代數(shù)式表示規(guī)律，并借助運算論證一些數(shù)量關(guān)系的正確性。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為用代數(shù)式表示并借助代數(shù)式運算解釋某些一般規(guī)律或現(xiàn)象。教學(xué)目標(biāo)（1）經(jīng)歷由特殊到一般和由一般到特殊的問題解決過程，體會代數(shù)推理的特點和作用，發(fā)展代數(shù)推理能力。（2）能用代數(shù)式表示規(guī)律，并借助運算解釋一些現(xiàn)象、論證一些規(guī)律或關(guān)系的正確性。（3）能利用代數(shù)式設(shè)計一些蘊含規(guī)律的問題。2.目標(biāo)解析（1）本節(jié)課以日歷問題為背景用字母表示數(shù)，可以把數(shù)與數(shù)量之間的關(guān)系更為簡明地反映出來，從而更加深刻地揭示存在于一類問題中的共同屬性，這種符號化的表示方法，正是代數(shù)的一個重要特征。因此，建立良好的符號意識，能夠自覺地用數(shù)學(xué)的符號語言對現(xiàn)實問題進行抽象、概括和解釋，是一個人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)發(fā)揮其教育功能的核心任務(wù)之一。（2）“探索與表達規(guī)律”是應(yīng)用“字母表示數(shù)”的一個重要內(nèi)容。探索規(guī)律往往是對事物進行一般化表示的重要工作，是抽象地分析數(shù)學(xué)對象的開始，也是今后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)。（3）通過日歷問題活動的目的是希望學(xué)生從整式運算的角度理解字母表示規(guī)律和整式的加減運算。鼓勵學(xué)生回顧日歷問題的解決過程，并用自己的語言進行表達，從數(shù)到式的過程，發(fā)展學(xué)生抽象能力、推理能力和運算能力。本節(jié)課前，學(xué)生已經(jīng)掌握了有理數(shù)的運算，進一步理解了用字母表示數(shù)的意義，初步認(rèn)識了字母可以像數(shù)一樣進行運算和推理，感悟了通過字母運算和推理得到的結(jié)論具有一般性，學(xué)習(xí)了整式的加減運算，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了堅實的基礎(chǔ)。學(xué)生已經(jīng)初步具備了用代數(shù)式表達數(shù)量關(guān)系及規(guī)律，并對結(jié)果進行化簡的意識和能力，為本節(jié)課進行觀察、歸納獲得數(shù)學(xué)猜想，以及符號化表達和論證提供了思維基礎(chǔ)。初步認(rèn)識了探索規(guī)律的方法，形成了“觀察一分析一歸納一論證”的一般思維路徑。七年級學(xué)生具有較強的好奇心和求知欲，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)保持著較高的熱情，思維的形象性和發(fā)散性明顯，而抽象性與深刻性不足。對于較復(fù)雜、抽象的情境，多數(shù)學(xué)生缺乏對探究方向的整體把握，思路不夠清晰?；谝陨戏治觯_立本節(jié)課的教學(xué)難點為對解決問題的思路和方法的分析與選擇。創(chuàng)設(shè)情景，引入新課復(fù)習(xí)：整式加減運算法則：進行整式加減運算時，如果遇到括號要先去括號，再合并同類項。(設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)為本節(jié)課學(xué)習(xí)做好鋪墊。)探究點1日歷問題（方形框）觀察圖37所示的日歷圖，回答下列問題:追問1：日歷圖中的數(shù)有什么規(guī)律?鼓勵學(xué)生觀察日歷中的數(shù)，從不同角度發(fā)現(xiàn)規(guī)律、表示規(guī)律。例如:橫向相鄰兩數(shù)相差1，縱向相鄰兩數(shù)相差7，因此橫向相鄰的三個數(shù)可分別表示為al，a,a+l,縱向相鄰的三個數(shù)可分別表示為a7，a,a+7。還可以引導(dǎo)學(xué)生觀察對角線上相鄰兩數(shù)之間的關(guān)系。追問2：日歷圖的套色方框中的9個數(shù)之和與該方框正中間的數(shù)有什么關(guān)系?9個數(shù)之和為90，90=9×10。有的學(xué)生可能得出其他關(guān)系，讓學(xué)生再找?guī)讉€方框試試，看發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是否還成立。追問3：這個關(guān)系對任何一個月的日歷都成立嗎?為什么?讓學(xué)生體會運算能用來論證所發(fā)現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系的正確性。設(shè)正中間的數(shù)是a，則這9個數(shù)可以表示所以這9個數(shù)的和等于9a。追問4：你還能發(fā)現(xiàn)這樣的方框中9個數(shù)之間的其他關(guān)系嗎?請用代數(shù)式表示。鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)、表示盡可能多的關(guān)系，并用運算進行論證。例如，對角線上3個數(shù)之和相等，第一列3個數(shù)加第三列3個數(shù)的和是第二列3個數(shù)之和的2倍等。嘗試·思考問題1：圖37所示的日歷圖中，能否使框中9個數(shù)的和為144?180呢?為什么?追問1：你可以通過哪些方法說明能否使框中9個數(shù)的和為144?180呢?討論交流？可以通過逆向思考問題，運用前面得出的結(jié)論，結(jié)合運算進行代數(shù)推理。還可以設(shè)這中間的數(shù)為，求出根據(jù)結(jié)論來判斷。追問2：能否使框中9個數(shù)的和為144?180呢?為什么？都不能。框中9個數(shù)之和一定是9的整數(shù)倍，而144不能被9整除;如果9a=180，那么a=20，但在圖37的日歷中，20不能作為方框正中間的數(shù)。問題2：在某個月的日歷中，恰好有五個星期日位于同一列且日期數(shù)的和為80，這個月的第一個星期日是幾號?追問1：設(shè)這5個數(shù)正中間的數(shù)是b，那么這5個數(shù)的和怎樣表示？設(shè)這5個數(shù)正中間的數(shù)是b，則這5個數(shù)可以表示為b14，b7，b,b+7,b+14，因此這5個數(shù)之和為（b14）＋（b7）＋b＋（b+7）＋（b+14）＝5b。追問2：這個月的第一個星期日是幾號?為什么？設(shè)這5個數(shù)正中間的數(shù)是b，則5b=80，可得b=16。1614=2，所以這個月的第一個星期日是2號。歸納總結(jié)解決規(guī)律問題的一般思維路徑：“觀察一分析一歸納一論證”(設(shè)計意圖：通過學(xué)生熟悉的日歷問題，學(xué)習(xí)用代數(shù)式表達數(shù)量關(guān)系及規(guī)律，并通過代數(shù)推理結(jié)論的正確性。)典例分析(2)________，________，________（用含a的代數(shù)式分別表示）；【分析】本題考查列代數(shù)式及整式加減的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，弄清楚數(shù)字的排列規(guī)律。故答案為：；(設(shè)計意圖：強化用字母表示規(guī)律，并進行推理論證。)探究點2日歷問題（＋、H、M、W形框等）思考·交流追問1：如圖38，如果將方框改為十字形框，你能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律?如果改為H形框呢?它們有什么共同規(guī)律?將方框改成十字形框、H形框，引導(dǎo)學(xué)生思考規(guī)律背后的本質(zhì)。答案不唯一。追問2：你還能設(shè)計出其他形狀的包含數(shù)字規(guī)律的數(shù)框嗎?與同伴進行交流。鼓勵學(xué)生發(fā)散思維、。還可以設(shè)計成M形框、W形框等。總結(jié)歸納：通過以上學(xué)習(xí)，我們會用代數(shù)式表示規(guī)律，并借助運算論證一些數(shù)量關(guān)系的正確性。典例分析例2．圖1是2024年10月的月歷．(2)如圖2，若用m表示陰影部分（5天）中最中間一天的日期，用S表示這5天的日期之和，求S與m之間的關(guān)系式．【分析】本題主要考查整式加減的應(yīng)用，熟練掌握整式的加減運算是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意和圖形，可以用含的代數(shù)式表示出本周二和下周三；（2）根據(jù)題意和圖形，可以S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】（1）解：由圖可得，（2）解：由圖可得，(1)根據(jù)規(guī)律，數(shù)24位于第4行第3列，那么數(shù)100位于第_____行第_____列；(2)數(shù)表中第行第1列的數(shù)是_____；②任意平移“”字型的位置，與之間的關(guān)系還成立嗎？若成立，請通過計算說明理由；若不成立，請舉例說明．【分析】本題考查找規(guī)律，涉及數(shù)字規(guī)律、用代數(shù)式表示數(shù)字規(guī)律、整式加減運算等知識，讀懂題意，找準(zhǔn)規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．（1）由題中數(shù)表的規(guī)律即可得到答案；（2）由題中數(shù)表的規(guī)律即可得到答案；【詳解】（1）解：由題中數(shù)表，每一行有7個數(shù)，數(shù)100位于第15行第2列，故答案為：15；2；②成立，理由如下：例4．綜合與實踐．在一個創(chuàng)新教育中心，學(xué)生們正在參與一個名為“火柴棍工程”的綜合實踐活動．這個活動旨在通過動手實踐來培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力、邏輯思維和數(shù)學(xué)計算能力．如圖所示，學(xué)生們需要使用火柴棍來構(gòu)建一系列由三角形組成的圖形，并探索這些圖形的數(shù)學(xué)規(guī)律．(1)實踐操作：如果圖形中含有4個三角形，那么拼成這個圖形需要根火柴棍．(2)數(shù)學(xué)探究：如果圖形中含有n個三角形，那么拼成這個圖形需要根火柴棍．【分析】本題主要考查了圖形類的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意數(shù)出圖形中含有4個三角形時需要的火柴棒數(shù)量即可；（2）觀察圖形可知，每多一個三角形，則要多兩根火柴棒，據(jù)此規(guī)律求解即可；（3）根據(jù)（2）所求求出所需要的火柴棒數(shù)量即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，如果圖形中含有4個三角形，那么拼成這個圖形需要9根火柴棒；（2）解：圖形中含有1個三角形，需要3根火柴棒，……，(設(shè)計意圖：強化用代數(shù)式表示規(guī)律。)1.下圖是由邊長相同的小正方形組成的，其中部分小正方形涂有陰影，依此規(guī)律完成此題：圖形標(biāo)號第一個第二個第三個第四個涂有陰影的小正方形的個數(shù)5a13b(1)________，________；(2)第n個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)為________個；（用含n的代數(shù)式來表示）(3)按照這種規(guī)律下去，求第400個圖形中涂有陰影的小正方形的個數(shù)．【分析】本題是圖形的規(guī)律探究題，找到題目中的規(guī)律，并用代數(shù)式把規(guī)律表示出來是解決本題的關(guān)鍵．（2）觀察可知后面一個圖形比前面一個圖形多4個涂有陰影的小正方形，據(jù)此規(guī)律求解即可；故答案為：9，17；（2）觀察圖形規(guī)律，可知：第1個圖形涂有陰影的小正方形的個數(shù)為個，，以此類推，(設(shè)計意圖：強化用代數(shù)式表示規(guī)律及推理)1.下面是用棋子擺成的“小房子”。擺第10個這樣的“小房子”需要多少枚棋子?擺第n個這樣的“小房子”呢?你是如何得到的?(設(shè)計意圖：學(xué)完新知識后及時進行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強化學(xué)生對新知的記憶，加深學(xué)生對新知的理解，還可以及時反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補缺，幫助教師及時調(diào)整教學(xué)策略)1．（2025.六安金安期末考試）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，按此規(guī)律排列下去，第個圖形中圓的個數(shù)是________．，故答案為：．2．（2025.湖北）幻方起源于中國，月歷常用于生活，它們有很多奧秘，探究并完成填空．主題探究月歷與幻方的奧秘活動一圖1是某月的月歷，用方框選取了其中的9個數(shù)．（1）移動方框，若方框中的部分?jǐn)?shù)如圖2所示，則a是，b是；（2）移動方框，若方框中的部分?jǐn)?shù)如圖3所示，則c是，d是；（注：用含n的代數(shù)式表示c和d．）活動二移動方框選取月歷中的9個數(shù)，調(diào)整它們的位置，使其滿足“三階幻方”分布規(guī)律：每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的三個數(shù)的和都相等．（3）若方框選取的數(shù)如圖4所示，調(diào)整后，部分?jǐn)?shù)的位置如圖5所示，則e是，f是；（4）若方框選取的數(shù)中最小的數(shù)是n，調(diào)整后，部分?jǐn)?shù)的位置如圖6所示，則g是（用含n的代數(shù)式表示g）．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：a＝4+1＝5，b＝4+7＝11．故答案為：5，11；（2）根據(jù)題意得：c＝n+1，d＝n+7．故答案為：n+1，n+7；（3）根據(jù)題意得：17+2+e＝2+10+18，17+10+f＝2+10+18，解得：e＝11，f＝3．故答案為：11，3；（4）根據(jù)題意得：9g＝n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16，解得：g＝n+8．故答案為：n+8．（設(shè)計意圖：在學(xué)習(xí)完知識后加入中考等真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力）解決規(guī)律問題的一般思維路徑：“觀察一分析一歸納一論證”。2.通過以上學(xué)習(xí)，我們會用代數(shù)式表示規(guī)律，并借助運算論證一些數(shù)量關(guān)系的正確性。（設(shè)計意圖：對本課的知識進行總結(jié)，有利于學(xué)生對增強學(xué)習(xí)的主動性與連貫性）必做題：習(xí)題3.3第1、2題.探究性作業(yè)：1．?dāng)?shù)學(xué)實踐課中：一張紙片，第一次將其撕成四小片,以后每次都將其中一片撕成更小的四片，如此進行下去,撕到第2次手中共有7張紙片，問撕到第4次時，手中共有張，撕到第n次時，手中共有（用含有n的代數(shù)式表示）張．【詳解】解：