專題4.2對(duì)數(shù)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（1個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5大題型+1大拓展訓(xùn)練+自我檢測）題型一對(duì)數(shù)的概念判斷與求值題型二指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化題型三對(duì)數(shù)的運(yùn)算題型四對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用題型五運(yùn)用換底公式化簡計(jì)算拓展訓(xùn)練一對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一：對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)的概念1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次冪等于N,即ab=N,那么數(shù)b稱為以a為底N的對(duì)數(shù),記作logaN=b,其中a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫作真數(shù).

名師點(diǎn)睛“l(fā)og”同+、、×等符號(hào)一樣,表示一種運(yùn)算,即已知一個(gè)底數(shù)和它的冪求指數(shù)的運(yùn)算,這種運(yùn)算叫對(duì)數(shù)運(yùn)算.對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)1.負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù).2.對(duì)于任意的a>0,且a≠1,都有l(wèi)oga1=0,logaa=1,loga=1.3.對(duì)數(shù)恒等式=N.名師點(diǎn)睛1.loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可簡述為“1的對(duì)數(shù)等于0,底的對(duì)數(shù)等于1”.2.對(duì)數(shù)恒等式的特點(diǎn):(1)指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式;(2)同底,即冪底數(shù)和對(duì)數(shù)的底數(shù)相同;(3)其值為對(duì)數(shù)的真數(shù).對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).拓展：logamMn＝eq\f(n,m)logaM(n∈R，m≠0).換底公式對(duì)數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).特別地：(1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).(2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)．【即時(shí)訓(xùn)練】【答案】C故選：C【答案】5故答案為：5.【經(jīng)典例題一對(duì)數(shù)的概念判斷與求值】【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，底數(shù)大于且不等于，真數(shù)大于0，列不等式組即可求解．故選：D.【例2】（2425高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）求下列各式中x的值．【答案】(1)27(2)(3)(4)【分析】（1）（2）將對(duì)數(shù)化為指數(shù)，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算求解；（3）（4）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義逐步去對(duì)數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【答案】B【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)式比大小及充分條件，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷，即可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A、C選項(xiàng)，因?yàn)閙、n與1的大小不定，所以不能判斷a、b的正負(fù)，排除A、C選項(xiàng)；所以B可以，則D不成立，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)式比大小及充分條件的判斷，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的值域問題，屬于中檔題.2．（多選題）（2425高一下·山西大同·階段練習(xí)）下列說法等式正確的有（

）【答案】AB【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義和運(yùn)算逐項(xiàng)分析求解.故選：AB.【答案】【分析】由對(duì)數(shù)的概念運(yùn)算求解即可.【詳解】由對(duì)數(shù)運(yùn)算的定義，有故答案為：.4．（2324高一·全國·課后作業(yè)）比較下列各組數(shù)值的大?。骸窘?jīng)典例題二指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化】A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃【答案】C【詳解】由初始溫度為100℃，特殊環(huán)境溫度是20℃，時(shí)間15min代入題中式子得：故選：C.【例2】（2425高一上·上?！ふn堂例題）求下列各式中的值：(4)1000.【分析】根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化解答（1）（2）；根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)解答（3）（4）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D故選：.2．（多選題）（2324高一·全國·課后作業(yè)）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是（

）【答案】ACD【分析】根據(jù)指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的概念進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化.故選：ACD.【答案】/【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的互化，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算，即可求得答案.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用換元法解指數(shù)形式的方程，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.【經(jīng)典例題三對(duì)數(shù)的運(yùn)算】【答案】C故選：C【例2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）化簡：【答案】(1)125(2)(3)【分析】（1）（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可解即可.（3）利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B故的位數(shù)是20，故選：B．【答案】BD故選：BD4．（2324高一上·浙江金華·期末）計(jì)算下列各式的值：【答案】(1)3(2)4【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得答案；（2）由指數(shù)冪的運(yùn)算法則及平方和，立方差等公式計(jì)算可得答案.【詳解】（1）結(jié)合題意可得：（2）結(jié)合題意可得：【經(jīng)典例題四對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用】A．4級(jí) B．3級(jí) C．2級(jí) D．1級(jí)【答案】C故選：C.【例2】（2425高一下·山西大同·階段練習(xí)）化簡下列各式：【答案】(1)4(2)【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算分析求解；（2）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算分析求解.（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，得【答案】D【分析】由已知結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求解．五分記錄法中最大值對(duì)應(yīng)的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為最小值對(duì)應(yīng)的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)的倍數(shù)為:故選：D．2．（多選題）（2425高一上·河南鄭州·期末）下列結(jié)論正確的有（

）【答案】ABD【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算可判斷AB的正誤，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C的正誤，根據(jù)指對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化可判斷D的正誤.故選：ABD.3．（2425高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知表中的對(duì)數(shù)值有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的：x1.53567891427【答案】（1）；（2）；（3）8【分析】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.（2）（3）利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【經(jīng)典例題五運(yùn)用換底公式化簡計(jì)算】A． B． C． D．【答案】C【分析】利用換底公式可得出所求代數(shù)式的值.故選：C.【例2】（2425高一上·全國·單元測試）計(jì)算：【答案】(1)(2)11【分析】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法制與換底公式即可得答案.（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法制與換底公式即可得答案..A．4 B．6 C．9 D．25【答案】D故選：D.【答案】BCD【分析】直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可得答案．∴ab＜a+b＜0．故選BCD【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)值大小的比較，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，是中檔題．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式求解即可故答案為：34．（2425高一上·全國·單元測試）求解下列問題：【答案】(1)答案見解析【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；（2）結(jié)合換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【拓展訓(xùn)練一對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算】【答案】C故選：C.【分析】（1）應(yīng)用指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值即可；A．2600 B．2700 C．2800 D．2900【答案】A故選：A.2．（多選題）（2324高一上·陜西西安·期中）下列等式不成立的有（

）【答案】CD【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?的對(duì)數(shù)為0，故選項(xiàng)A正確；綜上：等式不成立的是，故選：.【答案】4【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡可得結(jié)果.故答案為：4.4．（2324高一上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）對(duì)代數(shù)式提公因式、合并同類項(xiàng)，并利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出結(jié)果；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出分子和分母，由此可計(jì)算出分式的值；（3）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及完全平方公式可得出代數(shù)式的值.【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)和底數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)式的底數(shù)為大于零不等于1的實(shí)數(shù)，真數(shù)為正實(shí)數(shù)，故選：C2．（2324高一·全國·課后作業(yè)）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是（

）【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化公式直接得到答案.故選：CA． B．1 C．2 D．4【答案】C故選：C.【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和換底公式直接求解即可.故選：C.A． B． C． D．【答案】D【分析】由對(duì)數(shù)的換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出結(jié)果.故選：D.6．（多選題）（2324高一上·江蘇連云港·期中）在下列選項(xiàng)中，不正確的是（

）【答案】BCD【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，及指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化進(jìn)行計(jì)算即可.故選：BCD.A．① B．②C．③ D．④【答案】AB【分析】利用對(duì)數(shù)的恒等式與對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化可判斷出各等式的正誤.故選AB.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)式正誤的判斷，解題時(shí)要熟悉對(duì)數(shù)恒等式的應(yīng)用，同時(shí)也要掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．（多選題）（2425高一上·江蘇徐州·期末）下列命題正確的是（

）【答案】AD【分析】AB由指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項(xiàng)正誤；CD由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項(xiàng)正誤.故選：AD【答案】AB故選：AB.【答案】AC【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式逐一判斷各選項(xiàng)即可．故選：AC．由5lgx＝25，得lgx＝2，∴x＝100；【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．【點(diǎn)睛】本題主要考查換底公式的應(yīng)用，涉及到指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用．【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化關(guān)系、對(duì)數(shù)的換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解.【答案】或故答案為：或【答案】/0.2【分析】將題中所給的指數(shù)式換成對(duì)數(shù)式，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得.故答案為：.16．（2324高一下·四川成都·階段測試）計(jì)算【答案】（1）3a；（2）.【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡求值；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行求解.【點(diǎn)睛】此題考查指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于熟練掌握指數(shù)冪的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.【解析】（1）將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算，化簡求得所求表達(dá)式的值.（2）將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算，化簡求得所求表達(dá)式的值.（3）將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，化簡求得所求表達(dá)式的值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18．（2025高二·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：【答