第十四章實數(shù)14.2立方根

一、教材分析立方根是冀教版八年級數(shù)學(xué)實數(shù)章節(jié)的重要內(nèi)容.在知識體系上，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)、平方根等知識后的進一步拓展，是數(shù)的開方運算知識的完善，為后續(xù)學(xué)習(xí)實數(shù)的運算、二次根式以及一元二次方程等知識奠定基礎(chǔ).從數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)角度看，學(xué)習(xí)立方根有助于學(xué)生深化對數(shù)學(xué)運算互逆性的理解，提升學(xué)生的邏輯推理和抽象思維能力.在實際應(yīng)用中，立方根知識可用于解決工程、物理等領(lǐng)域中涉及體積計算等實際問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)實用性的認識.教材從實際生活問題引出立方根概念，通過計算一個體積為特定值的正方體棱長，讓學(xué)生感知立方根的存在和實際意義，使學(xué)生意識到數(shù)學(xué)知識與生活緊密相連，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望.在給出立方根定義后，教材安排了大量具體數(shù)字求立方根的例題和練習(xí)題，由淺入深，從簡單整數(shù)的立方根計算，到較為復(fù)雜的分數(shù)、小數(shù)的立方根計算，逐步引導(dǎo)學(xué)生掌握立方根的計算方法.

二、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)的立方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的立方根.2.探究立方根的性質(zhì)，并能靈活運用.3.了解開立方與立方是互逆的運算，會利用這個互逆運算關(guān)系求某數(shù)的立方根.4.體會開立方運算與立方運算之間的互逆關(guān)系．進一步感受到所學(xué)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.

三、教學(xué)重難點重點：了解數(shù)的立方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的立方根；了解開立方與立方是互逆的運算，會利用這個互逆運算關(guān)系求某數(shù)的立方根.難點：探究立方根的性質(zhì)，并能靈活運用.

四、教學(xué)過程情境導(dǎo)入如圖所示，已知小正方體的棱長為2，那么它的體積是多少？反過來，如果大正方體的體積V=27，你能不能求出它的棱長x呢？我們一起來探究吧！師生活動：教師通過實際問題，引發(fā)學(xué)生思考.設(shè)計意圖：通過身邊的實際問題引導(dǎo)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，同時，讓學(xué)生感受到即將學(xué)習(xí)的新課在解決實際問題中的應(yīng)用價值，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識.探究新知活動一：探究立方根的定義思考：正方體的體積公式是什么？答：設(shè)正方體的棱長為a，則體積V=a思考：你能試著解決情境中的問題嗎？答：因為小正方體的棱長為2，所以它的體積是23因為33師生活動：教師提出問題，學(xué)生獨立思考，并認真作答.做一做：求滿足下列各式的x的值：(1)x3=8；(2)x3=?64；(3)x3=0.027；(4)x解：(1)因為23=8，所以x(2)因為(?4)3=?64，所以x=(3)因為0.33=0.027，所以x(4)因為(?15)3=?1125師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生類比已知正方體體積求棱長的過程進行求解，學(xué)生獨立思考，并認真作答.師引導(dǎo)學(xué)生歸納立方根的概念：一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3=a，那么這個數(shù)x就叫作a的立方根，也叫作例如，?64的立方根為4，0.027的立方根為0.3，?1125的立方根為?1設(shè)計意圖：通過一些具體實例與簡單計算，讓學(xué)生對立方根有一定的感性認識，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述立方根的概念，加深對概念的理解.活動二：探究立方根的性質(zhì)1.填寫下表：x……3?10113……x…………2.觀察填寫后的表格，探究：(1)一個正數(shù)有幾個立方根?正數(shù)的立方根是正數(shù)還是負數(shù)？(2)一個負數(shù)有幾個立方根?負數(shù)的立方根是正數(shù)還是負數(shù)?(3)0的立方根是什么數(shù)?答：(1)一個，正數(shù).(2)一個，負數(shù).(3)0.師生活動：教師利用多媒體出示表格，學(xué)生思考后計算，并小組之間進行討論交流.共同歸納立方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有一個正的立方根.一個負數(shù)有一個負的立方根.0的立方根是0.設(shè)計意圖：通過填寫表格，讓學(xué)生小組討論探究平方根的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生團體合作精神與歸納總結(jié)能力.思考：平方根與立方根有哪些異同點？被開方數(shù)平方根立方根正數(shù)負數(shù)0師生活動：教師提出問題，學(xué)生小組討論，認真填寫表格.被開方數(shù)平方根立方根正數(shù)有兩個，互為相反數(shù)有一個，是正數(shù)負數(shù)沒有平方根有一個，是負數(shù)000設(shè)計意圖：通過表格形式對比平方根和立方根的性質(zhì)，讓學(xué)生清晰地看到它們之間的異同，從而構(gòu)建完整的知識體系.活動三：探究立方根的表示方法問題：一個數(shù)的立方根該如何表示呢？師生活動：教師提出問題，學(xué)生類比平方根的表示方法積極思考，之后教師給出立方根的表示方法.我們把數(shù)a的立方根用符號“3a”來表示，讀作“三次根號a”.其中，a稱為被開方數(shù)，3師強調(diào)：根指數(shù)3，不能省略.例如，38求一個數(shù)的立方根的運算，叫作開立方.開立方和立方互為逆運算.借助立方運算，可以求一個數(shù)的立方根.設(shè)計意圖：讓學(xué)生掌握一個數(shù)的立方根的表示方法，加深對立方根的理解，同時讓學(xué)生充分理解立方運算與開立方運算的關(guān)系.應(yīng)用新知例1求下列各數(shù)的立方根：(1)827；(2)?64125；(3)解：(1)因為((2)因為(3)因為(?0.2)師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生利用立方根的定義進行計算，學(xué)生認真思考+1，舉手作答+2.師小結(jié)：1.一個數(shù)的立方的立方根等于它本身，即3a2.一個負數(shù)的立方根等于它的絕對值的立方根的相反數(shù)，即3?a師指出：求一個負數(shù)的立方根,可以先求出這個負數(shù)絕對值的立方根,然后再取它的相反數(shù)..設(shè)計意圖：通過例1讓學(xué)生熟練掌握立方根的定義，清楚求一個數(shù)的立方根的方法.例2.求下列各式的值：(1)3?106；(2)解：(1)3?10(2)3?1師生活動：選派兩名學(xué)生板演，教師巡回指導(dǎo)，并根據(jù)小組評價機制進行打分.師小結(jié)：利用開立方運算求一個數(shù)的立方根，要注意正數(shù)有一個正的立方根，負數(shù)有一個負的立方根，0的立方根是0.設(shè)計意圖：通過板演，及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題過程中的問題，進一步讓學(xué)生熟悉立方根的定義及求一個負數(shù)的立方根的方法.例3.已知31?a2＝1?分析：這是關(guān)于“一個數(shù)的立方根等于它本身”的題，因此只需找出立方根等于本身的數(shù)即可．解：一個數(shù)的立方根等于它本身的數(shù)有0，1，－1.當(dāng)1?a2＝0時，a2當(dāng)1?a2＝1時，a2當(dāng)1?a2＝－1時，a2＝2，則a綜上，a的值為：±1，±2，0.師生活動：學(xué)生思考后，小組討論，各組選派小組代表作答.認真思考+1；合作交流+2；舉手作答+2.師小結(jié)：根據(jù)立方根的意義解決問題，關(guān)鍵要將式子的意義用立方根翻譯出來，如本題就是“立方根等于本身”．設(shè)計意圖：本題難度稍大，通過小組討論，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，增強團隊合作意識，突破本節(jié)課的難點.課堂練習(xí)1.求下列各數(shù)的立方根：(1)?18；(2)0.008；(3)125；(1)27解：(1)因為(?12)3=?1(2)因為0.23=0.008，所以0.008的立方根為0.2，即3(3)因為(?5)3=?125，所以?125的立方根為?5，即3(4)因為(34)3=2764，所以2764的立方根為2.求下列各式的值：(1)3(?3)3；(2)?31000；(3)3解：(1)3(?3)3=3?3(2)?31000=?3(3)3?271000=?3271000(4)30.343=33.下列說法：①負數(shù)沒有立方根；②一個數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負數(shù)；③一個正數(shù)或負數(shù)的立方根和這個數(shù)同號，0的立方根是0；④如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)必是1或0.其中錯誤的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④解：由立方根的性質(zhì)“一個正數(shù)有一個正的立方根.一個負數(shù)有一個負的立方根.0的立方根是0”知，答案為B.4.已知一個底面為正方形的長方體，高是底面邊長的3倍，體積為375cm解：設(shè)這個長方體的底面邊長為xcm，則高為3xcm，依題意得：x2?3x=375.所以，x解得：x=5，3x=15.所以，這個長方體的長為5cm，寬為5cm，高為15cm這個長方體的表面積為：2×(5×5+5×15+5×15)=350(cm答:這個長方體的表面積是350cm5.若31?2x與33y?2解：由題意得：31?2x=因為?33y?2=32?3y，所以1即2x+1=3y，又因為y≠0，所以2x6.已知(2x?y)2解：∵(2x?y)2=3，∴(2∵3(x?2y)3當(dāng)2x?y=3，x?2y=?3時，解得x=y=3，x+2yx?y當(dāng)2x?y=?3，x?2y=?3時，解得x=1，y=1，x+2yx?y=?1所以，