第1章直線與方程（舉一反三講義·培優(yōu)篇）【蘇教版（2019）】題型1題型1直線與線段的相交關系求斜率范圍1．（2425高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知A?2,3、B2,1，若斜率存在的直線l經(jīng)過點P0,?1，且與線段AB有交點，則lA．?2,1 B．?1,2 C．?∞,?2∪【答案】C【解題思路】先利用直線的斜率公式計算kPA，k【解答過程】由直線的斜率公式可得：kPA=3?結(jié)合圖形，要使直線l經(jīng)過點P0,?1，且與線段AB有交點，l的斜率需滿足k≤?2或k≥1故選：C.2．（2425高二上·云南曲靖·階段練習）已知直線l：m+2x+m?1y+m?1=0，若直線l與連接A1,?2，B2,1A．?π4,π4 B．3π【答案】D【解題思路】先求出直線l所過定點P的坐標，數(shù)形結(jié)合可求出直線l的斜率的取值范圍，即可得出直線l的傾斜角的取值范圍．【解答過程】直線l的方程可化為mx+y+1+2x?y?1=0，由所以，直線l過定點P0,?1設直線l的斜率為k，直線l的傾斜角為α，則0≤α<因為直線PA的斜率為?1??20?1=?1，直線PB因為直線l經(jīng)過點P0,?1，且與線段AB將A1,?2代入方程：可得：3=0不成立，A1,?2不在直線l所以?1<k≤1，即?1<tan因為0≤α<π所以0≤α≤π故直線l的傾斜角的取值范圍是0,π故選：D．3．（2425高二上·上?！るA段練習）Px,y在線段AB（包括端點）上運動，已知A2,4，B5,?2，則y+1x+1的取值范圍是【答案】?【解題思路】y+1x+1表示線段AB上的點與C【解答過程】y+1x+1表示線段AB上的點與C因為kAC所以由圖可知y+1x+1的取值范圍是?故答案為：?14．（2425高二上·陜西安康·階段練習）已知直線l過點P2,2，且與以A?1,?1和(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角a的取值范圍.【答案】(1)k∈(2)π4【解題思路】（1）在平面直角坐標系中畫出圖象，根據(jù)圖象分析A，B，P三點之間的關系，不難給出直線l的斜率k的取值范圍；（2）根據(jù)直線斜率與傾斜角的關系，結(jié)合圖象即可求解直線l的傾斜角a的取值范圍．【解答過程】（1）在平面直角坐標系中畫出圖象如圖：kPA=直線l過點P2,2，且與以A?1,?1和所以直線l的斜率k的取值范圍k∈?（2）由（1）可知，k∈?直線PA的傾斜角為π4，直線PB的傾斜角為2由此可得此時直線l的傾斜角α的取值范圍π4由圖可知，當直線斜率不存在時，所得直線符合題意，故此時直線l的傾斜角α=π綜上，直線l的傾斜角α的取值范圍π45．（2425高二上·四川巴中·階段練習）已知坐標平面內(nèi)三點A?1,1，B1,1，(1)求直線AC的傾斜角；(2)若D為△ABC的AB邊上一動點，求直線CD的傾斜角的取值范圍.【答案】(1)π(2)π【解題思路】（1）由兩點式斜率公式求出斜率，然后根據(jù)斜率與傾斜角的關系求解即可（2）數(shù)形結(jié)合，利用兩點式斜率公式，根據(jù)斜率與傾斜角變化的規(guī)律分析求解即可.【解答過程】（1）由A?1,1，C2,3因為斜率等于傾斜角的正切值，且傾斜角的范圍是0,π，所以直線AC的傾斜角為π（2）如圖，當直線CD繞點C由CA逆時針轉(zhuǎn)到CB時，直線CD與線段AB恒有交點，即D在線段AB上，

此時kCD由kAC增大到kBC，又kAC=33即直線CD的傾斜角的取值范圍為π6題型2題型2直線與坐標軸圍成圖形的面積問題1．（2425高二上·河北邯鄲·階段練習）直線l的傾斜角是直線5x+12y?1=0傾斜角的一半，且直線l與坐標軸所圍成的三角形的面積為10，則直線l的方程可能是（

）A．5x+y?10=0 B．y=?C．x?2+y【答案】C【解題思路】由斜率的幾何意義結(jié)合二倍角公式可以先求出所求直線的斜率，再結(jié)合已知條件即可求出直線方程.【解答過程】由題意不妨設直線l與直線5x+12y?1=0的斜率分別為k1,k而tan2θ=k2=?5所以有2k11?k12=?所以設直線l的方程為y=5x+b，則直線l與坐標軸分別交于0,b,所以由題意直線l與坐標軸所圍成的三角形的面積為S=1解得b=±10，所以設直線l的方程為y=5x±10，當y=5x+10時，它可以變形為x?2故選：C.2．（2425高二上·江蘇徐州·階段練習）若過點P3,2的直線l與坐標軸交于A,B兩點，圍成三角形AOB的面積為16，則符合條件的直線的條數(shù)為（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解題思路】由題意可設直線l的方程為：xa+yb=1，則a,b滿足關系式3【解答過程】由題意直線l顯然不過原點，所以不妨設直線l：xa+y又點P3,2在直線l上，所以3a+又三角形AOB的面積為16，所以12ab=16所以b?2b=3當b≥2時，方程3b2?32b?2=0變?yōu)?將b1=83和b2=8分別代入當b<2時，方程3b2?32b?2=0變?yōu)?將b3=?16?873和b4=綜上所述：滿足題意的直線為：xa故選：D.3．（2425高二上·吉林長春·期末）已知直線l的斜率小于0，且l經(jīng)過點P6,8，并與坐標軸交于A,B兩點，C4,0，當△ABC的面積取得最小值時，直線l的斜率為【答案】?【解題思路】由題意可設直線l:y?8=?kx?6k>0，分別求出A,B兩點坐標，即可表示出【解答過程】設直線l的方程為y?8=?kx?6k>0，令y=0，得x=6+8k，令則和l坐標軸的交點為A6+8k所以AC=6+可得△ABC的面積為S=122+8k故答案為：?44．（2425高二上·江蘇南通·階段練習）已知直線l:(1)求證：不論實數(shù)m取何值，直線l恒過一定點；(2)若直線l與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積為6，求l的方程.【答案】(1)證明見解析；(2)x+3y?6=0.【解題思路】（1）利用提取參數(shù)，來求出方程的一個解，從而得到直線恒過一定點；（2）利用截距式方程來求解三角形的面積，再利用直線過定點，得到方程組即可求解.【解答過程】（1）由直線l:2m+1m2x+y?7令2x+y?7=0x+y?4=0，解得：x=3由于不論實數(shù)m取何值，x=3y=1總是方程2m+1所以直線l恒過這一定點3,1.（2）由于直線l與兩坐標軸的正半軸圍成三角形，所以可設直線l的截距式方程為xa+y又由于直線l恒過定點3,1，所以3a由于直線l與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積為6，則12把ab=12，代入變形后的3b+aab=1得：聯(lián)立解得：a=6,b=2，所以直線l的截距式方程為x6化簡得l的方程為x+3y?6=0.5．（2425高二上·廣東東莞·期中）直線l的方程為a+1x?y?3a?1=0，a∈R(1)若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程；(2)若直線l分別交x軸、y軸的正半軸于點A、B，點O是坐標原點．若△AOB的面積為16，求a的值.【答案】(1)x+y?5=0或2x?3y=0(2)a=?3或a=?【解題思路】（1）根據(jù)直線截距的概念，分別令x=0、y=0列式求解即可；（2）分別求出直線在x軸、y軸的截距，代入三角形面積公式可得S=?3a+1【解答過程】（1）當a+1=0即a=?1時，直線l的方程為y=2，不滿足題意；當a+1≠0，即a≠?1時，令x=0得y=?3a?1，令y=0，得x=3a+1由截距相等得3a+1a+1=?3a?1，解得a=?2或當a=?2時，直線l的方程為x+y?5=0，當a=?13時，直線l的方程為故綜上所述，所求直線l的方程為x+y?5=0或2x?3y=0．（2）由題意知，a+1≠0，?3a?1≠0，且l在x軸、y軸上的截距分別為3a+1a+1、?3a?1所以3a+1a+1>0?3a?1>0所以△AOB的面積S=1

由題意知?3a+122a+1=16，化簡得9所以a=?3或a=?11題型3題型3根據(jù)兩直線平行、垂直求參數(shù)1．（2425高二上·山東泰安·期末）若直線l1:a?2x+ay+4=0與l2A．0 B．2 C．3 D．2或3【答案】B【解題思路】根據(jù)直線平行可得6a?2【解答過程】若直線l1:a?2則6a?2=a2a?4，整理可得a?2a?3=0若a=2，則l1:y+2=0與若a=3，則l1:x+3y+4=0與綜上所述：a=2.故選：B.2．（2425高二上·遼寧·階段練習）已知p：“a=1”，q：“直線l1:ax+y+7=0和直線l2:a+2x?3y+2=0互相垂直”，則A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解題思路】根據(jù)兩直線垂直解得a=?3或a=1，根據(jù)包含關系分析充分、必要條件.【解答過程】若兩直線垂直，則a×a+2+1×?3=0，解得：顯然集合1是集合?3,1的真子集，所以“a=1”是“直線l1:ax+y+7=0與直線故選：B.3．（2425高二上·上海青浦·期末）已知直線l1：ax+3y?1=0與直線l2：2x+a?1y+1=0【答案】3【解題思路】根據(jù)兩直線l1:A1x+【解答過程】因為l1a×a?1?2×3=0且解得a=3.故答案為：3.4．（2425高二上·湖南長沙·期中）已知直線l1:(3+m)x+4y=5?3m和(1)若l1與l2平行，求(2)若l1與l2垂直，求【答案】(1)m=?7(2)m=?【解題思路】（1）由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)，求出m的值；（2）由題意利用兩條直線垂直的性質(zhì)，求出m的值．【解答過程】（1）若l1與l2平行，則3+m5+m?8=0，解得：當m=?7時，直線l1:2x?2y+13=0和l2:x?y?4=0，當m=?1時，直線l1:x+2y?4=0和l2:x+2y?4=0，綜上：m=?7.（2）當3+m?2+5+m?4=0時，即6m+26=0時，l即m=?133時，l15．（2425高二上·上?！て谥校┮阎矫嬷苯亲鴺讼抵校珹?2,3，B3,?2，C(1)若直線AC與直線BD平行，求m的值；(2)若直線AC與直線BC垂直，求m的值.【答案】(1)m=(2)m=【解題思路】（1）根據(jù)kDB（2）根據(jù)kBC【解答過程】（1）因為直線AC與直線BD平行，所以kDB所以3?m?2?所以m=（2）因為直線AC與直線BC垂直，兩直線斜率均存在，所以kBC所以3?m?2?題型4題型4求與已知直線平行、垂直的直線方程1．（2425高二上·河南·階段練習）已知直線l過點1,2，且直線l與直線y=ax?1平行，與直線y=1+1ax+a垂直，a≠0，則直線A．x+y?2=0 B．2x+y?4=0C．x?y?2=0 D．2x?y?4=0【答案】B【解題思路】由題意，利用垂直直線斜率關系，建立方程，結(jié)合點斜式方程，可得答案.【解答過程】由題意得，直線y=ax?1與直線y=1+則a1+1a故直線l的方程為y?2=?2x?1，即2x+y?4=0故選：B.2．（2425高二上·天津北辰·期中）過直線x+y+1=0和x?2y+7=0的交點，且與直線x+2y?3=0垂直的直線方程是（

）A．2x?y+3=0 B．2x?y+5=0 C．x+2y?4=0 D．2x?y+8=0【答案】D【解題思路】先求出交點坐標，再根據(jù)與直線x+2y?3=0的位置關系求出斜率，運用點斜式方程求解.【解答過程】聯(lián)立方程x+y+1=0x?2y+7=0，解得x=?3y=2，所以交點坐標為直線x+2y?3=0的斜率為?12，所以所求直線方程的斜率為由點斜式直線方程得：所求直線方程為y?2=2x+3，即2x?y+8=0故選：D.3．（2425高二上·天津·期中）過點P1,2且與直線l：x?2y=3垂直的直線方程為【答案】y=?2x+4【解題思路】先求出l的斜率，再結(jié)合垂直得出斜率，最后點斜式寫出直線方程化為斜截式即可.【解答過程】因為直線l：x?2y=3的斜率為12，直線與l垂直得出斜率為?2所以與直線l：x?2y=3垂直的直線方程為y?2=?2x?1,即y=?2x+4故答案為：y=?2x+4.4．（2425高二上·天津濱海新·期中）已知點A1,3，B3,1，(1)求過點A且與BC平行的直線方程；(2)BC邊上的中線所在直線的方程；(3)BC邊上的高所在直線方程；(4)BC邊的垂直平分線的方程.【答案】(1)x?4y+11=0；(2)x?1=0；(3)4x+y?7=0；(4)8x+2y?9=0.【解題思路】（1）根據(jù)平行求直線斜率，寫出直線點斜式方程，化成一般式.（2）求出線段中點坐標，分析可得直線方程.（3）利用垂直求直線斜率，寫出直線點斜式方程，化成一般式.（4）求出線段中點坐標，利用垂直求直線斜率，寫出直線點斜式方程，化成一般式.【解答過程】（1）BC的斜率：kBC所求直線的方程為y?3=14(x?1)（2）因為B3,1，C?1,0，所以BC的中點坐標為因為A1,3，所以BC邊上的中線所在直線的方程為x?1=0（3）BC的斜率：kBC所以BC邊上的高所在直線方程的斜率k=?4，BC邊上的高所在直線方程為y?3=?4x?1，整理得4x+y?7=0（4）由題意知：BC的中點坐標為1,12，BC邊的垂直平分線的斜率：k=?4，BC邊的垂直平分線的方程為y?12=?45．（2425高二上·廣東佛山·階段練習）已知△ABC的三個頂點分別是A5,1，B7,?3，(1)求BC邊上的高所在的直線方程；(2)若直線l過點A，且與直線x+y+1=0平行，求直線l的方程；(3)求BC邊上的中線所在的直線方程.【答案】(1)3x?y?14=0；(2)x+y?6=0；(3)3x?11y?4=0.【解題思路】（1）利用斜率坐標公式及垂直關系求出高所在直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解即得.（2）設出直線l的方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程.（3）求出中點坐標及中線所在直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解即得.【解答過程】（1）直線BC的斜率kBC=2?(?3)所以BC邊上的高所在的直線方程為y?1=3(x?5)，即3x?y?14=0.（2）依題意，設直線l的方程為x+y+m=0(m≠1)，而直線l過點A5,1，則5+1+m=0，解得m=?6所以直線l的方程為x+y?6=0.（3）依題意，BC邊的中點(?12,?12所以BC邊上的中線所在直線的方程為y?1=311(x?5)題型5題型5三線能圍成三角形的問題1．（2425高二上·福建·階段練習）下面三條直線l1:4x+y=4，l2:mx+y=0，l3A．{?1,23} B．{4,?16}【答案】C【解題思路】三直線不能構(gòu)成三角形時共有4種情況，即三直線中其中有兩直線平行或者是三條直線經(jīng)過同一個點，在這四種情況中，分別求出實數(shù)m的值．【解答過程】當直線l1:4x+y=4平行于l2當直線l1:4x+y=4平行于l3當l2:mx+y=0平行于l3當三條直線經(jīng)過同一個點時，把直線l1與l2的交點(4得2×44?m?3m×?4m4?m綜上，滿足條件的m的集合為為{4,?1故選：C．2．（2425高二上·湖北·期中）設a為實數(shù)，若直線l1:ax+y+1=0，l2:x+y+1=0，l3:(a2+a?5)x+3ay?3=0A．2組 B．3組 C．4組 D．5組【答案】B【解題思路】寫出對應直線的方向向量，討論直線垂直求參數(shù)a，再根據(jù)所得參數(shù)值研究直線的位置情況，即可得答案.【解答過程】由題設，l1,l2,l3若l1⊥l此時l1:?x+y+1=0，l2:x+y+1=0，若l1⊥l3，則m1?m當a=?2時，l1:?2x+y+1=0，l2當a=0時，l1:y+1=0，l2當a=1時，l1:x+y+1=0，若l2⊥l3，則m2當a=?5時，l1:?5x+y+1=0，l2當a=1時，同上分析，不符.綜上，a=?5、a=?2、a=0時滿足要求，故有3組.故選：B.3．（2425高一下·陜西渭南·階段練習）已知三條直線2x?3y+1=0，4x+3y+5=0，mx?y?1=0不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值集合為．【答案】?【解題思路】根據(jù)三條直線不能構(gòu)成三角形，則有任意兩條平行或交于同一個點，分類討論求解.【解答過程】三條直線不能圍成三角形，則有以下情況：(1)直線2x?3y+1=0與直線mx?y?1=0平行，則有m=2(2)直線4x+3y+5=0與直線mx?y?1=0平行，則有m=?4(3)三條直線2x?3y+1=0，4x+3y+5=0，mx?y?1=0相交于同一點，聯(lián)立2x?3y+1=04x+3y+5=0解得x=?1y=?13，代入綜上，實數(shù)m的取值集合為?4故答案為:?44．（2425高二上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）若三條直線l1:7x?y?9=0,l【答案】m=?17或m=1【解題思路】根據(jù)三條直線“至少有兩條直線平行”或“三線共點”來求得m的值.【解答過程】依題意，任意兩條直線不重合，若三條直線不能圍成三角形，則至少有兩條直線平行或三線共點．當有兩條直線平行時，m≠0，則三條直線的斜率為k1若l3//l若l2//l若三線共點，由7x?y?9=0x+y?7=0解得x=2y=5，設將A2,5代入x+my?27=0得2+5m?27=0,m=5，綜上所述，m=?17或m=1或5．（2425高二上·河北保定·期中）已知三條直線l1：ax+by+4=0，l2：a?1x+y+b=0，l(1)若l1⊥l2，且l1過點6,?1(2)若b=3，且l1、l2、l3【答案】(1)a=?1b=?2或(2)?【解題思路】（1）根據(jù)垂直滿足的關系，結(jié)合直線經(jīng)過的點，即可聯(lián)立方程求解.（2）根據(jù)任意兩條直線平行不可構(gòu)成三角形，以及三條直線交于一點不能構(gòu)成三角形，結(jié)合兩直線平行滿足的系數(shù)關系，以及兩直線的交點坐標，即可求解.【解答過程】（1）因為l1：ax+by+4=0，l2：a?1x+y+b=0，且l又直線l1過點6,?1，所以6a?b+4=0，所以b=6a+4即aa?1+6a+4=0，即a所以a=?1b=?2或a=?4（2）因為b=3，則l1：ax+3y+4=0，l2：①當l1∥l2時，由此時l1為3x+6y+8=0，l2為x+2y+6=0，l3為2x+3y+5=0，l②當l1∥l3時，由3a=6得a=2，此時l1為2x+3y+4=0，l2為x+y+3=0，l3③當l2∥l3時，由3a?3=2得a=53，此時l1為5x+9y+12=0，l2為2x+3y+9=0，④當l1，l2，l3交于一點時，a≠3所以l1與l2的交點M?52a?3,?a+42a?3，將綜上所述：b=3時，l1，l2，l3三條直線能圍成三角形時a題型6題型6與距離有關的最值問題1．（2425高二上·黑龍江雞西·期中）數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.例如，與(x?a)2+(y?b)2相關的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點A(x,y)與點B(a,b)之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點，函數(shù)A．23 B．4 C．25 【答案】C【解題思路】fx表示動點Px,1到定點A?2,0和B2,0的距離之和，作B2,0關于直線y=1【解答過程】f=表示動點Px,1到定點A?2,0和因為點Px,1在直線y=1作B2,0關于直線y=1的對稱點B1，則故PA+當且僅當A,P,B故fx的最小值為故選：C.2．（2425高二上·甘肅甘南·期末）在平面直角坐標系xOy中，記動點P為x0,y0x0≥0,y0A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解題思路】過點O作點O關于直線x+y=4的對稱點C，則x0+x02【解答過程】如圖，過點O作點O關于直線x+y=4的對稱點C，則PO=設Cx1,y1，則有y設第一象限內(nèi)的點Px0,y0而x0>0，y0>0，所以點P到所以x0+x02+y02過P作PD⊥y軸，顯然有PD+當且僅當C,P,D三點共線時，和有最小值.過點C作CH⊥y軸，則CH即為CD的最小值，此時P與H重合.又CH=4，所以x0+故選：B.3．（2425高二上·海南?？凇て谥校┮阎cP?2,?1和直線l:1+2λx+1?3λy+λ?2=0，則點P【答案】13【解題思路】先求得直線l的定點A1,1，分析可得PA⊥l時，點P到直線l【解答過程】由l:1+2λ即2x?3y+1λ+x+y?2=0令2x?3y+1=0x+y?2=0，解得x=1則直線l恒過定點A1,1當PA⊥l時，點P到直線l的距離最大，此時最大距離為PA=故答案為：13.4．（2425高二上·江蘇南通·階段練習）在直角坐標系xOy中，A是射線3x?y=0x≥0上的一點，B是射線x+3y=0x≥0上一點（A,B都異于點O），P為線段(1)若OA=OB，求直線(2)若點P在直線x+y?2=0上，求AB的最小值．【答案】(1)y=(2)2【解題思路】（1）由題意可設Aa,3a，Bb,?b3，即可表示出點Pa+b2,9a?b6（2）將點P坐標代入直線方程可得b=6?6a，即可借助兩點間距離公式用a表示出AB，從而可得其最小值.【解答過程】（1）由題意可設Aa,3a，Bb,?b3，a>0，若OA=OB，則有a2故a+b2=b3+b故直線OP的方程為y=b6b（2）由點P在直線x+y?2=0上，故有a+b2整理得b=6?6a，故AB=10即AB的最小值為225．（2425高二上·安徽蚌埠·階段練習）已知直線l1:a?2x+y?1=0與直線l2(1)求a；(2)若點C關于直線l2對稱后的點為B，求B(3)已知P，Q分別在直線l1，l2上，且PQ⊥l【答案】(1)a=1(2)4,0(3)58【解題思路】（1）根據(jù)直線平行可得方程，解方程即可得解.（2）根據(jù)對稱可知直線BC與l2垂直，BC中點在l（3）根據(jù)對稱可知AP+PQ+QC=AP+【解答過程】（1）由直線l1:a?2則a?22解得a=1或a=3，當a=1時，直線l1:?x+y?1=0，當a=3時，直線l1:x+y?1=0，綜上所述a=1；（2）由（1）得l2:x?y?1=0，其斜率設點Bm,n，則kBC=n?3m?1則n?3m?1×1=?1m+1即B4,0（3）由（2）得點C關于直線l2的對稱點為B，則QC又P，Q分別在直線l1，l2上，且則PQ=1+11則PQ=以QP，QB為平行四邊形鄰邊作平行四邊形PQBB則B′B=此時B′所以AP+所以當點A，P，B′AP+PQ+題型7題型7光線反射問題1．（2425高二上·江蘇南京·階段練習）如圖所示，已知點A(2,0),B(0,2)，從點P(1,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點P，則光線所經(jīng)過的路程是（

）A．3 B．10 C．33 D．【答案】B【解題思路】求出P關于直線AB的對稱點Q和它關于y軸的對稱點T，則QT的長就是所求路程．【解答過程】依題意，直線AB方程為x+y=2，設P關于直線AB的對稱點Q(a,b)，則ba?1=1a+12+b2=2，解得a=2b=1QT=(?1?2)2而△PMN的周長為|MP|+|MN|+|NP|=|MQ|+|MN|+|NT|=|QT|=10所以光線所經(jīng)過的路程是10．故選：B.2．（2425高二上·江蘇鹽城·階段練習）已知A0,4，B0,?4，C4,0，E0,1，F(xiàn)0,?1，一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AEA．?∞,?58 B．?58【答案】D【解題思路】先作出F關于BC的對稱點P，再作P關于AC的對稱點M，因為光線從F點出發(fā)射到BC上的D點經(jīng)BC反射后，入射光線和反射光線都經(jīng)過F關于直線BC的對稱點P點，又因為再經(jīng)AC反射，反射光線經(jīng)過P關于直線AC的對稱點，所以只需連接MA、ME交AC與點N，連接PN、PA分別交BC為點G、H，則G，H之間即為點D的變動范圍．再求出直線FG，F(xiàn)H的斜率即可．【解答過程】已知A0,4，B0,?4，則直線BC方程為x?y?4=0，直線AC方程為x+y?4=0如圖，作F0,?1關于BC的對稱點Pa,b，b+1a=?1b?1再作P關于AC的對稱點M(t,s)，則t+32+s?4連接MA，連接ME交AC與點N，則直線ME方程為y=1，得N(3,1)，連接PN、PA分別交BC為點G、H，則直線PN方程為x=3，得G3,?1直線PA的斜率kPA=8?3，方程為y=?8連接GF，HF，則G，H之間即為點D的變動范圍．直線FG方程為y=?1，斜率為0，直線FH的斜率為?2011所以FD斜率的范圍為?3故選：D．3．（2025高三·全國·專題練習）一條光線經(jīng)過點A2,3射到直線x+y+1=0上，被反射后經(jīng)過點B1,1，則入射光線所在直線的方程為【答案】5x?4y+2=0【解題思路】先根據(jù)點關于直線對稱得出B′?2,?2，又點【解答過程】設點B關于直線x+y+1=0的對稱點為B′x0,所以B′?2,?2．又點所以kAB′=3?由圖可知，直線AB′即為入射光線，所以化簡得入射光線所在直線的方程為故答案為：5x?4y+2=0.4．（2425高二上·湖北武漢·期中）已知點A1,2，直線l:x?y+3=0(1)求過點A，且與直線l平行的直線l′(2)光線通過點A，經(jīng)直線l反射，其反射光線通過點B?2,0【答案】(1)x?y+1=0(2)4x?y+8=0【解題思路】（1）根據(jù)平行設出直線方程，再根據(jù)點在線上求參即可；（2）設點A關于直線x?y+3=0的對稱點為A′m,n，再根據(jù)斜率及中點在直線上求出【解答過程】（1）因為直線l′與直線l平行，直線l的方程為x?y+3=0故可設直線l'的方程為x?y+C=0因為點A1,2在直線l所以1?2+C=0，所以C=1，所以直線l′的方程為（2）設點A關于直線x?y+3=0的對稱點為A′由題意得n?2m?1解得m=?1n=4，所以點A′的坐標為所以反射光線所在直線斜率為4?0?1+2直線方程為4x?y+8=0．5．（2425高二上·四川·期中）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A、B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC、CA反射后又回到原點P，光線QR經(jīng)過△ABC的重心.（若G、A、B、C分別是三角形的重心和三個頂點，且分別為Gx,y、Ax1,y1、(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，請求△ABC的重心G的坐標；(2)求點P的坐標；(3)求△PQR的周長.【答案】(1)答案見解析(2)P(3)8【解題思路】（1）以A為坐標原點，AB、AC所在直線分別為x、y軸建立平面直角坐標系，寫出△ABC三個頂點的坐標，即可求出該三角形重心的坐標；（2）設Pa,0，求出點P直線BC、AC的對稱點P1、P2的坐標，根據(jù)P1、Q、R、P2共線且光線QR經(jīng)過△ABC的重心，結(jié)合斜率公式可得出關于a的等式，結(jié)合0<a<4（3）由對稱性可知PQ=QP1，PR=【解答過程】（1）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，則AB⊥AC，以A為坐標原點，AB、AC所在直線分別為x、y軸建立平面直角坐標系，則A0,0、B4,0、故△ABC的重心G的坐標為0+4+03,0+0+4（2）設Pa,0，P關于直線BC、AC的對稱點分別設為P1、P2設P1x0,y則y0?0x0?a由光的反射原理可知P1、Q、R、P2共線，且光線QR經(jīng)過故4?a?04??a=43?04（3）由（2）可得P14,83、P2故△PQR的周長PQ+題型8題型8直線方程綜合1．（2425高二上·遼寧沈陽·階段練習）直線l1:x+(m+1)y?2m?2=0與直線l2:(m+1)x?y?2m?2=0相交于點P，對任意實數(shù)m，直線l1,lA．2 B．22 C．42【答案】D【解題思路】求得A(0,2)、B(2,0)，再根據(jù)兩直線的位置關系的判斷可得l1⊥l2，即有【解答過程】解：因為l1:x+(m+1)y?2m?2=0，即由x+y?2=0y?2=0，解得x=0y=2，所以直線l1同理可得直線l2過定點B(2,0)又因為1×(m+1)+(?1)×(m+1)=0，所以l1即有PA⊥PB，所以|PA|所以|PA|+|PB|≤2(|PA當且僅當|PA|=|PB|=2時，取等號.所以|PA|+|PB|的最大值為4.故選：D.2．（2425高二上·四川成都·期中）設直線系M:xcosmθ+ysinnθ=1（其中θ,m,n均為參數(shù)，A．當m=n=1時，存在一個點與直線系M中所有直線的距離都相等．B．當m=n=2時，直線系M中所有直線恒過定點，且不過第三象限．C．當m=n時，坐標原點到直線系M中所有直線的距離最大值為1，最小值為22D．當m=2,n=1時，若a≤0，則點Aa,0到直線系M【答案】C【解題思路】直接利用點到直線的距離公式和直線的方程的性質(zhì)以及恒成立問題的應用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【解答過程】對于A，當m=1，n=1時，直線系方程為xcosθ+ysin故存在一個點0,0與直線系M中所有直線的距離都相等，故A正確；對于B，當m=n=2時，直線系方程為xcos2θ+y當θ≠0，θ≠π，θ≠2π時，直線方程化為當θ=0或π或2π，直線x=1所以直線不過第三象限，故B正確；對于C，當m=n=1時，直線系M為xcosθ+ysinθ=1，原點到直線系當m=n=2時，則直線系M為xcos則原點到直線的距離d=1對于D，當m=2，n=1時，直線系M為xcos2θ+ysinθ=1則點A(a,0)到直線系M中所有直線的距離d=|a設g(m)=(a2?1)m?2a+1，m∈[0因為a≤0，則g(0)=?2a+1>0,g(1)=a所以再m∈[0,1]上，(a2故d=(am?1)故選：C．3．（2425高二上·福建莆田·期中）數(shù)學家萊昂哈德?歐拉在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一條直線上，這條直線被稱為歐拉線.已知△ABC的頂點A2,3，B3,0，其歐拉線方程為y?1=0，則△ABC外接圓的半徑R=，頂點C的坐標為【答案