第02講統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析目錄01TOC\o"13"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 2TOC\o"13"\h\u02體系構(gòu)建·思維可視 203核心突破·靶向攻堅(jiān) 3知能解碼 3知識(shí)點(diǎn)1隨機(jī)抽樣 3知識(shí)點(diǎn)2頻率分布直方圖 4知識(shí)點(diǎn)3總體百分位數(shù)的估計(jì) 5知識(shí)點(diǎn)4總體集中趨勢(shì)的估計(jì) 5知識(shí)點(diǎn)5總體離散程度的估計(jì) 6知識(shí)點(diǎn)6成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性及線性回歸直線方程 6知識(shí)點(diǎn)7列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn) 8題型破譯 9題型1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 9題型2分層隨機(jī)抽樣 10題型3頻率分布直方圖 10題型4總體百分位數(shù)的估計(jì) 13題型5總體集中趨勢(shì)的估計(jì) 14題型6總體離散程度的估計(jì) 15題型7成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性 18題型8一元線性回歸模型及其應(yīng)用 19題型9列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn) 2104課本典例·高考素材 23考情分析：核心考查抽樣方法、用樣本估計(jì)總體（頻率分布直方圖、百分位數(shù)、均值與方差），以及成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（相關(guān)系數(shù)、一元線性回歸模型）。試題緊密聯(lián)系社會(huì)生活情境，強(qiáng)調(diào)對(duì)統(tǒng)計(jì)思想的理解與數(shù)據(jù)的直觀分析，而非復(fù)雜計(jì)算。易錯(cuò)點(diǎn)在于統(tǒng)計(jì)概念的實(shí)際含義辨析、回歸方程中系數(shù)的實(shí)際意義解釋，以及根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)的規(guī)范性表述。復(fù)習(xí)目標(biāo)：1.理解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)與適用場(chǎng)景，能根據(jù)實(shí)際情境選擇合適的抽樣方法。2.掌握用樣本估計(jì)總體的方法，會(huì)頻率分布直方圖中提取信息（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差），理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義并會(huì)計(jì)算。3.理解成對(duì)數(shù)據(jù)的概念，會(huì)繪制散點(diǎn)圖，并能根據(jù)散點(diǎn)圖判斷變量間的相關(guān)關(guān)系。理解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，掌握其計(jì)算公式，了解其性質(zhì)。4.建立一元線性回歸模型，理解最小二乘法的思想，會(huì)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并能用其進(jìn)行預(yù)測(cè)。5.理解2×2列聯(lián)表的意義，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與方法，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。能對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果進(jìn)行合理解釋，并能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表述。知識(shí)點(diǎn)1隨機(jī)抽樣1．總體、個(gè)體、樣本與樣本容量考察問(wèn)題涉及的是總體，總體中每個(gè)對(duì)象是個(gè)體，抽取的組成總體的一個(gè)樣本，一個(gè)樣本中包含的是樣本容量．2．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和是比較常用的兩種方法．3．分層隨機(jī)抽樣一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為，每一個(gè)子總體稱為．自主檢測(cè)某校高一?高二?高三學(xué)生共1260人，為了解學(xué)生新學(xué)期適應(yīng)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，若分別從三個(gè)年級(jí)中抽取的人數(shù)之比為1:2:3，則該校高三的學(xué)生人數(shù)為.知識(shí)點(diǎn)2頻率分布直方圖畫頻率分布直方圖的步驟（1）求極差：極差為一組數(shù)據(jù)中與的差．（2）決定組距與組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí)，常分成組，為了方便起見(jiàn)，一般取等長(zhǎng)組距，并且組距應(yīng)力求“取整”．（3）將數(shù)據(jù)分組．（4）列頻率分布表：一般分四列：分組、、頻數(shù)、．其中頻數(shù)合計(jì)應(yīng)是樣本容量，頻率合計(jì)是1.（5）畫頻率分布直方圖：橫軸表示分組，縱軸表示.小長(zhǎng)方形的面積＝組距×＝．各小長(zhǎng)方形的面積和等于1.自主檢測(cè)1某校從參加語(yǔ)言測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名，記錄了他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成6組：40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，并整理得到如下頻率分布直方圖.若樣本中分?jǐn)?shù)低于60分的有15人，則圖中數(shù)據(jù)a=.自主檢測(cè)2對(duì)學(xué)校高三年級(jí)某班50名學(xué)生的高校招生體檢表中視力情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果的頻率分布直方圖如圖．若高校A專業(yè)對(duì)視力要求不低于0.9，則該班學(xué)生中有人能報(bào)考該專業(yè)．知識(shí)點(diǎn)3總體百分位數(shù)的估計(jì)中位數(shù)與百分位數(shù)：按照排列后的數(shù)據(jù)：x1,x2,???,x2n+1的中位數(shù)是；x1,自主檢測(cè)若一組數(shù)據(jù)1，2，4，2，5，3，7，m，3的唯一眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為.知識(shí)點(diǎn)4總體集中趨勢(shì)的估計(jì)1．平均數(shù)①定義：如果給定的一組數(shù)是x1,x2這一公式在數(shù)學(xué)中常簡(jiǎn)記為x=②性質(zhì)：一般地，利用平均數(shù)的計(jì)算公式可知，如果x1,x2,?,xn的平均數(shù)為x2．總體均值和樣本均值（1）總體均值：一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱Y=（2）總體均值加權(quán)平均數(shù)的形式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k個(gè)k≤N個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi；出現(xiàn)的頻數(shù)f（3）如果從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1,y2,?,y自主檢測(cè)1若一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,x10自主檢測(cè)2將一個(gè)總體分為A，B，C三層，其個(gè)體數(shù)之比為5:3:2.若A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為20，30，40，則總體的平均數(shù)為.知識(shí)點(diǎn)5總體離散程度的估計(jì)1．極差?方差與標(biāo)準(zhǔn)差①極差：一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的減去所得的差，描述了這組數(shù)的離散程度②方差定義：如果x1,x2,?,x性質(zhì)：如果a,b為常數(shù)，則ax1+b,ax③標(biāo)準(zhǔn)差定義：方差的稱為標(biāo)準(zhǔn)差.一般用s表示，即樣本數(shù)據(jù)x1,x性質(zhì)：如果a,b為常數(shù)，則ax1+b,ax22．樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差若數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn的平均數(shù)為x，則樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=．（兩種表示）3．分層隨機(jī)抽樣的方差設(shè)樣本容量為n，平均數(shù)為x，其中兩層的個(gè)體數(shù)量分別為n1,n2，兩層的平均數(shù)分別為x1,x2自主檢測(cè)1．一組數(shù)據(jù)5，5，7，a，10的平均數(shù)為7，則其方差為.自主檢測(cè)2已知數(shù)據(jù)x1,x2自主檢測(cè)3已知某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為3，方差為s2，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)3，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為x?，方差為72．則知識(shí)點(diǎn)6成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性及線性回歸直線方程1．如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量；2．相關(guān)關(guān)系的分類（1）正相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從到的區(qū)域內(nèi)．（2）負(fù)相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從到的區(qū)域內(nèi)．3．r=i=1用它來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．（1）當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量．（2）當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量．（3）r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性；（4）r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性．通常當(dāng)r>0.754．一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)（1）經(jīng)驗(yàn)回歸方程：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)x1b=i=1n將y=bx+a稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線．這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做，求得的b，a叫做b，（2）觀測(cè)值：對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值．（3）預(yù)測(cè)值：通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值．（4）殘差：減去稱為殘差．（5）R2的計(jì)算公式為R2=1?i=1nyi?yi2i=1nyi?y2．在R2自主檢測(cè)隨著季節(jié)的變化，某種生物的繁殖量也發(fā)生變化，某研究員對(duì)所在地區(qū)該生物2025年1月至5月每月的繁殖量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析（取近似值），結(jié)果如下表：月份x12345繁殖量y/千個(gè)1.523.5815(1)據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01），并說(shuō)明y與x的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱；（若r>0.75，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)，否則認(rèn)為y與x(2)利用最小二乘法建立y關(guān)于x的線性回歸方程，并計(jì)算5月份該生物繁殖量的殘差.參考數(shù)據(jù)：i=15xi?x參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,3,?,n，其相關(guān)系數(shù)r=i=1n知識(shí)點(diǎn)7列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)1．2×2列聯(lián)表（1）定義：如果隨機(jī)事件A與B的樣本數(shù)據(jù)整理成如下的表格形式．AA總計(jì)Baba＋bBcdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d這個(gè)表格中，核心數(shù)據(jù)是中間4個(gè)格子，所以這樣的表格通常稱為．（2）χ2計(jì)算公式：χ2=，其中2．獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）χ2計(jì)算公式:χ2=（2）臨界值的定義：對(duì)于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使得Pχ2≥xα=α成立，我們稱x（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)：H0:PY=1X=0=P基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和當(dāng)χ2<xα?xí)r，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“（4）χ2α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828自主檢測(cè)為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過(guò)超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計(jì)患該疾病20180200未患該疾病78020800合計(jì)8002001000根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).附χ2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828題型1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣例11在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，下列關(guān)于其中一個(gè)個(gè)體被抽中的可能性說(shuō)法正確的是（）A．與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性更大一些B．與第幾次抽樣有關(guān)，最后一次抽到的可能性更大一些C．與第幾次抽樣無(wú)關(guān)，每次抽到的可能性都相等D．與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性更小一些【變式訓(xùn)練11】下列抽取樣本的方式是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的是（

）A．從無(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本B．盒子里共有80個(gè)零件，從中逐個(gè)不放回地選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)C．從100部手機(jī)中一次性抽取5部進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)D．某班有56名同學(xué)，指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽【變式訓(xùn)練12】某高校對(duì)中文系新生進(jìn)行體測(cè)，利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)650名學(xué)生進(jìn)行抽樣，先將650名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)，001，002，…，649，650.從中抽取50個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是（

）3221183429

7864540732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073286

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

2253557832

4577892345A．623 B．328 C．072 D．457題型2分層隨機(jī)抽樣例21某地區(qū)的鴻蒙用戶中心的客服人員現(xiàn)要從購(gòu)買智界汽車的50名車主，享界汽車的60名車主，問(wèn)界汽車的40名車主中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為30的樣本進(jìn)行用戶反饋調(diào)研，則在智界汽車車主中抽取的人數(shù)為（

）A．8 B．10 C．11 D．12【變式訓(xùn)練21】某中學(xué)高一年級(jí)有400人，高二年級(jí)有320人，高三年級(jí)有280人，若用隨機(jī)數(shù)法在該中學(xué)抽取容量為n的樣本，每人被抽到的可能性都為0.3，則n等于（

）A．160 B．200 C．280 D．300【變式訓(xùn)練22】已知A,B兩個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)中共有560個(gè)數(shù)據(jù)，其中A數(shù)據(jù)庫(kù)有376個(gè)數(shù)據(jù)．若利用分層抽樣的方式從A數(shù)據(jù)庫(kù)中抽取了47個(gè)數(shù)據(jù)，則從B數(shù)據(jù)庫(kù)抽取的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為（

）A．22 B．23 C．24 D．25題型3頻率分布直方圖例31從某小學(xué)隨機(jī)抽取部分同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.已知身高在100,110內(nèi)的人數(shù)為10人，則身高在120,130內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（

）A．40 B．60 C．80 D．2000例32某中學(xué)組織高中學(xué)生參加數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則這組樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為（

A．85 B．86 C．87 D．88例33近日，數(shù)字化構(gòu)建社區(qū)服務(wù)新模式成為一種時(shí)尚．某社區(qū)為優(yōu)化數(shù)字化社區(qū)服務(wù)，問(wèn)卷調(diào)查調(diào)研數(shù)字化社區(qū)服務(wù)的滿意度，滿意度采用計(jì)分制（滿分100分），統(tǒng)計(jì)滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中b=3a，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．a(chǎn)=0.01B．滿意度計(jì)分的眾數(shù)為75分C．滿意度計(jì)分的75%分位數(shù)是85分D．滿意度計(jì)分的平均分是76【變式訓(xùn)練31】從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量（單位：kW?h）調(diào)查，將得到的數(shù)據(jù)按[50,100),100,150,150,200A．35 B．40 C．42 D．45【變式訓(xùn)練32】國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目測(cè)試是世界經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織對(duì)各國(guó)中學(xué)生閱讀、數(shù)學(xué)、科學(xué)能力評(píng)價(jià)測(cè)試．從2000年開(kāi)始，每3年進(jìn)行一次測(cè)試評(píng)估．在評(píng)估研究時(shí)將測(cè)試成績(jī)按一定規(guī)則轉(zhuǎn)換成等級(jí)賦分，賦分范圍是40至100分，如圖是2024年的某地中學(xué)生參加閱讀測(cè)試后用賦分?jǐn)?shù)據(jù)繪制成的不完整頻率分布直方圖．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下面說(shuō)法正確的是（

）A．該地學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)一定大于75B．該地學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)一定小于65C．該地學(xué)生成績(jī)的極差介于40至60之間D．該地學(xué)生成績(jī)沒(méi)有超過(guò)60分的學(xué)生所占比例為30【變式訓(xùn)練33】某人工智能公司為優(yōu)化新開(kāi)發(fā)的語(yǔ)言模型，在其模型試用人群中開(kāi)展?jié)M意度問(wèn)卷調(diào)查，滿意度采用計(jì)分制（滿分100分），統(tǒng)計(jì)滿意度并繪制成如下頻率分布直方圖，圖中m=2n，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．n=0.015B．滿意度計(jì)分的眾數(shù)約為75分C．滿意度計(jì)分的平均分約為79分D．滿意度計(jì)分的第25百分位數(shù)約為70分【變式訓(xùn)練34】在某校高一年級(jí)參加的一次質(zhì)量檢測(cè)中，共有1500名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試.為了解本次考試考生的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，本中抽取了100名學(xué)生的成績(jī)（成績(jī)均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，成績(jī)均在40,100內(nèi)，按照40,50,50,60,A．該樣本中學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)一定大于75B．該樣本中學(xué)生成績(jī)的極差介于40至50之間C．該樣本中學(xué)生成績(jī)的平均值介于70至80之間D．若成績(jī)不低于60分為及格，估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)及格人數(shù)不超過(guò)1300題型4總體百分位數(shù)的估計(jì)例41樣本數(shù)據(jù)1，1，2，3，5，6的40%分位數(shù)為（

A．1 B．2.5 C．2 D．3【變式訓(xùn)練41】數(shù)據(jù)3，1，1，4，5，2的第三四分位數(shù)為（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【變式訓(xùn)練42】某射擊運(yùn)動(dòng)員在男子10米氣步槍決賽中，最后10槍成績(jī)分別為10.9,10.7,10.4,10.0，10.5,9.8,10.7,9.9,10.5,10.6，則這10槍成績(jī)的上四分位數(shù)是（

）A．10.5 B．10.6 C．10.65 D．10.7【變式訓(xùn)練43】某中學(xué)數(shù)學(xué)教師共有20人，他們的年齡分布如表所示：年齡62504332302825人數(shù)2335241下列說(shuō)法正確的是（

）A．29是這20人年齡的一個(gè)上四分位數(shù) B．29是這20人年齡的一個(gè)下四分位數(shù)C．31是這20人年齡的一個(gè)中位數(shù) D．這20人年齡的眾數(shù)是5題型5總體集中趨勢(shì)的估計(jì)例51已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3?a,5,6的平均數(shù)為3，則a=（

）A．?3 B．?1 C．1 D．3例52若樣本平均數(shù)為y，總體平均數(shù)為Y，則（

）A．yB．yC．Y是y的估計(jì)值D．y是Y的估計(jì)值【變式訓(xùn)練51】一組數(shù)據(jù)1，7，5，2，x，2，且1<x<5，x∈N?，若該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的23A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【變式訓(xùn)練52】已知數(shù)據(jù)4x1+1，4x2+1，…，4x10+1A．?1 B．34 C．1 【變式訓(xùn)練53】（2526高三上·北京豐臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）某公司為了解A，B兩個(gè)地區(qū)用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意程度，從A地區(qū)隨機(jī)抽取400名用戶，從B地區(qū)隨機(jī)抽取100名用戶，請(qǐng)用戶對(duì)公司產(chǎn)品評(píng)分.該公司將收集的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)按照[20,40)，[40,60)，[60,80)，80,100分組，統(tǒng)計(jì)如下：A地區(qū)B地區(qū)20,403040,1202060,1604080,8010合計(jì)400100用頻率估計(jì)概率.(1)對(duì)A地區(qū)所抽取的400名用戶按評(píng)分區(qū)間20,40，40,60，60,80(2)從A，B兩個(gè)地區(qū)各隨機(jī)抽取1名用戶，設(shè)X為這兩人中評(píng)分不低于80分的人數(shù)，求至少有1名用戶評(píng)分不低于80分的概率以及X的數(shù)學(xué)期望；(3)若A地區(qū)用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為μ1，B地區(qū)用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為μ2，兩個(gè)地區(qū)的所有用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為μ0，試比較μ題型6總體離散程度的估計(jì)例61已知一組樣本數(shù)據(jù)16，x，14，15，13的平均數(shù)為15，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為（

）A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.4例62為了解某學(xué)校學(xué)生每周閱讀課外書籍的數(shù)量，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法.現(xiàn)抽取高一學(xué)生20人，其每周閱讀課外書籍?dāng)?shù)量的均值為4本，方差為4；抽取高二學(xué)生30人，其每周閱讀課外書籍?dāng)?shù)量的均值為3本，方差為2．則該學(xué)校高一、高二學(xué)生每周閱讀課外書籍?dāng)?shù)量的總體均值和方差分別是（

）A．總體平均數(shù)為3.4本，總體方差為3.24 B．總體平均數(shù)為3.5本，總體方差為3.04C．總體平均數(shù)為3.4本，總體方差為3.04 D．總體平均數(shù)為3.5本，總體方差為3.24例63李明在10場(chǎng)籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計(jì)如下（假設(shè)各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立）：場(chǎng)次投籃次數(shù)命中率場(chǎng)次投籃次數(shù)命中率主場(chǎng)1226客場(chǎng)1184主場(chǎng)2154客場(chǎng)21312主場(chǎng)3122客場(chǎng)3211主場(chǎng)4238客場(chǎng)4185主場(chǎng)5245客場(chǎng)52512(1)估計(jì)李明在主場(chǎng)比賽中的命中率；(2)從上述比賽中隨機(jī)選擇一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)，求李明的投籃命中率恰有一場(chǎng)超過(guò)0.6的概率；(3)記S12為表中主場(chǎng)命中次數(shù)的方差，S22為表中客場(chǎng)命中次數(shù)的方差.試比較例64（2526高三上·北京平谷·開(kāi)學(xué)考試）近期，某中學(xué)全體學(xué)生參加了“垃圾分類大賽”活動(dòng)：現(xiàn)從參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了男、女各20名學(xué)生，將他們的成績(jī)(單位：分)記錄如表：成績(jī)[50，60)[60，70)[70，80)

[80，90)[90，100]男生(人數(shù))34841女生(人數(shù))ab843(1)在抽取的40名學(xué)生中，從大賽成績(jī)?cè)?0分及以上的人中隨機(jī)取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分?jǐn)?shù)段不同的概率：(2)從該校參加活動(dòng)的男女學(xué)生中各隨機(jī)抽取2人，求這4人中恰各有一名男女學(xué)生大賽成績(jī)?cè)?0分及以上的概率；(3)試確定a、b為何值時(shí)，使得抽取的女生大賽成績(jī)方差最小，只寫出結(jié)論【變式訓(xùn)練61】已知x1,x2,?,x10A．1.8 B．0.8 C．1.98 D．0.98【變式訓(xùn)練62】高一某班有24名男生和40名女生，某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，男生的平均分與女生的平均分之差為4，若男生分?jǐn)?shù)的方差為94，全班分?jǐn)?shù)的方差為84，則女生分?jǐn)?shù)的方差為（

）A．90 B．86 C．78 D．72【變式訓(xùn)練63】已知一個(gè)樣本容量為10的樣本的平均數(shù)為6，方差為2.現(xiàn)將樣本中的5個(gè)數(shù)據(jù)去掉，這5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為1，則余下的5個(gè)數(shù)的方差為（

）A．1.2 B．0.8 C．1 D．2【變式訓(xùn)練64】近年來(lái)“天宮課堂”受到廣大中小學(xué)生歡迎，激發(fā)了同學(xué)們對(duì)科學(xué)知識(shí)的探索欲望和對(duì)我國(guó)航天事業(yè)成就的自豪.為領(lǐng)悟航天精神，感受中國(guó)夢(mèng)想，某校組織了一次“尋夢(mèng)天宮”航天知識(shí)競(jìng)賽（滿分100分），各年級(jí)學(xué)生踴躍參加.為了比較高一、高二學(xué)生這次競(jìng)賽的成績(jī)，從兩個(gè)年級(jí)的答卷中各隨機(jī)選取了50份，將成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到以下頻數(shù)分布表：成績(jī)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]高一學(xué)生人數(shù)1271516高二學(xué)生人數(shù)9101813試?yán)脴颖竟烙?jì)總體的思想，解決下列問(wèn)題（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）：(1)分別求樣本中高一和高二年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽的平均成績(jī)；(2)從平均數(shù)與方差的角度分析哪個(gè)年級(jí)學(xué)生這次競(jìng)賽成績(jī)更好？【變式訓(xùn)練65】（2025·北京·三模）某老師為了解班里甲、乙兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從他們的數(shù)學(xué)小練習(xí)成績(jī)中各隨機(jī)抽取10份，.獲得數(shù)據(jù)如下表：甲同學(xué)86.5667.5885.597.5乙同學(xué)6777.57.58.5979.59已知數(shù)學(xué)小練習(xí)滿分為10分，最低分為0分.若小練習(xí)得分不低于7.5分視為“得分達(dá)到良好”，若小練習(xí)得分不低于8.5分視為“得分達(dá)到優(yōu)秀”.假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲和乙小練習(xí)成績(jī)相互獨(dú)立.(1)從甲同學(xué)的樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，求“得分達(dá)到良好”的概率；(2)從乙同學(xué)的所有數(shù)學(xué)小練習(xí)成績(jī)中隨機(jī)抽取3份，記隨機(jī)變量X為“得分達(dá)到優(yōu)秀”的次數(shù).估計(jì)X的分布列和期望：(3)樣本中，甲、乙兩位同學(xué)小練習(xí)成績(jī)的方差分別為記為S12和S22，試比較【變式訓(xùn)練66】某農(nóng)業(yè)興趣小組為比較長(zhǎng)效肥和緩釋肥這兩種肥料的作用，進(jìn)行了一個(gè)季度的對(duì)比試驗(yàn)，長(zhǎng)效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的同一種植物分別對(duì)應(yīng)第1,2,3組．分別從第1,2,3組各隨機(jī)抽取20株并測(cè)出株高，得到的60個(gè)樣本數(shù)據(jù)分組整理如下表所示：株高（單位：厘米）[4,7][7,10][10,13]13,16第1組（長(zhǎng)效肥）21062第2組（緩釋肥）3881第3組（未施肥）8561(1)從第一組20株植物中隨機(jī)抽取2株，求至少有一株株高在(7,10]內(nèi)的概率；(2)為了進(jìn)一步研究，從這三組植物中各隨機(jī)抽取1株，記這3株植物中恰有X株的株高在(7,10]內(nèi)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望（假設(shè)植物的生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率）；(3)已知這三組植物的平均株高分別為x=9.8,y=9.6,題型7成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性例71對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

）A．r4<rC．r4<r例72某公司20182023年的年利潤(rùn)x（單位：百萬(wàn)元）與年廣告支出y（單位：百萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)資料如表所示．年份201820192020202120222023x/百萬(wàn)元12.214.616.018.020.422.3y/百萬(wàn)元0.620.740.810.891.001.11根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，年利潤(rùn)中位數(shù)（

）A．是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系B．是17，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系C．是17，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系D．是18，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系【變式訓(xùn)練71】為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見(jiàn)下表）.若已求得一元線性回歸方程y=ax+0.34x12345y0.50.911.11.5A．a(chǎn)B．x與y的樣本是負(fù)相關(guān)C．當(dāng)x=8時(shí)，y的預(yù)估值為2.2D．去掉樣本點(diǎn)(3,1)后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r必會(huì)改變【變式訓(xùn)練72】隨機(jī)抽取某集團(tuán)公司旗下五家超市，得到廣告支出x（萬(wàn)元）與銷售額y（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：廣告支出x（萬(wàn)元）24568銷售額y（萬(wàn)元）2030506070(1)計(jì)算x，y的相關(guān)系數(shù)r，并判斷是否可以認(rèn)為廣告支出與銷售額具有較高的線性相關(guān)程度？（若0.3<r<0.75，則線性相關(guān)程度一般；若r≥0.75(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)若廣告支出15（萬(wàn)元），則銷售額約為多少萬(wàn)元？參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式，相關(guān)系數(shù)r的公式分別為b=i=1nxi題型8一元線性回歸模型及其應(yīng)用例81為了解女兒身高與其母親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)母女的身高數(shù)據(jù)如下：母親身高x164166166166168女兒身高y165165166167167根據(jù)最小二乘法（即i=1nyi?yi2A．y=x?1 B．y=x+1 C．y=例82下表是某公司從2020年至2024年某種產(chǎn)品盈利額的近似值（單位：萬(wàn)元）年份20202021202220232024年份代號(hào)x12345盈利額y5056647283(1)求y關(guān)于x的相關(guān)系數(shù)r的值（精確到0.001），并判斷它們是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（如果r≥0.75，則認(rèn)為y與x(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2025年該種產(chǎn)品的盈利額．附：①相關(guān)系數(shù)r=i=1②經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a中的b③i=15【變式訓(xùn)練81】藥物臨床試驗(yàn)是確認(rèn)新藥有效性和安全性必不可少的步驟，為探究某藥物在人體中的代謝情況，研究人員統(tǒng)計(jì)了血液中藥物濃度ymgL與代謝時(shí)間x23456y5520631若采用一元線性回歸模型，已知一個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=?12x+a①；若采用一元非線性回歸模型，可求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程(1)求a；(2)①與②哪個(gè)更適合作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程？請(qǐng)比較其決定系數(shù)的大小，并說(shuō)明理由.附：（i）參考數(shù)據(jù)：i=15yi（ii）對(duì)于一組數(shù)據(jù)u1,v【變式訓(xùn)練82】7月1日，電影《哪吒之魔童鬧?！罚ㄒ韵潞?jiǎn)稱《哪吒2》在中國(guó)內(nèi)地電影院線正式下映，結(jié)束了自今年1月29日以來(lái)153天的線下放映．據(jù)統(tǒng)計(jì)，《哪吒2》在中國(guó)內(nèi)地最終斬獲154.4億元票房，總觀影人次3.24億，兩項(xiàng)數(shù)據(jù)均創(chuàng)下中國(guó)影史紀(jì)錄，并遙遙領(lǐng)先第二名，成為了又一部現(xiàn)象級(jí)電影．下表統(tǒng)計(jì)了《哪吒2》上映前15天累計(jì)票房到達(dá)y（單位：億元）與所用時(shí)間x（單位：天）的數(shù)據(jù)：累計(jì)票房y20406080100用時(shí)x4791015(1)利用表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果精確到0.01），并推斷兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度；(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并預(yù)測(cè)153天時(shí)的累計(jì)票房，判斷這種預(yù)測(cè)方法是否合理．參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+相關(guān)系數(shù)r=i=1參考數(shù)據(jù)：i=15題型9列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)例91為考察藥物A對(duì)預(yù)防疾病B的效果，在兩個(gè)不同規(guī)模的動(dòng)物種群中分別進(jìn)行了試驗(yàn)，根據(jù)種群一的試驗(yàn)結(jié)果得到如下列聯(lián)表：藥物A疾病B合計(jì)未患病患病未服用282250服用341650合計(jì)6238100計(jì)算得到χ2≈1.528．假設(shè)種群二試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的列聯(lián)表中，每個(gè)單元格的數(shù)據(jù)都為上表對(duì)應(yīng)單元格數(shù)據(jù)的5倍，則根據(jù)小概率值α的獨(dú)立性檢驗(yàn)，（附：χ2α0.10.050.010.005x2.7063.8416.6357.879A．當(dāng)α=0.05時(shí)，種群一中藥物A對(duì)預(yù)防疾病B有效，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%B．當(dāng)a=0.05時(shí)，種群一中藥物A對(duì)預(yù)防疾病B有效，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%C．當(dāng)a=0.01時(shí)，種群二中藥物A對(duì)預(yù)防疾病B有效，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%D．當(dāng)α=0.005時(shí)，種群二中藥物A對(duì)預(yù)防疾病B有效，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%例92（2526高三上·四川南充·階段練習(xí)）近幾年，新能源汽車的更新?lián)Q代越來(lái)越引起人們的關(guān)注.某新能源車企想了解年輕司機(jī)與中老年司機(jī)對(duì)新能源車和燃油車的喜好程度，隨機(jī)抽取了1000名司機(jī)，得到的2×2列聯(lián)表如下：偏好新能源車偏好燃油車總計(jì)年輕司機(jī)300200500中老年司機(jī)200300500總計(jì)5005001000(1)若從抽取的年輕司機(jī)中任選1人，求此人偏好新能源車的概率；(2)依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為司機(jī)對(duì)兩種汽車的偏好與年齡有關(guān)聯(lián)？附：χ2=nα0.010.0050.001x6.6357.87910.828【變式訓(xùn)練91】（2425高三上·湖北襄陽(yáng)·期末）某學(xué)校在一次調(diào)查“籃球迷”的活動(dòng)中，獲得了如下數(shù)據(jù)，以下結(jié)論最準(zhǔn)確的是（

）男生女生籃球迷9020非籃球迷6030附：χP0.100.050.010.005k2.7063.8416.6357.789A．有99．B．有99%C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)【變式訓(xùn)練92】某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查吃核桃是否能增強(qiáng)注意力，邀請(qǐng)了80名青少年作為研究對(duì)象，隨機(jī)分成兩組，實(shí)驗(yàn)組每天吃3~4個(gè)核桃，對(duì)照組沒(méi)有接受任何形式的干預(yù)，持續(xù)6個(gè)月后，觀察這80名青少年的注意力變化情況，得到如下數(shù)據(jù).受試者注意力合計(jì)增強(qiáng)無(wú)明顯改善對(duì)照組103040實(shí)驗(yàn)組301040合計(jì)404080(1)記每天吃3~4個(gè)核桃，持續(xù)6個(gè)月后注意力增強(qiáng)的概率為p，求p的估計(jì)值；(2)根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析吃核桃是否與注意力增強(qiáng)有關(guān).附：χ2=nα0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.828一、單選題1．根據(jù)分類變量x與y的觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2=2.974.依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.89710.828A．變量x與y不獨(dú)立B．變量x與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05C．變量x與y獨(dú)立D．變量x與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05二、解答題2．判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，還可以借助下面的方法來(lái)進(jìn)行粗略判斷．其方法為：在2×2列聯(lián)表中，若aa+b與c是否緊張是否內(nèi)向緊張