專(zhuān)題7.1條件概率與全概率公式（重難點(diǎn)題型精講）1．條件概率(1)條件概率的定義

一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(BA)=為事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率.

(2)性質(zhì)

設(shè)P(A)>0，為樣本空間，則

①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1；

②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)；

③設(shè)???????和B互為對(duì)立事件，則P(A)=1-P(BA).2．概率的乘法公式由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)=P(A)·P(BA).3．全概率公式及應(yīng)用(1)全概率公式

一般地，設(shè)，，，是一組兩兩互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2,，n，則對(duì)任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我們稱此公式為全概率公式.

(2)全概率公式的意義

全概率公式的意義在于，當(dāng)直接計(jì)算事件B發(fā)生的概率P(B)較為困難時(shí)，可以先找到樣本空間Ω的一個(gè)劃分Ω=∪∪∪，，，，兩兩互斥，將，，，看成是導(dǎo)致B發(fā)生的一組原因，這樣事件B就被分解成了n個(gè)部分，分別計(jì)算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求解.4．貝葉斯公式設(shè)，，，是一組兩兩互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2,，n，則對(duì)任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=.貝葉斯公式是在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因，在運(yùn)用貝葉斯公式時(shí)，一般已知和未知條件如下：

(1)A的多種情況中到底哪種情況發(fā)生是未知的，但是每種情況發(fā)生的概率已知，即P()已知;

(2)事件B是已經(jīng)發(fā)生的確定事實(shí)，且A的每種情況發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率已知，即P()已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式計(jì)算得到；

(4)求解的目標(biāo)是用A的某種情況的無(wú)條件概率求其在B發(fā)生的條件下的有條件概率P().

【題型1條件概率的計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】用定義法求條件概率P(B|A))的步驟：(1)分析題意，弄清概率模型；(2)計(jì)算P(A)，P(AB)；(3)代入公式P(B|A)=求解.【例1】某學(xué)習(xí)小組共有11名成員，其中有6名女生，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，隨機(jī)從這11名成員中抽選2名任小組組長(zhǎng)，協(xié)助老師了解情況，A表示“抽到的2名成員都是女生”，B表示“抽到的2名成員性別相同”，則PA|B=（A．35 B．23 C．25【變式1-1】為參加學(xué)校組織的“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程”的演講比賽，某班從班級(jí)初選的甲乙2名男生和6名女生共8名同學(xué)中隨機(jī)選取5名組成班級(jí)代表隊(duì)參加比賽，則代表隊(duì)中既有男生又有女生的條件下，男生甲被選中的概率為（

）A．1556 B．57 C．12【變式1-2】已知某品牌電視機(jī)使用壽命超過(guò)15000小時(shí)的概率為0.95，而使用壽命超過(guò)30000小時(shí)的壽命的概率為0.85，則已經(jīng)使用了15000小時(shí)的這種電視，使用壽命能超過(guò)30000小時(shí)的概率為（

）A．1720 B．1719 C．1920【變式1-3】某車(chē)間加工同一型號(hào)零件，第一?二臺(tái)車(chē)床加工的零件分別占總數(shù)的40%，60%，各自產(chǎn)品中的次品率分別為6%，5%.記“任取一個(gè)零件為第i臺(tái)車(chē)床加工(i=1,2)”為事件Ai，“任取一個(gè)零件是次品”為事件B，則（

①P(B)=0.054

②PA2B=0.03A．①②④ B．②③④ C．②③ D．①②③④【題型2概率的乘法公式】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，利用概率的乘法公式，進(jìn)行求解即可.【例2】經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行兩次射擊時(shí)，第一次擊中9環(huán)的概率為0.6，在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率為0.8.那么她兩次均擊中9環(huán)的概率為（

）A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75【變式2-1】某精密儀器易因電壓不穩(wěn)損壞，自初裝起，第一次電壓不穩(wěn)儀器損壞的概率為0.1.若在第一次電壓不穩(wěn)儀器未損壞的條件下，第二次電壓不穩(wěn)儀器損壞的概率為0.2，則連續(xù)兩次電壓不穩(wěn)儀器未損壞的概率為（

）A．0.72 B．0.7 C．0.2 D．0.18【變式2-2】某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率是415，刮風(fēng)的概率為215，在下雨天里，刮風(fēng)的概率為38A．34 B．35 C．110【變式2-3】已知某種傳染性病毒使人感染的概率為0.75，在感染該病毒的條件下確診的概率為0.64，則感染該病毒且確診的概率是（

）A．0.40 B．0.45 C．0.48 D．0.50【題型3全概率公式及其應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】當(dāng)所求事件的概率比較復(fù)雜時(shí)，往往把該事件分成兩個(gè)(或多個(gè))互斥的較簡(jiǎn)單的事件，求出這些簡(jiǎn)單事件的概率，運(yùn)用全概率公式來(lái)進(jìn)行求解.【例3】某游泳小組共有20名運(yùn)動(dòng)員，其中一級(jí)運(yùn)動(dòng)員4人，二級(jí)運(yùn)動(dòng)員8人，三級(jí)運(yùn)動(dòng)員8人．現(xiàn)在舉行一場(chǎng)游泳選拔比賽，若一、二、三級(jí)運(yùn)動(dòng)員能夠晉級(jí)的概率分別是0.9，0.7，0.4，則在這20名運(yùn)動(dòng)員中任選一名運(yùn)動(dòng)員能夠晉級(jí)的概率為（

）A．0.58 B．0.60 C．0.62 D．0.64【變式3-1】一份新高考數(shù)學(xué)試卷中有8道單選題，小胡對(duì)其中5道題有思路，3道題完全沒(méi)有思路.有思路的題做對(duì)的概率是0.9，沒(méi)有思路的題只能猜一個(gè)答案，猜對(duì)答案的概率為0.25，則小胡從這8道題目中隨機(jī)抽取1道做對(duì)的概率為（

）A．79160 B．35 C．2132【變式3-2】深受廣大球迷喜愛(ài)的某支足球隊(duì)在對(duì)球員的安排上總是進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，乙球員能夠勝任前鋒、中鋒和后衛(wèi)三個(gè)位置，且出場(chǎng)率分別為0.2，0.5，0.3，當(dāng)乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒、中鋒以及后衛(wèi)時(shí)，球隊(duì)輸球的概率依次為0.4，0.2，0.8．當(dāng)乙球員參加比賽時(shí)．該球隊(duì)這場(chǎng)比賽不輸球的概率為（

）A．0.32 B．0.68 C．0.58 D．0.64【變式3-3】某公司有甲，乙兩家餐廳，小張第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去甲餐廳，那么第2天去甲餐廳的概率為35；如果第1天去乙餐廳，那么第2天去甲餐廳的概率為45，則小張第2天去乙餐廳的概率為（A．110 B．15 C．35【題型4貝葉斯公式及其應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】利用貝葉斯公式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】某一地區(qū)的患有癌癥的人占0.004，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.02.現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，則此人是癌癥患者的概率約為（

）A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84【變式4-1】一道考題有4個(gè)，要求學(xué)生將其中的一個(gè)正確選擇出來(lái)．某考生知道正確的概率為13，而亂猜正確的概率為23．在亂猜時(shí)，4個(gè)都有機(jī)會(huì)被他選擇，如果他答對(duì)了，則他確實(shí)知道正確的概率是（A．13 B．C．34 D．【變式4-2】已知某公路上經(jīng)過(guò)的貨車(chē)與客車(chē)的數(shù)量之比為2:1，貨車(chē)和客車(chē)中途停車(chē)修理的概率分別為0.02，0.01，今有一輛汽車(chē)中途停車(chē)修理，則該汽車(chē)是貨車(chē)的概率為（

）A．0.2 B．0.8 C．0.3 D．0.7【變式4-3】醫(yī)生按照某流行病檢驗(yàn)指標(biāo)將人群分為感染者和正常者，針對(duì)該病的快速檢驗(yàn)試劑有陰性和陽(yáng)性2種結(jié)果．根據(jù)前期研究數(shù)據(jù)，該試劑將感染者判為陽(yáng)性的概率是80%，將正常者判為陽(yáng)性的概率是10%．專(zhuān)家預(yù)測(cè)，某小區(qū)有5%的人口感染了該病，則在單次檢驗(yàn)的結(jié)果為陰性的人群中，感染者的概率是（

）A．2173 B．1173 C．1%專(zhuān)題7.1條件概率與全概率公式（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）一．單擇題1．已知隨機(jī)事件A，B的概率分別為P(A),P(B)，且P(A)P(B)≠0，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．P(A|B)<P(AB) B．P(B|A)=P(A|B)C．P(B|A)=P(A|B)P(B)P(A) 2．已知A，B分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，P(A)>0，P(B)>0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．PB．若PA+PB=1，則C．若A，B獨(dú)立，則PD．若A，B互斥，則P3．已知市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場(chǎng)上買(mǎi)到一個(gè)是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是（

）A．0.665 B．0.56 C．0.24 D．0.2854．已知某公路上經(jīng)過(guò)的貨車(chē)與客車(chē)的數(shù)量之比為2:1，貨車(chē)和客車(chē)中途停車(chē)修理的概率分別為0.02，0.01，今有一輛汽車(chē)中途停車(chē)修理，則該汽車(chē)是貨車(chē)的概率為（

）A．0.2 B．0.8 C．0.3 D．0.75．設(shè)某芯片制造廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5nm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為12塊，8塊，且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為120，現(xiàn)從這20塊芯片中任取一塊芯片，若取得芯片的次品率為0．08A．15 B．110 C．1156．某車(chē)間加工同一型號(hào)零件，第一?二臺(tái)車(chē)床加工的零件分別占總數(shù)的40%，60%，各自產(chǎn)品中的次品率分別為6%，5%.記“任取一個(gè)零件為第i臺(tái)車(chē)床加工(i=1,2)”為事件Ai，“任取一個(gè)零件是次品”為事件B，則（

①P(B)=0.054

②PA2B=0.03A．①②④ B．②③④ C．②③ D．①②③④7．從裝有a個(gè)紅球和b個(gè)藍(lán)球的袋中(a，b均不小于2)，每次不放回地隨機(jī)摸出一球.記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為A1，“第一次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為A2；“第二次摸球時(shí)摸到紅球”為B1，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為BA．PB1=C．PB1+P8．有3臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為5%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為3%，加工出來(lái)的零件混放在一起，第1，2，3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的15%，25%，60%.隨機(jī)取一個(gè)零件，記A=“零件為次品”，①?P(A)=0.033，②i=13③P(B④P(其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．多選題9．下列說(shuō)法中不正確的是（

）．A．在“A已發(fā)生”的條件下，B發(fā)生的概率可記作PB．對(duì)事件A，B，有PC．若PBA=PB，則事件D．PBA相當(dāng)于事件A發(fā)生的條件下，事件10．在某一季節(jié)，疾病D1的發(fā)病率為2%，病人中40%表現(xiàn)出癥狀S，疾病D2的發(fā)病率為5%，其中18%表現(xiàn)出癥狀S，疾病D3的發(fā)病率為0.5%，癥狀S在病人中占60%．則（

）A．任意一位病人有癥狀S的概率為0.02B．病人有癥狀S時(shí)患疾病D1的概率為0.4C．病人有癥狀S時(shí)患疾病D2的概率為0.45D．病人有癥狀S時(shí)患疾病D3的概率為0.2511．有3臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件Ai=“零件為第i臺(tái)車(chē)床加工”i=1,2,3，事件B=“任取一零件為次品”，則（A．PA1=0.25C．PB=0.0525 12．有3臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)車(chē)床加工的次品率為0.06，第2臺(tái)車(chē)床加工的次品率為0.05，第3臺(tái)車(chē)床加工的次品率為0.08，加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1，2，3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的0.25，0.3，0.45，現(xiàn)從中任意選取1個(gè)零件，則（

）A．該零件是由第1臺(tái)車(chē)床加工的次品的概率為0.06B．該零件是次品的概率為0.066C．在取到的零件是次品的前提下，該零件是由第2臺(tái)車(chē)床加工的概率為5D．在取到的零件是次品的前提下，該零件是由第3臺(tái)車(chē)床加工的概率為6三．填空題13．已知PA=0.3，PBA=0.6，且事件A、B14．某同學(xué)連續(xù)兩次投籃，已知第一次投中的概率為0.8，在第一次投中的情況下，第二次也投中的概率為0.7，且第一次投不中，第二次投中的概率為0.5，則在第二次投中的條件下，第一次也投中的概率為．15．市面上某類(lèi)飲料共有3種品牌A、B、C在售，且均為有獎(jiǎng)銷(xiāo)售.已知3種品牌A、B、C的市場(chǎng)占有率分別為60%、30%、10%，且3種品牌每瓶的中獎(jiǎng)率分別為10%、20%、30%.現(xiàn)從市場(chǎng)上任意購(gòu)買(mǎi)一瓶，則該瓶飲料中獎(jiǎng)的概率為.16．甲箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球（球除顏色外，大小質(zhì)地均相同）.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以A1，A2和A3表示由甲箱中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，下列說(shuō)法正確的序號(hào)是①事件A1，A2相互獨(dú)立；②PA3=15；③P(B)=四．解答題17．一個(gè)盒子中有6個(gè)白球、4個(gè)黑球，從中不放回地每次任取1個(gè)，連取2次．求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；18．（1）已知A與B獨(dú)立，且P(A|B)=7（2）已知PA=12，PBA=19．小明每天去學(xué)校有A，B兩條路線可供選擇，小明上學(xué)時(shí)隨機(jī)地選擇一條路線.如果小明上學(xué)時(shí)選擇A路線，那么放學(xué)時(shí)選擇A路線的概率為0.6;如果小明上學(xué)時(shí)選擇B路線，那么放學(xué)時(shí)選擇A路線的概率為0.8.(1)求小明放學(xué)時(shí)選擇A路線的概率;(2)已知小明放學(xué)時(shí)選擇A路線，求小明上學(xué)時(shí)選擇B路線的概率.20．兩臺(tái)車(chē)床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.03，第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.02．加工出來(lái)的零件放在一起，并且已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍．(1)求任意取出1個(gè)零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的1個(gè)零件是