專題7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（重難點(diǎn)題型精講）1．離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：則稱E(X)=+++++為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.

(2)對(duì)均值(期望)的理解

求離散型隨機(jī)變量的期望應(yīng)注意：

①期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.

②E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài).

③均值與隨機(jī)變量有相同的單位.2．均值的性質(zhì)若離散型隨機(jī)變量X的均值為E(X)，Y=aX+b，其中a,b為常數(shù)，則Y也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.

特別地，當(dāng)a=0時(shí)，E(b)=b；

當(dāng)a=1時(shí)，E(X+b)=E(X)+b；

當(dāng)b=0時(shí)，E(aX)=aE(X).3．離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為則稱D(X)=+++=為隨機(jī)變量X的方差，并稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為(X).

(2)意義

隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.4．方差的有關(guān)性質(zhì)當(dāng)a，b均為常數(shù)時(shí)，隨機(jī)變量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X).

特別地，當(dāng)a=0時(shí)，D(b)=0；當(dāng)a=1時(shí)，D(X+b)=D(X)；

當(dāng)b=0時(shí)，D(aX)=D(X).5．兩點(diǎn)分布的均值與方差一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.【題型1均值的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)均值的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.【例1】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，則E(2X?3)=（

）A．2 B．1 C．-1 D．-2【解題思路】套公式直接求出E(X)和E(2X?3).【解答過(guò)程】因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，所以EX=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1,所以【變式1-1】已知離散型隨機(jī)變量X的期望EX=1，則E2X+1A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】直接利用期望的性質(zhì)即可得解.【解答過(guò)程】解：因?yàn)镋X=1，所以【變式1-2】已知隨機(jī)變量ξξ>0滿足E2?3ξ+E2A．?1或4 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)均值的性質(zhì)可得E2?3ξ=3Eξ，則E【解答過(guò)程】因?yàn)镋2?3ξ+E2ξ=6，所以故選：D.【變式1-3】已知X的分布列為：X-101P11a設(shè)Y=2X+1，則Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)的值是(

)A．?16 B．16 C．2【解題思路】根據(jù)分布列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算公式及性質(zhì)求解.【解答過(guò)程】由已知得12+1故選：C.【題型2方差的有關(guān)性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合方差的有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例2】設(shè)X，Y為隨機(jī)變量，且E(X)=2,EX2=6,Y=2X?1，則D(Y)=A．9 B．8 C．5 D．4【解題思路】根據(jù)方差的公式求得DX，再根據(jù)方差的性質(zhì)求解D【解答過(guò)程】由題意，DX=EX【變式2-1】已知隨機(jī)變量X的方差為DX=3，則D1A．9 B．3 C．13 D．【解題思路】根據(jù)DaX+b【解答過(guò)程】∵D13【變式2-2】已知隨機(jī)變量X的分布列如下：236P11a則D(3X+2）的值為（

A．2 B．6 C．8 D．18【解題思路】根據(jù)概率之和等于1求得a，再根據(jù)期望公式和方差公式求出期望與方差，再根據(jù)方差的性質(zhì)即可得解.【解答過(guò)程】解：根據(jù)分布列可知12+13+a=1DX=1【變式2-3】已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X?2012Pn11m若E(X)=0，則D(3X?1)=（

）A．6 B．7 C．20 D．21【解題思路】先由概率和為1以及E(X)=0求出m=16,n=13【解答過(guò)程】由題可知m+n+13+則D(X)=13×【題型3離散型隨機(jī)變量的均值的求法】【方法點(diǎn)撥】第一步，理解隨機(jī)變量X的意義，寫(xiě)出X的所有可能取值；第二步，求X取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步，寫(xiě)出X的分布列，由均值的定義來(lái)求均值.【例3】已知某隨機(jī)變量X的分布為X?101P0.30.2m則EX等于（

A．0.5 B．0.3 C．0.2 D．無(wú)法確定【解題思路】利用分布列的性質(zhì)求得m，再利用隨機(jī)變量期望公式可求解.【解答過(guò)程】由分布列的性質(zhì)得0.3+0.2+m=1，所以m=0.5，根據(jù)隨機(jī)變量期望公式，得EX=?1×0.3+0.5×1=0.2【變式3-1】已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于（

）X012P0.2a0.5A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3【解題思路】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出a，再根據(jù)期望公式計(jì)算可得；【解答過(guò)程】解：依題意可得0.2+a+0.5=1，解得a=0.3，所以EX故選：D.【變式3-2】設(shè)a為正實(shí)數(shù)，若隨機(jī)變量X的分布列為PX=i=i2ai=1,2,3A．3 B．1 C．73 D．【解題思路】先由概率和為1，求出a，再求EX【解答過(guò)程】因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列為PX=i=i2ai=1,2,3所以EX【變式3-3】已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X012P0.64q21－2q則E(X)=（

）A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8【解題思路】由概率之和為1可求出q的值，再根據(jù)分布列直接計(jì)算均值..【解答過(guò)程】由題可得0.64+1?2q+q2=1，解得q=0.4當(dāng)q=1.6時(shí)，1?2q=?2.2<0，不符合題意，舍去，∴q=0.4；所以可得分布列為X012P0.640.160.2∴E(X)=0×0.64+1×0.16+2×0.2=0.56，故選：A.【題型4離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差】【方法點(diǎn)撥】第一步，理解隨機(jī)變量X的意義，寫(xiě)出X的所有可能取值；第二步，求X取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步，寫(xiě)出X的分布列，由均值的定義來(lái)求均值.第四步，利用方差的計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.【例4】隨機(jī)變量X的分布列是X?112Pab1若E2X+1=2，則DXA．1 B．4 C．117 D．【解題思路】根據(jù)E2X+1=2以及a+b+13=1【解答過(guò)程】依題意a+b+13EX=?a+b+23由①②解得a=512,b=所以DX【變式4-1】已知隨機(jī)變量X的分布列為：X12Pab則隨機(jī)變量X的方差DX的最大值為（

A．14 B．12 C．1 【解題思路】由隨機(jī)變量X的分布列，求出DX【解答過(guò)程】解：由題意可得a+b=1，EX則DX=1?1+b]2×a+【變式4-2】已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若EX=2，則DXX123P1mnA．23 B．43 C．8【解題思路】根據(jù)分布列的性質(zhì)以及EX=2，列出方程，解得【解答過(guò)程】由題意可得m+n=23，由EX=2得：故DX【變式4-3】設(shè)0<m<1，隨機(jī)變量的分布列為：ξ0m1Pa12a?1則當(dāng)m在0,1上增大時(shí)（

）A．Dξ單調(diào)遞增，最大值為12B．DC．Dξ單調(diào)遞減，最小值為29D．D【解題思路】根據(jù)方差公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得.【解答過(guò)程】由題知a3+13所以Dξ由二次函數(shù)性質(zhì)可知，Dξ在0,12上單調(diào)遞減，在12,1上單調(diào)遞增，所以當(dāng)m=故選：D.【題型5兩點(diǎn)分布的均值與方差】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)兩點(diǎn)分布的定義，結(jié)合均值、方差的性質(zhì)和計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.【例5】設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若PX=1?PX=0=0.4，則A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【解題思路】由題意可得P(X=1)+P(X=0)=1，再結(jié)合PX=1?PX=0=0.4【解答過(guò)程】由題意得P(X=1)+P(X=0)=1，因?yàn)镻X=1所以解得P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3，所以EX故選：D.【變式5-1】已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，滿足PX=0=29PX=1，且PA．13 B．12 C．23【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)分布的性質(zhì)可得PX=0+PX=1【解答過(guò)程】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，所以PX=0則PX=1+29PX=1=1，解得所以PX=1=23，則【變式5-2】某運(yùn)動(dòng)員罰球命中得1分，不中得0分，如果該運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球一次的得分X的方差為（

）A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.2【解題思路】直接利用期望公式與方差公式求解即可.【解答過(guò)程】∵Pξ=1=0.8,P故選：B.【變式5-3】設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和A，且P(A)=m，令隨機(jī)變量ξ=1,A發(fā)生0,A不發(fā)生，則ξ的方差A(yù)．m B．2m(1?m) C．m(m?1) D．m(1?m)【解題思路】先求得隨機(jī)變量ξ的分布列，結(jié)合期望和方差的公式，即可求解.【解答過(guò)程】由題意，隨機(jī)變量的分布列如下表：ξ01P1?mm則Eξ【題型6均值與方差的綜合應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)審題，確定實(shí)際問(wèn)題是哪一種概率模型以及可能用到的事件類型和公式.(2)確定隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值、方差.(3)對(duì)照實(shí)際意義，回答概率、均值、方差等所表示的結(jié)論.【例6】我市擬建立一個(gè)博物館，采取競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過(guò)層層師選，甲?乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo)．現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題，已知這6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中，甲公司能正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為23，甲?(1)求甲公司至少答對(duì)2道題目的概率；(2)請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲?乙兩家哪家公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大？【解題思路】(1)利用超幾何分布求出甲公司回答對(duì)2道題和回答對(duì)3道題的概率，即可求出結(jié)果.(2)分別求甲、乙兩家公司答對(duì)題數(shù)的分布列，再求兩個(gè)隨機(jī)變量的期望和方差，由此作出判斷.【解答過(guò)程】（1）由題意可知，甲公司至少答對(duì)2道題目可分為答對(duì)兩題或者答對(duì)三題；所求概率P=（2）設(shè)甲公司正確完成面試的題數(shù)為X，則X的取值分別為1,2,3．PX=1=CX123P131∴EX=1×1設(shè)乙公司正確完成面試的題為Y，則Y取值分別為0,1,2,3．PY=0=1PY=2=則Y的分布列為：Y0123P1248∴EYDY由EX【變式6-1】為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促銷活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開(kāi)的概率分別為14,1(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．【解題思路】（1）由題意兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元，然后求出相應(yīng)的概率即可；（2）確定ξ的所有可能取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，得出分布列，進(jìn)一步求解均值和方差即可．【解答過(guò)程】（1）兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元，甲、乙兩人2小時(shí)以上且不超過(guò)3小時(shí)離開(kāi)的概率分別為1－14－12＝14，1－16－兩人都付0元的概率為P1＝14×16＝124，兩人都付40元的概率為P2＝12×兩人都付80元的概率為P3＝14×16＝則兩人所付費(fèi)用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝124＋13＋124（2）ξ的所有可能取值為0，40，80，120，160，則P(ξ＝0)＝14×16＝P(ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P(ξ＝80)＝14×16＋12×P(ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P(ξ＝160)＝14×ξ04080120160P11511E(ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×1D(ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×【變式6-2】開(kāi)展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)、幫助家長(zhǎng)解決接送學(xué)生困難的重要舉措，是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開(kāi)展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)方案的支持情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取100個(gè)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲得數(shù)據(jù)如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.(1)從樣本中抽1人，求已知抽到的學(xué)生支持方案二的條件下，該學(xué)生是女生的概率；(2)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為抽出兩人中女生的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)在（2）中，Y表示抽出兩人中男生的個(gè)數(shù)，試判斷方差DX與D【解題思路】（1）利用古典概型的概率公式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意可得X的可能取值為0,1,2，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可列出分布列，利用隨機(jī)變量的期望公式即可求解；（3）根據(jù)已知條件得出Y=2?X，再利用方差的性質(zhì)即可求解.【解答過(guò)程】（1）依題意支持方案二的學(xué)生中，男生有25人、女生35人，所以抽到的是女生的概率P=35（2）記從方案一中抽取到女生為事件A，從方案二中抽取到女生為事件B，則PA=1624+16=25，PB=所以PX=0=PX=2=25×7X012P13114所以EX（3）依題意可得Y=2?X，所以DY=D2?X【變式6-3】已知投資甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2.經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，X1表1：X0.30.180.1P0.20.50.3表2：X0.250.15P0.20.8(1)若在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1和Y2分別表示投資甲?乙兩項(xiàng)目所獲得的利潤(rùn)，求Y1和Y2的數(shù)學(xué)期望和方差，并由此(2)若在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目總共投資100萬(wàn)元，求在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目上分別投資多少萬(wàn)元時(shí)，可使所獲利潤(rùn)的方差和最??？注：利潤(rùn)率=利潤(rùn)【解題思路】（1）利用公式求出期望和方差，并利用期望和方差的性質(zhì)進(jìn)行求解.（2）計(jì)算甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目上的方差，再利用函數(shù)計(jì)算所獲利潤(rùn)的方差和最小值.【解答過(guò)程】（1）由題意，得EXDXEXDX由EaX+b又Y1=100X1,EY2=100×0.17=17因此投資甲的平均利潤(rùn)18萬(wàn)元大于投資乙的平均利潤(rùn)17萬(wàn)元，但投資甲的方差48也遠(yuǎn)大于投資乙的方差16.所以投資甲的平均利潤(rùn)大，方差也大，相對(duì)不穩(wěn)定，而投資乙的平均利潤(rùn)小，方差也小，相對(duì)穩(wěn)定.若長(zhǎng)期投資可選擇投資甲，若短期投資可選投資乙.（2）設(shè)x萬(wàn)元投資甲，則100?x萬(wàn)元投資了乙，則投資甲的利潤(rùn)Z1=x設(shè)fx則fx=D=0.0048x2當(dāng)x=??2002×4=25故此時(shí)甲項(xiàng)目投資25萬(wàn)元，乙項(xiàng)目投資75萬(wàn)元，可使所獲利潤(rùn)的方差和最小.專題7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）一．單選題1．下列說(shuō)法正確的是（

）A．離散型隨機(jī)變量的均值是0,1上的一個(gè)數(shù)B．離散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平C．若離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)=2，則E(2X+1)=4D．離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)=【解題思路】利用離散型隨機(jī)變量的均值的定義即可判斷選項(xiàng)AB；結(jié)合離散型隨機(jī)變量的均值線性公式即可判斷選項(xiàng)C；由離散型隨機(jī)變量的均值為E(X)=i=1【解答過(guò)程】對(duì)于A，離散型隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，不一定在0,1上，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，故B正確，對(duì)于C，離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)=2，則E(2X+1)=2E(X)+1=5，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)=i=12．設(shè)ξ的分布列如表所示，又設(shè)η=2ξ+5，則E(η)等于（

）ξ1234P1111A．76 B．176 C．173【解題思路】根據(jù)分布列求出E(ξ)，再根據(jù)期望的性質(zhì)計(jì)算可得.【解答過(guò)程】解：依題意可得E(ξ)=1×1所以E(η)=E(2ξ+5)=2E(ξ)+5=2×173．設(shè)隨機(jī)變量X，Y滿足：Y=3X?1，X～B2,13，則DA．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型．先利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式求出DX【解答過(guò)程】解：因?yàn)閄～B=2,13，則DX=2×4．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X12Pmn若EX=53，則A．16 B．13 C．23【解題思路】根據(jù)期望公式及概率和為1列方程求解.【解答過(guò)程】由已知得m+2n=53m+n=1，解得5．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))X0123P0.20.30.4a則下列計(jì)算結(jié)果正確的是（

）A．a(chǎn)=0.2 B．PX≥2=0.7 C．EX=1.4【解題思路】由概率之和為1可判斷A，根據(jù)分布列計(jì)算可判斷B,C,D.【解答過(guò)程】因?yàn)?.2+0.3+0.4+a=1，解得a=0.1，故A錯(cuò)誤；由分布列知P(X≥2)=0.4+0.1=0.5，故B錯(cuò)誤；EX=0×0.2+1×0.3+2×0.4+3×0.1=1.4，故C正確；6．設(shè)0<a<12，隨機(jī)變量X-112P11a則當(dāng)DX最大時(shí)的a的值是A．14 B．316 C．1【解題思路】先求得EX=5a2，【解答過(guò)程】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算公式，可得EX又由E可得DX因?yàn)?<a<12，所以當(dāng)DX最大時(shí)的a7．已知0<p<12，隨機(jī)變量ξ、η相互獨(dú)立，隨機(jī)變量ξ的分布為?112313，η的分布為?1A．Eξ+η減小，Dξ+η增大 B．Eξ+ηC．Eξ+η增大，Dξ+η增大 D．Eξ+η【解題思路】利用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)直接求解.【解答過(guò)程】由題意可得：Eξ=?1所以Eξ+η=Eξ+Eη=?1Dξ=?1+所以Dξ+η=4p?4p2+898.互不相等的正實(shí)數(shù)x1,x2,x3,xA．EX<EYC．EX<EY【解題思路】根據(jù)題意，分x1,x2=1,2或3,4，x1,x2=【解答過(guò)程】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X,Y滿足：X=所以當(dāng)x1,x2=1,2或3,4時(shí)，X=3,Y=2；當(dāng)當(dāng)x1,x2=1,4或2,3時(shí)，X23P231Y23P132所以EXDX所以EX二．多選題9．已知隨機(jī)變量X滿足EX=?4，DXA．E1?X=?5 C．D1?X=5 【解題思路】根據(jù)平均數(shù)和方差的知識(shí)求得正確答案.【解答過(guò)程】依題意，EX=?4，DXD1?X10．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中PX=0=14，EX，DA．PX=1=EXC．DX=3【解題思路】首先寫(xiě)出兩點(diǎn)分布，再根據(jù)期望和方差公式求EX，DX，再根據(jù)E4X+1【解答過(guò)程】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且PX=0=1EX=0×1E4X+1DXD4X+1故選：ABC.11．設(shè)a∈(0,13)，隨機(jī)變量X的分布列如表所示，隨機(jī)變量Y=3X+2，則當(dāng)a在(0,13)上增大時(shí)，下列關(guān)于X?2?10P2bb?aaA．E(Y)增大B．E(Y)先減小后增大C．D(Y)先增大后減小D．D(Y)增大【解題思路】根據(jù)分布列的性質(zhì)求b，再由期望和方差公式求E(X),D(X)，再由期望和方差的性質(zhì)求E(Y),D(Y)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定E(Y)，D(Y)的單調(diào)性.【解答過(guò)程】∵2b+b?a+a=3b=1，∴b=1∴E(X)=(?2)×2故D(X)=?2?a+5又∵Y=3X+2，∴E(Y)=3E(X)+2=3a?3，所以當(dāng)a在0,13上增大時(shí)，D(Y)=9D(X)=?9a2+21a+2，函數(shù)y=?9∴當(dāng)a在0,13上增大時(shí)，12．2022年世界田聯(lián)半程馬拉松錦標(biāo)賽，是揚(yáng)州首次承辦高規(guī)格、大規(guī)模的國(guó)際體育賽事.運(yùn)動(dòng)會(huì)組織委員會(huì)欲從4名男志愿者、3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長(zhǎng)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．設(shè)“抽取的3人中恰有1名女志愿者”為事件A，則PB．設(shè)“抽取的3人中至少有1名男志愿者”為事件B，則PC．用X表示抽取的3人中女志愿者的人數(shù)，則ED．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人數(shù)，則D【解題思路】理解題意，利用超幾何分布，求概率，求期望，求方差即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A：從7名志愿者中抽取3人，所有可能的情況有C73=35（種），其中恰有1名女志愿者的情況有C對(duì)于B：PB對(duì)于C：由題意知X的可能取值為0，1，2，3，則PX=0=C43C73=對(duì)于D：由題可知Y的可能取值為0，1，2，3，則PY=0=PX=3=135，PY=1EY則DY三．填空題13．已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X=1)=0.4，設(shè)ξ=2X?3，那么E(ξ)=?2.2．【解題思路】先求出E(X)，再由隨機(jī)變量的線性關(guān)系的期望性質(zhì)，即可求解.【解答過(guò)程】E(X)=1×0.4+0×(1?0.4)=0.4，E(ξ)=2E(X)?3=?2.2故答案為：?2.2.14．隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若EX=13X－101P1ab【解題思路】利用離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，列出方程組，求出a，b，由此能求出方差，再根據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算可得．【解答過(guò)程】依題意可得a+b+16=1?1×16+0×a+1×b=15．袋中有1個(gè)白球，2個(gè)黃球，2個(gè)紅球，這5個(gè)小球除顏色外完全相同，每次不放回地從中取出1個(gè)球，取出白球即停，記X為取出的球中黃球數(shù)與紅球數(shù)之差，則E(X)=0.【解題思路】按照取出的球的順序羅列出X=0,X=?1;X=1,X=?2;X=2五種可能取值，針對(duì)每一種取值分別求概率即可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】PX=0PX=1=PX=?1故E(X)=0×816．已知A，B兩個(gè)不透明的盒中各有形狀、大小都相同的紅球、白球若干個(gè)，A盒中有m0<m<10個(gè)紅球與10?m個(gè)白球，B盒中有10?m個(gè)紅球與m個(gè)白球，若從A，B兩盒中各取1個(gè)球，ξ表示所取的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則當(dāng)Dξ取到最大值時(shí)，m的值為【解題思路】寫(xiě)出隨機(jī)變量ξ的可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，再根據(jù)期望和方差公式求出期望與方差，從而可得出答案.【解答過(guò)程】解：ξ的可能取值為0，1，2，Pξ=0Pξ=1=10?m10?ξ012Pm10?mmEξD=m10?m50所以當(dāng)Dξ取到最大值時(shí)，m四．解答題17．已知隨機(jī)變量X的分布列為X?2?1012P111m1（1）求E（2）若Y=2X?3，求EY【解題思路】（1）由分布列求出m的值，再根據(jù)隨機(jī)變量X期望公式可得答案；（2）由EY=aX+b【解答過(guò)程】（1）由分布列得14+1EX（2）若Y=2X?3，則EY18．已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示，且E(X)=2X01xP11p(1)求D(X)的值；(2)若Y=X+4，求D(Y)的值；(3)若Z=2?3X，求D(Z)的值．【解題思路】（1）利用離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)以及期望和方差的計(jì)算公式即可求解；（2）利用方差的性質(zhì)求解即可；（3）利用方差的性質(zhì)求解即可.【解答過(guò)程】（1）由題意可知12+1又∵E(X)=0×12+1×∴D(X)=0?（2）∵Y=X+4，∴D(Y)=D(X)=5（3）∵Z=2?3X，∴D(Z)=D2?3X19．第二十二屆世界足球賽于2022年11月21日在卡塔爾舉行，是歷史上首次在中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是第二次再亞洲舉行的世界杯足球賽，在此火熱氛圍中，某商場(chǎng)設(shè)計(jì)了一款足球游戲：場(chǎng)地上共有大、小2個(gè)球門，大門和小門依次射門，射進(jìn)大門后才能進(jìn)行小門射球，兩次均進(jìn)球后可得到一個(gè)世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顧客射進(jìn)大門的概率均為34，射進(jìn)小門的概率依次為23，13(1)求這3人中至少有2人射進(jìn)大門的概率；(2)記這3人中得到“拉伊卜”的人數(shù)為X，求X的分布列及期望．【解題思路】(1)根據(jù)二項(xiàng)分布求概率公式計(jì)算即可求解；(2)分別求出甲和乙、丙獲得“拉伊卜”的概率，再求出P(X=0)、P(X=1)、P(X=2)、P(X=3)，列出分布列，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的求法即可求解.【解答過(guò)程】（1）設(shè)三人中射進(jìn)大門的人數(shù)為Y，則Y~B3,∴P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=C（2）甲獲得“拉伊卜”的概率p1=P(X=0)=1?1P(X=2)=C21∴X的分布列如下：X0123P91571∴E(X)=0?920．某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購(gòu)商從采購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個(gè)數(shù)10304020(1)若將頻率視為概率，從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取5個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；(2)用樣本估計(jì)總體，果園老板提出兩種購(gòu)銷方案給采購(gòu)商參考，方案1：不分類賣出，單價(jià)為21元/kg方案2：分類賣出，分類后的水果售價(jià)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果售價(jià)（元/16182224從采購(gòu)商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？(3)用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，再?gòu)某槿〉?0個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，X表示抽取的是精品果的數(shù)量，求X的分布列及方差DX【解題思路】（1）根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)分布運(yùn)算求解；（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)求方案二的平均單價(jià)，結(jié)合題意分析判斷；（3）先根據(jù)分層抽樣求各層應(yīng)抽取的樣本個(gè)數(shù)，再結(jié)合超幾何分布求分布列和方差.【解答過(guò)程】（1）記“從這100個(gè)水果中隨機(jī)抽取1個(gè)，這個(gè)水果是禮品果”為事件A，則PA從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取5個(gè)，設(shè)禮品果的個(gè)數(shù)為Y，則Y～B5,故恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率PY=2（2）方案2：每公斤的單價(jià)為x=16×∵21>20.6，故從采購(gòu)商的角度考慮，應(yīng)該采用第二種方案.（3）用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，則標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果應(yīng)抽取的個(gè)數(shù)分別為1,3,4,2，即4個(gè)精品果，6個(gè)非精品果，由題意可得：X的可能取值有：0,1,2,3，則有：PX=0=CX0123P1131則EXDX21．某知名電腦品牌為了解客戶對(duì)其旗下的三種型號(hào)電腦的滿意情況，隨機(jī)抽取了一些客戶進(jìn)行回訪，調(diào)查結(jié)果如表：電腦型號(hào)ⅠⅡⅢ回訪客戶（人數(shù)）250400350滿意度0.50.40.6滿意度是指，回訪客戶中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值.用滿意度來(lái)估計(jì)每種型號(hào)電腦客戶對(duì)該型號(hào)電腦滿意的概率，且假設(shè)客戶是否滿意相互獨(dú)立.（1）從型號(hào)Ⅰ和型號(hào)Ⅱ電腦的所有客戶中各隨機(jī)抽取1人，記其中滿意的人數(shù)為X，求X的分布列和期望；（2）用“ξ1=1”，“ξ2=1”，“ξ3=1”分別表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型號(hào)電腦讓客戶滿意，“ξ1=0”，“ξ2【解題思路】（1）由題意得X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）由題意ξ1，ξ2，ξ3【解答過(guò)程】解：（1）由題意得X的可能取值為0，1，2，設(shè)事件A為“從型號(hào)Ⅰ電腦所有客戶中隨機(jī)抽取的人滿意”，事件B為“從型號(hào)Ⅱ電腦所有客戶中隨機(jī)抽取的人滿意”，且A，B為獨(dú)立事件，根據(jù)題意，PA=12，PX=1PX=2=PAB=PX012P311EX（2）由題意ξ1，ξ2，ξ3Dξ2=∴Dξ22．在做數(shù)學(xué)卷多選題時(shí)考生通常有以下兩種策略：策略A：為避免有選錯(cuò)得0分，在四個(gè)選項(xiàng)中只選出一個(gè)自己最有把握的選項(xiàng)，將多選題當(dāng)作“單選題”來(lái)做，選對(duì)得2分；策略B：爭(zhēng)取得5分，選出自己認(rèn)為正確的全部選項(xiàng)，漏選得2分，全部選對(duì)得5分．本次期末考試前，某同學(xué)通過(guò)模擬訓(xùn)練得出其在兩種策