2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)強(qiáng)化之“數(shù)列概念與等差數(shù)列”一、數(shù)列的基本概念數(shù)列是按照一定順序排列的一列數(shù)，其核心要素包括項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。從函數(shù)視角看，數(shù)列可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集（或其子集）的特殊函數(shù)，通項(xiàng)公式(a_n=f(n))描述了項(xiàng)與序號(hào)的映射關(guān)系。數(shù)列的表示方法主要有三種：解析法（通項(xiàng)公式或遞推公式）、列表法和圖象法，其中圖象呈現(xiàn)為平面直角坐標(biāo)系中一系列孤立的點(diǎn)。根據(jù)項(xiàng)數(shù)可分為有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列，按項(xiàng)的變化趨勢(shì)可分為遞增數(shù)列（(a_{n+1}>a_n)）、遞減數(shù)列（(a_{n+1}<a_n)）、常數(shù)列（(a_{n+1}=a_n)）和擺動(dòng)數(shù)列。理解數(shù)列的函數(shù)特性是解決動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題的關(guān)鍵，例如通過(guò)分析通項(xiàng)公式的單調(diào)性可確定數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)。二、等差數(shù)列的定義與核心公式（一）定義與等差中項(xiàng)等差數(shù)列的本質(zhì)特征是“差等”，即從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為(a_{n+1}-a_n=d)（(n\in\mathbb{N}^*)，(d)為常數(shù)）。這一遞推關(guān)系既是判定數(shù)列是否為等差數(shù)列的依據(jù)，也是推導(dǎo)通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)。若三個(gè)數(shù)(a,A,b)成等差數(shù)列，則(A)稱為(a)與(b)的等差中項(xiàng)，滿足(2A=a+b)。在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即(2a_n=a_{n-1}+a_{n+1})（(n\geq2)），這一性質(zhì)可用于快速驗(yàn)證數(shù)列的等差關(guān)系或填補(bǔ)數(shù)列中的缺項(xiàng)。（二）通項(xiàng)公式與推廣等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為(a_n=a_1+(n-1)d)，其中(a_1)是首項(xiàng)，(d)是公差。該公式揭示了等差數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)之間的線性關(guān)系，當(dāng)(d\neq0)時(shí)，(a_n)是關(guān)于(n)的一次函數(shù)，其圖象是直線(y=a_1+(x-1)d)上的一系列孤立點(diǎn)，斜率為公差(d)，截距為(a_1-d)。通項(xiàng)公式的推廣形式(a_n=a_m+(n-m)d)（(n,m\in\mathbb{N}^*)）突破了必須從首項(xiàng)開(kāi)始計(jì)算的限制，可直接利用數(shù)列中任意已知項(xiàng)求未知項(xiàng)，例如已知(a_5=10)，(d=2)，則(a_8=a_5+3d=16)。（三）前(n)項(xiàng)和公式等差數(shù)列前(n)項(xiàng)和(S_n)有兩種表達(dá)形式：一是基于首項(xiàng)和末項(xiàng)的“倒序相加法”推導(dǎo)結(jié)果(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2})；二是代入通項(xiàng)公式后的展開(kāi)式(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d)。后者可變形為(S_n=\frackxqjuyb{2}n^2+(a_1-\fracjp3i53o{2})n)，表明當(dāng)(d\neq0)時(shí)，(S_n)是關(guān)于(n)的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0，其圖象是拋物線(y=\fracqsuikd3{2}x^2+(a_1-\fracmgqs3ep{2})x)上的離散點(diǎn)。這一特性可用于解決前(n)項(xiàng)和的最值問(wèn)題，例如當(dāng)(d<0)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，(S_n)在對(duì)稱軸處取得最大值。三、等差數(shù)列的重要性質(zhì)及應(yīng)用（一）項(xiàng)的性質(zhì)若({a_n})是等差數(shù)列，且(k+l=m+n)（(k,l,m,n\in\mathbb{N}^*)），則(a_k+a_l=a_m+a_n)。特別地，當(dāng)(m=n)時(shí)，有(a_k+a_l=2a_m)，即等差數(shù)列中“等距離”的兩項(xiàng)之和相等。例如在等差數(shù)列中，(a_3+a_7=a_4+a_6=2a_5)，這一性質(zhì)可簡(jiǎn)化多項(xiàng)求和或已知幾項(xiàng)和求未知項(xiàng)的問(wèn)題。此外，等差數(shù)列中每隔(m)項(xiàng)取出一項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為(md)，如(a_1,a_{1+m},a_{1+2m},\cdots)的公差為(md)。（二）前(n)項(xiàng)和的性質(zhì)等差數(shù)列前(n)項(xiàng)和(S_n)具有以下特性：數(shù)列(S_m,S_{2m}-S_m,S_{3m}-S_{2m},\cdots)仍為等差數(shù)列，公差為(m^2d)。例如(S_5,S_{10}-S_5,S_{15}-S_{10})構(gòu)成公差為(25d)的等差數(shù)列。當(dāng)(n)為奇數(shù)時(shí)，(S_n=na_{\frac{n+1}{2}})（即中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)），且(\frac{S_n}{n}=a_{\frac{n+1}{2}})；當(dāng)(n)為偶數(shù)時(shí)，(S_n=\frac{n}{2}(a_{\frac{n}{2}}+a_{\frac{n}{2}+1}))。若等差數(shù)列({a_n})與({b_n})的前(n)項(xiàng)和分別為(S_n)和(T_n)，則(\frac{a_m}{b_m}=\frac{S_{2m-1}}{T_{2m-1}})，這一性質(zhì)可快速實(shí)現(xiàn)項(xiàng)的比值與和的比值之間的轉(zhuǎn)化。（三）與函數(shù)的聯(lián)系通項(xiàng)公式與一次函數(shù)：當(dāng)(d\neq0)時(shí)，(a_n=dn+(a_1-d))是關(guān)于(n)的一次函數(shù)，其斜率為公差(d)，因此等差數(shù)列的增減性由(d)決定：(d>0)時(shí)遞增，(d<0)時(shí)遞減，(d=0)時(shí)為常數(shù)列。前(n)項(xiàng)和與二次函數(shù)：當(dāng)(d\neq0)時(shí)，(S_n=\fracqtvi5ct{2}n^2+(a_1-\fraco3qbfhs{2})n)是關(guān)于(n)的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為(n=\frac{1}{2}-\frac{a_1}nprvibd)。若對(duì)稱軸為整數(shù)(k)，則(S_k)為最值；若對(duì)稱軸為非整數(shù)(k+\frac{1}{2})（(k\in\mathbb{N}^*)），則(S_k=S_{k+1})為最值。例如，若(S_n=-n^2+10n)，對(duì)稱軸為(n=5)，則(S_5=25)為最大值。四、高頻考點(diǎn)解析與典型例題（一）基本量的運(yùn)算等差數(shù)列的基本量包括(a_1,d,n,a_n,S_n)，已知其中三個(gè)量可求其余兩個(gè)量，核心是建立關(guān)于(a_1)和(d)的方程組。例題1：已知等差數(shù)列({a_n})中，(a_3=7)，(a_5+a_7=26)，求(a_n)及(S_n)。解析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為(a_1)，公差為(d)，則由已知得：[\begin{cases}a_1+2d=7\(a_1+4d)+(a_1+6d)=26\end{cases}]化簡(jiǎn)第二個(gè)方程得(2a_1+10d=26)，即(a_1+5d=13)。聯(lián)立第一個(gè)方程解得(d=2)，(a_1=3)。因此(a_n=3+(n-1)\times2=2n+1)，(S_n=n\times3+\frac{n(n-1)}{2}\times2=n^2+2n)。（二）等差數(shù)列的判定與證明證明數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法有：定義法：驗(yàn)證(a_{n+1}-a_n=d)（常數(shù)）對(duì)任意(n\in\mathbb{N}^*)成立；等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證(2a_{n+1}=a_n+a_{n+2})對(duì)任意(n\in\mathbb{N}^*)成立；通項(xiàng)公式法：證明(a_n=pn+q)（(p,q)為常數(shù)）；前(n)項(xiàng)和公式法：證明(S_n=An^2+Bn)（(A,B)為常數(shù)）。例題2：已知數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n=n^2-2n)，求證：({a_n})是等差數(shù)列。解析：當(dāng)(n=1)時(shí)，(a_1=S_1=1-2=-1)；當(dāng)(n\geq2)時(shí)，(a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2-2n)-[(n-1)^2-2(n-1)]=2n-3)。當(dāng)(n=1)時(shí)，(2\times1-3=-1=a_1)，故(a_n=2n-3)。又(a_{n+1}-a_n=2(n+1)-3-(2n-3)=2)（常數(shù)），因此({a_n})是首項(xiàng)為(-1)，公差為(2)的等差數(shù)列。（三）性質(zhì)的綜合應(yīng)用利用等差數(shù)列的性質(zhì)可簡(jiǎn)化計(jì)算，提高解題效率。例題3：在等差數(shù)列({a_n})中，(S_{10}=100)，(S_{100}=10)，求(S_{110})。解析：由等差數(shù)列前(n)項(xiàng)和的性質(zhì)知，(S_{10},S_{20}-S_{10},S_{30}-S_{20},\cdots,S_{110}-S_{100})成等差數(shù)列，設(shè)其公差為(D)，共有11項(xiàng)。則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為(S_{100}=10\times100+\frac{10\times9}{2}D=10)，解得(D=-22)。因此(S_{110}=S_{100}+(S_{110}-S_{100})=10+[100+10D]=10+[100+10\times(-22)]=-110)。（四）與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題等差數(shù)列與函數(shù)、不等式的結(jié)合是高考的難點(diǎn)，需運(yùn)用函數(shù)思想分析數(shù)列的單調(diào)性、最值等問(wèn)題。例題4：設(shè)等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，已知(a_1=13)，(S_3=S_{11})，求(S_n)的最大值及此時(shí)(n)的值。解析：由(S_3=S_{11})得(3a_1+\frac{3\times2}{2}d=11a_1+\frac{11\times10}{2}d)，代入(a_1=13)解得(d=-2)。則(S_n=13n+\frac{n(n-1)}{2}\times(-2)=-n^2+14n=-(n-7)^2+49)。因此當(dāng)(n=7)時(shí)，(S_n)取得最大值49。（五）實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等差數(shù)列在實(shí)際生活中廣泛應(yīng)用于增長(zhǎng)率、行程問(wèn)題、工程問(wèn)題等，關(guān)鍵是建立等差數(shù)列模型。例題5：某公司去年12月份的產(chǎn)值為(a)，若該公司產(chǎn)值的月平均增長(zhǎng)率為(d)（等差數(shù)列增長(zhǎng)），則今年12月份的產(chǎn)值為多少？今年的總產(chǎn)值為多少？解析：去年12月份的產(chǎn)值為(a)，今年1月份的產(chǎn)值為(a+d)，2月份為(a+2d)，…，12月份為(a+12d)。因此今年12月份的產(chǎn)值為(a+12d)，今年的總產(chǎn)值為(S=12a+\frac{12\times11}{2}d=12a+66d)。五、易錯(cuò)點(diǎn)與應(yīng)試技巧（一）易錯(cuò)點(diǎn)忽略等差數(shù)列定義中“從第2項(xiàng)起”的條件，誤將(a_2-a_1=d)當(dāng)作對(duì)任意(n)成立；混淆等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，例如誤用“等比中項(xiàng)”性質(zhì)處理等差數(shù)列問(wèn)題；利用前(n)項(xiàng)和公式求最值時(shí)，忽略(n)為正整數(shù)的限制，直接取對(duì)稱軸處的非整數(shù)(n)。（二）應(yīng)試技巧熟練掌握基本公式和性質(zhì)，優(yōu)先使用性質(zhì)解題以簡(jiǎn)化計(jì)算；遇到含參數(shù)的等差數(shù)列問(wèn)題，注意分類討論公差(