專題15.1軸對稱中的最值問題思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學難題進程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采用間接證明。典例分析典例分析【典例1】“將軍飲馬問題”：如圖1所示，將軍每天從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的C點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？某課題組在探究這一問題時抽象出數(shù)學模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+解法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，則A'B與直線l的交點即為P（1）根據(jù)上面的描述，在備用圖中畫出解決“將軍飲馬問題”的圖形；（2）利用軸對稱作圖解決“飲馬問題”的依據(jù)是__________________；（3）應用：①如圖2，已知∠AOB=30°，其內(nèi)部有一點P，OP=12，在∠AOB的兩邊分別有C、D兩點（不同于點O），使②如圖3，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上的中線且BF=b，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是【思路點撥】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出圖形；（2）根據(jù)兩點之間線段最短解答；（3）①分別作P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到△PCD，根據(jù)等邊三角形的判定定理和性質(zhì)定理解答；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證△BAD≌△CAESAS，根據(jù)全等的性質(zhì)和三線合一可得∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，所以點E在射線CE上運動（∠ACE=30°），作點A關(guān)于CE的對稱的M，連接【解題過程】（1）解：作圖如下：（2）利用軸對稱作圖解決“飲馬問題”的依據(jù)是兩點之間線段最短，故答案為：兩點之間線段最短；（3）①分別作P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，連接MN，交OA、OB于C、D，則△PCD連接OM、由軸對稱的性質(zhì)可知，OM=∠MON∴△MON∴MN=12∴△PCD的周長=②∵△ABC、△∴AB=AC，AD∴∠BAD∴△BAD∴∠ABD∵AF∴∠ABD∴點E在射線CE上運動（∠ACE作點A關(guān)于CE的對稱的M，連接FM交CE于E'此時AE+EF的值最小，此時∵CA=CM∴△ACM∴△ACM∴FM∴△AEF周長的最小值是AF+AE學霸必刷學霸必刷1．（23-24八年級上·云南昭通·階段練習）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，CD平分∠BCA交AB于點D，點P，Q分別是CD，AC上的動點，連接APA．6 B．5 C．4.8 D．42．（2024·湖南婁底·模擬預測）如圖，在銳角△ABC中，AB=15,△ABC的面積為90，BD平分∠ABC，若E、F分別是BD、A．12 B．15 C．18 D．93．（23-24八年級上·安徽·單元測試）如圖，在銳角△ABC中，BC=4,∠ABC=30°,∠ABD=15°，點D在邊AC上，點P、Q分別在線段A．1 B．2 C．3 D．44．（23-24八年級上·湖北荊門·單元測試）如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，且AD=BC，BC上方有一動點P滿足S△PBC

A．60° B．45° C．30° D．不確定5．（23-24八年級上·福建莆田·期中）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=142°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE．在BC，

A．76° B．84° C．96° D．109°6．（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，∠AOB=18°，點M、N分別是邊OA、OB上的定點，P、Q分別是邊OB、OA上的動點，記∠MPQ=α，7．（24-25八年級上·重慶沙坪壩·開學考試）如圖，已知∠AOB=30°，點P是射線OA上的一個動點，點M是射線OB上的一個定點，PQ為點P到OB邊的距離，則當PM+PQ8．（23-24七年級下·湖南衡陽·期末）如圖，射線l⊥線段BC，垂足為B，AD⊥BC，垂足為D，AD=4，DC=3，BD=2．點E為射線l9．（23-24八年級上·黑龍江佳木斯·期末）如圖，點E在等邊三角形ABC的邊BC上，BE=4，射線CD⊥BC，垂足為C，P是射線CD上一動點，F(xiàn)是線段AB上一動點，當EP+FP的值最小時，BF=610．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=150°，點P，Q分別在邊AB，BC11．（23-24七年級下·陜西西安·期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，P為邊BC上方的一個動點．△PBC的面積等于△ABC的面積的112．（23-24八年級上·福建龍巖·期中）如圖，∠AOB=45°，OC平分∠AOB，點M為OB上一定點，P為OC上的一動點，N為OB上一動點，當PM+PN13．（2024八年級上·全國·專題練習）如圖，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC邊上的中線且AD=12，F(xiàn)是AD上的動點，E是14．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，銳角△ABC中，∠A=30°，BC=72，△ABC的面積是6，D，E15．（23-24七年級下·四川成都·期末）如圖，在面積為458的銳角△ABC中，AB=52，∠C=30°，D是△ABC內(nèi)部一點，E，F(xiàn)分別是邊BC,AC上的動點，連接16．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，點P在∠AOB內(nèi)部，點M，N分別是邊OA，OB上的動點，點M，N（1）若將點P在∠AOB的內(nèi)部移動位置，使OP平分∠AOB，當PN∥OA，ON=2時，（2）若∠AOB=60°，OP=a，隨著點M，N位置的變動，當△PMN周長最小時，點O到直線17．（2023八年級上·全國·專題練習）將軍要檢閱一隊士兵，要求（如圖所示）；隊伍長為a，沿河OB排開（從點P到點Q）；將軍從馬棚M出發(fā)到達隊頭P，從P至Q檢閱隊伍后再趕到校場N．問：在什么位置列隊（即選擇點P和Q），可以使得將軍走的總路程MP+18．（23-24八年級上·廣西桂林·期中）數(shù)學模型學習與應用：白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．——《古從軍行》唐李欣模型學習：詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題，我們稱之為“將軍飲馬”問題．關(guān)鍵是利用軸對稱變換，把直線同側(cè)兩點的折線問題轉(zhuǎn)化為直線兩側(cè)的線段問題，“將軍飲馬”問題的數(shù)學模型如圖1所示：在直線l上存在點P，使PA+作法：作A點關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，A'B與直線l模型應用：（1）如圖2，已知△ABC為等邊三角形，高AH=8cm，P為AH上一動點，D①當PD+PB的最小值時，在圖中確定點②則PD+PB的最小值為模型變式：（2）如圖3所示，某地有塊三角形空地AOB，已知∠AOB=30°，P是△AOB內(nèi)一點，連接PO后測得PO=10米，現(xiàn)當?shù)卣谌切慰盏谹OB中修一個三角形花壇PQR，點Q，R分別是OA，

19．（24-25八年級上·陜西西安·開學考試）在△ABC中，∠B=90°，D為BC延長線上一點，點E為線段AC，（1）如圖1，當∠BAC=50°時，則∠（2）當∠BAC①如圖2，連接AD，判斷△AED②如圖3，直線CF與ED交于點F，滿足∠CFD=∠