15.3等腰三角形課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理；②探索并掌握等腰三角形的判定定理；③探索等邊三角形的性質(zhì)定理；④探索等邊三角形的判定定理。1.理解并掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)定理與判定定理，會運(yùn)用判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明；2.理解并掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理，會應(yīng)用其分析30°直角三角形的邊角關(guān)系問題；3.會根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)作簡單的輔助線解決問題。知識點(diǎn)01等腰三角形的定義·等腰三角形：在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．·等腰三角形中的角度關(guān)系：∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝·等腰直角三角形：頂角為直角，兩個(gè)底角都等于45°【即學(xué)即練1】（24-25九年級上·安徽宿州·階段練習(xí)）若一個(gè)三角形的底角比頂角大，則頂角為（）A． B． C． D．知識點(diǎn)02等腰三角形的性質(zhì)·對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸·性質(zhì)定理1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對等角”）·幾何語言：如圖，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.【即學(xué)即練2】（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，且點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【即學(xué)即練3】如圖，在中，，P是邊的中點(diǎn)，，垂足分別為D，E．求證：．

性質(zhì)定理2：等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊補(bǔ)充：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）【即學(xué)即練4】（23-24八年級下·安徽宿州·階段練習(xí)）如圖，直線經(jīng)過線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④垂直平分線段．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【即學(xué)即練5】如圖，在中，，為的中點(diǎn)，，分別為，上的點(diǎn)，且，求證：．

知識點(diǎn)03等邊三角形的定義和性質(zhì)·等邊三角形的定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形【即學(xué)即練6】（23-24八年級上·安徽·期末）如圖，是邊長為1的等邊三角形，，分別是邊，上的兩點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)落在處，則陰影部分圖形的周長為（

）A． B．2 C． D．3·對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線.定理1推論（等邊三角形的性質(zhì)）：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等，每一個(gè)內(nèi)角都等于60°．【即學(xué)即練7】（23-24八年級上·安徽宣城·期末）如圖，等邊三角形中，點(diǎn)D，E分別在，AB邊上，且，AD，CE相交于點(diǎn)F．(1)請?jiān)趫D中找出與CE相等的線段，并證明．(2)求出的度數(shù)．定理2推論：各邊上的高、中線、對應(yīng)的角平分線重合，且長度相等【即學(xué)即練9】（24-25八年級上·江蘇南京·期中）如圖，等邊的高相交于點(diǎn)O．若，則的長為．知識點(diǎn)04等腰三角形的判定·定義法：證明一個(gè)三角形的兩邊相等·判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).幾何表述：如圖，在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC.◆特別注意：“等角對等邊”不能敘述為“如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等，那么它的兩條腰相等”，因?yàn)樵谖磁卸ǔ鏊堑妊切沃?，不能用“底角”、“頂角”、“腰”、“底邊”這些名詞.【即學(xué)即練10】（22-23八年級下·安徽宿州·期中）如圖，在中，，和的平分線分別交于點(diǎn)G，F(xiàn)．若，則的值為．【即學(xué)即練11】（23-24八年級上·安徽阜陽·期中）如圖，在中，，，的平分線交邊于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接．(1)求證：為等腰三角形．(2)求的度數(shù)．知識點(diǎn)05含30°角的直角三角形的性質(zhì)·定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．（含30°角的直角三角形的性質(zhì)揭示直角邊與斜邊的數(shù)量關(guān)系）幾何表述：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12AB.【即學(xué)即練12】如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．求證：．·性質(zhì)應(yīng)用：①證線段的倍分關(guān)系；②計(jì)算角度知識點(diǎn)06等邊三角形的判定·定義法：證明一個(gè)三角形的三邊相等.【即學(xué)即練13】（24-25八年級上·廣東惠州·期中）如圖，下列哪個(gè)條件能推出是等邊三角形的是（

）A． B．C． D．【即學(xué)即練14】（23-24八年級上·安徽安慶·期末）已知的三邊長a，b，c滿足等式，則的形狀是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．不等邊三角形 D．等邊三角形·推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．幾何表述：如圖，在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形.【即學(xué)即練15】如圖，在中，，點(diǎn)在上，，．求證：為等邊三角形．·推論２：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．幾何表述：如圖，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)，∴△ABC是等邊三角形.【即學(xué)即練16】（24-25八年級上·廣東珠?！て谥校┤鐖D，在中，．(1)尺規(guī)作圖：作邊上的中線；(2)判斷的形狀，并說明理由．知識點(diǎn)07尺規(guī)作等腰三角形·已知底邊及底邊上的高作等腰三角形以a為等腰三角形的底邊，h為底邊上的高，作等腰三角形.作圖步驟：1.作線段AB=a；2.作線段AB的垂直平分線MN，交AB于點(diǎn)D；3.在MN上取一點(diǎn)C，使DC=h；4.連接AC，BC，則△ABC即為所求作的等腰三角形.【即學(xué)即練17】（2021·安徽·一模）如圖，在中，，根據(jù)作圖痕跡，可知（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練18】尺規(guī)作圖．已知：線段，，求作等腰三角形，使其底邊長為，底角為．（不寫作圖作圖過程，保留作圖痕跡）1.“三線合一”性質(zhì)應(yīng)用：在等腰三角形中，運(yùn)用“三線合一”的性質(zhì)時(shí)，已知其中“一線”，就可以得到另外“兩線”.·幾何表述：如圖，在△ABC中，(1)∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD=CD)；(2)∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=DC(或AD⊥BC)．2.等腰三角形的性質(zhì)與判定的異同·相同點(diǎn)：使用的前提都是“在同一個(gè)三角形中”.·不同點(diǎn)：條件和結(jié)論相反·等腰三角形的性質(zhì)：條件：兩邊相等→結(jié)論：這兩邊所對的角相等.·等腰三角形的判定：條件：兩角相等→結(jié)論：這兩角所對的邊相等.3.證明等邊三角形的一般思路：【題型一：分類討論等腰三角形的個(gè)數(shù)】例1．（22-23八年級下·安徽宿州·期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．要在格點(diǎn)上確定一點(diǎn)C，連接和，使是以為頂角的等腰三角形，則網(wǎng)格中滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)變式1.如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知圖中A，B兩個(gè)格點(diǎn)，請?jiān)趫D中再尋找另一個(gè)格點(diǎn)C，使成為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有（

）個(gè)．A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．10個(gè)例2.如圖，中，動點(diǎn)D在直線上，當(dāng)為等腰三角形，．

例3.平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8【方法技巧與總結(jié)】解決分類討論等腰三角形的個(gè)數(shù)問題時(shí)，主要從邊（分為腰和底來討論）；角（分為頂角和底角）來討論；如果是一腰上的高問題：要分銳角和鈍角三角形來討論【題型二：等腰三角形的性質(zhì)和判定】例4．（23-24八年級上·安徽阜陽·期中）如圖，在中，，，的平分線交邊于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接．(1)求證：為等腰三角形．(2)求的度數(shù)．變式4．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，中，為邊上一點(diǎn)，，交AD的延長線于點(diǎn)，于，．(1)求證：點(diǎn)為的中點(diǎn)；(2)若，求證：．例5.如圖，在中，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，且滿足．點(diǎn)F在延長線上，連接并延長，交于點(diǎn)E，連接．(1)求和的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，求證：是等腰三角形．變式5．（23-24八年級上·安徽亳州·期末）如圖，在中，是斜邊上的高線，是的平分線．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：．【方法技巧與總結(jié)】①在含等腰三角形的復(fù)雜圖形中求角時(shí)，常常利用方程思想，通過內(nèi)角、外角之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解；②證明兩條線段相等的常用方法：利用等腰三角形的判定——“等角對等邊”，在證明過程中，經(jīng)常通過計(jì)算三角形各角的度數(shù)，或利用角的關(guān)系得到角相等，從而得到所對的邊相等；③方程思想解決角度問題?！绢}型三：應(yīng)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)作輔助線解邊角關(guān)系】例6．（24-25八年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，是的平分線，于，連接，若的面積為，則的面積為．例7．（2024·安徽·中考真題）在凸五邊形中，，，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．下列條件中，不能推出與CD一定垂直的是（

）A． B．C． D．例8．（2024·安徽阜陽·三模）如圖，在四邊形中，，，邊上的點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于對角線對稱，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】在等腰三角形的有關(guān)計(jì)算中，有時(shí)需要添加輔助線，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．主要是利用等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是求出各個(gè)角的度數(shù)?！绢}型四：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求線段最值】例9．如圖，在中，，、是的兩條中線，P是上一個(gè)動點(diǎn)，則下列線段的長度等于最小值的是（

）A． B． C． D．變式9-1.（22-23七年級下·安徽宿州·期末）如圖，在中，，，，是邊上的中線．

（1）若，則的度數(shù)是（用含的式子表示）；（2）若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值是．變式9-2.（24-25八年級上·河南周口·期中）如圖，在中，的垂直平分線分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一動點(diǎn)，，，則的最小值為．【方法技巧與總結(jié)】①軸對稱的性質(zhì)——將同側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為異側(cè)點(diǎn)，三點(diǎn)共線求線段和的最小值；②利用三角形的三邊關(guān)系求最值；③利用“垂線段最短”求最值【題型五：等腰三角形與全等綜合】（手拉手全等模型）例10．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，和都是等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，連接．①的度數(shù)為；②線段之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）拓展探究：如圖②，和都是等腰直角三角形、，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，為中邊上的高，連接，試求的度數(shù)及判斷線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）解決問題：如圖③，和都是等腰三角形，，點(diǎn)B、D，E在同一條直線上，請直接寫出的度數(shù)．

變式10.（23-24八年級上·安徽·單元測試）已知，在和中，，，，且，，三點(diǎn)在同一條直線上．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，并延長交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，判斷的形狀，并說明理由；(3)如圖3，過點(diǎn)作，垂足為，若，，當(dāng)時(shí)，求的長．

（一線三直角全等模型）例11.如圖1，把一塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C放置在水平直線上，在中，，，試回答下列問題：(1)若把三角尺繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，度；(2)在三角尺繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，分別作于M，與N，若，，求．(3)三角尺繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其他條件不變，則、與之間有什么關(guān)系？請說明理由．

一、選擇題1．（2024八年級上·湖南·專題練習(xí)）在中，，添加下列一個(gè)條件后，仍不能判定為等邊三角形的是（）A． B． C． D．2．（24-25七年級下·重慶南岸·期末）如圖，在中，AD平分，DE垂直平分AB．若，以下結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．3．（24-25八年級上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為，那么這個(gè)等腰三角形的底角等于（

）A．或 B． C． D．或4．（23-24八年級上·安徽淮南·期末）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，若，則的長為（

）A．2 B．2.5 C．3 D．45.在中，平分，則的長為（）A． B． C． D．6．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，是等邊三角形，BD是中線，延長至E，使，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．二、填空題7．（24-25八年級上·湖南長沙·期中）公路邊上的很多汽車警示標(biāo)志形狀都是等邊三角形．我們知道等邊三角形是軸對稱圖形，它有條對稱軸．8．如圖，在中，，是邊上的中線，是底邊上的高．若的面積為24，則的面積為．

9．（23-24七年級下·安徽宿州·期末）如圖，在中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，且，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)與交于點(diǎn)．（1）的度數(shù)為．（2）若為的中點(diǎn)，，則．10．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，在等邊中，，垂足為點(diǎn)O，且，E是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，線段與線段關(guān)于直線AB對稱．（1）連接，則的度數(shù)為；（