專題15.3等腰三角形中的幾何綜合思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學難題進程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采用間接證明。知識點總結(jié)知識點總結(jié)一、等腰三角形1．定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形．2．等腰三角形性質(zhì)：①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）．特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°．3．等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）．典例分析典例分析【典例1】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．點D為△ABC（1）如圖1，若AD=AC，CD=8，求點B（2）如圖2，以CD為直角邊作等腰直角△CDE，DE=DC，線段EC，AD交于點F，若∠（3）如圖3，點Q在AB邊上，且AQ=AC，點M為直線AC上的一個動點，連接MQ，過點Q作NQ⊥MQ，且滿足NQ=MQ，連接【思路點撥】（1）過點A作AH⊥CD于H，過點B作BG⊥CD于G，可證得△ACH（2）延長BD交CE于點L，過點A作AS⊥CE于點S，可證得△ACS（3）作點C關于AB的對稱點P，連接AP、CP，CP交AB于點O，過點Q作QW⊥AB交AC的延長線于點W，連接AN，可證得△QWM≌△QAN(SAS)，得出∠QAN=∠W=45°，即點N在直線AP上運動，當且僅當BN⊥AP時，BN最短，即點N【解題過程】（1）解：過點A作AH⊥CD于H，過點B作BG⊥CD于則∠AHC∴∠∵∠∴∠在△ACH和△∠AHC∴△ACH∴BG∵AD=AC∴CH∴BG即點B到直線CD的距離為4；（2）證明：延長BD交CE于點L，過點A作AS⊥CE于點則∠ASC∵△CDE是等腰直角三角形，DE∴∠∵∠ABD+∴∠∴∠∴∠∴∠∴∠∵∠∴∠在△ACS和△∠ASC∴△ACS∴AS∵∠DCE=45°∴∠∴CL∴AS在△AFS和△∠ASF∴△AFS∴AF（3）解：如圖3，作點C關于AB的對稱點P，連接AP、CP，CP交AB于點O，過點Q作QW⊥AB交AC的延長線于點W，連接則∠AQW=90°，∵∠ACB=90°∴∠∴∠∴QA∵NQ⊥MQ∴∠∴∠在△QWM和△QW=∴△QWM∴∠即點N在直線AP上運動，當且僅當BN⊥AP時，BN最短，即點N與點如圖4，連接CQ，則QP=QC，即∵QM∴QC∵AQ∴∠∵QM∴∠學霸必刷學霸必刷1．（23-24八年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，△ABC是等腰三角形AB=AC≠BC，在△ABC所在平面內(nèi)有一點P，且使得△ABP，△

A．1個 B．4個 C．5個 D．6個【思路點撥】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，作出AB、AC、BC的垂直平分線，首先△ABC的外心滿足條件；再根據(jù)圓的半徑相等，以點B為圓心，以AB長為半徑畫圓，與BC的垂直平分線相交于兩點，其中一點是點A，另一點為符合要求的P點；再以點A為圓心，以AB長為半徑畫圓，與BC的垂直平分線相交于兩點，這兩點也符合條件；在△ABC的左邊作一個△APB，使△APB≌【解題過程】解：如下圖，

①作三邊的垂直平分線必在三角形內(nèi)交于一點，這點就是符合要求的P點；②作BC的垂直平分線，以B點為圓心、AB長為半徑畫弧，與BC的垂直平分線有兩個交點，其中一點是點A，另一點為符合要求的P點；③作BC的垂直平分線，以A點為圓心、AB長為半徑畫弧，與BC的垂直平分線有兩個交點，這兩點為符合要求的P點；④在△ABC的左邊作一個△APB，使△APB⑤同理在△ABC的右邊作一個△APC，使△APC所以，共有6個符合條件的點P．故選：D．2．（23-24八年級上·河南周口·期末）如圖，∠CAB=∠DAE=36°，△ADE和△ABC均為等腰三角形，其中AB=AC，AD=AE．連接BE并延長交AC，AD于點F，A．∠DAC=∠EAB B．CD∥AB C【思路點撥】本題根據(jù)∠CAB=∠DAE=36°，得到∠CAB-∠CAE=∠DAE-∠CAE，即可判斷A項，根據(jù)題意證明△ADC≌△AEB，由等腰三角形性質(zhì)得到∠【解題過程】解：∵∠CAB∴∠CAB即∠DAC∴A項正確，不符合題意．∵AB=AC∴△ADC∴∠DCA又∵∠CAB∴∠ABC∵BE平分∠∴∠EBA∴∠DCA∴CD∥AB∴B、D項正確，不符合題意．∵CD∥AB∴∠DCB∴∠BCF∵∠CFB∴BF∴C項錯誤，符合題意．故選：C．3．（2024八年級·全國·競賽）如圖，已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，點F為AC上一點，點D為BC延長線上一點，點E為AB延長線上一點，EF與BC相交于點G，如果∠（1）EG=FG，（2）AD=AB+BC，（3）∠E=∠DA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】本題考查等腰三角形的判定及性質(zhì)，熟練應用等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．過點F作FH∥AB，則FH=FC=BE，從而易證△BEG≌△HFG，因此EG=FG，故（1）正確；在AD上截取AK=AB，則△【解題過程】解：如圖，過點F作FH∥∵AB=∴∠ABC∵FH∥∴∠FHC=∠ABC∴∠FCH∴FH=∵∠BGE∴△FGH∴EG=故（1）正確；在AD上截取AK=∵∠CADAK=AB，∴△ABC∴BC=CK，∵∠ABC∴∠AKC∴∠D∴CK=∴BC=∴AD=故（2）正確；連接AG，過點G作GH⊥AB，GJ⊥AC，CI⊥AB，垂足分別為∵S△ABG=12∵S△∴12∵AB=∴GH+∴點G到AB，AC的距離之和為定值，故（4）正確；故選：C4．（23-24八年級上·福建南平·期中）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分別為AB、AC邊上點，AD=AE，AF⊥BE交BC于點F，過點F作FG⊥CD交BE的延長線于點G，交AC于點M；以下五個結(jié)論：①△ADC≌△AEB；A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④【思路點撥】①首先得出AC=AB，再利用SAS，得出△ACD≌△ABE即可；②③利用△ACD≌△ABE，得出∠1=∠3，再由∠BAC=90°，可得∠3+∠2=90°，結(jié)合FG⊥CD可得出∠3=∠CMF，∠GEM=∠GME，繼而可得出結(jié)論；④先大致觀察三者的關系，過點B作【解題過程】解：因為等腰直角三角形ABC中，∠BAC∴AC=AB，在△ADC和△AC=∴△ADC≌△AEB∵ADC≌△∴∠1=∠3，故②∠AEG∵∠BAC∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，∴∠4+∠3=90°∵FG⊥∴∠CMF∴∠3=∠CMF∴∠GEM∴EG=MG，△EGM過點B作AB的垂線，交GF的延長線于點N，如圖：∵BN⊥AB，∴∠FBN∵FG⊥∴∠BFN∵AF⊥∴∠BFA=90°-∠EBC由①可得∠DCB∴∠BFN在△BFN和△∠FBN∴△BFN∴NF=AF，又∵∠GBN∴∠GBN∴BG=又∵NG=∴BG=AF+故選：A5．（23-24八年級上·山東菏澤·期中）問題背景：已知，在△ABC中，AB=AC，如果過某一頂點的直線可以將△某數(shù)學學習小組的成員在自主探究后得出如下結(jié)果：①∠A=36°，②∠A=90°，③∠A=108°A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【思路點撥】①當∠A=36°時，則∠ABC=∠C=72°，作∠ABC的平分線交AC于點D，從而得∠ABD=∠②當∠BAC=90°時，則∠B=∠C=45°，作∠BAC的平分線交BC于點D，從而得∠③當∠BAC=108°時，則∠B=∠C=36°，作AB的垂直平分線角BC于點D，連接AD，則△ABD為等腰三角形，∠DAB=∠④當∠A=180°7時，則∠ABC=∠C=540°7，作AB的垂直平分線交AC于點D，連接BD，則△ABD【解題過程】解：在△ABC中，AB∴∠B∵∠∴∠B①當∠A=36°時，則作∠ABC的平分線交AC于點D，如圖1

∴∠ABD∴∠BDC∴∠ABD=∠A∴△ABD和△BCD均為等腰三角形，即直線BD將ΔABC②當∠BAC=90°時，則作∠BAC的平分線交BC于點D，如圖2

∴∠BAD∴∠B=∠BAD∴△ABD和△ACD均為等腰三角形，即直線AD將△ABC③當∠BAC=108°時，則作AB的垂直平分線角BC于點D，連接AD，如圖3所示：

則BD=AD，即∴∠DAB∴∠CAD=∠BAC∴∠∴△CAD為等腰三角形，即直線AD將△ABC分成兩個等腰三角形，故④當∠A=180°作AB的垂直平分線交AC于點D，連接BD，如圖4所示：

則AD=BD，即∴∠ABD∴∠CBD=∠ABC∴∠CBD∴△CBD為等腰三角形，即直線BD將△ABC分成兩個等腰三角形，故綜上所述：正確的結(jié)果是①②③④，共4個，故選：A．6．（23-24八年級上·北京海淀·期中）如下圖，在等腰△ABC中，∠A=90°,BD平分∠ABC，BE平分∠DBC,M、【思路點撥】過點C作CF⊥BD，交BD的延長線于點F，則CM+MN的最小值為CF．延長BA,CF兩線交于點G，證明【解題過程】解：過點C作CF⊥BD，交BD的延長線于點F，延長BA,

∵BE平分∠DBC∴MN≥MF，當MN⊥∴CM+∵∠A=∠DFC∴∠ABD∵∠ABD∴△ABD∴BD=∵BD平分∠ABC∴∠GBF∵∠GBF∴△GBF∴GF=∵BD=10∴CF=5∴CM+MN的最小值為故答案為：5．7．（2024·四川達州·一模）如圖，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠CEF=90°，點E在AC邊上．將△CEF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)，旋轉(zhuǎn)過程中，直線EF分別與直線AC，BC交于點【思路點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形存在性問題等知識，掌握三線合一性質(zhì)是解題的關鍵．分①當CM=CN且點E在∠ACB內(nèi)部時，②當NM=NC【解題過程】解：依題意可知：∠ACB如圖1中，當CM=CN且點E在∵CM=CN，∴α=∠MCE=∠如圖2中，當NM=NC時，點N與點E重合，點M與點F重合，如圖3中，當CN=CM且點E在∵CM=CN，∴∠NCE∴α=∠綜上所述，滿足條件的α的值為22.5°或45°或112.5°．故答案為：22.5°或45°或112.5°．8．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，△ABC≌△A'B'C'，∠ABC=90°，∠A'=27°（0°<∠ABA'≤54°），A

【思路點撥】根據(jù)0°<∠ABA'≤54°，分兩種情況討論：當EF=FB時，當BE=BF時，設∠FEB=∠FBE【解題過程】解：如圖所示，當EF=FB時，

設∠FEB=∠FBE=α，過點B∵△ABC∴對應邊上的高相等，即BP=∴B在∠PFQ∵∠PFB是△∴∠∴∠∵∠∴27°+解得：α∴∠如圖所示，當BE=BF時，

設∠同理可得∠PFB∴∠∵∠∴α解得：α∴∠AB由于0°<∠ABA'綜上所述，∠ABA'的度數(shù)為，24°故答案為：24°或42°．9．（23-24八年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G，下列結(jié)論：①BF=AC；②2AE【思路點撥】證明△BDF≌△CDAAAS即可判斷①，證明△ABE≌△CBEASA即可判斷②；過G作GM⊥BD于點M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得GM=GH，結(jié)合BD>BH，可得【解題過程】解：①∵CD⊥∴∠BDF∴∠DBF又∵BE⊥∴∠BEA∴∠DBF∴∠DFB又∵∠ABC∴∠DCB∴BD=在△BDF和△CDA△∠BDF∴△BDF∴BF=CA，故②∵BE平分∠ABC，BE∴∠ABE=∠CBE在△ABE和△∠ABE∴△ABE∴AE=∴AC=又∵BF=∴2CE=BF③如圖所示，過G作GM⊥BD于點∵H是BC邊的中點，BD=∴DH⊥BC，即∴BD>又∵BE平分∠ABC，GM∴GM=∴S△又∵△ABE∴S△∵S四邊形ADGE=∴S四邊形ADGE<④∵∠HBG∠DBF∠HBG∴∠BGH又∵∠BGH∴∠DGF∴DF=∴△DGF∵△ABE∴BA=∴△ABC即△DGF、△ABC都為等腰三角形，故∴正確的是①②④．故答案為：①②④．10．（23-24七年級下·上海浦東新·期末）如圖，△BAD和△CAE是等腰三角形且∠BAD=∠CAE（1）試說明∠ABF（2）猜想CF和CE的位置關系，并說明理由；（3）試說明：CD=2【思路點撥】（1）先根據(jù)等角的余角相等證得∠BAC=∠DAE（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)求得∠BCA=∠E=45°，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求得∠CAF（3）延長BF到G，使得FG=FB，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)證明△AFB≌△【解題過程】（1）證明：∵∠BAD∴∠BAC+∠CAD∴∠BAC在△BAC和△∵AB=∴△BAC∴∠ABC∴∠ABF（2）解：∵∠CAE=90°，∴∠E由（1）知△BAC∴∠BCA∵AF⊥∴∠CFA∴∠CAF∴∠FAE又∵∠E∴∠FAE∴AF∥∵AF⊥∴CF⊥（3）證明：延長BF到G，使得FG=∵AF⊥∴∠AFG在△AFB和△∴BF=∴△AFB∴AB=AG，∵△BAC≌∴AB=AD，∠CBA∴AG=AD，∴∠CGA∵∠GCA∴在△CGA和△∠GCA∴△CGA∴CG=∵CG=∴CD=211．（23-24八年級上·湖北鄂州·期末）問題情境：定義：如果兩個等腰三角形的頂角互補，頂角的頂點又是同一個點，而且這兩個等腰三角形的腰也分別相等，則稱這兩個三角形互為“頂補等腰三角形”．特例證明：（1）如圖1，若△ABC與△ADE互為“頂補等腰三角形”．∠BAC>90°，AM⊥BC于M，拓展運用：（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，在四邊形ABCD的內(nèi)部是否存在點P，使得【思路點撥】本題考查等腰三角形性質(zhì)，全等三角形判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．（1）利用題意得∠B=∠C（2）連接AC，取AC的中點P，連接PB，PD，證明△ADC≌△ABC【解題過程】解：（1）證明：將圖中角進行命名：，∵△ABC與△ADE互為“頂補等腰三角形∴AB=AC∴∠B又∵AM⊥BC∴∠3=∠4=90°，∠1=∠2，∴∠BAC又∵∠BAC∴∠B在△ABM和△EAN∴△ABM∴NE（2）存在．證明：連接AC，取AC的中點P，連接PB，PD，，∵AD=AB，∴△ADC∴∠ABC∵P是AC∴PB=PA∴PA又∵DC=BC，PB∴△PDC∴∠DPC∵∠APB∴∠∴△PAB與△PDC互為“頂補等腰三角形12．（23-24八年級上·北京海淀·期中）在等腰△ABC中，AB=AC，點D是BC邊上的一個動點（點D不與點B，C重合），連接AD，作等腰△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC

（1）如圖1，當∠BAC=90°時，判斷BC與（2）如圖2，當0°<∠BAC<90°時，過點A作AF⊥CE于點F，請你在圖2中補全圖形，用等式表示線段BD，【思路點撥】（1）由“SAS”可證△ABD≌△（2），分類討論：①點F在線段CE的延長線上時，由（1）可知BD=CE，∠B=∠ACE，∠ADB=∠AEC，由“AAS”可證△ADC≌△AGC，可得CD=【解題過程】（1）解：BC⊥∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB在△ABD和△AB=∴△ABD∴∠ABD∴∠BCE∴BC⊥（2）解：分類討論：①如圖，點F在線段CE的延長線上時，補全圖形如圖2所示；理由如下：延長EF到點G，使FG=

由（1）可知：△ABD∴BD=CE，∠B∵AB=∴∠B∴∠ACB∵AF⊥∴AE=∴∠AEG∵∠ADB∴∠ADC∴∠ADC在△ADC和△∠ADC∴△ADC∴CD=∵CG-∴CD-②如圖3，若點F在射線CE上時，在CE取點G，使得EF

由（1）可知：△ABD∴BD=CE，∠B∵AB=∴∠B∴∠ACB∵AF⊥CE∴AE=∴∠AEG∵∠ADB∴∠∴∠ADC在△ADC和△∠ADC∴△ADC∴CD=∵CE-∴BD-13．（23-24八年級上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，我們把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形，如圖1，△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC（2）類比探究：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，（3）問題解決：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE【思路點撥】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)、三線合一等性質(zhì)，熟練掌握三角形的有關性質(zhì)是解題的關鍵．（1）根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)即可解答．（2）根據(jù)（1）問中，“手拉手”全等的證明，可得△BAD≌△CAE(SAS)，利用全等的性質(zhì)可得BD=CE，∠ACE（3）由△DCE是等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，可證得CM=12DE=12(AE-AD)，根據(jù)（【解題過程】（1）證明：∵∠∴∠BAC-∠在△ABD和△AB=∴△∴BD=（2）BD與CE的數(shù)量關系是BD=CE，位置關系是理由如下：∵∠BAC∴∠BAC+∠CAD在△BAD和△AB=∴△BAD∴BD=CE，∵△ABC是等腰三角形且∠∴∠ABC∴∠ACE∴∠BCE∴BD⊥（3）解：由（1）的方法得，△ACD∴AD=BE∵△CDE∴∠CDE∵CD=CE∴DM∵∠DCE∴DM∴CM=∵∠ACB∴∠CAD∴∠CBE∵∠AEB四邊形ABEC的面積=14．（23-24八年級下·廣東深圳·階段練習）如圖①，在△ABC中，延長AC到D，使CD=AB，E是

（1）求證：△BCE（2）如圖①，若∠ACB=90°，將DE沿直線CD翻折得到DE'，連接BE'和CE'，BE'與（3）在如圖②，若∠ACB=90°，AC=BC，連接BE'交CE于F，交CD于G．若AC=【思路點撥】（1）結(jié)合條件中角的關系，由三角形外角的性質(zhì)，得∠ABC=∠ECD，證出△（2）同（1）證出△ABC≌△DCE，由翻折得CE'=CB，結(jié)合BE'（3）先利用折疊的性質(zhì)，證明△BGC≌△MGC，易得CE=CB=CM，利用三角形內(nèi)角和可得∠【解題過程】（1）證明：∵∠ABC+∠A=∠BCD∴∠ABC在△ABC與△∠ABC∴△ABC∴BC=∴△BCE（2）證明：由（1）可得△ABC∴BC=CE，如圖，連接CE

∵將DE沿直線CD翻折得到DE∴CE=∵BE∴∠CFE'由三線合一，得：F是BE（3）解：如圖，連接EG，并延長EG交BC于點M，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，則∠DGE∵∠DGE=∠CGM∴∠BGC∵∠ACB∴∠ACB在△BGC與△∠∴△BGC∴BC=由（2）知，△ABC∴BC=CE，∴CE=∴∠CBE=∠CEB∴∠BEM∴∠BEM∴∠BEM∴∠BEC∵∠ACB=90°，∴∠EDC∴∠ECD=∠EDC在△BCE與△∠CEB∴△BCEBC=GDCD=ABCG=CD15．（23-24七年級下·遼寧遼陽·期中）數(shù)學活動課上，同學們利用全等三角形的學習經(jīng)驗，對以AB和AC為腰的等腰三角形ABC，從特殊情形到一般情形進行如下探究：【獨立思考】（1）如圖1，∠BAC=60°，即△ABC為等邊三角形ABC，D，E分別是BC，①求證：AD=②求∠AFB【實踐探究】（2）如圖2，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，點D是BC上的點，過點B作BE⊥AD于點E．若CD【問題拓展】（3）如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC=80°，D，E分別是BC，AC上的點，且AE【思路點撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理等等：（1）①先由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理得到∠ACB60°=∠BAC，再證明△ABE≌△CADSAS，即可證明BE=AD；（2）如圖所示，過點C作CM⊥AD于點M，則∠AMC=90°，由三線合一定理得到AM=12（3）如圖所示，在BC下方，過點C作∠BCP=80°，且CP=AB，連接DP．證明△ABE≌△CPDSAS，得到BE=PD，則當A，D，P三點共線時，AD+PD的值最小，即【解題過程】（1）①證明：∵AB=∴∠ABC∵AE=∴△ABE∴BE=②解：由①可知△ABE∴∠ABE∵∠BAD∴∠BAD+∠∴∠AFB（2）解：BE=如圖所示，過點C作CM⊥AD于點M，則∵CD=∴AM=∵∠BAC∴∠BAE∴∠BAE∵BE⊥∴∠AEB∴∠AEB∵AB=∴△ABE∴BE=∴BE=（3）解：如圖所示，在BC下方，過點C作∠BCP=80°，且CP=∵AE=CD，∴△ABE∴BE=∴AD當AD+PD的值最小時，即∴當A，D，P三點共線時，AD+PD的值最小，即∵AB=∴∠ACB∴∠ACP∵AB=∴∠CAP∴∠ADC16．（23-24八年級上·山東濰坊·期中）如圖，C為線段AB上一點，分別以AC，BC為底邊，在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE，在線段EC

（1）如圖1，判斷DE與BF的數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖2，若∠A=α，延長BF交DE于點G，探究∠BGE【思路點撥】（1）根據(jù)等邊對等角和已知條件推出∠DCA=∠CBE，則可證明CD∥BE，推出∠（2）由全等三角形的判定得到△DCE≌△FEB，由等邊對等角得到∠ECB=∠EBC=α，則【解題過程】（1）解：DE=∵等腰△ACD和等腰△BCE中，AC和∴DA=DC，∴∠A∵∠A∴∠CBE∴DC∥∴∠DCE∵DA=DC，∴CD=在△DCE和△CD=∴△DCE∴DE=（2）解：∠BGE∵△DCE∴∠CED∵EC=EB，∴∠ECB∴∠EBF∵∠GFE+∠GEF+∠FGE∴∠GEF∴∠EBF∴α-∠∴∠FGE即∠BGE17．（23-24八年級上·湖北武漢·期中）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=

（1）直接寫出∠ADC（2）求證：AC+（3）E在BC上，過點E作AD垂線，垂足為點G，延長EG交AC的延長線于點F．①如圖2，若E是BD的中點，求證：BD=2②如圖3，若E是BC的中點，直接寫出三條線段AB，BD，CF之間的數(shù)量關系．【思路點撥】（1）根據(jù)等邊對等角得到∠CAB=45°，再根據(jù)角平分線得到（2）過點D作DM⊥AB，垂足為點M，證明Rt△（3）①過點D作DM⊥AB，垂足為點M，連接ME，延長FE交AB于點N，則可得到AF=AN，借助（2）得到AC=AM，DM=BM，然后推導出MN=ME=DE，可以證明結(jié)論；②延長FE至點K，使得EK=FE，【解題過程】（1）解：∵∠C=90°，∴∠CAB又∵AD是△ABC∴∠CAD∴∠ADC故答案為：67.5°．（2）證明：過點D作DM⊥AB，垂足為點∴∠AMD∵AD平分∠BAC，∠∴CD=在Rt△ADC和AD=∴Rt△∴AC=∵AC=BC，∴∠CAB∴∠BDM∴DM=∴CD=∵AM+∴AC+（3）①證明：①證明：過點D作DM⊥AB，垂足為點M，連接ME，延長FE交AB于點∵AD平分∠CAB∴∠FAG∵AG⊥∴∠∴∠F=180°-∠AGF∴∠F∴AF=由（2）得AC=AM，∴AF-AC=∵點E為BD中點，DM=∴∠DME=∠EMB∴∠MEN=180°-∠EMN∴∠MEN=∠MNE∴MN=∴CF=∴BD=2②4CF延長FE至點K，使得EK=FE，EK交AB于點N，連接又∵CE=BE，∴△CEF∴CF=BK，∴∠F∴AF=AN，BN=∴MN=∴MB=2∴CD=2由（2）得AC+∴BC+2∴CD+∴4CF18．（23-24八年級上·福建泉州·階段練習）如圖1，△ACB為等腰三角形，∠ABC=90°，點P在射線BC上（不與點B，點C重合），以AP為腰長作等腰Rt△PAQ

（1）當點P在線段BC上（不與點B，點C重合），求證：△PAB（2）在（1）的條件下，連接CQ交AB于點M，若PC=2PB，求（3）如圖2，過點Q作QF⊥AQ于直線AB于點F，過點P作DP⊥AP交直線AC于點D，連接DF．則點P在運動過程中，線段DF、【思路點撥】（1）根據(jù)題目中的信息可以得到AQ=AP，∠QEA與∠ABP之間的關系，（2）由第一問中的兩個三角形全等，可以得到各邊之間的關系，然后根據(jù)題目中的信息找到PC與MB的關系，從而可以解答本題；（3）分情況討論，作合適的輔助線，構造直角三角形，通過三角形的全等可以找到所求問題需要的邊之間的關系，從而可以解答本題．【解題過程】（1）證明：∵∠ABC=90°，△PAQ是等腰直角三角形，QE∴AP=AQ∴∠QAE∴∠QAE在△PAB和△∠ABP∴△PAB（2）∵△PAB∴PB=AE，∵AB=∴QE=在△QEM和△∠∴△QEM∴ME=∵AB=CB，AE=∴BE=∵PC=2∴PC=2∴PCMB（3）QF-DP=如圖所示：當P在線段BC上時，過點A作HA⊥AC交QF于點

∵QA⊥AP，HA∴∠QAH+∠HAP∴∠QAH∵△PAQ∴AQ在△AQH和△∠AQH∴△AQH∴AH=AD∵HA⊥AC∴∠HAF在△AHF和△AH=∴△AHF∴HF∴QF-當P在線段BC的延長線上時，如圖，過點A作HA⊥AC交QF于點

同理可得：△AQH∴QH=同理可得：△AHF∴HF=∴DF=19．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）已知在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=

（1）如圖1，若∠ACD與∠BAC互余，則∠DAB=（2）如圖2，若∠ACD與∠BAC互補，過點C作CH⊥AD于點（3）若△ABC與△ACD的面積相等，請直接寫出∠ACD【思路點撥】（1）根據(jù)∠ACD與∠BAC互余得∠ACD=90°-α（2）作AE⊥BC，根據(jù)AAS證明△AEC≌△AHC，則CH（3）由△ABC與△ACD的面積相等得高相等.情況①：作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F,根據(jù)HL可得△DEC≌△BFA，則可得∠ACD=∠BAC；情況②:△ACD是鈍角三角形，作BG⊥AC于G，作DN垂直于AC的延長線于N，根據(jù)HL可得【解題過程】（1）解