15.4等腰三角形（等腰三角形）題型一利用等邊對等角求解1．（24-25八年級上·廣東東莞·期末）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交AB于點D，DC平分∠ACB，若∠A=50°，則A．25° B．30° C．35° D．40°2．（24-25八年級下·山西運城·期中）如圖，在△ABC中，分別以點A、B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧交于M、N兩點，連接MN分別交AB、BC于點D、E，連接AE．A．若∠C=80°，且AC=CE，則B．若∠C=80°，且AC=CEC．若AB=5，△ACE的周長為8，則△D．若AD=5，△ACE的周長為8，則△3．（2025·陜西·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD為AB邊上的中線，DEA．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（25-26八年級上·全國·隨堂練習(xí)）如圖，已知∠BAC=80°,A1、B1分別是射線AC、線段A1B上的點，且A1B=AB；A2、B2分別是射線A15．（24-25八年級上·貴州遵義·期中）如圖，在三角形ABC中，點D是AB上一點，且AC=(1)若∠ACD=32°，求(2)若AB=BC，求題型二利用等邊對等角進行證明6．（24-25八年級上·安徽池州·期末）如圖，已知，在△ABC中，∠ABC=45°，D是BC上一點，且AD=BD，E為AC上的一點，BE交AD(1)求證：△ADC(2)求證：BE⊥7．（24-25八年級上·湖北孝感·期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，作CD⊥CA交AB的延長線于點D．作CE∥AD，BE⊥CB，且CE(1)若∠A=65°，求(2)求證：CD=8．（24-25八年級上·浙江寧波·期末）如圖，AB=AE，AC=(1)求證：△BAC(2)若AE平分∠BAC,∠EAC9．（24-25八年級上·山東濟寧·期中）在△ABC中，AD(1)如圖1，若AB=8，AC=5，求(2)如圖2，AE是△ACD的中線，若CA=CD題型三利用三線合一求解10．（24-25八年級下·河北保定·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，A．5 B．6 C．7 D．811．（24-25七年級下·廣東揭陽·期末）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，點D為垂足，點E、F分別是AD、AB上的動點，若AB=6，△ABC的面積為A．2 B．3 C．4 D．612．（24-25七年級下·湖南衡陽·期中）如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC

A．∠B=∠C B．C．AD⊥BC D13．（24-25八年級上·吉林白城·期末）如圖，△ABC中，AB=AC,?AD⊥BC于點D，14．（24-25八年級上·河北石家莊·期末）【課本再現(xiàn)】在冀教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第十七章《特殊三角形》中，我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（簡稱“三線合一”）．(1)以上是三位同學(xué)對性質(zhì)定理的證明思路，請你用小麗的思路完成以下證明．如圖，在△ABC中，AB=AC，作AD平分∠BAC，交BC于點D．求證：【定理應(yīng)用】請利用上面等腰三角形的性質(zhì)定理，解決下面問題：(2)如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點，過點D分別作DE⊥AB，DF若DE=DF，則下列結(jié)論錯誤的是_____．①∠ADC=90°，②∠題型四利用三線合一證明15．（24-25八年級上·甘肅蘭州·期末）如圖，已知點D、E為△ABC的邊BC上兩點．AD=AE，BD=CE解：過點A作AH⊥BC，垂足為∵在△ADE中，AD=AE∴DH=EH（又∵BD=∴BD+DH=CE即：BH=又∵AH⊥BC，垂足為∴AH為線段的垂直平分線．∴AB=AC（∴∠B=∠C（16．（24-25八年級上·福建南平·期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD與CE相交于點(1)求證：AB=(2)若AE=1217．（24-25八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC上的中線，BE⊥AC，垂足為點E，點F為AB中點，連接EF(1)求證：EF=(2)已知∠BAC=50°，求題型五找出圖中的等腰三角形18．（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，CD平分∠ACB交AB于點D，A．3個 B．4個 C．5個 D．6個19．（2024·河北邯鄲·三模）如圖中的點都在格點上，使△ABPn（n為1~4的整數(shù)）不是軸對稱圖形的點是

A．P1 B．P2 C．P320．（24-25八年級上·江蘇南京·期中）如圖，已知△ABC中，AB=6，AC=10，BC=14，若過△ABC的頂點的一條直線將△A．2條 B．3條 C．4條 D．5條21．（2023七年級下·上海·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(2,-3)，點B與點A關(guān)于原點O對稱，將點B沿x軸向右平移3個單位后落在點C(1)△ABC的面積等于(2)設(shè)M(1,2)，點N是第一象限內(nèi)的虛線格點，如果△OMN是以O(shè)M為腰的等腰三角形，那么點題型六利用等角對等邊證明等腰三角形22．（24-25八年級下·廣東深圳·期中）某市一座老式橋梁需進行加固改造，工程師對主梁結(jié)構(gòu)進行了分析，如圖，△ABC為主梁框架，∠ABC是橋墩支撐角度的2倍，即∠ABC=2∠C，工程師計劃在∠BAC的角平分線處安裝鋼架AD，交底梁BC于點D，為確保穩(wěn)定性，必須過點B焊接加固鋼索BE，使得BE⊥AD，分別交(1)求證：加固后的△ABE(2)經(jīng)測量，主梁全長AC為13米，關(guān)鍵節(jié)點間距BD為5米，求原始支撐段AB的長度．23．（24-25八年級上·廣西賀州·期末）如圖，已知點A，C分別是△FBE的邊BF和BE延長線上的點，作∠AFE的平分線FD，若(1)求證：△FBE(2)作∠FEC的平分線交FD于點H，若∠B=50°24．（24-25八年級上·廣西柳州·期中）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF經(jīng)過點D，與AB,AC相交于點E(1)求證：△BED(2)若AC=6cm,AB=8題型七利用等角對等邊求邊長或證明邊相等25．（24-25八年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，在△ABC中，角平分線BO和CO相交于點O，OE∥AB，OF∥AC，BC26．（24-25八年級上·重慶永川·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=1，AD=3，點E在AD上，連接BE，CE，∠A=∠D=∠BEC27．（24-25八年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠ADB，AB=328．（24-25八年級上·江西上饒·期末）如圖，在△ABC中，D為BC上一點，且∠ABC=∠ADB，E為AC上方一點，且(1)求證：BC=(2)猜想∠EDC與∠29．（24-25七年級下·上海長寧·期末）已知：如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，EF垂直平分AC分別交AC、AD于點E、F，連接(1)如果∠BAC=70°，求(2)過點F作FG∥AB交邊AC于點G，如果AC=10題型一格點中畫等腰三角形30．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A和B是兩個格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)為31．（24-25八年級上·北京朝陽·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點．如圖，點A的坐標(biāo)為(2,4)，點B的坐標(biāo)為(1,1),C為第一象限內(nèi)的整點（在所給網(wǎng)格中），若不共線的A,B,C32．（23-24八年級上·山西晉城·期末）如圖，在4×5的點陣圖中，每兩個橫向和縱向相鄰陣點的距離均為1，該點陣圖中已有兩個陣點分別標(biāo)為A，B，請在此點陣中找一個陣點C，使得以點A，B，C為頂點的三角形是等腰三角形，則符合條件的點C有個．題型二直線上與已知兩點組成等腰三角形的點33．（23-24八年級上·北京昌平·期末）如圖，點O在直線l上，點A在直線l外.若直線l上有一點P使得△APO為等腰三角形，則滿足條件的點P位置有個34．（23-24八年級上·河南開封·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A3,0，B0,3，若坐標(biāo)軸上取一點C，使得△ABC35．（23-24八年級上·四川成都·期末）已知點A在直線y=x上，點A橫坐標(biāo)為2，點P在x軸上，使△AOP是等腰三角形則P36．（24-25八年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．已知在平面內(nèi)兩點P1x1,y1，P2(1)已知A-2,3，B4,-5，試求A(2)已知一個三角形各頂點坐標(biāo)為A-1,3、B0,1(3)已知A2,1，在y軸上是否存在一點P，使△OAP為等腰三角形，若存在請直接寫出點題型三求與圖形中任意兩點構(gòu)成等腰三角形的點37．（24-25八年級上·新疆伊犁·期中）在直角坐標(biāo)系中，△ABC

(1)請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的(2)直接寫出A1，B1，(3)在x軸上找出點P，使得點P到點A、點B的距離之和最短（保留作圖痕跡）(4)點Q在坐標(biāo)軸上，且滿足△BCQ是等腰三角形，符合條件的Q點有38．（22-23八年級上·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=BC，△ABC所在的平面上有一點P（如圖中所畫的點P1），使△PAB，△39．（20-21八年級上·江西吉安·期末）直線y=-34x+6與x軸相交于點B(1)求直線AB與坐標(biāo)軸圍成的面積；(2)在x軸上一動點P，使△ABP是等腰三角形，請直接寫出所有P點的坐標(biāo)，并求出如圖所示AP=PB(3)直線y=x+3與直線AB相交于點C，與x軸相交于點D；點Q是直線CD上一點，若△BQD的面積是題型四等腰三角形性質(zhì)與判定綜合40．（24-25八年級上·重慶榮昌·期末）在△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB，點D在CA延長線上，以CD為邊，在AC上方作任意△

(1)如圖1，若G為BE中點，DE∥BC，DA=2(2)如圖2，點F在AC的延長線上，連接EF，若EF=BC,∠F=∠ABC，41．（24-25八年級上·貴州遵義·期中）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，D是△ABC外的一點，且有△BOC≌△ADC，∠OCD=60°(1)求證：△OCD(2)∠BOC=150°時，試判斷(3)探究：當(dāng)∠BOC為多少度時，△42．（24-25八年級上·浙江金華·期末）【問題探究】（1）如圖1，已知△AOB和△COD均為等腰三角形且①連接AC,BD，求證：②如圖2，線段AC交線段BD于點E，交線段BO于點F，且CD=AF．若AC=3，【學(xué)以致用】（2）如圖3，已知點C在△ABD的右側(cè)，連接CB,CD．若∠A=∠ADC=60°,∠43．（22-23八年級上·廣西南寧·期中）綜合探究：探索等腰三角形中相等的線段．問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師提出了一個問題：等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等嗎？問題初探：(1)希望小組的同學(xué)們根據(jù)題意畫出了相應(yīng)的圖形，如圖1．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC證明：如圖1，∵DE⊥AB，DF⊥AC∵AB=AC，∴∠B∵D是BC的中點，∴BD=在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△∴DE=①請寫出依據(jù)1和依據(jù)2的內(nèi)容：依據(jù)1：_______________________；依據(jù)2：_______________________．②請你應(yīng)用圖2寫出一種不同于希望小組的證法．類比探究：(2)奮斗小組的同學(xué)認(rèn)真研究過后，發(fā)現(xiàn)以下兩個正確結(jié)論：①在圖3中，若DE,DF分別為△ABD和△ACD的中線，那么DE=DF仍然成立．②在圖4中，若DE,(3)未來小組的同學(xué)經(jīng)過探究又有新的發(fā)現(xiàn)，如果在等腰△ABC中，作腰AB上的高CG，如圖5，則CG與DE有確定的數(shù)量關(guān)系，請你直接寫出這個數(shù)量關(guān)系為_________________44．（24-25八年級上·四川瀘州·期末）△ABC是等邊三角