第十五章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形（含熱考模型）1.軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形圖形定義把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱點(diǎn).如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形.這條直線就是它的對(duì)稱軸.性質(zhì)1）關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形.2）兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.3）如果圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或?qū)?yīng)線段的延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.判定1）兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.2）兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)折重合的折痕線.2.線段垂直平分線的定義：經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.幾何語(yǔ)言敘述：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.幾何語(yǔ)言敘述：∵PA=PB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上小結(jié)：線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合.三角形垂直平分線的性質(zhì)：1）三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.2）三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)又稱三角形的外心.3.角平分線的性質(zhì)與判定性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．用符號(hào)語(yǔ)言表示為：∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．用符號(hào)語(yǔ)言表示為：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴∠POD=∠POE【補(bǔ)充】性質(zhì)中的“距離”是指“點(diǎn)到角兩邊所在直線的距離”，因此在應(yīng)用時(shí)必須含有“垂直”這個(gè)條件，否則不能得到線段相等.4.等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形性質(zhì)：1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸，①當(dāng)腰和底邊不相等的等腰三角形只有1條對(duì)稱軸，②當(dāng)腰和底邊不相等的等腰三角形只有3條對(duì)稱軸.2）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）.3）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.【注意】“三線合一”的前提是等腰三角形，且必須是頂角的角平分線，底邊上的高和底邊上的中線.等腰三角形的判定：1）定義法：兩邊相等的三角形是等腰三角形；2）定理法：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，即這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）.5.等邊三角形的性質(zhì)與判定等邊三角形的性質(zhì)：1）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有3條對(duì)稱軸；2）等邊三角形的三條邊相等；3）三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都是60°.等邊三角形的判定：1）定義法：三邊相等的三角形是等邊三角形；2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.序號(hào)易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)題注意事項(xiàng)1軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的混淆1-5詳見知識(shí)清單1中軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的聯(lián)系與區(qū)別2坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)變化錯(cuò)誤6-8關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱誰(shuí)不變，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱都改變.3折疊問題中隱藏條件遺留9-111）折疊的本質(zhì)是軸對(duì)稱，會(huì)產(chǎn)生新的角與角的關(guān)系.2）解題關(guān)鍵:找到對(duì)應(yīng)相等的角.3）折疊問題的本質(zhì)是全等變換.折疊前的部分與折疊后的部分是全等形.4）折痕可看作垂直平分線(對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分).5）折痕可看作角平分線(對(duì)應(yīng)線段所在的直線與折痕的夾角相等).4利用角平分線性質(zhì)定理遺漏垂直的限制條件12-14應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)時(shí)，角的平分線、角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離兩個(gè)條件缺一不可，不能錯(cuò)用為角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊任意點(diǎn)的距離相等.5垂直平分線與角平分線的混淆15-201．（21-22八年級(jí)上·安徽馬鞍山·期末）下列四個(gè)互聯(lián)網(wǎng)公司logo中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就叫做對(duì)稱軸．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；故選D．2．（23-24八年級(jí)上·河北唐山·期末）下列圖形中，與成軸對(duì)稱的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等．根據(jù)成軸對(duì)稱的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】解：A、不成軸對(duì)稱，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、成軸對(duì)稱，故本選項(xiàng)正確；C、不成軸對(duì)稱，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不成軸對(duì)稱，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．3．（23-24八年級(jí)上·安徽蕪湖·期末）下列說法正確的是（

）A．如果兩個(gè)三角形全等，則它們必是關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱的圖形B．如果兩個(gè)三角形關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，那么它們是全等三角形C．等腰三角形是軸對(duì)稱的圖形，底邊上的高是它的對(duì)稱軸D．一條線段是關(guān)于經(jīng)過該線段中點(diǎn)的直線成軸對(duì)稱的圖形【答案】B【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、對(duì)稱軸，根據(jù)如果兩個(gè)三角形關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，那么它們是全等三角形，但是兩個(gè)三角形全等，它們不一定是關(guān)于直線成軸對(duì)稱，即可判斷A、B，根據(jù)對(duì)稱軸是直線即可判斷C，根據(jù)線段的對(duì)稱軸是它的中垂線即可判斷D，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、如果兩個(gè)三角形全等，它們不一定是關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱的圖形，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、如果兩個(gè)三角形關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，那么它們是全等三角形，故原說法正確，符合題意；C、等腰三角形是軸對(duì)稱的圖形，底邊上的高所在直線是它的對(duì)稱軸，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、一條線段是關(guān)于經(jīng)過該線段中點(diǎn)的垂線成軸對(duì)稱的圖形，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．4．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·期中）如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，為上任一點(diǎn)（不與共線），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．垂直平分C． D．直線的交點(diǎn)不一定在上【答案】D【分析】本題考查了軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、∵與關(guān)于直線對(duì)稱，∴，該選項(xiàng)正確，不合題意；、∵與關(guān)于直線對(duì)稱，∴垂直平分，該選項(xiàng)正確，不合題意；、∵與關(guān)于直線對(duì)稱，∴，該選項(xiàng)正確，不合題意；、∵與關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線的交點(diǎn)一定在上，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：．5．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖所示的4組圖形中，成軸對(duì)稱的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了成軸對(duì)稱圖形和成中心對(duì)稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這兩個(gè)概念，并加以區(qū)分．利用成軸對(duì)稱圖形和成中心對(duì)稱圖形的概念逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.選項(xiàng)圖形是成中心對(duì)稱圖形，不是成軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；B.選項(xiàng)圖形是成中心對(duì)稱圖形，不是成軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；C.選項(xiàng)圖形是成中心對(duì)稱圖形，不是成軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；D.選項(xiàng)圖形是成軸對(duì)稱圖形，故符合題意；故選：D．6．（24-25八年級(jí)下·湖南懷化·期末）某班級(jí)開展剪窗花活動(dòng)，小華同學(xué)將剪好的兔子放在適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中．若兔子兩只耳朵上的點(diǎn)與點(diǎn)恰好關(guān)于軸對(duì)稱，則的值為．【答案】1【分析】此題主要是考查了關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，能夠熟記關(guān)于y對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變是關(guān)鍵．根據(jù)關(guān)于y軸的對(duì)稱的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，可得出a，b的值，再代入要求的代數(shù)式求值即可．【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，∴，∴．故答案為：1．7．（24-25八年級(jí)上·廣西欽州·期中）如圖是蠟燭平面鏡成像原理圖，若以平面為軸，鏡面?zhèn)让鏋檩S（鏡面厚度忽路不計(jì)）建立平面直角坐標(biāo)系，若某時(shí)刻火焰頂尖S點(diǎn)的坐標(biāo)是．此時(shí)對(duì)應(yīng)的虛像的坐標(biāo)是，則．【答案】【分析】本題主要考查了關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，掌握關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)、縱坐標(biāo)相等成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)S和關(guān)于y軸對(duì)稱得出、，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)S和關(guān)于y軸對(duì)稱，，，∴、，．故答案為：．8．（24-25八年級(jí)下·河北保定·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了軸對(duì)稱—最短路徑問題，一次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握軸對(duì)稱以及一次函數(shù)求值是解題的關(guān)鍵．作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．通過待定系數(shù)法解得直線的解析式，令，代入得到，計(jì)算即可求解．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)．∵，∴，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值．∴連接并延長(zhǎng)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．∵關(guān)于軸的對(duì)稱，∴，設(shè)直線的解析式為，代入，，得，解得，∴直線的解析式為，令，代入得到，解得，∴．故答案為．9．（24-25八年級(jí)上·安徽淮北·期末）如圖，將沿所在的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，且，那的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，再由得出，從而得到，然后由得出，即可由求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：，，，∵∴∴∵∴∵∴故選：C．10．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期中）在中，將，按如圖所示方式折疊，點(diǎn)，均落在邊上點(diǎn)處，線段，為折痕．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，利用折疊的性質(zhì)得出角的等量關(guān)系，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出角的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行等量代換后計(jì)算出所求角度．【詳解】解：在中，∵，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，∵，∴，∴．故選：D．11．（23-24八年級(jí)上·湖北十堰·期末）如圖，在中，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)O，將沿（E在上，F(xiàn)在上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．連接、，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，再求出，然后判斷出點(diǎn)在的垂直平分線上，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理和翻折的性質(zhì)列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，連接、，平分，，又，，∵是的垂直平分線，，，，平分，，又∵，，，∴點(diǎn)在的垂直平分線上，又∵是的垂直平分線，∴點(diǎn)在的垂直平分線上，∴，∴，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，，，，故選：A．12．（24-25八年級(jí)上·安徽六安·期末）點(diǎn)在的平分線上，點(diǎn)到邊的距離等于5，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，則的最小值是．【答案】5【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”可得到的距離為，再由垂線段最短可得，由此可得答案．【詳解】解：∵點(diǎn)在的平分線上，點(diǎn)到邊的距離等于，到的距離為，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，，的最小值為．故答案為：5．13．（24-25八年級(jí)上·安徽淮北·期末）在中，，是的角平分線，，，．（1）點(diǎn)C到的距離為；（2）的面積為．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并求出CD的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作于，根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；（2）過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）過點(diǎn)作于，如圖，，即解得．故答案為：．（2）過點(diǎn)作于，如圖，是的角平分線，，，．設(shè)，則．，即，解得，．．故答案為：．14．（22-23八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，的三邊、、長(zhǎng)分別為40、50、70，其三條角平分線交于點(diǎn)，則．【答案】【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，過點(diǎn)O作，，分別垂直于，，，由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得到，進(jìn)而可得到三個(gè)三角形面積的比值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作，，分別垂直于，，，垂足分別為D，F(xiàn)，E．∵平分，∴，同理，∴．∵的三邊、、的長(zhǎng)分別為40，50，70，∴，故答案為：．15．（24-25九年級(jí)下·黑龍江綏化·開學(xué)考試）如圖，三條直線表示三條公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（

）A．一處 B．兩處 C．三處 D．四處【答案】D【分析】本題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．根據(jù)角平分線的性質(zhì)貨物中轉(zhuǎn)站必須是三條相交直線所組成的三角形的內(nèi)角或外角平分線的交點(diǎn)，而外角平分線有3個(gè)交點(diǎn)，內(nèi)角平分線有一個(gè)交點(diǎn)，即可得到答案．【詳解】解：∵中轉(zhuǎn)站要到三條公路的距離都相等，∴貨物中轉(zhuǎn)站必須是三條相交直線所組成的三角形的內(nèi)角或外角平分線的交點(diǎn)，而外角平分線有3個(gè)交點(diǎn)，內(nèi)角平分線有一個(gè)交點(diǎn)，如圖，∴貨物中轉(zhuǎn)站可以供選擇的地址有4處．故選：D．16．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）如圖，三條公路、、兩兩相交，計(jì)劃建一座加油站，滿足到三條公路的距離相等，則可供選址的地方有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，加油站要到三條公路的距離都相等，可知加油站必須是三條相交直線所組成的三角形的兩內(nèi)角或兩外角的角平分線的交點(diǎn)，而相鄰兩外角平分線有個(gè)交點(diǎn)，內(nèi)角平分線的交點(diǎn)有個(gè)，據(jù)此即可求解，掌握叫佛系的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵加油站要到三條公路的距離都相等，∴加油站必須是三條相交直線所組成的三角形的兩內(nèi)角或兩外角的角平分線的交點(diǎn)，而相鄰兩外角平分線有個(gè)交點(diǎn)，內(nèi)角平分線的交點(diǎn)有個(gè)，∴加油站可供選址的地方有個(gè)，故選：．17．（12-13八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，有A、B、C三個(gè)居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購(gòu)物超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（

）A．在，兩邊高線的交點(diǎn)處 B．在，兩邊中線的交點(diǎn)處C．在，兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處 D．在，兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處【答案】C【分析】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，要求到三小區(qū)的距離相等，首先思考到小區(qū)、小區(qū)距離相等，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理知滿足條件的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，同理到小區(qū)、小區(qū)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，于是到三個(gè)小區(qū)的距離相等的點(diǎn)應(yīng)是其交點(diǎn)，答案可得．掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．則超市應(yīng)建在，兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處．故選：C．18．（23-24八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）已知：如圖，角平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)D，，，垂足分別為E、F．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）連接，先由垂直平分線的性質(zhì)得出，再由角平分線的性質(zhì)得出，然后由證得，即可得出結(jié)論；（2）由證得，得出，則，推出，即可得出結(jié)果．本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接，∵D在的垂直平分線上，∴，∵，，平分，∴，，在和中，，∴，∴；（2）解：在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．19．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，的角平分線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)D，，垂足分別為點(diǎn)E、F．

(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)．（1）連接，根據(jù)垂直平分線和角平分線的性質(zhì)分別得到，證明，從而證得；（2）證明，得到，從而可以得到．【詳解】（1）證明：連接，

垂直平分，，平分，，，在和中，，∴，；（2）證明：在和中，，∴，，，，．20．（21-22八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，．

(1)用尺規(guī)作出的角平分線和線段的垂直平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)按下面要求畫出圖形：和交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F；(3)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線與垂直平分線的作圖步驟一次作圖即可；（2）根據(jù)畫圖語(yǔ)言依次畫圖即可；（3）由平分，可得，證明，可得，，證明，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，射線、直線即為所求（2）如圖，點(diǎn)E，D，線段即為所求．（3）證明：過點(diǎn)D作于點(diǎn)T．

∵平分，，∴，∵垂直平分線段，，∴，，∵，∴，∵，，平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，角平分線的作圖，角平分線的性質(zhì)與線段的垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，含的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練的作角平分線與垂直平分線是解本題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)01軸對(duì)稱圖形的識(shí)別1．（24-25八年級(jí)下·重慶渝北·期末）下列漢字中屬于軸對(duì)稱圖形的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，即可解答．【詳解】解：A．是軸對(duì)稱圖形，符合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；C．不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意．故選A．2．（24-25七年級(jí)下·江蘇徐州·期末）正方體的下列展開圖為軸對(duì)稱圖形的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】此題主要是考查了軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，那么這樣的圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義分別判斷可得出結(jié)果．【詳解】解：由軸對(duì)稱圖形定義可知：A，B，D不能找到這樣的一條直線使圖形沿著這條直線對(duì)折后兩部分完全重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；C選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線使圖形沿著這條直線對(duì)折后兩部分完全重合，是軸對(duì)稱圖形，故選：C．3．（24-25七年級(jí)下·重慶南岸·期末）方格紙的格線上，有八條等長(zhǎng)線段形成一個(gè)軸對(duì)稱圖形．圖中標(biāo)示了號(hào)碼的四條線段中，擦去其中兩條線段后，得到的圖形不是軸對(duì)稱圖形，則擦去的線段是（

）A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和③【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，進(jìn)行分析即可．此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無(wú)數(shù)條．【詳解】解：擦去①和②，②和③，②和④，剩下的圖形是軸對(duì)稱圖形；擦去①和③，剩下的圖形不是軸對(duì)稱圖形；故選：B．4．（2025八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）下列圖形中是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形，根據(jù)一個(gè)圖形，沿某條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；故選：C．重難點(diǎn)02鏡面對(duì)稱5．（20-21八年級(jí)上·安徽淮南·期中）從鏡中看到六位數(shù)是“”，則該六位數(shù)應(yīng)該是．【答案】367295【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，實(shí)際的數(shù)字和鏡面中的數(shù)字是關(guān)于鏡面對(duì)稱的，對(duì)稱軸是一條豎直的直線，由題中圖分析可得答案．【詳解】解：∵是從鏡子中看，∴對(duì)稱軸為豎直方向的直線，∴由圖分析可得實(shí)際數(shù)字為367295．故答案為：367295．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱的相關(guān)知識(shí)，準(zhǔn)確的找到對(duì)稱軸，畫出相應(yīng)的對(duì)稱圖形是解題的關(guān)鍵．6．（20-21八年級(jí)上·四川德陽(yáng)·期中）如圖，在平面鏡里看到背后墻上，電子鐘示數(shù)如圖所示，這時(shí)的實(shí)際時(shí)間應(yīng)該是（

）

A．8：15 B．21：02 C．15：20 D．21：05【答案】D【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱，分析并作答．【詳解】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，分析可得題中所顯示的時(shí)刻與21：05成軸對(duì)稱，所以此時(shí)實(shí)際時(shí)刻為21：05；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧．7．（24-25七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）小明從鏡子里看到鏡子對(duì)面墻上的時(shí)鐘如圖所示，則實(shí)際時(shí)間是．【答案】【分析】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)，根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．【詳解】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，題中所顯示的時(shí)刻成軸對(duì)稱，所以此時(shí)實(shí)際時(shí)刻為．故答案為：．8．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）雨后，地上的積水猶如一塊澄澈的平面鏡，某路段監(jiān)控?cái)z像頭在雨后拍攝，由于位置偏離，拍攝中心聚集在了水面上，攝像頭偵測(cè)到一小轎車超速行駛，積水中倒映的車牌為“”，那么該小轎車的真實(shí)車牌號(hào)為．【答案】蘇【分析】本題考查了鏡面對(duì)稱，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的對(duì)稱軸；難點(diǎn)是作出相應(yīng)的對(duì)稱圖形．根據(jù)成軸對(duì)稱的性質(zhì)求解即可．【詳解】由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，該小轎車的真實(shí)車牌號(hào)為蘇．故答案為：蘇．重難點(diǎn)03作軸對(duì)稱圖形9．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

(1)先畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的，再畫出關(guān)于x軸對(duì)稱的；(2)點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，經(jīng)過上述兩次變換后，得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)．（1）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，再利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)分別作出，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，即可；（2）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖，，即為所求；

；（2）解：由題意，則第一次對(duì)稱后，第二次對(duì)稱，∴．10．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，．(1)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的（其中、、分別是、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；(2)在軸上標(biāo)出點(diǎn)的位置，使得的值最小；(3)填空：______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)45【分析】（1）根據(jù)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，確定變換后的坐標(biāo)，，畫圖即可．（2）連接，交軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．（3）根據(jù)，得，，，根據(jù)勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別是，則即為所求．（2）解：連接，交軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．（3）解：∵，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，線段和最小，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握對(duì)稱，勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．11．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，．(1)將向右平移4個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位得到，在圖中作出；(2)在圖中作出與關(guān)于軸對(duì)稱的；【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題主要考查了軸對(duì)稱變換以及平移變換，正確掌握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．（1）直接利用平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（2）直接利用關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；；（2）解：如圖，即為所求．12．（2024·安徽宿州·一模）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，直線與網(wǎng)格線重合．(1)以直線為對(duì)稱軸，畫出關(guān)于對(duì)稱的；(2)畫出將向左平移11個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的；(3)選擇兩個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，利用直尺畫出線段的垂直平分線．（保留作圖痕跡）【答案】(1)圖見詳解；(2)圖見詳解；(3)圖見詳解；【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)作圖，熟練掌握軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行作圖，即可得到關(guān)于 對(duì)稱的；（2）根據(jù)平移的方向和距離，先作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、，順次連接，即可得到；（3）依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，找到點(diǎn)E、F，使這兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，作直線即可．【詳解】（1）解：依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)找到點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)、、，順次連接點(diǎn)、、，如圖所示，為求作的；（2）解：根據(jù)向左平移11個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，先作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、，順次連接，即可得到，如下圖所示；（3）解：找到點(diǎn)E、F，使這兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，作直線，如下圖所示：直線為求作的．重難點(diǎn)04軸對(duì)稱與坐標(biāo)系綜合13．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·期中）若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】此題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)．根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，求出a、b的值，即可得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴，，∴點(diǎn)在第一象限；故選：A．14．（24-25八年級(jí)上·安徽宿州·期末）已知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，根據(jù)題意，，，求出，，進(jìn)行解答，即可．【詳解】解：∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴，，解得：，，∴．故選：B．15．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】此題考查的是平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移，軸對(duì)稱變換，掌握點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律：橫坐標(biāo)左減右加，縱坐標(biāo)上加下減是解決此題的關(guān)鍵．先根據(jù)平移的特點(diǎn)得出點(diǎn)B的坐標(biāo)為，再根據(jù)軸對(duì)稱變換得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后得出答案即可．【詳解】解：點(diǎn)向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，橫坐標(biāo)變?yōu)?，縱坐標(biāo)不變，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)C在第二象限，故選：B．16．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·期末）若，其中為常數(shù)，則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】此題考查了關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．先利用多項(xiàng)式的乘法展開再根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等確定出b、c的值，然后根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．【詳解】解：∵，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：.17．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·期中）已知點(diǎn)，規(guī)定一次變換是：先作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，再將對(duì)稱點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，則連續(xù)經(jīng)過2024次變換后，點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)椋敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)，先分別求出一，二，三次變換后的坐標(biāo)，即可得出數(shù)字變化的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：第一次變換的坐標(biāo)為；第二次變換的坐標(biāo)為；第三次變換的坐標(biāo)為；∴第2024次變換的坐標(biāo)為．故答案為：．重難點(diǎn)05設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖形18．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·期中）由16個(gè)相同的小正方形拼成的正方形網(wǎng)格，現(xiàn)將其中的兩個(gè)小正方形涂黑（如圖），請(qǐng)你用三種不同的方法分別在圖中再將兩個(gè)空白的小正方形涂黑，使它成為軸對(duì)稱圖形．【答案】見解析【分析】此題考查了軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的作圖方法．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)先確定一個(gè)對(duì)稱軸，再找出陰影部分的圖形的關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，畫出圖形即可，因?yàn)閷?duì)稱軸有很多種，所以圖形就有很多種．【詳解】解：作圖如下：（答案不唯一）19．（22-23八年級(jí)上·北京通州·期末）如圖是正方形網(wǎng)格，其中有兩個(gè)小正方形是涂黑的，請(qǐng)?jiān)龠x擇三個(gè)小正方形并涂黑，使整個(gè)涂成黑色的圖形成為軸對(duì)稱圖形．請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并且畫出對(duì)稱軸（如圖例），要求所畫的四種方案不能重復(fù)．【答案】見解析【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特征直接畫圖即可【詳解】如圖所示【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，正確掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（22-23八年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）請(qǐng)你在下列每一個(gè)的方格紙上，任意選出個(gè)小方塊，用筆涂黑，使被涂黑的方格所構(gòu)成的圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．要求：不同的方格上畫出不同的圖形，畫出三個(gè)即可．【答案】見解析【分析】根據(jù)“中心對(duì)稱圖形是繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能夠與原圖形重合的圖形；軸對(duì)稱圖形是沿某條直線折疊后能夠與直線的另一邊完全重合的圖形”，即可解答．【詳解】解：如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的圖形，掌握這兩種圖形的特點(diǎn)是關(guān)鍵．21．（24-25八年級(jí)上·四川廣安·期中）如圖甲，正方形被劃分成16個(gè)全等的三角形，將其中若干個(gè)三角形涂黑，且滿足下列條件：（1）涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；（2）涂黑部分成軸對(duì)稱圖形．圖乙與圖丙是一種涂法，請(qǐng)?jiān)趫D中分別設(shè)計(jì)另外三種涂法．（注：在所設(shè)計(jì)的圖案中，若涂黑部分全等，則認(rèn)為是同一種涂法，如圖乙與圖丙）【答案】見解析【分析】本題考查了作圖軸對(duì)稱圖形，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．【詳解】解：如圖所示，重難點(diǎn)06利用垂直平分線的性質(zhì)求解22．（24-25八年級(jí)上·安徽淮北·期末）如圖，在中，，的垂直平分線交于G，，周長(zhǎng)是13，則的長(zhǎng)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，理解并掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”可得，結(jié)合周長(zhǎng)是13，可解得，即，然后結(jié)合即可獲得答案．【詳解】解：∵的垂直平分線交于G，∴，∵周長(zhǎng)是13，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴．故選：B．23．（2020·安徽合肥·一模）如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于、兩點(diǎn)；作直線分別交、于點(diǎn)、，若，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握作圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到垂直平分，利用等量代換即可得到答案．【詳解】解：由題意得垂直平分，，，的周長(zhǎng)為，，，即，．故選：B24．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)M，N，邊上的高與交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則下列關(guān)于周長(zhǎng)的說法正確的是（

）A．點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，的周長(zhǎng)最小B．點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，的周長(zhǎng)最小C．點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，的周長(zhǎng)最小D．點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，的周長(zhǎng)最小【答案】A【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、最短路徑問題等知識(shí)點(diǎn)，將求三角形周長(zhǎng)的最小值轉(zhuǎn)化為求得最小值成為解題的關(guān)鍵．如圖：連接，由垂直平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式可得；由于為定值，則要求的周長(zhǎng)的最小值，只需求得的最小值即可；又，即當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，據(jù)此即可解答．【詳解】解：如圖：連接，∵的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，∵的周長(zhǎng)為，為定值，∴要求的周長(zhǎng)的最小值，只需求得的最小值即可，∵，∴當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)的周長(zhǎng)最?。蔬xA．25．（17-18八年級(jí)上·北京東城·期末）如圖，點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，且，當(dāng)周長(zhǎng)取最小值時(shí)，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接交于、交于，此時(shí)的周長(zhǎng)為為最小值，然后在等腰中，，即可得出．【詳解】解：如圖，分別作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接交于、交于，∴，，，∴，此時(shí)取得最小值，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，∴垂直平分，垂直平分，∴，，，，，，∴，，，，，，∴，，，∴，，在等腰中，，∴，∴的度數(shù)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題是軸對(duì)稱—最短路線問題，考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，等腰三角形三線合一性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短．正確作出輔助線，在等腰中確定是解題的關(guān)鍵．26．（23-24八年級(jí)上·上?！て谀┤鐖D，中，的垂直平分線交邊于點(diǎn)，的垂直平分線交邊于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．由線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)可得，，從而可得，即可求解．【詳解】解：的垂直平分線交邊于點(diǎn)E，的垂直平分線交邊于點(diǎn)N，，，，，，，，；故選：B．重難點(diǎn)07垂直平分線的判定27．（24-25八年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，直線與直線交于點(diǎn)．(1)求證：點(diǎn)在線段的垂直平分線上．(2)已知，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（）連接，，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明，從而證明結(jié)論即可；（）先根據(jù)相等垂直平分線的性質(zhì)證明，，進(jìn)而得，由三角形的內(nèi)角和得，再求得，，從而即可得解。本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)【詳解】（1）證明：如圖，連接，，．垂直平分，垂直平分，，，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，（2）解：垂直平分，垂直平分，，，，，，，，，，，，，28．（24-25八年級(jí)上·云南曲靖·期末）如圖，是的角平分線，，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接，與相交于點(diǎn)G，求證：是的垂直平分線．

【答案】見解析【分析】本題考查中垂線的判定，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，得到，再根據(jù)垂直結(jié)合等角的余角相等，求出，進(jìn)而得到，即可得證．【詳解】解：∵是的角平分線，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴在線段的垂直平分線上，∴是的垂直平分線．29．（23-24八年級(jí)上·河南信陽(yáng)·期中）如圖，已知：E是的平分線上一點(diǎn)，，C、D是垂足，連接，且交于點(diǎn)F．(1)求證：是的垂直平分線．(2)若，請(qǐng)你探究之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)．見解析【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)是的平分線上一點(diǎn)，，得出，可得出，，，可得出是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)即可得出是的垂直平分線；（2）先根據(jù)是的平分線上一點(diǎn)，可得出，由直角三角形的性質(zhì)可得出，同理可得出即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：是的平分線上一點(diǎn)，，，，，，，是等腰三角形，是的平分線，是的垂直平分線；（2）是的平分線上一點(diǎn)，，，，，，，，，．30．（23-24八年級(jí)上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．(1)求證：；(2)直線是線段的垂直平分線嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)直線是線段的垂直平分線，理由見解析【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分的判定；（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)垂直平分線的判定即可得出證明；【詳解】（1）證明：在和中，，∴，（2）是線段的垂直平分線，理由如下：∵，，∴在的垂直平分線上，即是線段的垂直平分線．31．（22-23八年級(jí)上·廣西河池·期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：點(diǎn)在線段的垂直平分線上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)直接可得到答案；（2）根據(jù)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上即可得到答案；【詳解】（1）證明：∵邊、的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，，∴；（2）證明：∵邊，的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，，∴，點(diǎn)在的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)及判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等及到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．重難點(diǎn)08作垂直平分線32．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，中，．(1)用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：在邊上求作點(diǎn)Q，使得；(2)在（1）的條件下，連接，若，，求長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)．【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求；（2）由題意得為等邊三角形，則．再根據(jù)，可得．【詳解】（1）解：如圖，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求．（2）解：∵，，∴為等邊三角形，∴．∵，，∴，∴．33．（24-25八年級(jí)上·安徽池州·期末）如圖，已知銳角，M是邊上一點(diǎn)，利用尺規(guī)完成作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．(1)作的垂直平分線交于點(diǎn)N，連接，并直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；(2)在邊上求作點(diǎn)Q，使得．【答案】(1)圖見解析，，(2)圖見解析．【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．（1）作的垂直平分線與的交點(diǎn)即為點(diǎn)；（2）以點(diǎn)M為圓心，為半徑畫弧，作交于點(diǎn)．【詳解】（1）解：如圖點(diǎn)即為所求，，理由如下：作的垂直平分線與的交點(diǎn)即為點(diǎn)，，，；（2）如下圖所示，以點(diǎn)M為圓心，為半徑畫弧，作交于點(diǎn)，則點(diǎn)Q即為所作；理由如下：由（1）知，，，．34．（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖（不要求寫作法，保留作圖痕跡）．

(1)在線段上找一點(diǎn)E，使得E點(diǎn)到邊的距離與到邊的距離相等．(2)在線段上找一點(diǎn)D，使得．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查了作角平分線、垂直平分線、三角形中線的性質(zhì)．（1）作的平分線，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所作；（2）作的垂直平分線，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所作．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)為所作；

（2）解：如圖，點(diǎn)為所作；

35．（23-24八年級(jí)上·安徽黃山·期末）如圖，兩條公路與相交于點(diǎn)，在的內(nèi)部有兩個(gè)小區(qū)與，現(xiàn)要在的內(nèi)部修建一個(gè)市場(chǎng)，使市場(chǎng)到兩條公路的距離相等，且到兩個(gè)小區(qū)的距離相等．(1)市場(chǎng)應(yīng)修建在什么位置？（請(qǐng)用文字加以說明）(2)在圖中標(biāo)出點(diǎn)的位置（要求：用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并寫出結(jié)論）．【答案】(1)的角平分線和線段的垂直平分線的交點(diǎn)處(2)見解析【分析】本題考查了作圖的應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，正確掌握角平分線的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，直接利用角平分線的作法以及線段垂直平分線的作法即可得出答案．【詳解】（1）解：點(diǎn)應(yīng)修建在的角平分線和線段的垂直平分線的交點(diǎn)處；（2）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求．重難點(diǎn)09利用角平分線的性質(zhì)求解36．（24-25八年級(jí)下·安徽宿州·期中）如圖，的三邊、、長(zhǎng)分別是、、，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則等于（

）A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7【答案】D【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形的面積，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等性質(zhì)和等面積法求解即可．【詳解】解∶過點(diǎn)O作于D，于E，于F，點(diǎn)O是內(nèi)心，．故選：D．37．（24-25八年級(jí)下·安徽宿州·期中）如圖，已知，平分，于點(diǎn)D，交于點(diǎn)C，若，則的長(zhǎng)為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本題考查角平分線定義，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)定理，角直角三角形性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．如圖，過點(diǎn)P作，垂足為E，由角平分線性質(zhì)，得，，由平行性質(zhì)，可推證，，得，中，，所以．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作，垂足為E，∵平分，，∴，，∵，∴，；∴，；∴，中，，∴；故選：B．38．（24-25八年級(jí)下·安徽合肥·期中）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為線段，邊上的動(dòng)點(diǎn)．則的最小值為（）A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6【答案】B【分析】本題考查了勾股定理逆定理，角平分線的性質(zhì)定理，垂線段最短，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，利用軸對(duì)稱性質(zhì)求解最值問題是解題的關(guān)鍵．先由勾股定理逆定理得到，作交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得到，再由等面積法求出，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則在點(diǎn)在上，則，過點(diǎn)作交于點(diǎn)H，那么，故當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，為最小值，再由等面積法即可求解．【詳解】解：∵，是直角三角形，，作交于點(diǎn)，，又是的平分線，．，即，，是的平分線，點(diǎn)為上動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則在點(diǎn)在上，．過點(diǎn)作交于點(diǎn)H，∴當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，為最小值．由（1）可知，是直角三角形，，解得：．故選：B．39．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·期中）如圖，四邊形中，平分，，于點(diǎn)，，，則求線段的長(zhǎng)為多少？【答案】．【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明，則，證明，則，得到，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】解：過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵平分，于點(diǎn)E，于F，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．重難點(diǎn)10利用角平分線的判定求解40．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．平分．(1)求證：是的平分線；(2)已知，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析；(2)【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)中點(diǎn)定義得出，從而得出，即可證明結(jié)論；（2）證明，得出，，證明，得出，，求出，根據(jù)，得出即可求解．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，，平分，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，又，，平分；（2）解：，，，，，，，，，，，即，，．41．（24-25八年級(jí)上·安徽蕪湖·期末）如圖，在中，，于點(diǎn)，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的判定定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握角平分線的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)“在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”可得，進(jìn)而可得，然后根據(jù)求解即可．【詳解】解：∵，，且，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．42．（2024·安徽安慶·一模）如圖，現(xiàn)有兩把一樣的直尺，將一把直尺的邊與射線重合，另一把直尺的邊與射線重合，兩把直尺的另一邊在的內(nèi)部交于點(diǎn)，作射線，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查角平分線的判定與性質(zhì)．根據(jù)題意得到是的角平分線，由角平分線定義求解即可得到的度數(shù)．【詳解】解：過點(diǎn)作、，如圖所示：兩把一樣的直尺，，由角平分線的判定定理可得是的角平分線，，，故選：D．43．（24-25八年級(jí)上·安徽淮北·期中）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且有，則點(diǎn)在（

）A．第一、三象限角平分線上 B．第二、四象限角平分線上C．坐標(biāo)軸上 D．坐標(biāo)原點(diǎn)【答案】A【分析】本題考查了角平分線的判定，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，根據(jù)題意可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)同號(hào)，且點(diǎn)到x軸和y軸的距離相等，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)同號(hào)，且點(diǎn)到x軸和y軸的距離相等，∴點(diǎn)在第一、三象限角平分線上，故選：A．44．（21-22八年級(jí)上·云南昆明·期中）如圖，點(diǎn)O在ABC內(nèi)且到三邊的距離相等．若∠A＝58°，則∠BOC＝度．【答案】119【分析】利用角平分線性質(zhì)定理的逆定理得到BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，則∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得到∠BOC＝90°+∠A，然后把∠A＝58°代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)O在△ABC內(nèi)且到三邊的距離相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A），＝90°+∠A＝90°+×58°＝119°．故答案為：119．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握角平分線性質(zhì)定理的逆定理及三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．45．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）已知等腰直角中，為上的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)．(1)如圖1，若，求的面積；(2)如圖2，為的中點(diǎn)，連接、，求證：平分．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解決此題的關(guān)鍵是作出合理的輔助線．（1）證明，即可解決問題；（2）要向證明是角平分線，就要想到用角平分線的判定，合理作出輔助線，進(jìn)而證明即可；【詳解】（1）解：

，在與中，，；（2）解：過作，垂足分別為、為的中點(diǎn)，，，，又，，在與中，，，又，∴平分．重難點(diǎn)11作角平分線46．（22-23八年級(jí)下·安徽宿州·階段練習(xí)）如圖，已知甲工廠靠近公路a，乙工廠靠近公路b，為了發(fā)展經(jīng)濟(jì)，甲、乙兩工廠準(zhǔn)備合建一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，經(jīng)協(xié)商，倉(cāng)庫(kù)必須滿足以下兩個(gè)要求：①到兩工廠的距離相等；②在內(nèi)，且到兩條公路的距離相等．你能幫忙確定倉(cāng)庫(kù)的位置嗎？（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】連接，作線段的垂直平分線，作角的平分線，則與的交點(diǎn)F就是倉(cāng)庫(kù)的位置．【詳解】解：如圖，點(diǎn)F為倉(cāng)庫(kù)的位置．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作線段的垂直平分線和角平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作線段垂直平分線和角平分線的一般步驟．47．（24-25八年級(jí)上·遼寧大連·階段練習(xí)）尺規(guī)作圖：（不寫作圖過程，但要保留作圖痕跡）(1)作；(2)在直線l上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到射線和的距離相等．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了作圖-作一個(gè)角等于已知角，作角平分線及角平分線的性質(zhì)定理，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的作圖步驟作圖即可；（2）根據(jù)角平根線的性質(zhì)，作的角平分線交直線l于點(diǎn)P即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖所示，作的角平分線交直線l于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作，垂足分別為，，即點(diǎn)P到射線和的距離相等．48．（22-23八年級(jí)上·湖北荊門·期末）作圖題（不寫作法，保留作圖?跡）：已知N，M是內(nèi)、外的兩點(diǎn)，直接在圖中作出點(diǎn)P，使點(diǎn)P同時(shí)滿足條件①P點(diǎn)到的兩邊的距離相等；②P點(diǎn)到M，N兩點(diǎn)的距離相等．【答案】見解析【分析】作的平分線，線段的垂直平分線，兩條線的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．重難點(diǎn)12利用等腰三角形的性質(zhì)求解49．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·期末）如圖，已知中，，，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請(qǐng)說明理由．(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？【答案】(1)全等，見解析(2)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為時(shí)，能夠使與全等【分析】（1）由“”可證；（2）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：①當(dāng)且時(shí)，且，②，時(shí)，且，解方程即可判斷．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：經(jīng)過1秒后，，，，中，，在和中，，圖1

圖2（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，經(jīng)過與全等；則可知，，，，，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：①當(dāng)且時(shí)，且，解得，，舍去此情況；②，時(shí)，且，解得：；故若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為時(shí)，能夠使與全等50．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）已知，在中，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線交于點(diǎn)E，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，，．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題主要查了三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)：（1）根據(jù)，以及三角形外角的性質(zhì)，可得，，再由，可得，，即可求解；（2）根據(jù)，以及三角形外角的性質(zhì)，可得，可證明，可得，，即可求證．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∵，，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，∴，即．51．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）在中，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上一點(diǎn)．于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．(1)如圖1，求證：①；②．(2)如圖2，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，請(qǐng)?jiān)趫D中找出與相等的線段，并證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)，見解析【分析】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）①先證明，再進(jìn)一步可得；②由①可得，，證明，即可得出；（2）根據(jù)垂直的定義得出，再根據(jù)，，得出，進(jìn)而證明出．【詳解】（1）證明：①∵點(diǎn)D是中點(diǎn)，，，∴，，，∴，又∵，∴，又∵，∴；②由①知，，在和中，，∴，∴；（2）證明：．理由如下：∵，，∴，，∴，又∵，在和中，，∴，∴．重難點(diǎn)13利用等腰三角形的判定求解52．（24-25八年級(jí)上·安徽安慶·期末）如圖，在中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為外的任意一點(diǎn)，連接，，，其中，．(1)求證：；(2)若，，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)16【分析】本題考查全等三角形的判定，等角對(duì)等邊；（1）先證明，再利用證明即可；（2）由可得，根據(jù)即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴的周長(zhǎng)為．53．（24-25八年級(jí)上·安徽六安·期末）如圖，，，是上的一點(diǎn)，且，．(1)求證：；(2)若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)10【分析】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知可得到，，從而利用判定兩三角形全等；（2）由三角形全等可得到，，再利用即可解答．【詳解】（1）解：證明：∵，，∴，∴．∵，∴．在與中，∴．（2）解：由（1）得，∴，．∴，∴的面積為10．54．（24-25八年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）如圖，在中，，高，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解析；(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定、全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是證明．（1）先由已知得到，即可證明，即可求得；（2）由（1）得，，從而，再利用線段的和差即可得解．【詳解】（1）證明：∵高，交于點(diǎn)，∴，，，∴是等腰直角三角形，，∵，，∴，，，，在和中，，，∴；（2）解：由（1）得，，∴，∵，，∴，∴．55．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，的平分線交于點(diǎn)D，作，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．求證：．

【答案】見解析【分析】連接，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可判定是等邊三角形，再根據(jù)角平分線的定義和全等三角形的判定得到，則，然后求得，得出，最后得到．【詳解】證明：連接∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，∴，，∴，即是等邊三角形，∴，∵的平分線交于點(diǎn)D，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．重難點(diǎn)14利用等腰三角形的性質(zhì)與判定求解56．（24-25八年級(jí)上·安徽安慶·期末）如圖，為斜邊上的高，的平分線分別交，于點(diǎn)E、F，，垂足為點(diǎn)G．(1)求證：；(2)若，，，求的面積．【答案】(1)詳見解析(2)54【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，三角形面積，熟練掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，,再證，由對(duì)頂角相等可知，故可得出，那么，由此可得出結(jié)論；（2）先證，再根據(jù)即可解答；【詳解】（1）證明：∵是的平分線，，，∴，,,,∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴．57．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）已知等邊中，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，作，交直線于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的、、數(shù)量關(guān)系是否成立，若成立，說明理由，若不成立，求出、、之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，在（2）的條件下，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)A作于，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)不成立，(3)【分析】（1）過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)M，可證是等邊三角形，則有，然后可證，所以，，所以；（2）過作交的延長(zhǎng)線于N，得，為等邊三角形，同理可證，得，可得；（3）連接，證明，可得，證明，得，可得，得，由，得．【詳解】（1）解：∵為等邊三角形，∴，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)M，如圖所示，則，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴；故答案為：；（2）解：不成立．過作交的延長(zhǎng)線于N，如圖所示，則，∴，是等邊三角形，∴．∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接，如圖，∵，∴，∴，平分，∴，在與中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形和全等三角形．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，含30度的直角三角形性質(zhì)，添加合適的輔助線，構(gòu)造全等的三角形，是解決本題的關(guān)鍵．58．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，連接，在右側(cè)以為斜邊作等腰直角三角形．(1)如圖，若點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)．求證：；當(dāng)平分時(shí)，求證：．(2)如圖，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，若，則線段的最小值為．【答案】(1)見解析

見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．（1）可證得，，從而；延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可證得，從而，可證得，從而，從而；（2）當(dāng)時(shí)，最小，延長(zhǎng)，交于，可證得，從而，可證得，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，；如圖，延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由得，，，，，，，，平分，，，，，，，；（2）解：如圖，當(dāng)時(shí)，最小，，延長(zhǎng)，交于，由（1）知，，，，，，平分，，，，，線段的最小值為，故答案為：．59．（24-25八年級(jí)上·安徽亳州·期末）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上．(1)若，求證：；(2)若，，求的度數(shù)；(3)若，，求證：．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．（1）由，得，因?yàn)?，所以，而，即可根?jù)“”證明，則；（2）由，，求得，由，，，根據(jù)“”證明，得，則；（3）由，，得，則，而，所以，則．【詳解】（1）證明：，，，，在和中，，，．（2）解：，且，，，，在和中，，，，，的度數(shù)是．（3）證明：，，，，，，．60．（24-25八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖，在中，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且．(1)求證：平分；(2)請(qǐng)判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析【分析】（）證明，得到，進(jìn)而由三角形外角性質(zhì)得，三角形內(nèi)角和定理得，，即得，即可求證；（）在上截取點(diǎn)，使，根據(jù)等邊三角形的判定可得為等邊三角形，從而得，，然后利用證出，得出，進(jìn)而即可求證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴平分；（2）解：，理由如下：在上截取點(diǎn)，使，∵，∴為等邊三角形，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．重難點(diǎn)15利用等邊三角形的性質(zhì)求解61．（24-25八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，連接，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（）證明，得，即得，進(jìn)而得到，根據(jù)等邊三角形的判定定理即可求證；（）由（）知，是等邊三角形，得，利用三角形外角性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，即可得，再根據(jù)三線合一即可求解．【詳解】（1）證明：∵于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，在與中，，∴，∴，即，∴，∵∴，∴是等邊三角形；（2）解：由（）知，是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．62．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在等腰中，，D，E分別為邊，上的點(diǎn)，且．連接，，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，連接．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)如圖②，若，請(qǐng)你探究線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)；，結(jié)合已知解答即可．（2）過點(diǎn)D作交于點(diǎn)F，連接，先證明是等邊三角形，是等邊三角形，再利用三角形全等證明即可．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：，，又，．（2）證明：．證明如下，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)F，連接，∵，且，是等邊三角形．∴，∴，，，∴是等邊三角形，∴，又，∴，∴，為的中點(diǎn)，，∵，，∴在和中，，，，，，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線．．是等邊三角形，，，在和中，，，，．63．（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖1，P是等邊左側(cè)一點(diǎn)，垂直平分于E點(diǎn)，交直線于點(diǎn)M，的平分線交于點(diǎn)F，設(shè)．(1)若，直接寫出度數(shù)；(2)改變P點(diǎn)的位置，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是否改變？說明理由；(3)如圖2，連接，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)不改變，理由見解析(3)【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，，由線段的垂直平分線的性質(zhì)可得：，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可解決問題．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，設(shè)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和的角度計(jì)算即可解決問題．（3）在上截?。ㄈ鐖D），易得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，，∵垂直平分于點(diǎn)，∴，，，，，，，，．（2）解：不改變，理由如下：是等邊三角形，垂直平分，設(shè)，，，，，．（3）解：平分，∴垂直平分，，在上截取，，，在與中∴，，，是等邊三角形，【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)16將軍飲馬模型64．（23-24八年級(jí)上·安徽宿州·階段練習(xí)）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．（1）；（2）點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，若的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，以及軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，可得直線的解析式，從而求出m的值，再把把代入，即可求解；（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，連接，此時(shí)的周長(zhǎng)最?。蟪鲋本€的表達(dá)式，即可求解．【詳解】解：（1）直線與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，，，直線，直線經(jīng)過點(diǎn)，，，把代入，得：，解得：；故答案為：（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，連接，此時(shí)的周長(zhǎng)最小．設(shè)直線的表達(dá)式為，，∴，解得：，直線的表達(dá)式為，令，得到，．故答案為：65．（21-22八年級(jí)上·四川廣元·期末）如圖所示，在四邊形ABCD中，，，，，在AD上找一點(diǎn)P，使的值最?。粍t的最小值為（

）A．4 B．3 C．5 D．6【答案】A【分析】先作出點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，判斷出CC'=BC，進(jìn)而判斷出∠C'=30°，再構(gòu)造出直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解∶如圖，延長(zhǎng)CD至C'，使C'D=CD，∵∠ADC=90°，C'D=CD，∴點(diǎn)C'與點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱，連接C'B交AD于P'，此時(shí)P'C'+BP'=BC'最小，∵∠A=∠ADC=90°∴CD//AB，∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC=120°，∵C'D=CD，∠ADC=90°∴CC'=2CD，∵BC=2CD，∴CC'=BC，∴∠C'=∠CBC'，∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°，過點(diǎn)B作BE⊥CD交DC的延長(zhǎng)線于E，則BE=AD=2，在Rt△BEC'中，∠C'=30°，BE=2，∴BC'=2BE=4，即PB+PC的值最小值為4，故選∶A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，判斷出CC'=BC是解本題的關(guān)鍵．66．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．直線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求直線的解析式和點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使的值最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出的最小值．(3)如圖2，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的面積是．(4)以為腰在第一象限作等腰直角三角形，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)直線的解析式為，點(diǎn)坐標(biāo)(2)存在，(3)(4)滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為或【分析】本題為一次函數(shù)與幾何綜合，其中涉及到了一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形面積的運(yùn)算，等腰三角形的性質(zhì)及判定，全等三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想作出圖象是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法運(yùn)算求出解析式即可，把代入函數(shù)式子即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，此時(shí)最小，列式運(yùn)算即可；（3）利用三角形面積公式列式運(yùn)算即可；（）分類討論點(diǎn)的位置，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：把、代入得到，解得：，∴直線的解析式為，∵點(diǎn)在直線上，橫坐標(biāo)為，把代入可得：，∴點(diǎn)坐標(biāo)；（2）存在．如圖1中，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，此時(shí)最小，∵，，，∴的最小值；（3）如圖2中，∵點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴，．故答案為18；（4）如圖3中，①當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，作軸于，∵，∴∵∴，∴，，∴，②當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，同理可得等，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．67．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）按照下列要求作圖．（保留作圖痕跡）(1)【“兩定一動(dòng)”型（同側(cè)）】如圖，已知點(diǎn)，在直線同側(cè)，在直線上求作一點(diǎn)，使最短；(2)【“一定兩動(dòng)”型】如圖，內(nèi)有一點(diǎn)，分別在，邊上各取一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小；(3)【“兩定兩動(dòng)”型（異側(cè)）】如圖，，是兩個(gè)村莊，中間有一條河，現(xiàn)準(zhǔn)備在河上造一座橋，使得通過橋到兩村的距離和最短；（假定河的兩岸是平行線，橋要與河岸垂直）(4)【“兩定兩動(dòng)”型（同側(cè)）】如圖，的長(zhǎng)度為定值，在直線上分別取點(diǎn)，，使，連接，，當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)，的位置．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱性質(zhì)、最短路徑問題；（1）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交與點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；（2）點(diǎn)即為所求分別作點(diǎn)關(guān)于射線，的對(duì)稱點(diǎn)，，連接分別交，于點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)，為最小．（3）過作河的垂線，要使最短，直線，，連接即可得出，作出即可．（4）過作使得，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接與的交點(diǎn)即為，過作交為，點(diǎn)，即為所求．【詳解】（1）解：點(diǎn)位置如圖①②所示．（任選一種即可）（2）如圖③所示，點(diǎn)即為所求分別作點(diǎn)關(guān)于射線，的對(duì)稱點(diǎn)，，連接分別交，于點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)，為最?。?）如圖④，即為所求的橋．根據(jù)垂線段最短，得出是河的寬時(shí)，最短，即直線a（或直線b），只要最短就行，即過B作河岸b的垂線，垂足為H，在直線上取點(diǎn)，使等于河寬．連接交河的a邊岸于M，作垂直于河岸交b邊的岸于N點(diǎn)，所以，即為所求的橋．（4）解：過A作使得，作點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)D，連接與l的交點(diǎn)即為F，過A作交l為E，點(diǎn)E，F(xiàn)即為所求．點(diǎn)，的位置如圖⑤所示．∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)D，∴，，∴，，∵為定值，∴要求的最小值，只需求，∴點(diǎn)B、F、D共線時(shí)，最?。仉y點(diǎn)17手拉手模型68．（23-24八年級(jí)上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律