2025初三競(jìng)賽熱點(diǎn)題庫(kù)及完整答案1.題目：已知函數(shù)f(x)=x^2+bx+c，若f(x)的圖像與x軸交于三個(gè)不同的點(diǎn)，求b和c的取值范圍。

答案：由題意知，f(x)=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即一元二次方程x^2+bx+c=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。因此，判別式Δ=b^24c>0。同時(shí)，由于圖像與x軸交于三個(gè)不同的點(diǎn)，所以c≠0。因此，b和c的取值范圍為b^24c>0且c≠0。

2.題目：在等差數(shù)列{an}中，已知a1=1，a3=3，求公差d和第10項(xiàng)a10的值。

答案：由等差數(shù)列的性質(zhì)，a3=a1+2d，代入已知條件得3=1+2d，解得d=1。再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n1)d，代入n=10得a10=1+91=10。

3.題目：已知平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=60°，求平行四邊形ABCD的面積。

答案：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，則AE是平行四邊形ABCD的高。在△ABE中，∠ABE=90°，∠ABC=60°，因此∠AEB=30°。由直角三角形的性質(zhì)，BE=ABcos60°=61/2=3，AE=ABsin60°=6√3/2=3√3。所以平行四邊形ABCD的面積S=BCAE=83√3=24√3。

4.題目：已知函數(shù)g(x)=2x+3/x，求g(x)的反函數(shù)g^(1)(x)。

答案：將g(x)中的x替換為y，得到y(tǒng)=2x+3/x。將方程兩邊乘以x，得到xy=2x^2+3。移項(xiàng)得到2x^2xy+3=0。解這個(gè)一元二次方程得到x=(y±√(y^2423))/(22)。由于g(x)是單調(diào)遞增的，所以取正號(hào)?；?jiǎn)得到x=(y+√(y^224))/4。交換x和y，得到g^(1)(x)=(x+√(x^224))/4。

5.題目：已知拋物線y=ax^2+bx+c與直線y=kx+m相切，求a、b、c與k、m之間的關(guān)系。

答案：拋物線y=ax^2+bx+c與直線y=kx+m相切，意味著它們只有一個(gè)交點(diǎn)。將直線方程代入拋物線方程得到ax^2+(bk)x+(cm)=0。由于只有一個(gè)交點(diǎn)，判別式Δ=(bk)^24a(cm)=0。同時(shí)，由于相切，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，即拋物線的導(dǎo)數(shù)2ax+b=直線的導(dǎo)數(shù)k。解這兩個(gè)方程，得到a、b、c與k、m之間的關(guān)系：b=k，c=m+k^2/(4a)。

6.題目：已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=2c^2，求sinA的值。

答案：由余弦定理知，cosA=(b^2+c^2a^2)/(2bc)。代入已知條件a^2+b^2=2c^2，得到cosA=(b^2+c^2(2c^2b^2))/(2bc)=(2b^2c^2)/(2bc)。由同角三角函數(shù)的關(guān)系，sinA=√(1cos^2A)=√(1((2b^2c^2)/(2bc))^2)?；?jiǎn)得sinA=√((4b^2c^2(2b^2c^2)^2)/(4b^2c^2))=√((4b^2c^24b^4+4b^2c^2c^4)/(4b^2c^2))=√((8b^2c^24b^4c^4)/(4b^2c^2))=√((2b^2c^2)^2/(4b^2c^2))=(2b^2c^2)/(2bc)。

7.題目：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n^2+n，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

答案：數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=n^2+n，所以第n項(xiàng)an=SnS(n1)=n^2+n[(n1)^2+(n1)]=n^2+n(n^22n+1+n1)=n^2+nn^2+n2n+2n+1=2n+1。

8.題目：已知函數(shù)h(x)=|x2|+|x+3|，求h(x)的最小值。

答案：函數(shù)h(x)=|x2|+|x+3|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)2和點(diǎn)3的距離之和。當(dāng)x在3和2之間時(shí)，h(x)的值最小，此時(shí)h(x)=2(3)=5。所以h(x)的最小值為5。

9.題目：已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊AD上，且∠AEF=90°，求三角形AEF的面積。

答案：由于∠AEF=90°，三角形AEF是直角三角形。設(shè)AE=x，則BE=4x。由勾股定理得AF^2=AE^2+EF^2。因?yàn)锳BCD是正方形，所以AF=AB=4。將AE和EF代入，得到4^2=x^2+(4x)^2。解得x=2√2。因此，EF=4x=42√2。三角形AEF的面積S=(1/2)AEEF=(1/2)2√2(42√2)=2√2。

10.題目：已知數(shù)列{an}滿足an=2an1+1，且a1=1，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

答案：數(shù)列滿足遞推關(guān)系an=2an1+1，可以通