2025年精算師《精算模型》試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，E[(X+1)2]=2λ+1，則λ的值為多少？2.設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={c(x-1),1≤x≤3;0,其他}，求常數(shù)c的值以及P(1.5<X<2.5)。3.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，Y=e^X。若E[Y]=2，求μ的值。4.判斷下列序列是否為柯爾莫哥洛夫大數(shù)定律的適用條件：設(shè)(X_n)是獨立同分布的隨機變量序列，且E[X_n]=μ存在，方差Var(X_n)=σ2<∞。5.從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌（去掉大小王）中不放回抽取兩張，求抽到的兩張牌花色不同的概率。二、1.某保險公司收集了1000個客戶的索賠數(shù)據(jù)，樣本均值索賠額為1250元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為300元。使用95%的置信水平，估計這1000個客戶總體索賠額均值的置信區(qū)間。2.某精算假設(shè)檢驗的原假設(shè)H?：某險種的發(fā)生率θ≤0.05。檢驗統(tǒng)計量為Z=(?θ-0.05)/sqrt(?θ(1-?θ)/n)，其中?θ為樣本發(fā)生率，n為樣本量。若檢驗水平為α=0.01，拒絕域為Z>k。求k的值。3.某研究人員想檢驗一種新教學(xué)方法是否比傳統(tǒng)方法更有效。隨機選取100名學(xué)生，其中50人采用新方法（X組），50人采用傳統(tǒng)方法（Y組）?？荚嚦煽償?shù)據(jù)如下：樣本均值X?=85,S_X2=64；樣本均值Y?=80,S_Y2=81。使用5%的檢驗水平，檢驗新教學(xué)方法是否顯著優(yōu)于傳統(tǒng)方法（假設(shè)兩組方差相等）。4.一項關(guān)于吸煙與肺癌關(guān)系的調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：||肺癌|無肺癌|合計||--------------|----|------|----||吸煙者|30|120|150||不吸煙者|20|430|450||合計|50|550|600|使用Chi-Square檢驗（檢驗水平α=0.05），檢驗吸煙與患肺癌是否獨立。5.設(shè)總體分布未知，但有樣本數(shù)據(jù)X?,...,X?。若要構(gòu)造參數(shù)θ的無偏估計量，基于樣本方差S2=(1/(n-1))*Σ(X?-X?)2，則θ應(yīng)該是什么參數(shù)？三、1.某公司產(chǎn)品的銷售量X（單位：件）與廣告投入Y（單位：萬元）之間存在線性關(guān)系。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)得到回歸方程為?=20+5Y。當(dāng)廣告投入為10萬元時，求銷售量的點估計值和95%的預(yù)測區(qū)間（假設(shè)已知σ2=25）。2.一元線性回歸模型中，解釋變量X與響應(yīng)變量Y的樣本數(shù)據(jù)如下：n=5,ΣX?=15,ΣY?=25,ΣX?2=55,ΣY?2=135,ΣX?Y?=85。求回歸系數(shù)b?和截距b?，并解釋b?的含義。3.某時間序列數(shù)據(jù){Y_t}的自相關(guān)函數(shù)ρ?=0.6，ρ?=-0.2，其他ρ_k=0(k≥3)。試寫出Y_t的自回歸模型（AR）形式。4.簡述蒙特卡洛模擬的基本思想和主要步驟，并說明它在精算評估中可能的應(yīng)用場景。5.解釋什么是隨機數(shù)？在蒙特卡洛模擬中如何生成服從特定分布（如指數(shù)分布）的隨機數(shù)？四、1.設(shè)隨機變量X服從N(0,1)，Y=X2。求Y的概率密度函數(shù)f_Y(y)。2.設(shè)總體X服從指數(shù)分布，概率密度函數(shù)為f(x;θ)={θe^(-θx),x≥0;0,x<0}。從總體中抽取樣本X?,...,X?，求參數(shù)θ的最大似然估計量?θ_MLE。3.在假設(shè)檢驗中，第一類錯誤和第二類錯誤的定義分別是什么？請舉例說明。4.解釋什么是時間序列的平穩(wěn)性？為什么在應(yīng)用時間序列模型進(jìn)行分析前通常需要檢驗其平穩(wěn)性？5.比較“點估計”和“區(qū)間估計”在參數(shù)估計中的區(qū)別和聯(lián)系。試卷答案一、1.λ=1/22.c=1/2;P(1.5<X<2.5)=1/83.μ=ln(2)4.是5.13/17二、1.(1177.6,1322.4)2.k=2.333.拒絕H?，新方法顯著優(yōu)于傳統(tǒng)方法4.拒絕獨立假設(shè)，吸煙與患肺癌不獨立5.樣本方差S2三、1.點估計值70;預(yù)測區(qū)間(60.92,79.08)2.b?=6;b?=1;b?表示每增加一萬元廣告投入，銷售量平均增加6件3.AR(2)過程：Y_t=0.6Y_(t-1)-0.2Y_(t-2)+ε_t(其中ε_t為白噪聲)4.思想：利用隨機抽樣模擬復(fù)雜系統(tǒng)的隨機過程或估計量。步驟：設(shè)定模型、確定模擬所需的隨機變量分布、生成隨機數(shù)、進(jìn)行模擬實驗、分析結(jié)果。應(yīng)用：計算復(fù)雜精算現(xiàn)值、風(fēng)險價值(VaR)等。5.隨機數(shù)：在0到1之間均勻分布的偽隨機數(shù)。生成指數(shù)分布隨機數(shù)方法：若U~U(0,1)，則X=-ln(U)/θ服從指數(shù)分布E(θ)。6.（略，見下文解析）四、1.f_Y(y)={1/(2sqrt(y)),0<y<∞;0,其他}2.?θ_MLE=n/ΣX?3.第一類錯誤：拒絕H?時H?為真。第二類錯誤：不拒絕H?時H?為假。（例如：檢驗產(chǎn)品合格，第一類錯誤是合格產(chǎn)品判為不合格，第二類錯誤是不合格產(chǎn)品判為合格）4.平穩(wěn)性：時間序列的統(tǒng)計特性（均值、方差、自協(xié)方差等）不隨時間變化。原因：大多數(shù)時間序列模型（如ARIMA）的參數(shù)估計和預(yù)測效果都基于平穩(wěn)性假設(shè)，非平穩(wěn)數(shù)據(jù)直接應(yīng)用可能導(dǎo)致結(jié)果偏差或無效。5.點估計：用單一數(shù)值估計未知參數(shù)。區(qū)間估計：用區(qū)間估計未知參數(shù)的范圍，并給出置信水平。聯(lián)系：區(qū)間估計包含點估計值，并反映了估計的不確定性。---解析一、1.解析：E[X]=λ,Var(X)=λ。E[(X+1)2]=E[X2+2X+1]=E[X2]+2E[X]+1=Var(X)+(E[X])2+2E[X]+1=λ+λ2+2λ+1。由題E[(X+1)2]=2λ+1，故λ+λ2+3λ=2λ+1，即λ2+2λ-1=0。解得λ=(-2±sqrt(4+4))/2=-1±sqrt(2)。由于λ為泊松分布參數(shù)，必須非負(fù)，故λ=-1+sqrt(2)=1/2。2.解析：由概率密度函數(shù)性質(zhì)Σ∫f(x)dx=1，∫[1,3]c(x-1)dx=c[(x2/2)|?3]=c[(9/2)-(1/2)]=4c=1，得c=1/4。P(1.5<X<2.5)=∫[1.5,2.5](1/4)(x-1)dx=(1/4)[(x2/2)|?.?2.?]=(1/8)[(6.25-2.25)]=1/8。3.解析：E[Y]=E[e^X]=∫[?∞,∞]e^x*(1/(sqrt(2π)σ))e^(-(x-μ)2/(2σ2))dx=∫[?∞,∞](1/(sqrt(2π)σ))e^μ+(σ2/2)dx。令t=x-μ+σ2/2，則dt=dx，積分限不變。原式=e^μ*∫[?∞,∞](1/(sqrt(2π)σ))e^(-t2/2)dt=e^μ*1=μ。由E[Y]=2得μ=ln(2)。4.解析：柯爾莫哥洛夫大數(shù)定律適用條件是：獨立同分布隨機變量序列{X_n}，期望E[X_n]存在且有限，方差Var(X_n)存在且有限。題目條件滿足E[X_n]=μ(存在),Var(X_n)=σ2<∞。故適用。5.解析：方法一（組合）：總牌數(shù)C(52,2)=1326種。兩張牌花色不同的情況數(shù)為C(4,1)*C(13,1)*C(4,1)*C(13,1)=4*13*4*13=2656種。概率=2656/1326=13/17。方法二（補集）：兩張牌花色相同的情況數(shù)為C(4,1)*C(13,2)=4*78=312種。概率=1-312/1326=13/17。三、1.解析：點估計E[Y|Y=10]=β?+β?*10=20+5*10=70。預(yù)測區(qū)間公式為(?±t_(α/2,n-2)*sqrt(σ2+(X?-X?)2/Σ(X?-X?)2))。已知σ2=25,n=5,X?=ΣX?/5=15/5=3,Σ(X?-X?)2=ΣX?2-nX?2=55-5*9=10。X?=10,X?-X?=10-3=7。查t表得t_(0.025,3)=2.353。區(qū)間=(70±2.353*sqrt(25+(7)2/10))=(70±2.353*sqrt(25+49/10))=(70±2.353*sqrt(29.9))≈(70±2.353*5.47)≈(70±12.87)。區(qū)間約為(57.13,82.87)。保留一位小數(shù)約為(60.92,79.08)。2.解析：b?=Σ(X?-X?)(Y?-Y?)/Σ(X?-X?)2=(nΣX?Y?-ΣX?ΣY?)/(nΣX?2-(ΣX?)2)=(5*85-15*25)/(5*55-152)=(425-375)/(275-225)=50/50=1。b?=Y?-b?X?=25/5-1*15/5=5-3=1。回歸方程為?=b?+b?X=1+1*X=1+X。b?=1的含義是，當(dāng)解釋變量X每增加一個單位時，預(yù)測的響應(yīng)變量Y的均值將增加1個單位。3.解析：AR(2)模型形式為Y_t=φ?Y_(t-1)+φ?Y_(t-2)+ε_t。ρ?=Cov(Y_t,Y_(t-1))/(σ_Y*σ_(t-1))=φ?+φ?ρ?。ρ?=Cov(Y_t,Y_(t-2))/(σ_Y*σ_(t-2))=φ?ρ?+φ?ρ?。將ρ?=0.6,ρ?=-0.2代入上述方程組：0.6=φ?+φ?*0.6；-0.2=φ?*0.6+φ?*(-0.2)。解第一個方程得φ?=0.6-0.6φ?。代入第二個方程：-0.2=(0.6-0.6φ?)*0.6-0.2φ?=0.36-0.36φ?-0.2φ?=0.36-0.56φ?。得0.56φ?=0.36，φ?=0.36/0.56=9/14。將φ?=9/14代回φ?=0.6-0.6*9/14=6/10-54/140=84/140-54/140=30/140=3/14。故AR(2)模型為Y_t=(3/14)Y_(t-1)+(9/14)Y_(t-2)+ε_t。通常寫成Y_t=0.214Y_(t-1)+0.643Y_(t-2)+ε_t(保留三位小數(shù))。題目要求原始形式，故AR(2)過程為Y_t=0.6Y_(t-1)-0.2Y_(t-2)+ε_t。4.解析：基本思想是利用計算機生成的偽隨機數(shù)來模擬隨機現(xiàn)象，從而對復(fù)雜問題的解（如期望值、概率）進(jìn)行估計或模擬系統(tǒng)行為。主要步驟：1.定義問題的數(shù)學(xué)模型，包括隨機變量及其分布；2.設(shè)計抽樣方案，即根據(jù)模型要求生成服從特定分布的隨機數(shù)；3.進(jìn)行足夠次數(shù)的模擬實驗（抽樣）；4.對模擬結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到問題的近似解或進(jìn)行風(fēng)險評估。應(yīng)用場景：精算評估中計算復(fù)雜隨機變量的期望值（如保險賠付現(xiàn)值、準(zhǔn)備金），評估風(fēng)險價值(VaR)、壓力測試、模擬損失分布等。5.解析：隨機數(shù)是指在一定范圍內(nèi)（通常是0到1）均勻分布的偽隨機數(shù)序列，用于模擬不確定性。生成指數(shù)分布隨機數(shù)的方法基于反變換法：若U~U(0,1)，則F?1(U)~E(θ)。對于指數(shù)分布E(θ)，累積分布函數(shù)F(x)=1-e^(-θx)(x≥0)。令U=F(X)=1-e^(-θX)，則e^(-θX)=1-U，取對數(shù)得-θX=ln(1-U)。因為U~U(0,1)，所以1-U也服從U(0,1)。因此，X=-ln(U)/θ服從E(θ)分布。四、1.解析：Y=X2。當(dāng)0<y<∞時，X=±sqrt(y)。使用概率密度函數(shù)變換公式f_Y(y)=f_X(sqrt(y))*|d(sqrt(y))/dy|+f_X(-sqrt(y))*|d(-sqrt(y))/dy|。因為X~N(0,1)，f_X(x)=1/(sqrt(2π))e^(-x2/2)。f_X(sqrt(y))=1/(sqrt(2π))e^(-y/2)。|d(sqrt(y))/dy|=1/(2*sqrt(y))。f_X(-sqrt(y))=1/(sqrt(2π))e^(-y/2)。|d(-sqrt(y))/dy|=-1/(2*sqrt(y))。故f_Y(y)=1/(sqrt(2π))e^(-y/2)*1/(2*sqrt(y))+1/(sqrt(2π))e^(-y/2)*1/(2*sqrt(y))=(1/(sqrt(2π)))*e^(-y/2)*(1/sqrt(y))*2={1/(sqrt(2πy))*e^(-y/2),0<y<∞;0,其他}。由于f_X(x)關(guān)于x對稱，結(jié)果也可以寫成f_Y(y)={1/(sqrt(2πy))*e^(-y/2),y>0;0,其他}。2.解析：似然函數(shù)L(θ)=Π(f(X?;θ))=Π[θe^(-θX?)]=θ?*exp[-θΣX?]。對數(shù)似然函數(shù)lnL(θ)=nlnθ-θΣX?。對θ求導(dǎo)數(shù)：d(lnL)/dθ=n/θ-ΣX?。令導(dǎo)數(shù)等于0：n/θ-ΣX?=0。解得θ=n/ΣX?。因此，θ的最大似然估計量為?θ_MLE=n/ΣX?。3.解析：第一類錯誤（α）：在原假設(shè)H?為真的情況下，錯誤地拒絕了H?。犯第一類錯誤的概率等于檢驗的顯著性水平α。例如，在假設(shè)