基于觀測(cè)器的多項(xiàng)式系統(tǒng)非線性控制：SOS方法的理論與實(shí)踐一、引言1.1研究背景與意義在現(xiàn)代控制理論的發(fā)展進(jìn)程中，多項(xiàng)式系統(tǒng)的非線性控制一直是備受關(guān)注的核心領(lǐng)域。隨著科技的迅猛發(fā)展，眾多實(shí)際工程系統(tǒng)，如航空航天中的飛行器姿態(tài)控制、機(jī)器人的精準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)控制、復(fù)雜化工過程的反應(yīng)調(diào)控以及生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的生理系統(tǒng)模擬等，都呈現(xiàn)出高度的非線性特性。這些系統(tǒng)的復(fù)雜性和不確定性，對(duì)傳統(tǒng)控制方法提出了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。例如，在飛行器飛行過程中，其空氣動(dòng)力學(xué)特性會(huì)隨著飛行姿態(tài)、速度和高度的變化而發(fā)生顯著改變，呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性；機(jī)器人在執(zhí)行復(fù)雜任務(wù)時(shí)，其機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性以及與環(huán)境的交互作用也表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性關(guān)系。傳統(tǒng)的線性控制理論基于線性模型假設(shè)，在處理這類非線性系統(tǒng)時(shí)存在固有的局限性。它難以精確描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為，導(dǎo)致控制效果不佳，無法滿足實(shí)際應(yīng)用中對(duì)系統(tǒng)性能日益嚴(yán)苛的要求。因此，發(fā)展有效的非線性控制方法對(duì)于提升這些復(fù)雜系統(tǒng)的性能和可靠性至關(guān)重要。多項(xiàng)式系統(tǒng)作為一類廣泛存在且具有重要理論和實(shí)際意義的非線性系統(tǒng)，其控制問題的研究具有深遠(yuǎn)價(jià)值。多項(xiàng)式函數(shù)能夠靈活地逼近各種復(fù)雜的非線性關(guān)系，使得多項(xiàng)式系統(tǒng)可以精確地描述眾多實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。對(duì)多項(xiàng)式系統(tǒng)非線性控制的深入研究，不僅有助于揭示非線性系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，還能為實(shí)際工程問題提供更有效的解決方案。近年來，SOS（SumofSquares）方法作為一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，在多項(xiàng)式系統(tǒng)的分析與控制領(lǐng)域嶄露頭角，為解決多項(xiàng)式系統(tǒng)的非線性控制問題開辟了新的路徑。SOS方法基于半正定規(guī)劃（SDP）技術(shù)，能夠?qū)?fù)雜的非線性問題轉(zhuǎn)化為可求解的凸優(yōu)化問題。通過巧妙地構(gòu)造多項(xiàng)式Lyapunov函數(shù)，并利用SOS條件進(jìn)行穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)，SOS方法展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。它可以有效地處理多項(xiàng)式系統(tǒng)中的不確定性、非線性項(xiàng)以及約束條件，為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制和性能優(yōu)化提供了有力支持。在火炮身管振動(dòng)抑制的研究中，利用SOS方法設(shè)計(jì)非線性狀態(tài)反饋控制器和非線性狀態(tài)觀測(cè)器，成功地抑制了火炮身管的振動(dòng)，顯著提高了射擊準(zhǔn)確度。這一應(yīng)用實(shí)例充分彰顯了SOS方法在解決實(shí)際工程問題中的有效性和潛力。將SOS方法引入多項(xiàng)式系統(tǒng)的非線性控制研究，有望突破傳統(tǒng)方法的瓶頸，為解決復(fù)雜系統(tǒng)的控制難題提供創(chuàng)新性的思路和方法，具有重要的理論意義和廣闊的應(yīng)用前景。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀在多項(xiàng)式系統(tǒng)的非線性控制研究領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已取得了一系列豐碩成果。國(guó)外方面，[國(guó)外學(xué)者姓名1]最早深入探討了多項(xiàng)式系統(tǒng)的基本特性和穩(wěn)定性分析方法，通過構(gòu)建特定的數(shù)學(xué)模型，初步揭示了多項(xiàng)式系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為規(guī)律，為后續(xù)研究奠定了理論基石。[國(guó)外學(xué)者姓名2]在此基礎(chǔ)上，利用傳統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性理論對(duì)多項(xiàng)式系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，提出了基于Lyapunov函數(shù)的控制器設(shè)計(jì)方法。該方法通過巧妙構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，分析系統(tǒng)在不同控制策略下的穩(wěn)定性，為多項(xiàng)式系統(tǒng)的控制提供了重要的思路和方法。隨著研究的不斷深入，[國(guó)外學(xué)者姓名3]針對(duì)具有不確定性的多項(xiàng)式系統(tǒng)，提出了魯棒控制策略。通過引入魯棒控制理論，該策略有效地解決了系統(tǒng)中存在的參數(shù)不確定性和外部干擾問題，顯著提高了系統(tǒng)的魯棒性和抗干擾能力，使多項(xiàng)式系統(tǒng)在復(fù)雜環(huán)境下仍能保持穩(wěn)定運(yùn)行。在國(guó)內(nèi)，眾多學(xué)者也在該領(lǐng)域積極探索并取得了顯著進(jìn)展。[國(guó)內(nèi)學(xué)者姓名1]深入研究了多項(xiàng)式系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問題，通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器，使系統(tǒng)能夠根據(jù)自身狀態(tài)和外部環(huán)境的變化實(shí)時(shí)調(diào)整控制參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的有效控制，進(jìn)一步拓展了多項(xiàng)式系統(tǒng)控制的應(yīng)用范圍。[國(guó)內(nèi)學(xué)者姓名2]則專注于研究基于智能算法的多項(xiàng)式系統(tǒng)控制方法，將遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等智能算法引入多項(xiàng)式系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)中。通過智能算法的全局搜索能力，優(yōu)化控制器的參數(shù)，提高了系統(tǒng)的控制性能和優(yōu)化效果。近年來，SOS方法在多項(xiàng)式系統(tǒng)的非線性控制中的應(yīng)用逐漸成為研究熱點(diǎn)。國(guó)外的[國(guó)外學(xué)者姓名4]率先將SOS方法應(yīng)用于多項(xiàng)式系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，通過將多項(xiàng)式表示為平方和的形式，將穩(wěn)定性分析問題轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題，成功地解決了傳統(tǒng)方法在處理復(fù)雜多項(xiàng)式系統(tǒng)時(shí)的計(jì)算難題，為多項(xiàng)式系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析提供了一種高效、精確的新方法。[國(guó)外學(xué)者姓名5]進(jìn)一步利用SOS方法設(shè)計(jì)多項(xiàng)式系統(tǒng)的控制器，通過構(gòu)造合適的SOS約束條件，實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)性能的優(yōu)化，使系統(tǒng)在穩(wěn)定性、響應(yīng)速度等方面都有了顯著提升。國(guó)內(nèi)學(xué)者也緊跟研究前沿，[國(guó)內(nèi)學(xué)者姓名3]基于SOS方法，針對(duì)具有復(fù)雜約束條件的多項(xiàng)式系統(tǒng)，提出了保性能控制策略。通過巧妙地將系統(tǒng)的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為SOS約束，在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時(shí)，保證了系統(tǒng)的性能指標(biāo)，為解決實(shí)際工程中對(duì)系統(tǒng)性能要求嚴(yán)格的問題提供了有效的解決方案。[國(guó)內(nèi)學(xué)者姓名4]則研究了基于SOS方法的分布式多項(xiàng)式系統(tǒng)的協(xié)同控制，通過設(shè)計(jì)分布式SOS控制器，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)子系統(tǒng)之間的協(xié)同工作，提高了整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)行效率和可靠性。盡管目前在基于觀測(cè)器的多項(xiàng)式系統(tǒng)非線性控制以及SOS方法應(yīng)用方面已取得了一定的成果，但仍存在一些不足之處。一方面，現(xiàn)有研究在處理高維、強(qiáng)耦合的復(fù)雜多項(xiàng)式系統(tǒng)時(shí)，觀測(cè)器和控制器的設(shè)計(jì)方法往往計(jì)算復(fù)雜度高，且難以保證系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性和性能。另一方面，對(duì)于SOS方法在存在不確定性和時(shí)變特性的多項(xiàng)式系統(tǒng)中的應(yīng)用研究還不夠深入，如何進(jìn)一步提高SOS方法在這類系統(tǒng)中的適應(yīng)性和魯棒性，仍是亟待解決的問題。此外，在實(shí)際應(yīng)用中，如何將理論研究成果有效地轉(zhuǎn)化為實(shí)際控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)工程化應(yīng)用，也是當(dāng)前研究面臨的重要挑戰(zhàn)。本文將針對(duì)這些問題展開深入研究，以期為基于觀測(cè)器的多項(xiàng)式系統(tǒng)非線性控制提供新的方法和思路。1.3研究目標(biāo)與內(nèi)容本文旨在深入研究基于觀測(cè)器的一類多項(xiàng)式系統(tǒng)的非線性控制問題，借助SOS方法的強(qiáng)大優(yōu)勢(shì)，突破現(xiàn)有研究的局限，為多項(xiàng)式系統(tǒng)的控制提供更加有效、可靠的解決方案。具體研究目標(biāo)與內(nèi)容如下：構(gòu)建多項(xiàng)式系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型：針對(duì)一類具有代表性的多項(xiàng)式系統(tǒng)，綜合考慮系統(tǒng)中可能存在的各種非線性因素，如強(qiáng)耦合、高維特性以及不確定性和時(shí)變特性等，建立精確且通用的數(shù)學(xué)模型。該模型不僅能夠準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為，還為后續(xù)的觀測(cè)器和控制器設(shè)計(jì)奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)?；赟OS方法設(shè)計(jì)觀測(cè)器：運(yùn)用SOS方法，深入研究觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問題。通過巧妙構(gòu)造基于SOS的觀測(cè)器結(jié)構(gòu)，將觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題進(jìn)行求解。致力于設(shè)計(jì)出能夠準(zhǔn)確估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)、對(duì)不確定性和干擾具有強(qiáng)魯棒性且計(jì)算復(fù)雜度低的非線性狀態(tài)觀測(cè)器。同時(shí)，利用SOS條件嚴(yán)格證明所設(shè)計(jì)觀測(cè)器的收斂性和穩(wěn)定性，確保觀測(cè)器在各種復(fù)雜情況下都能可靠運(yùn)行?；赟OS方法設(shè)計(jì)控制器：以構(gòu)建的多項(xiàng)式系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型和設(shè)計(jì)的觀測(cè)器為基礎(chǔ)，利用SOS方法設(shè)計(jì)高性能的非線性控制器。通過精心構(gòu)造基于SOS的控制器，并將系統(tǒng)的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為SOS約束條件，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制和性能優(yōu)化。在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，使系統(tǒng)在響應(yīng)速度、跟蹤精度等關(guān)鍵性能指標(biāo)上達(dá)到最優(yōu)或接近最優(yōu)水平。穩(wěn)定性與性能分析：對(duì)基于觀測(cè)器的閉環(huán)多項(xiàng)式系統(tǒng)進(jìn)行全面深入的穩(wěn)定性分析。運(yùn)用SOS方法結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論，嚴(yán)格證明閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，確保系統(tǒng)在各種工作條件下都能穩(wěn)定運(yùn)行。同時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行詳細(xì)分析，包括系統(tǒng)的響應(yīng)特性、抗干擾能力、魯棒性等方面，明確系統(tǒng)在不同參數(shù)和工作環(huán)境下的性能表現(xiàn)，為系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用提供有力的理論支持。仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：利用Matlab/Simulink等仿真工具，對(duì)所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器和控制器進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證。通過設(shè)置各種典型的仿真場(chǎng)景，模擬系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中可能遇到的各種情況，如參數(shù)變化、外部干擾等，全面評(píng)估觀測(cè)器和控制器的性能。在仿真驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，搭建實(shí)際的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。將理論研究成果應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)中，進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的有效性和實(shí)用性，為實(shí)際工程應(yīng)用提供實(shí)踐依據(jù)。二、相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1多項(xiàng)式系統(tǒng)與非線性控制在控制理論的研究范疇中，多項(xiàng)式系統(tǒng)是一類具有重要地位的系統(tǒng)，其定義基于多項(xiàng)式函數(shù)來描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。從數(shù)學(xué)表達(dá)式來看，一個(gè)一般形式的多項(xiàng)式系統(tǒng)可表示為：\dot{x}=f(x,u)，其中x\inR^n是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，u\inR^m是控制輸入向量，而f(x,u)是關(guān)于x和u的多項(xiàng)式函數(shù)。例如，對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的二階多項(xiàng)式系統(tǒng)，其狀態(tài)方程可能為\begin{cases}\dot{x_1}=x_1^2+3x_1x_2+u_1\\\dot{x_2}=2x_2^2-x_1u_2\end{cases}，這里x_1和x_2構(gòu)成狀態(tài)向量，u_1和u_2為控制輸入，等式右邊的各項(xiàng)均為多項(xiàng)式形式。多項(xiàng)式系統(tǒng)具有諸多獨(dú)特的特性。它能夠靈活地逼近各種復(fù)雜的非線性函數(shù)，這一特性使得多項(xiàng)式系統(tǒng)在描述實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性時(shí)具有很強(qiáng)的通用性和精確性。許多實(shí)際的物理系統(tǒng)，如機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)、電力系統(tǒng)中的潮流計(jì)算模型等，都可以通過多項(xiàng)式系統(tǒng)進(jìn)行有效的建模和分析。多項(xiàng)式系統(tǒng)在數(shù)學(xué)處理上相對(duì)較為方便，其結(jié)構(gòu)和性質(zhì)相對(duì)清晰，這為后續(xù)的理論分析和控制器設(shè)計(jì)提供了便利條件。非線性控制則是控制理論中的一個(gè)重要分支，主要致力于解決非線性系統(tǒng)的控制問題。其基本概念是通過設(shè)計(jì)合適的控制策略，使非線性系統(tǒng)能夠達(dá)到預(yù)期的性能指標(biāo)，如穩(wěn)定性、跟蹤精度、響應(yīng)速度等。在實(shí)際應(yīng)用中，非線性系統(tǒng)的輸出與輸入之間的關(guān)系呈現(xiàn)出非線性特征，傳統(tǒng)的線性控制方法難以滿足其控制需求，因此需要采用專門的非線性控制方法。常用的非線性控制方法豐富多樣。反饋線性化方法通過對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換和反饋控制，將其轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)，然后利用成熟的線性控制理論進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。對(duì)于一個(gè)具有特定非線性結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，通過巧妙地選取變換函數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的線性化，從而簡(jiǎn)化控制設(shè)計(jì)過程?；？刂品椒▌t是通過設(shè)計(jì)一個(gè)滑動(dòng)模態(tài)面，使系統(tǒng)在該面上具有良好的動(dòng)態(tài)性能，并且對(duì)系統(tǒng)的不確定性和干擾具有較強(qiáng)的魯棒性。在實(shí)際應(yīng)用中，滑?？刂颇軌蚩焖夙憫?yīng)系統(tǒng)的變化，有效地克服外界干擾對(duì)系統(tǒng)性能的影響。自適應(yīng)控制方法根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)狀態(tài)和性能指標(biāo)，自動(dòng)調(diào)整控制器的參數(shù)，以適應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)的變化和外部環(huán)境的干擾。當(dāng)系統(tǒng)中的某些參數(shù)發(fā)生未知變化時(shí)，自適應(yīng)控制能夠通過在線估計(jì)參數(shù)并調(diào)整控制策略，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行和性能要求。這些常用的非線性控制方法在不同的應(yīng)用場(chǎng)景中發(fā)揮著重要作用，但也各自存在一定的局限性。反饋線性化方法對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)要求較為嚴(yán)格，在實(shí)際應(yīng)用中可能難以滿足；滑模控制雖然魯棒性強(qiáng)，但在切換過程中可能會(huì)產(chǎn)生抖振現(xiàn)象，影響系統(tǒng)的控制精度；自適應(yīng)控制的參數(shù)調(diào)整過程可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的響應(yīng)速度較慢，在一些對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高的場(chǎng)合應(yīng)用受限。因此，針對(duì)不同的非線性系統(tǒng)和控制需求，需要綜合考慮各種因素，選擇合適的非線性控制方法，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的有效控制。2.2觀測(cè)器設(shè)計(jì)原理在非線性系統(tǒng)控制中，觀測(cè)器扮演著至關(guān)重要的角色，其主要作用是根據(jù)系統(tǒng)的可測(cè)量輸出和已知輸入，對(duì)系統(tǒng)中無法直接測(cè)量的狀態(tài)變量進(jìn)行精確估計(jì)。這一估計(jì)過程對(duì)于實(shí)現(xiàn)有效的控制策略具有關(guān)鍵意義，尤其是在許多實(shí)際系統(tǒng)中，部分狀態(tài)變量由于測(cè)量技術(shù)的限制、測(cè)量成本的約束或系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)特性，難以直接獲取。例如，在航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)中，某些內(nèi)部部件的溫度、壓力等狀態(tài)參數(shù)難以直接測(cè)量，但這些參數(shù)對(duì)于發(fā)動(dòng)機(jī)的性能和穩(wěn)定性評(píng)估又至關(guān)重要。此時(shí)，觀測(cè)器就成為獲取這些狀態(tài)信息的關(guān)鍵手段，通過精確估計(jì)這些狀態(tài)變量，為后續(xù)的控制器設(shè)計(jì)提供必要的數(shù)據(jù)支持，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的精準(zhǔn)控制?；贚ipschitz條件設(shè)計(jì)的觀測(cè)器是一種常見的類型。Lipschitz條件為函數(shù)的變化率提供了一個(gè)明確的限制，在觀測(cè)器設(shè)計(jì)中，它保證了觀測(cè)器估計(jì)誤差的收斂性。對(duì)于一個(gè)滿足Lipschitz條件的非線性系統(tǒng)，假設(shè)其狀態(tài)方程為\dot{x}=f(x,u)，輸出方程為y=h(x)，其中x為狀態(tài)向量，u為輸入向量，y為輸出向量。設(shè)計(jì)觀測(cè)器時(shí)，通常會(huì)構(gòu)建一個(gè)與原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相似的估計(jì)系統(tǒng)\dot{\hat{x}}=\hat{f}(\hat{x},u)+L(y-\hat{y})，其中\(zhòng)hat{x}是估計(jì)狀態(tài)向量，\hat{f}是對(duì)f的估計(jì)函數(shù)，L是觀測(cè)器增益矩陣，\hat{y}=h(\hat{x})是估計(jì)輸出。通過巧妙選擇L，利用Lipschitz條件，可以證明估計(jì)誤差e=x-\hat{x}能夠漸近收斂到零，即隨著時(shí)間的推移，估計(jì)狀態(tài)能夠無限接近真實(shí)狀態(tài)。這種觀測(cè)器的優(yōu)點(diǎn)在于其理論基礎(chǔ)堅(jiān)實(shí)，收斂性能夠得到嚴(yán)格證明，對(duì)于滿足Lipschitz條件的系統(tǒng)具有較好的適應(yīng)性。然而，其局限性在于對(duì)系統(tǒng)滿足Lipschitz條件的要求較為苛刻，在實(shí)際應(yīng)用中，部分系統(tǒng)可能難以嚴(yán)格滿足這一條件，從而限制了其應(yīng)用范圍?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)觀測(cè)器也是一種重要的觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法。它通過設(shè)計(jì)一個(gè)切換函數(shù)，使系統(tǒng)在不同的滑動(dòng)模態(tài)之間切換，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)。在滑模變結(jié)構(gòu)觀測(cè)器中，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑動(dòng)模態(tài)面時(shí)，觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)特性由滑動(dòng)模態(tài)決定，對(duì)系統(tǒng)的不確定性和干擾具有很強(qiáng)的魯棒性。以一個(gè)簡(jiǎn)單的機(jī)械系統(tǒng)為例，在存在摩擦力、外界沖擊力等干擾的情況下，滑模變結(jié)構(gòu)觀測(cè)器能夠快速調(diào)整估計(jì)狀態(tài)，使其準(zhǔn)確跟蹤真實(shí)狀態(tài)，有效地克服干擾對(duì)狀態(tài)估計(jì)的影響。該觀測(cè)器的顯著優(yōu)勢(shì)在于其強(qiáng)大的魯棒性，能夠在復(fù)雜的干擾環(huán)境下保持較好的估計(jì)性能。但它也存在一些缺點(diǎn)，例如在切換過程中可能會(huì)產(chǎn)生抖振現(xiàn)象，這不僅會(huì)影響觀測(cè)器的估計(jì)精度，還可能對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生一定的負(fù)面影響。為了減輕抖振問題，通常需要采用一些額外的措施，如引入邊界層、采用高階滑?？刂频龋@些方法往往會(huì)增加觀測(cè)器設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和計(jì)算量。2.3SOS方法核心概念SOS方法作為一種在多項(xiàng)式系統(tǒng)分析與控制中具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)的數(shù)學(xué)方法，其核心在于將多項(xiàng)式巧妙地表示為平方和的形式。從數(shù)學(xué)原理上看，對(duì)于一個(gè)給定的多項(xiàng)式p(x)，若存在一組多項(xiàng)式h_i(x)，使得p(x)=\sum_{i=1}^{m}h_i^2(x)，則稱p(x)為平方和多項(xiàng)式。例如，對(duì)于多項(xiàng)式p(x)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2，可以清晰地表示為p(x)=(x_1+x_2)^2，這就是一個(gè)典型的平方和形式。這種表示形式并非僅僅是一種數(shù)學(xué)變換，其背后蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值。在多項(xiàng)式系統(tǒng)的分析與控制領(lǐng)域，SOS方法展現(xiàn)出了強(qiáng)大的功能。在穩(wěn)定性分析方面，通過構(gòu)建基于SOS的Lyapunov函數(shù)，可以將復(fù)雜的穩(wěn)定性判斷問題轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題進(jìn)行求解。對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式系統(tǒng)\dot{x}=f(x)，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(x)，若能證明\dot{V}(x)是一個(gè)負(fù)定的平方和多項(xiàng)式，即\dot{V}(x)=-\sum_{i=1}^{m}h_i^2(x)，那么根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，就可以確定系統(tǒng)在原點(diǎn)處是漸近穩(wěn)定的。在實(shí)際的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)中，利用SOS方法分析其穩(wěn)定性，通過將系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)表示為平方和形式，有效地判斷了系統(tǒng)在不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的穩(wěn)定性，為機(jī)器人的精確控制提供了理論依據(jù)。在控制器設(shè)計(jì)中，SOS方法同樣發(fā)揮著重要作用。通過將系統(tǒng)的性能指標(biāo)，如跟蹤誤差、能量消耗等，轉(zhuǎn)化為基于SOS的約束條件，進(jìn)而求解出滿足性能要求的控制器參數(shù)。在飛行器的姿態(tài)控制系統(tǒng)中，為了實(shí)現(xiàn)高精度的姿態(tài)跟蹤控制，利用SOS方法將姿態(tài)跟蹤誤差最小化這一性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為SOS約束，通過求解半正定規(guī)劃問題，設(shè)計(jì)出了能夠有效跟蹤期望姿態(tài)的控制器，顯著提高了飛行器的姿態(tài)控制精度和穩(wěn)定性。SOS方法基于半正定規(guī)劃將多項(xiàng)式表示為平方和形式的原理，為多項(xiàng)式系統(tǒng)的非線性控制提供了一種全新的、有效的分析和設(shè)計(jì)工具，在解決多項(xiàng)式系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)等關(guān)鍵問題上具有不可替代的優(yōu)勢(shì)。三、基于SOS方法的觀測(cè)器設(shè)計(jì)3.1系統(tǒng)建模與問題描述考慮如下一類具有一般形式的多項(xiàng)式系統(tǒng)：\begin{cases}\dot{x}(t)=f(x(t),u(t))\\y(t)=h(x(t))\end{cases}其中，x(t)\inR^n為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，它全面描述了系統(tǒng)在時(shí)刻t的內(nèi)部狀態(tài)；u(t)\inR^m是控制輸入向量，通過對(duì)其取值的調(diào)整來實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)行為的控制；y(t)\inR^p為系統(tǒng)的輸出向量，是可以直接測(cè)量獲取的信息。函數(shù)f(x(t),u(t)):R^n\timesR^m\rightarrowR^n和h(x(t)):R^n\rightarrowR^p均為關(guān)于狀態(tài)變量x(t)和控制輸入變量u(t)的多項(xiàng)式函數(shù)，這使得系統(tǒng)能夠靈活地描述各種復(fù)雜的非線性動(dòng)態(tài)特性。以一個(gè)簡(jiǎn)單的兩自由度機(jī)械系統(tǒng)為例，其狀態(tài)方程可表示為：\begin{cases}\dot{x_1}=x_2\\\dot{x_2}=-k_1x_1-k_2x_2+b_1u+c_1x_1^2+c_2x_1x_2\end{cases}輸出方程為y=x_1。這里，x_1和x_2分別表示系統(tǒng)的位置和速度狀態(tài)變量，u為控制輸入，k_1、k_2、b_1、c_1、c_2為系統(tǒng)參數(shù)，等式右邊包含了線性項(xiàng)和多項(xiàng)式非線性項(xiàng)，充分體現(xiàn)了多項(xiàng)式系統(tǒng)的復(fù)雜性和多樣性。在實(shí)際應(yīng)用中，由于各種因素的限制，系統(tǒng)的部分狀態(tài)變量往往難以直接測(cè)量，這給系統(tǒng)的有效控制帶來了巨大挑戰(zhàn)。為了解決這一問題，引入狀態(tài)觀測(cè)器來估計(jì)這些不可測(cè)的狀態(tài)變量。基于觀測(cè)器的非線性控制問題，其核心目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)性能優(yōu)良的觀測(cè)器，能夠根據(jù)系統(tǒng)的可測(cè)量輸出y(t)和已知輸入u(t)，準(zhǔn)確地估計(jì)出系統(tǒng)的不可測(cè)狀態(tài)x(t)。同時(shí)，基于觀測(cè)器的估計(jì)狀態(tài)，設(shè)計(jì)合適的非線性控制器，使系統(tǒng)能夠滿足預(yù)期的性能指標(biāo)，如穩(wěn)定性、跟蹤精度、響應(yīng)速度等。在機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制中，通過設(shè)計(jì)觀測(cè)器估計(jì)機(jī)器人關(guān)節(jié)的角度和角速度等不可測(cè)狀態(tài)，再基于這些估計(jì)狀態(tài)設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的精確運(yùn)動(dòng)控制。然而，傳統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法在處理多項(xiàng)式系統(tǒng)時(shí)存在諸多局限性。對(duì)于復(fù)雜的多項(xiàng)式系統(tǒng)，傳統(tǒng)方法往往難以保證觀測(cè)器的估計(jì)精度和收斂性，且在面對(duì)系統(tǒng)中的不確定性和干擾時(shí)，其魯棒性較差。此外，傳統(tǒng)方法在處理高維多項(xiàng)式系統(tǒng)時(shí)，計(jì)算復(fù)雜度較高，難以滿足實(shí)時(shí)控制的要求。因此，尋求一種有效的方法來設(shè)計(jì)適用于多項(xiàng)式系統(tǒng)的觀測(cè)器和控制器具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。本文將引入SOS方法，通過巧妙構(gòu)造基于SOS的觀測(cè)器和控制器，將觀測(cè)器設(shè)計(jì)和控制器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題進(jìn)行求解，從而突破傳統(tǒng)方法的局限，實(shí)現(xiàn)對(duì)多項(xiàng)式系統(tǒng)的高效、精確控制。3.2基于SOS的觀測(cè)器設(shè)計(jì)思路為了設(shè)計(jì)適用于多項(xiàng)式系統(tǒng)的觀測(cè)器，我們巧妙運(yùn)用SOS方法，將觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為SOS形式的優(yōu)化問題。首先，構(gòu)建一個(gè)與原多項(xiàng)式系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相似的觀測(cè)器，其形式為：\dot{\hat{x}}(t)=\hat{f}(\hat{x}(t),u(t))+L(y(t)-\hat{y}(t))其中，\hat{x}(t)\inR^n是估計(jì)狀態(tài)向量，它是對(duì)系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)x(t)的估計(jì)；\hat{f}(\hat{x}(t),u(t))是對(duì)f(x(t),u(t))的估計(jì)函數(shù)，用于描述估計(jì)狀態(tài)的動(dòng)態(tài)變化；L\inR^{n\timesp}是觀測(cè)器增益矩陣，它的選擇直接影響觀測(cè)器的性能，通過調(diào)整L的值，可以使觀測(cè)器更好地跟蹤系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)；\hat{y}(t)=h(\hat{x}(t))是估計(jì)輸出向量，與系統(tǒng)的實(shí)際輸出y(t)相對(duì)應(yīng)。設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于確定合適的觀測(cè)器增益矩陣L，使估計(jì)狀態(tài)\hat{x}(t)能夠快速、準(zhǔn)確地收斂到真實(shí)狀態(tài)x(t)。為此，定義觀測(cè)誤差e(t)=x(t)-\hat{x}(t)，對(duì)其求導(dǎo)可得：\dot{e}(t)=\dot{x}(t)-\dot{\hat{x}}(t)=f(x(t),u(t))-\hat{f}(\hat{x}(t),u(t))-L(h(x(t))-h(\hat{x}(t)))為了將上述問題轉(zhuǎn)化為SOS形式，引入一個(gè)正定的多項(xiàng)式函數(shù)V(e(t))作為L(zhǎng)yapunov函數(shù)。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，若\dot{V}(e(t))是負(fù)定的，則觀測(cè)誤差e(t)將漸近收斂到零，即觀測(cè)器是穩(wěn)定的。將\dot{V}(e(t))表示為平方和的形式，即\dot{V}(e(t))=-\sum_{i=1}^{k}q_i^2(e(t))，其中q_i(e(t))是關(guān)于觀測(cè)誤差e(t)的多項(xiàng)式函數(shù)。這樣，觀測(cè)器的穩(wěn)定性分析問題就轉(zhuǎn)化為判斷\dot{V}(e(t))是否為負(fù)定的平方和多項(xiàng)式的問題。進(jìn)一步地，通過引入一些輔助變量和約束條件，將觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)半正定規(guī)劃問題。具體而言，利用SOS條件，將\dot{V}(e(t))的負(fù)定性約束轉(zhuǎn)化為一組關(guān)于觀測(cè)器增益矩陣L和其他相關(guān)變量的線性矩陣不等式（LMI）約束。例如，對(duì)于一個(gè)給定的正定矩陣P，可以構(gòu)造如下的LMI約束：P\gt0\dot{V}(e(t))+P\sum_{i=1}^{k}q_i^2(e(t))\preceq0其中，\preceq表示矩陣的半負(fù)定關(guān)系。通過求解這組LMI約束，可以得到滿足觀測(cè)器穩(wěn)定性要求的觀測(cè)器增益矩陣L。在確定相關(guān)約束條件時(shí)，除了考慮觀測(cè)器的穩(wěn)定性，還需兼顧系統(tǒng)的其他性能指標(biāo)。為了提高觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)不確定性和干擾的魯棒性，可以引入H_{\infty}性能指標(biāo)約束。假設(shè)系統(tǒng)存在外部干擾w(t)，且干擾對(duì)觀測(cè)誤差的影響滿足一定的H_{\infty}性能指標(biāo)要求，即對(duì)于給定的正數(shù)\gamma，有：\int_{0}^{\infty}e^T(t)e(t)dt\leq\gamma^2\int_{0}^{\infty}w^T(t)w(t)dt將這一H_{\infty}性能指標(biāo)約束轉(zhuǎn)化為SOS形式，添加到上述半正定規(guī)劃問題的約束條件中，從而在保證觀測(cè)器穩(wěn)定性的同時(shí)，提高其對(duì)干擾的抑制能力。通過這種方式，利用SOS方法將觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為可求解的半正定規(guī)劃問題，并確定了全面且合理的約束條件，為設(shè)計(jì)出高性能的觀測(cè)器奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。3.3觀測(cè)器性能分析對(duì)于所設(shè)計(jì)的基于SOS方法的觀測(cè)器，其性能分析是確保觀測(cè)器有效性和可靠性的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。我們將從穩(wěn)定性和收斂性這兩個(gè)重要方面展開深入分析。首先，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論對(duì)觀測(cè)器的穩(wěn)定性進(jìn)行嚴(yán)格證明?；仡櫱拔亩x的觀測(cè)誤差e(t)=x(t)-\hat{x}(t)以及Lyapunov函數(shù)V(e(t))。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，若對(duì)于任意的e(t)\neq0，都有\(zhòng)dot{V}(e(t))\lt0，則觀測(cè)器是漸近穩(wěn)定的。由于我們已將\dot{V}(e(t))表示為平方和的形式，即\dot{V}(e(t))=-\sum_{i=1}^{k}q_i^2(e(t))，顯然對(duì)于任意非零的e(t)，\sum_{i=1}^{k}q_i^2(e(t))\gt0，所以\dot{V}(e(t))\lt0，這就證明了觀測(cè)器是漸近穩(wěn)定的。在實(shí)際的機(jī)器人關(guān)節(jié)角度和角速度估計(jì)應(yīng)用中，假設(shè)觀測(cè)誤差為e=[e_1,e_2]^T，其中e_1為關(guān)節(jié)角度估計(jì)誤差，e_2為角速度估計(jì)誤差。構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(e)=\frac{1}{2}e_1^2+\frac{1}{2}e_2^2，通過對(duì)其求導(dǎo)并結(jié)合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，得到\dot{V}(e)=-k_1e_1^2-k_2e_2^2，這里k_1\gt0，k_2\gt0。顯然，\dot{V}(e)是負(fù)定的，這表明觀測(cè)器在機(jī)器人關(guān)節(jié)狀態(tài)估計(jì)中是漸近穩(wěn)定的，能夠保證估計(jì)誤差隨著時(shí)間的推移逐漸趨近于零。接著，對(duì)觀測(cè)器的收斂性進(jìn)行分析。收斂性是指觀測(cè)誤差e(t)隨著時(shí)間t的增加趨近于零的特性。為了深入研究觀測(cè)器的收斂速度，我們引入收斂率的概念。收斂率可以通過分析觀測(cè)誤差的衰減速度來確定。假設(shè)觀測(cè)誤差e(t)滿足不等式\|e(t)\|\leq\alphae^{-\betat}\|e(0)\|，其中\(zhòng)alpha\geq1，\beta\gt0。這里，\beta就是觀測(cè)器的收斂率，它反映了觀測(cè)誤差收斂的快慢程度。\beta的值越大，觀測(cè)誤差收斂到零的速度就越快，觀測(cè)器的性能也就越好。為了確定收斂率\beta，我們對(duì)觀測(cè)誤差動(dòng)態(tài)方程\dot{e}(t)=f(x(t),u(t))-\hat{f}(\hat{x}(t),u(t))-L(h(x(t))-h(\hat{x}(t)))進(jìn)行進(jìn)一步的分析。利用系統(tǒng)的Lipschitz性質(zhì)以及所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器結(jié)構(gòu)，通過一系列的數(shù)學(xué)推導(dǎo)（如利用不等式放縮、矩陣范數(shù)性質(zhì)等），可以得到關(guān)于收斂率\beta的表達(dá)式或取值范圍。假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)f(x(t),u(t))和h(x(t))滿足Lipschitz條件，Lipschitz常數(shù)分別為L(zhǎng)_f和L_h。通過對(duì)觀測(cè)誤差動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行分析，利用矩陣范數(shù)的性質(zhì)，得到\|\dot{e}(t)\|\leq(L_f+\|L\|L_h)\|e(t)\|。根據(jù)微分不等式的性質(zhì)，進(jìn)一步推導(dǎo)可得\|e(t)\|\leqe^{(L_f+\|L\|L_h)t}\|e(0)\|。此時(shí)，通過合理選擇觀測(cè)器增益矩陣L，可以調(diào)整L_f+\|L\|L_h的值，從而優(yōu)化觀測(cè)器的收斂率。在實(shí)際應(yīng)用中，為了提高觀測(cè)器的收斂速度，可以通過調(diào)整觀測(cè)器增益矩陣L來增大收斂率\beta。當(dāng)系統(tǒng)存在一定的不確定性或干擾時(shí)，在保證觀測(cè)器穩(wěn)定性的前提下，適當(dāng)增大L的某些元素的值，可能會(huì)使觀測(cè)誤差更快地收斂到零。但同時(shí)需要注意，L的增大也可能會(huì)帶來其他問題，如對(duì)噪聲的敏感性增加等，因此需要綜合考慮各種因素，通過優(yōu)化算法等手段來確定最優(yōu)的觀測(cè)器增益矩陣L，以實(shí)現(xiàn)觀測(cè)器收斂性和其他性能指標(biāo)的平衡。通過上述對(duì)穩(wěn)定性和收斂性的分析，全面地評(píng)估了所設(shè)計(jì)觀測(cè)器的性能，為觀測(cè)器在實(shí)際系統(tǒng)中的應(yīng)用提供了堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)。四、基于SOS方法的非線性控制器設(shè)計(jì)4.1控制器設(shè)計(jì)目標(biāo)與策略本部分致力于設(shè)計(jì)基于SOS方法的非線性控制器，以實(shí)現(xiàn)對(duì)多項(xiàng)式系統(tǒng)的高效控制，滿足多方面嚴(yán)格的性能指標(biāo)要求。在實(shí)際工程應(yīng)用中，多項(xiàng)式系統(tǒng)常面臨復(fù)雜的運(yùn)行環(huán)境和多樣化的任務(wù)需求，這就對(duì)控制器的性能提出了極高的要求。跟蹤精度是衡量控制器性能的關(guān)鍵指標(biāo)之一。在許多實(shí)際系統(tǒng)中，如機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制、飛行器的軌跡跟蹤等，控制器需要確保系統(tǒng)的輸出能夠精確地跟蹤給定的參考信號(hào)。以機(jī)器人在執(zhí)行復(fù)雜裝配任務(wù)為例，其末端執(zhí)行器需要精確地按照預(yù)設(shè)軌跡運(yùn)動(dòng)，此時(shí)控制器的跟蹤精度直接影響到裝配的質(zhì)量和效率。如果跟蹤精度不足，可能導(dǎo)致裝配誤差過大，產(chǎn)品質(zhì)量下降，甚至任務(wù)失敗。因此，本設(shè)計(jì)的目標(biāo)之一是使系統(tǒng)的輸出能夠以極小的誤差跟蹤參考信號(hào)，滿足實(shí)際應(yīng)用中對(duì)高精度控制的需求?？垢蓴_能力也是控制器設(shè)計(jì)中不容忽視的重要性能指標(biāo)。在實(shí)際運(yùn)行過程中，多項(xiàng)式系統(tǒng)不可避免地會(huì)受到各種外部干擾和內(nèi)部不確定性因素的影響，如傳感器噪聲、模型誤差、負(fù)載變化以及外部環(huán)境的擾動(dòng)等。在工業(yè)自動(dòng)化生產(chǎn)線中，電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可能會(huì)受到電網(wǎng)電壓波動(dòng)、機(jī)械振動(dòng)等干擾，這些干擾會(huì)對(duì)系統(tǒng)的正常運(yùn)行產(chǎn)生負(fù)面影響。一個(gè)具有強(qiáng)抗干擾能力的控制器能夠有效地抑制這些干擾的影響，使系統(tǒng)在干擾存在的情況下仍能保持穩(wěn)定運(yùn)行，并維持良好的性能?；赟OS方法的控制器設(shè)計(jì)總體策略是將系統(tǒng)的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為基于SOS的約束條件，進(jìn)而將控制器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題進(jìn)行求解。具體而言，通過構(gòu)造合適的多項(xiàng)式Lyapunov函數(shù)，利用SOS條件來描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能要求。考慮一個(gè)多項(xiàng)式系統(tǒng)\dot{x}=f(x,u)，其中x\inR^n為狀態(tài)向量，u\inR^m為控制輸入向量。為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制和性能優(yōu)化，構(gòu)造一個(gè)正定的多項(xiàng)式Lyapunov函數(shù)V(x)。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，若\dot{V}(x)是負(fù)定的，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。利用SOS方法，將\dot{V}(x)表示為平方和的形式，即\dot{V}(x)=-\sum_{i=1}^{k}q_i^2(x)，其中q_i(x)是關(guān)于狀態(tài)變量x的多項(xiàng)式函數(shù)。這就將系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析轉(zhuǎn)化為判斷\dot{V}(x)是否為負(fù)定的平方和多項(xiàng)式的問題。為了滿足系統(tǒng)的跟蹤精度要求，定義跟蹤誤差e=y-y_d，其中y是系統(tǒng)的輸出，y_d是參考信號(hào)。通過構(gòu)造合適的性能指標(biāo)函數(shù)，如J=\int_{0}^{\infty}e^T(t)Qe(t)dt，其中Q是正定矩陣，將跟蹤精度要求轉(zhuǎn)化為基于SOS的約束條件。利用SOS方法，將J表示為平方和的形式，并添加到半正定規(guī)劃問題的約束條件中，從而在求解控制器參數(shù)時(shí)，能夠保證系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能。針對(duì)系統(tǒng)的抗干擾能力，考慮系統(tǒng)存在外部干擾w的情況，系統(tǒng)方程變?yōu)閈dot{x}=f(x,u,w)。引入H_{\infty}性能指標(biāo)來衡量系統(tǒng)對(duì)干擾的抑制能力，即對(duì)于給定的正數(shù)\gamma，要求\int_{0}^{\infty}z^T(t)z(t)dt\leq\gamma^2\int_{0}^{\infty}w^T(t)w(t)dt，其中z是反映系統(tǒng)性能的輸出變量。通過構(gòu)造基于SOS的H_{\infty}性能指標(biāo)約束，將其轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題的約束條件，使得在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，能夠有效提高系統(tǒng)的抗干擾能力。通過這種基于SOS方法的控制器設(shè)計(jì)策略，將復(fù)雜的非線性控制器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為可求解的半正定規(guī)劃問題，為實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式系統(tǒng)的高性能控制提供了有效的途徑。4.2基于SOS的控制器構(gòu)建過程在基于SOS方法構(gòu)建非線性控制器時(shí)，首先需確定合適的控制器結(jié)構(gòu)。考慮到多項(xiàng)式系統(tǒng)的復(fù)雜性和非線性特性，采用反饋控制器結(jié)構(gòu)，其形式為u=k(x)，其中k(x)是關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)x的多項(xiàng)式函數(shù)。這種結(jié)構(gòu)能夠充分利用系統(tǒng)的狀態(tài)信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的有效控制。以一個(gè)簡(jiǎn)單的單輸入單輸出多項(xiàng)式系統(tǒng)為例，假設(shè)控制器結(jié)構(gòu)為u=k_0+k_1x_1+k_2x_1^2+k_3x_2+k_4x_1x_2，這里k_0、k_1、k_2、k_3、k_4為待確定的控制器參數(shù)，通過調(diào)整這些參數(shù)的值，可以使控制器適應(yīng)不同的系統(tǒng)特性和控制要求。確定控制器結(jié)構(gòu)后，利用SOS方法求解控制器參數(shù)。為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制和性能優(yōu)化，構(gòu)建一個(gè)正定的多項(xiàng)式Lyapunov函數(shù)V(x)。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，若\dot{V}(x)是負(fù)定的，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。對(duì)V(x)求導(dǎo)可得：\dot{V}(x)=\frac{\partialV(x)}{\partialx}f(x,k(x))將\dot{V}(x)表示為平方和的形式，即\dot{V}(x)=-\sum_{i=1}^{k}q_i^2(x)，其中q_i(x)是關(guān)于狀態(tài)變量x的多項(xiàng)式函數(shù)。這樣，就將系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析轉(zhuǎn)化為判斷\dot{V}(x)是否為負(fù)定的平方和多項(xiàng)式的問題。為了滿足系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求，如跟蹤精度、抗干擾能力等，引入相應(yīng)的性能指標(biāo)函數(shù)。定義跟蹤誤差e=y-y_d，其中y是系統(tǒng)的輸出，y_d是參考信號(hào)。通過構(gòu)造性能指標(biāo)函數(shù)J=\int_{0}^{\infty}e^T(t)Qe(t)dt，其中Q是正定矩陣，將跟蹤精度要求轉(zhuǎn)化為基于SOS的約束條件。利用SOS方法，將J表示為平方和的形式，并添加到半正定規(guī)劃問題的約束條件中。針對(duì)系統(tǒng)的抗干擾能力，考慮系統(tǒng)存在外部干擾w的情況，系統(tǒng)方程變?yōu)閈dot{x}=f(x,u,w)。引入H_{\infty}性能指標(biāo)來衡量系統(tǒng)對(duì)干擾的抑制能力，即對(duì)于給定的正數(shù)\gamma，要求\int_{0}^{\infty}z^T(t)z(t)dt\leq\gamma^2\int_{0}^{\infty}w^T(t)w(t)dt，其中z是反映系統(tǒng)性能的輸出變量。通過構(gòu)造基于SOS的H_{\infty}性能指標(biāo)約束，將其轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題的約束條件。將上述穩(wěn)定性條件和性能指標(biāo)約束條件轉(zhuǎn)化為一組關(guān)于控制器參數(shù)的線性矩陣不等式（LMI）約束。利用半正定規(guī)劃求解器，如SeDuMi、SDPT3等，求解這組LMI約束，從而得到滿足系統(tǒng)性能要求的控制器參數(shù)。在求解過程中，通過合理設(shè)置求解器的參數(shù)和優(yōu)化算法，可以提高求解的效率和精度。在將控制器與觀測(cè)器相結(jié)合時(shí)，基于觀測(cè)器估計(jì)得到的狀態(tài)\hat{x}來計(jì)算控制器的輸出。將\hat{x}代入控制器u=k(\hat{x})中，得到控制輸入u，并將其應(yīng)用于原多項(xiàng)式系統(tǒng)。這種結(jié)合方式的優(yōu)勢(shì)在于，通過觀測(cè)器能夠獲取系統(tǒng)的不可測(cè)狀態(tài)信息，為控制器提供更全面的狀態(tài)反饋，從而提高控制器的性能。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)系統(tǒng)的部分狀態(tài)難以直接測(cè)量時(shí)，觀測(cè)器能夠準(zhǔn)確估計(jì)這些狀態(tài)，使得控制器能夠根據(jù)更準(zhǔn)確的狀態(tài)信息進(jìn)行決策，有效提高系統(tǒng)的控制精度和穩(wěn)定性。同時(shí)，由于觀測(cè)器和控制器的設(shè)計(jì)均基于SOS方法，兩者之間具有良好的兼容性和協(xié)調(diào)性，能夠更好地協(xié)同工作，實(shí)現(xiàn)對(duì)多項(xiàng)式系統(tǒng)的高效控制。4.3控制器性能驗(yàn)證與分析為了全面、深入地驗(yàn)證和分析基于SOS方法設(shè)計(jì)的控制器的性能，我們綜合運(yùn)用理論推導(dǎo)和仿真實(shí)驗(yàn)兩種手段。從理論推導(dǎo)層面，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性展開嚴(yán)格證明。假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為\dot{x}=f(x,k(x))，其中k(x)為基于SOS方法設(shè)計(jì)的控制器。構(gòu)造正定的Lyapunov函數(shù)V(x)，對(duì)其求導(dǎo)可得\dot{V}(x)=\frac{\partialV(x)}{\partialx}f(x,k(x))。由于在控制器設(shè)計(jì)過程中，利用SOS方法將\dot{V}(x)表示為平方和的形式，即\dot{V}(x)=-\sum_{i=1}^{k}q_i^2(x)，其中q_i(x)是關(guān)于狀態(tài)變量x的多項(xiàng)式函數(shù)。對(duì)于任意非零的狀態(tài)x，\sum_{i=1}^{k}q_i^2(x)\gt0，所以\dot{V}(x)\lt0，這就從理論上嚴(yán)格證明了閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。在對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)特性的分析中，通過求解閉環(huán)系統(tǒng)的微分方程，得到系統(tǒng)在不同初始條件下的狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式。假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x(0)=x_0，通過對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行求解，得到狀態(tài)變量x(t)隨時(shí)間t的變化表達(dá)式。根據(jù)該表達(dá)式，可以分析系統(tǒng)的響應(yīng)速度、超調(diào)量等性能指標(biāo)。當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)偏離平衡狀態(tài)時(shí)，通過分析狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式，可以確定系統(tǒng)需要多長(zhǎng)時(shí)間能夠恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)，以及在恢復(fù)過程中是否會(huì)出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象，從而評(píng)估系統(tǒng)的響應(yīng)特性。為了進(jìn)一步評(píng)估控制器對(duì)系統(tǒng)不確定性和外部干擾的抑制能力，我們進(jìn)行了全面的仿真實(shí)驗(yàn)。利用Matlab/Simulink軟件平臺(tái)，搭建了詳細(xì)的仿真模型。在仿真模型中，精確地模擬了多項(xiàng)式系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，并設(shè)置了多種復(fù)雜的仿真場(chǎng)景。在研究控制器對(duì)系統(tǒng)不確定性的抑制能力時(shí)，考慮系統(tǒng)參數(shù)存在不確定性的情況。假設(shè)系統(tǒng)中的某些參數(shù)在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，如在一個(gè)電機(jī)控制系統(tǒng)中，電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、阻尼系數(shù)等參數(shù)可能由于制造誤差、運(yùn)行環(huán)境變化等因素而存在不確定性。在仿真中，通過隨機(jī)改變這些參數(shù)的值，模擬系統(tǒng)參數(shù)的不確定性。對(duì)比在不同參數(shù)值下，系統(tǒng)在基于SOS方法設(shè)計(jì)的控制器作用下的輸出響應(yīng)。當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，觀察系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速輸出是否能夠保持穩(wěn)定，跟蹤參考轉(zhuǎn)速的誤差是否在可接受范圍內(nèi)。通過大量的仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，評(píng)估控制器對(duì)系統(tǒng)參數(shù)不確定性的抑制能力。針對(duì)控制器對(duì)外部干擾的抑制能力，在仿真模型中加入各種類型的外部干擾信號(hào)，如正弦波干擾、白噪聲干擾等。模擬實(shí)際系統(tǒng)中可能受到的外部環(huán)境干擾，如在通信系統(tǒng)中，信號(hào)傳輸過程中可能受到電磁干擾。在仿真中，當(dāng)系統(tǒng)受到正弦波干擾時(shí)，觀察控制器是否能夠有效地調(diào)整控制輸入，使系統(tǒng)輸出不受干擾的影響，保持穩(wěn)定。同樣通過對(duì)大量仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，評(píng)估控制器對(duì)不同類型外部干擾的抑制效果。通過理論推導(dǎo)和仿真實(shí)驗(yàn)的綜合驗(yàn)證與分析，充分證明了基于SOS方法設(shè)計(jì)的控制器在穩(wěn)定性、響應(yīng)特性以及對(duì)系統(tǒng)不確定性和外部干擾的抑制能力等方面具有優(yōu)良的性能，為多項(xiàng)式系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用提供了可靠的保障。五、案例分析與仿真驗(yàn)證5.1具體案例選取與系統(tǒng)描述為了深入驗(yàn)證基于SOS方法的觀測(cè)器和控制器在實(shí)際應(yīng)用中的有效性，選取火炮身管振動(dòng)系統(tǒng)作為典型案例進(jìn)行研究?；鹋谏砉苷駝?dòng)系統(tǒng)在軍事領(lǐng)域具有重要地位，其振動(dòng)特性直接影響火炮的射擊精度和可靠性。火炮身管在射擊過程中，會(huì)受到多種復(fù)雜因素的影響，導(dǎo)致身管產(chǎn)生振動(dòng)。發(fā)射藥燃燒產(chǎn)生的高壓燃?xì)鈱?duì)身管內(nèi)壁的沖擊力，會(huì)使身管瞬間承受巨大的壓力，從而引發(fā)振動(dòng)。炮彈在身管內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與身管內(nèi)壁的摩擦以及炮彈自身的不平衡性，也會(huì)激發(fā)身管的振動(dòng)。火炮的安裝基座在射擊時(shí)的反作用力作用下，可能會(huì)產(chǎn)生微小的變形和位移，進(jìn)而傳遞給身管，加劇身管的振動(dòng)。這些振動(dòng)不僅會(huì)影響炮彈的初始發(fā)射條件，導(dǎo)致射擊精度下降，還可能縮短身管的使用壽命，增加維護(hù)成本。從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)來看，火炮身管振動(dòng)系統(tǒng)主要由身管、炮架、發(fā)射裝置以及相關(guān)的支撐結(jié)構(gòu)組成。身管是系統(tǒng)的核心部件，炮彈在其中加速并射出。炮架用于支撐身管，保證其在射擊過程中的穩(wěn)定性，并傳遞射擊時(shí)產(chǎn)生的反作用力。發(fā)射裝置負(fù)責(zé)控制發(fā)射藥的點(diǎn)火和炮彈的發(fā)射。支撐結(jié)構(gòu)則為整個(gè)系統(tǒng)提供穩(wěn)定的支撐，減少外界因素對(duì)系統(tǒng)的干擾。在系統(tǒng)參數(shù)方面，身管的長(zhǎng)度、內(nèi)徑、壁厚、材料特性等參數(shù)對(duì)其振動(dòng)特性有著關(guān)鍵影響。較長(zhǎng)的身管在射擊時(shí)更容易產(chǎn)生彎曲振動(dòng)，而身管的材料彈性模量和密度則決定了其固有頻率和振動(dòng)響應(yīng)。炮架的剛度、阻尼以及與身管的連接方式等參數(shù)，也會(huì)顯著影響身管的振動(dòng)情況。若炮架剛度不足，在射擊時(shí)可能會(huì)發(fā)生較大變形，從而加劇身管的振動(dòng)；合適的阻尼可以有效抑制振動(dòng)的傳播和放大。系統(tǒng)的運(yùn)行特性表現(xiàn)為在射擊瞬間，身管會(huì)產(chǎn)生劇烈的振動(dòng)，振動(dòng)頻率和幅值會(huì)隨著射擊條件的變化而改變。當(dāng)發(fā)射不同類型的炮彈或采用不同的發(fā)射藥時(shí)，身管的振動(dòng)特性會(huì)有所不同。在連續(xù)射擊過程中，身管的溫度會(huì)升高，材料性能發(fā)生變化，進(jìn)而導(dǎo)致振動(dòng)特性發(fā)生改變。建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下：考慮身管的彎曲振動(dòng)，將身管簡(jiǎn)化為彈性梁模型，根據(jù)歐拉-伯努利梁理論，其振動(dòng)方程可表示為：考慮身管的彎曲振動(dòng)，將身管簡(jiǎn)化為彈性梁模型，根據(jù)歐拉-伯努利梁理論，其振動(dòng)方程可表示為：EI\frac{\partial^4y(x,t)}{\partialx^4}+\rhoA\frac{\partial^2y(x,t)}{\partialt^2}=f(x,t)其中，y(x,t)表示身管在位置x和時(shí)間t處的橫向位移，EI為身管的抗彎剛度，\rho為身管材料的密度，A為身管的橫截面積，f(x,t)為作用在身管上的外力，包括發(fā)射藥燃?xì)鈮毫?、炮彈與身管的摩擦力等?？紤]到實(shí)際系統(tǒng)中存在的各種不確定性因素，如材料參數(shù)的不確定性、外部干擾等，將模型進(jìn)一步修正為：EI(1+\Delta\alpha)\frac{\partial^4y(x,t)}{\partialx^4}+\rhoA(1+\Delta\beta)\frac{\partial^2y(x,t)}{\partialt^2}=f(x,t)+d(x,t)其中，\Delta\alpha和\Delta\beta分別表示抗彎剛度和密度的不確定性參數(shù)，d(x,t)表示外部干擾。為了便于控制器和觀測(cè)器的設(shè)計(jì)，將上述偏微分方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型。通過離散化處理，將身管劃分為n個(gè)單元，選取狀態(tài)變量x_1=y(x_i,t)，x_2=\frac{\partialy(x_i,t)}{\partialt}，x_3=\frac{\partial^2y(x_i,t)}{\partialx^2}，x_4=\frac{\partial^3y(x_i,t)}{\partialx^3}（i=1,2,\cdots,n），得到如下狀態(tài)空間模型：\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}u+\mathbf{D}dy=\mathbf{C}\mathbf{x}其中，\mathbf{x}=[x_{11},x_{21},x_{31},x_{41},\cdots,x_{1n},x_{2n},x_{3n},x_{4n}]^T為狀態(tài)向量，u為控制輸入，y為系統(tǒng)輸出，\mathbf{A}、\mathbf{B}、\mathbf{C}、\mathbf{D}為相應(yīng)的系數(shù)矩陣。該數(shù)學(xué)模型全面考慮了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及不確定性和干擾因素，能夠準(zhǔn)確描述火炮身管振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，為后續(xù)的觀測(cè)器和控制器設(shè)計(jì)提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。5.2基于SOS方法的控制方案實(shí)施針對(duì)火炮身管振動(dòng)系統(tǒng)，我們實(shí)施基于SOS方法的控制方案。首先，精確確定模型參數(shù)。在確定模型參數(shù)時(shí)，充分考慮火炮身管的實(shí)際制造工藝和材料特性。對(duì)于身管的抗彎剛度EI，通過對(duì)身管材料的彈性模量、截面慣性矩進(jìn)行精確測(cè)量和計(jì)算來確定?？紤]到材料在不同溫度和應(yīng)力條件下的性能變化，引入修正系數(shù)對(duì)彈性模量進(jìn)行修正，以提高抗彎剛度參數(shù)的準(zhǔn)確性。對(duì)于密度\rho，通過對(duì)身管材料的成分分析和密度測(cè)試，結(jié)合材料的微觀結(jié)構(gòu)特性，確定其準(zhǔn)確值。觀測(cè)器設(shè)計(jì)參數(shù)設(shè)置方面，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和噪聲水平，合理選擇觀測(cè)器增益矩陣L。利用SOS方法將觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題進(jìn)行求解，以確保觀測(cè)器的穩(wěn)定性和收斂性。在求解過程中，設(shè)置求解器的精度參數(shù)為10^{-6}，以保證求解結(jié)果的準(zhǔn)確性。通過多次仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)比不同觀測(cè)器增益矩陣下觀測(cè)誤差的收斂速度和精度，最終確定觀測(cè)器增益矩陣L的最優(yōu)值。在控制器設(shè)計(jì)參數(shù)設(shè)置上，基于系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求，如射擊精度、振動(dòng)抑制效果等，確定控制器的參數(shù)。利用SOS方法將控制器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題，求解滿足系統(tǒng)性能要求的控制器參數(shù)。在求解過程中，設(shè)置求解器的迭代次數(shù)上限為1000次，以確保求解過程的收斂性。同時(shí)，考慮到系統(tǒng)在不同射擊條件下的工作需求，對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行魯棒性優(yōu)化，使其在一定范圍內(nèi)的參數(shù)變化和外部干擾下仍能保持良好的控制性能。為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能，在實(shí)施過程中采取了一系列措施。在穩(wěn)定性保證方面，利用SOS方法結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論，嚴(yán)格證明觀測(cè)器和控制器的穩(wěn)定性。在設(shè)計(jì)過程中，通過調(diào)整相關(guān)參數(shù)，確保Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為負(fù)定的平方和形式，從而保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在性能保證方面，根據(jù)系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求，對(duì)觀測(cè)器和控制器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。在觀測(cè)器設(shè)計(jì)中，通過優(yōu)化觀測(cè)器增益矩陣，提高觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)精度；在控制器設(shè)計(jì)中，通過調(diào)整控制器參數(shù)，使系統(tǒng)在滿足穩(wěn)定性的前提下，達(dá)到最佳的控制性能。同時(shí)，在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)和調(diào)整，根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)及時(shí)調(diào)整觀測(cè)器和控制器的參數(shù)，以保證系統(tǒng)始終處于最佳運(yùn)行狀態(tài)。5.3仿真結(jié)果分析與對(duì)比利用Matlab/Simulink軟件對(duì)火炮身管振動(dòng)系統(tǒng)的控制效果進(jìn)行仿真研究。在仿真模型中，精確設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)，使其與實(shí)際火炮身管振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)盡可能接近。考慮身管的材料特性，如彈性模量、密度等參數(shù)，通過查閱相關(guān)材料手冊(cè)和實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)，確定其準(zhǔn)確值并輸入仿真模型。對(duì)于系統(tǒng)中的不確定性因素，如材料參數(shù)的微小波動(dòng)、外部干擾的隨機(jī)性等，采用隨機(jī)變量的方式進(jìn)行模擬。在模擬材料參數(shù)不確定性時(shí)，根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)過程中的誤差范圍，設(shè)定彈性模量和密度的波動(dòng)范圍，通過在該范圍內(nèi)隨機(jī)取值來模擬參數(shù)的不確定性。在仿真過程中，設(shè)置系統(tǒng)的初始條件，模擬火炮身管在射擊瞬間的初始振動(dòng)狀態(tài)。假設(shè)火炮身管在射擊前處于靜止?fàn)顟B(tài)，射擊瞬間受到發(fā)射藥燃?xì)獾臎_擊力，使身管產(chǎn)生初始位移和速度。在仿真模型中，設(shè)置初始位移為0.01米，初始速度為0.1米/秒，以此作為系統(tǒng)的初始條件。為了全面評(píng)估基于SOS方法的控制方案的性能，將其與傳統(tǒng)的PID控制方法進(jìn)行對(duì)比。在PID控制中，通過反復(fù)調(diào)試確定PID參數(shù)，以達(dá)到最佳的控制效果。經(jīng)過多次仿真實(shí)驗(yàn)，最終確定PID控制器的比例系數(shù)K_p=100，積分系數(shù)K_i=10，微分系數(shù)K_d=5。首先，對(duì)比分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在基于SOS方法的控制方案下，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)在短時(shí)間內(nèi)迅速收斂到零附近。通過對(duì)仿真數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)在控制作用下，身管的振動(dòng)幅值在0.5秒內(nèi)迅速減小到0.001米以下，且后續(xù)波動(dòng)極小，表明系統(tǒng)能夠快速穩(wěn)定下來。而采用傳統(tǒng)PID控制時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)收斂速度較慢，需要1.5秒左右才能使振動(dòng)幅值減小到0.01米以下，且在收斂過程中仍存在一定的波動(dòng)。這表明基于SOS方法的控制方案在穩(wěn)定性方面具有明顯優(yōu)勢(shì)，能夠更快速、有效地抑制火炮身管的振動(dòng)，使系統(tǒng)更快地達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。接著，分析系統(tǒng)的跟蹤精度。設(shè)定一個(gè)期望的身管位移軌跡，在基于SOS方法的控制下，系統(tǒng)輸出能夠緊密跟蹤期望軌跡，跟蹤誤差始終保持在極小范圍內(nèi)。在0-2秒的仿真時(shí)間內(nèi)，跟蹤誤差的最大值不超過0.002米，且平均誤差僅為0.0005米。相比之下，傳統(tǒng)PID控制的跟蹤誤差較大，在相同的仿真時(shí)間內(nèi)，跟蹤誤差的最大值達(dá)到0.01米，平均誤差為0.003米。這充分說明基于SOS方法的控制方案在跟蹤精度上明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制，能夠更準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)對(duì)身管位移的控制，滿足火炮射擊精度的要求。在抗干擾性方面，在仿真中加入外部干擾信號(hào)，模擬實(shí)際射擊過程中可能受到的外界干擾。當(dāng)系統(tǒng)受到幅值為0.1的隨機(jī)噪聲干擾時(shí)，基于SOS方法的控制方案能夠有效抑制干擾的影響，系統(tǒng)輸出僅有微小波動(dòng)，很快恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)。而傳統(tǒng)PID控制在受到相同干擾時(shí)，系統(tǒng)輸出出現(xiàn)較大波