8拋物線8.1拋物線的定義拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點的距離等于到一條定直線的距離點的軌跡；其中，定點為拋物線的焦點，定直線叫做準(zhǔn)線．注(1)

拋物線的定義，其實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”．一個動點M，一個定點F(拋物線的焦點)，一條定直線l(拋物線的準(zhǔn)線)，一個定值(點M與點F的距離和它到直線l的距離之比等于1)．(2)

定點，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線．8.2拋物線的基本參數(shù)下面以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為例，焦點在x軸上，開口向右；p的幾何意義參數(shù)p是焦點到準(zhǔn)線的距離，稱為焦準(zhǔn)距，故p恒為正數(shù)．頂點為原點，以x軸為對稱軸，且沒有對稱中心，焦點為，準(zhǔn)線為，由于拋物線的離心率e都等于1，故拋物線通徑為；焦半徑，實質(zhì)就是拋物線的定義．焦點弦；特殊地，當(dāng)時，為通徑．【極坐標(biāo)秒之】拋物線的其他標(biāo)準(zhǔn)方程如，焦點在軸上，開口向左；，焦點在軸上，開口向上；，焦點在軸上，開口向下，和以上類似，不再贅述．拋物線和橢圓、雙曲線的比較(1)

拋物線的性質(zhì)和橢圓、雙曲線比較起來，差別較大．它的離心率等于1；它只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準(zhǔn)線；它無中心，也沒有漸近線．(2)

橢圓、雙曲線都有中心，它們均可稱為有心圓錐曲線；拋物線沒有中心，稱為無心圓錐曲線．選學(xué)拓展拋物線的一般形式的幾何分析二次函數(shù)的圖象是拋物線，頂點坐標(biāo)為；焦點的坐標(biāo)為；準(zhǔn)線方程是．焦點的橫（縱）坐標(biāo)是一次項系數(shù)的．準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點與拋物線的焦點關(guān)于頂點對稱．【平移思想理解】例(2008全國卷Ⅰ文理)已知拋物線的焦點是坐標(biāo)原點，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個交點為頂點的三角形面積為．答案2．解的焦點為，故，進(jìn)而易得三角形的面積為2．方程的求解例根據(jù)條件求頂點在原點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)

關(guān)于y軸對稱，并且經(jīng)過點；(2)

過點．答案(1)

可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，代入點．(2)

可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是或，代入點或．注本題關(guān)鍵是能夠依據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)首先確定出拋物線方程的形式，然后采用待定系數(shù)法即可求出其標(biāo)準(zhǔn)方程.例拋物線的準(zhǔn)線與直線的距離為2，則拋物線的方程為.答案或．例A為拋物線上一點，F(xiàn)為焦點，，求過點F且與OA垂直的直線l的方程．答案或．解設(shè)，則，即點A的坐標(biāo)是或，進(jìn)而易得直線l的方程：或．例已知拋物線上有一點的橫坐標(biāo)為，這點到準(zhǔn)線的距離為6，則拋物線的方程為()．A． B．或 C． D．或答案選B．解設(shè)此點為，則，代入，解得或．例(1)(2011新課標(biāo)文)已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A、B兩點，，P為C的準(zhǔn)線上一點，則△ABP的面積為()．A．18 B．24 C．36 D．48(2)(2005上海理)過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線()．A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無窮多條 D．不存在答案(1)

選B；(2)

選B；．解(1)

是通徑，故，即，故．(2)由于，大于通徑，故選B．例(2012陜西文壓軸、理)如圖所示，是一座拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面為，水面寬，水位下降后，水面寬．答案．解建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為，l與x拋物線的交點為，代入坐標(biāo)，解得，即，水位下降1m，則，此時，故水面寬為．例(2015新課標(biāo)Ⅰ文)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，離心率為，E的右焦點與拋物線的焦點重合，A、B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則()．A．3 B．6 C．9 D．12答案選．解選B；例(2014山東文壓軸)已知雙曲線的焦距為，右頂點為A，拋物線的焦點為F．若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為，且，則雙曲線的漸近線方程為．答案．解.例(2013山東文理)拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線交于第一象限的點M．若在點M處的切線平行于的一條漸近線，則()．A． B． C． D．答案選D．解由于，故，可得，代入，解得D．例(2013江西理壓軸)拋物線的焦點為F，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于A、B兩點，若△ABF為等邊三角形，則．例(2012新課標(biāo)文理)等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線的準(zhǔn)線交于A、B兩點，，則C的實軸長為()．A． B． C．4 D．8答案選C．解根據(jù)對稱性，易得到，，代入.，故選C．例(2012山東文)已知雙曲線的離心率為2．若拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為()．A． B． C． D．答案選D．解，故漸近線為，故，可得D．定義的應(yīng)用例(2011廣東文)設(shè)圓C與圓外切，與直線相切，則C的圓心軌跡為()．A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓答案選A．解C的圓心到點的距離與她到直線的距離相等，故選A．例(2017全國Ⅱ理壓軸)已知F是拋物線的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N．若M為FN的中點，則．答案6．解，設(shè)，，則，利用拋物線定義，易得．例(2012天津理)己知拋物線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），其中，焦點為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E，若，點M的橫坐標(biāo)是3，則．答案2．解參數(shù)方程對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，易知△MEF為等邊三角形，設(shè)l與x軸的交點為H，則，解得．例(2017全國Ⅱ文壓軸)過拋物線的焦點F，且斜率為的直線交C于點M（M在x軸上方），l為C的準(zhǔn)線，點N在l上，且MN⊥l，則M到直線NF的距離為()．A． B． C． D．答案選C．解利用拋物線的定義，結(jié)合斜率，易知△MNF為正三角形，又，因此，M到直線NF的距離為．例(2011山東理)設(shè)為拋物線上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則的取值范圍是()．A． B． C． D．答案選C．解只需，即，故選C．注意是相交，不能取等號！例(2015浙江理)如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A、B、C，其中點A、B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是()．A． B． C． D．答案選A．解從應(yīng)試的角度，且結(jié)合答案的形式，八成是考查拋物線的定義，故．例(2016天津理壓軸)設(shè)拋物線（t為參數(shù)，）的焦點為F，準(zhǔn)線為l．過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B．設(shè)，AF與BC相交于點E．若，且△ACE的面積為，則p的值為_________．答案．解拋物線，即，則，由于，故，進(jìn)而，其中，，可得，，可解得．例設(shè)拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點P作l的垂線，垂足為A，設(shè)，PF與AB交于點C．若△PBC的面積為，則．答案．法一不妨設(shè)，由于，故．又，故，即，其中，解得，即，所以．例(2008四川理壓軸)已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為K，點A在C上且，則的面積為()．A．4 B．8 C．16 D．32答案選B．解利用拋物線的定義，設(shè)點A在準(zhǔn)線上的射影為點B，則，故直線AK的斜率為1，直線AK為，與拋物線聯(lián)立，解得，…，故選B．例(2007全國Ⅰ文壓軸、理)拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，，垂足為K，則的面積是()．A．4 B． C． D．8答案選．解例(2008寧夏、海南理)已知點P在拋物線上，那么點P到點的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標(biāo)為()．A． B． C． D．答案選A．解利用定義轉(zhuǎn)化成到準(zhǔn)線的距離，此時點P、Q的縱坐標(biāo)都是，易得選A．例(2008遼寧理)已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()．A． B．3 C． D．答案選A．解記，，設(shè)P在拋物線準(zhǔn)線的投影為H，則所求距離之和 ．例(2009四川理)已知直線和直線，拋物線上一動點P到直線和直線的距離之和的最小值為()．A．2 B．3 C． D．答案選A．解易知最小值是焦點到直線的距離．點、直線、拋物線模型例(1)

若拋物線上只有兩點到直線的距離為1，則實數(shù)k的取值范圍是．(2)

設(shè)拋物線的焦點為F，斜率為k的直線l經(jīng)過點F，若拋物線C上存在四個點到直線l的距離為2，則k的取值范圍是()．A． B． C． D．答案(1)

；(2)選A．解(1)

當(dāng)時，直線l為，符合題意；當(dāng)時，設(shè)斜率為k的直線與C的切點為，利用替換法則：，故，即切點為，根據(jù)題意，只須點P到l的距離即可，解得或．綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是：或或．(2)

直線l的方程為：，設(shè)到直線l距離為2的直線為：，則，解得，易知直線必定和C有兩個交點，因此，只須直線和C有兩個交點即可．聯(lián)立：，令，易解得選A．酒杯小球酒杯小球模型已知酒杯內(nèi)壁的軸截面為拋物線，在酒杯內(nèi)放入一個半徑為r的小球，若小球能接觸到杯底，則．證明欲使得玻璃球觸及杯底，只須小球的截面圓與拋物線有且僅有一個交點，聯(lián)立，解得或，故，即．過定點的幾個常用小結(jié)論對于拋物線，過定點的弦為PQ，則：(1)

當(dāng)，即M為焦點時，恒有；(2)

當(dāng)時，①恒有；②酒杯小球模型；(3)

當(dāng)時，恒有；例一個酒杯的軸截面是開口向上的拋物線的一段弧，它的口寬是的，杯深20，在杯內(nèi)放一玻璃球，當(dāng)玻璃球的半徑r最大取時，才能使玻璃球觸及杯底．答案1；建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線的方程即可，．例對于拋物線上任意一點Q，點都滿足，則a的取值范圍是()．A． B． C． D．答案選B；解設(shè)，則，即恒成立即可．例已知橢圓可與開口向上的拋物線交于相異三點，求c的取值范圍．答案；法一顯然，拋物線開口向上，故．作仿射變換，令，，可得仿射坐標(biāo)系，在此仿射坐標(biāo)系中，橢圓方程變?yōu)椋海瑨佄锞€方程變?yōu)椋?，即為．由酒杯小球模型可知，只有?dāng)時，圓和拋物線才有可能交于相異三點，故，即．例在平面直角坐標(biāo)系中，點P是直線上一動點，定點，點O為坐標(biāo)原點，點Q為PF的中點，動點M滿足：且，過點M作圓的切線，切點分別為A、B，則的最小值是()．A．3 B． C． D．答案選D．分析根據(jù)題意，易知點M的軌跡是拋物線，然后，就是拋物線和圓的距離最值問題，處理方法有很多，可以參考前面的“距離圓來如此”專題．解設(shè)，由得：，又，故，即．法一設(shè)，則點M到圓心的距離為，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，此時的切線長為，再利用等面積，易得的最小值是．法二聯(lián)立：，令，解得，即點M到圓心的距離的最小值為．法三設(shè)點為拋物線到圓心距離最小的點，易知拋物線在點M處的切線斜率為，因此，令，解得，即，即拋物線到圓心距離最小值為．例邊長為1的正方形ABCD，將正方形沿折痕折起，使得D點落在AB線段上，求折痕所在點集形成的面積．答案．解如左圖所示，點D關(guān)于折痕l的對稱點為，過點作AB的垂線交l于點M，則，故點M在以點D為焦點，AB為準(zhǔn)線的拋物線上．在l上任取異于M的一點，作于點N，則，即點必定不在拋物線上，亦即折痕l與拋物線只有唯一的公共點M，故折痕l與拋物線相切于于點M．因此，可畫出當(dāng)取遍AB時，折痕l在正方形內(nèi)掃過的區(qū)域，如右圖所示．若以AD所在直線為y軸，AD中點為原點建系，則拋物線為，故折痕所在點集形成的面積為：．例如圖，從點發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向此拋物線上的點P，反射后經(jīng)焦點F又射向拋物線上的點Q，再反射后沿平行于拋物線的軸的方向射向直線上的點N，再反射后又射回點M，則．答案6．解易得，又，故PQ⊥x軸，進(jìn)而可得，，設(shè)直線l和MN的夾角為，則，又，即，解得．例過函數(shù)的圖象的對稱中心，且和拋物線有且只有一個公共點的直線的條數(shù)共有()．A．1條 B．2條 C．3條 D．不存在答案選B．解注意到對稱中心在拋物線上，則切線只有1條，再加上平行于拋物線對稱軸的直線．例平面上的動點P到定點的距離比P到y(tǒng)軸的距離大1，則動點P的軌跡方程為()．A． B．或 C． D．或 答案選D．解如果在解答題中，估計多數(shù)學(xué)生會只注意了拋物線的第二定義而疏忽了射線．例(2016四川理)設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且，則直線OM的斜率的最大值為()．A． B． C． D．1答案選C．法一拋物線，優(yōu)先使用設(shè)點的思想，設(shè)，不妨令，由可得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．法二畫出圖象，結(jié)合條件“”，聯(lián)想到重心，因此，設(shè)．則點M為△OPQ的重心，利用重心的坐標(biāo)公式，也可得到．練習(xí)設(shè)拋物線的交點為F，頂點為O，M是拋物線上的動點，則的最大值為()．A． B． C． D．答案選B．解，設(shè)，則，令，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號．例拋物線的焦點為F，點A、B在拋物線上，且，弦AB中點M在其準(zhǔn)線上的射影為N，則的最大值為()．A． B． C． D．答案選A．解設(shè)，，則，其中，故 ．當(dāng)然，從選擇題角度，顯然是AB⊥x軸時取得最大值．練習(xí)設(shè)A、B是拋物線上的兩個動點，線段AB的中點為M，F(xiàn)為拋物線C的焦點，且，過M作拋物線C的準(zhǔn)線l的垂線，垂足為N，則的取值范圍為．答案．解設(shè)，，其中，則，，故，又，易得．注上限也可以利用得到．排列組合例(2012四川理)方程中的，且a、b、c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有()．A．60條 B．62條 C．71條 D．80條答案選B．例(2012四川文)方程中的，且a、b、c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有()．A．28條 B．32條 C．36條 D．48條答案選B．例(2007四川理壓軸)已知一組拋物線，其中a為2、4、6、8中任取的一個數(shù)，b為1、3、5、7中任取的一個數(shù)，從這些拋物線中任意抽取兩條，它們在與直線交點處的切線相互平行的概率是()．A． B． C． D．答案選B．綜合題例(2007湖北理)雙曲線的左準(zhǔn)線為l，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的準(zhǔn)線為l，焦點為，與的一個交點為M，則等于()．A． B．1 C． D．答案選A．例已知M是的對稱軸和準(zhǔn)線的交點，點N是其焦點，點P在該拋物線上，且滿足，當(dāng)m取得最大值時，點P恰在以M、N為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為．答案．法一設(shè)，又，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即P為時取得等號．法二設(shè)準(zhǔn)線為l，作于點，故，等價于求的最小值，顯然，當(dāng)MP為拋物線的切線時，取得最小值．設(shè)，則切線MP的方程為：，代入點，易解得，進(jìn)而易得雙曲線的離心率為．例在平面直角坐標(biāo)系中，對任意的非零實數(shù)m，不在拋物線上但在直線上的點的坐標(biāo)為．答案、、．解設(shè)所求點為，代入拋物線方程，則有：，整理得：．根據(jù)題意，只須，解得或；或，解得；因此，所求點的坐標(biāo)為、、．例(2006全國卷Ⅰ文理)拋物線上的點到直線距離的最小值是()．A． B． C． D．3答案選．例(2006上海理)若曲線與直線沒有公共點，則k、b分別應(yīng)滿足的條件是．答案，．解作出函數(shù)的圖象，如圖所示，易得，．例(2011大綱卷理)已知拋物線的焦點為F，直線與C交于A、B兩點，則()．A． B． C． D．答案選A．解易求得點，，，故．或者利用余弦定理：，，，．例(2017天津文)設(shè)拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l．已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A．若，則圓的方程為．答案．例(2016全國Ⅰ理)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點．已知，，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為()．A．2 B．4 C．6 D．8答案選B．解如圖所示，設(shè)拋物線C的方程為，圓的半徑為r，AB、DE分別交x軸于點M、N，則，，故，即，解得，故選B．例(2014湖南文)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點的距離和到直線的距離相等．若機(jī)器人接觸不到過點且斜率為k的直線，則k的取值范圍是．答案．解已知機(jī)器人的行進(jìn)軌跡為拋物線，其方程為，設(shè)過點的直線為，與拋物線聯(lián)立：，令得：，亦即．因此，若機(jī)器人接觸到過點且斜率為k的直線，則，反之，接觸不到，則k的取值范圍是．例(2013江西文)已知點，拋物線的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準(zhǔn)線相交于點N，則()．A． B． C． D．答案選C．解，直線AF的方程為，則直線AF和x軸的夾角滿足：．過點M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為P，則．例(2013安徽理)已知直線交拋物線于A、B兩點．若該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為________．答案．解不妨令，，設(shè)，則，即，由于，故，即a的取值范圍為．小背景對于拋物線，A、B為拋物線上不同的兩點，如果OA⊥OB，則直線AB恒過定點．例(2009北京理壓軸)點P在直線上，若存在過P的直線交拋物線于A、B兩點，且，則稱點P為“點”，那么下列結(jié)論中正確的是()．A．直線l上的所有點都是“點” B．直線l上僅有有限個點是“點”C．直線l上的所有點都不是“點” D．直線l上有無窮多個點(但不是所有的點)是“點”答案選A．解設(shè)，，則點A的坐標(biāo)為，代入得： ，由于恒成立，即關(guān)于方程恒有實數(shù)解，故直線l上的所有點都是“點”．例(2008上海理)設(shè)是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點，l是經(jīng)過原點與點的直線，記Q是直線l與拋物線的異于原點的交點．(1)

若，，，求點Q的坐標(biāo)；(2)

若點在橢圓上，，求證：點Q落在雙曲線；(3)

若動點滿足，，若點Q始終落在一條關(guān)于x軸對稱的拋物線上，試問動點P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由．例(1998全國卷文理)如圖，直線和相交于點M，，點．以A、B為端點的曲線段C上的任一點到的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，，，且．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程．解以為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標(biāo)原點．同時，由題設(shè)可知：曲線段C是以點N為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點．設(shè)曲線段C的方程為：，，，，，則 ，解得：或，又因為ΔAMN是銳角三角形，所以，故舍去，故．由可得，因此，曲線段C的方程為．例(2005重慶理壓軸)連接拋物線上任意四點組成的四邊形可能是（填寫所有正確選項的序號）．①菱形 ②有3條邊相等的四邊形 ③梯形 ④平行四邊形 ⑤有一組對角相等的四邊形答案②③⑤；例已知實數(shù)，直線與拋物線和圓，從左到右的交點依次為A、B、C、D，則的值為．答案．例已知點，拋物線的準(zhǔn)線為l，點P在C上，作PH⊥l于H，且，，則．答案．解由于PH∥x軸，，故，又，故△APF、△PHF都是正三角形．設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點為G，則，，故，解得．例已知拋物線和所圍成的封閉曲線，如圖所示，給定點，若在此封閉曲線上恰有三對不同的點，滿足每一對點關(guān)于點A對稱，則實數(shù)a的取值范圍是()．A． B． C． D．答案選D．解設(shè)直線與兩條拋物線分別交于點、，且BC的中垂線過點A，如圖所示，此時恰好可以得到三對關(guān)于點A對稱不同的點．因此，，且，故．例點到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，F(xiàn)為拋物線的焦點，點．當(dāng)點P在直線上運動時，的最小值為()．A． B． C． D．答案選B．解易得，，此時，拋物線就去打醬油了．法一利用代數(shù)法；設(shè)，易得，，故，令，則，，易知是關(guān)于t的增函數(shù)，故的最小值為．法二利用幾何法；易知FN⊥l，延長FN交直線l于點M，在△PFN中，利用兩邊之差小于第三邊，可得： ，第一個等號成立的條件是P、F、N三點共線，第二個等號是PF⊥l，兩個等號的成立條件剛好一致．例(2011重慶理壓軸)設(shè)圓C位于拋物線與直線所組成的封閉區(qū)域（包含邊界）內(nèi)，則圓C的半徑能取到的最大值為．答案．解欲使得圓C的半徑最大，則圓C的圓心在x上，且與直線相切，設(shè)圓的半徑為r，則圓C的方程為，與拋物線聯(lián)立：，由可得．8.3拋物線的定長動弦結(jié)論設(shè)AB為拋物線的定長動弦，M為AB的中點，，拋物線的通徑長為．(1)

若，則當(dāng)且僅當(dāng)AB經(jīng)過焦點時，點M到準(zhǔn)線的距離取得最小值為，此時點M到焦點的距離為；(2)

若，則當(dāng)且僅當(dāng)AB垂直于拋物線的對稱軸時，點M到準(zhǔn)線的距離取得最小值為，此時點M到焦點的距離為．證明不失一般性，設(shè)拋物線的方程為，設(shè)，，．(1)

利用三角形的邊長關(guān)系【幾何法！】由于拋物線的通徑是最短的焦點弦，因此，當(dāng)時，AB可以經(jīng)過焦點．此時，在△ABF中，，又（點是點在準(zhǔn)線上的投影），顯然，當(dāng)且僅當(dāng)A、B、F三點共線的時候，點到準(zhǔn)線的距離取得最小值為．此時，易得點的橫坐標(biāo)，即，由于AB過焦點，易知，故．(2)

利用拋物線定長弦的中點軌跡【代數(shù)法！】由于，AB一定不經(jīng)過焦點，故不能利用上述的幾何法求解．因此，只能利用代數(shù)法求解，具體方法可參考如下的例題．例拋物線的動弦AB的長為6，求弦AB的中點M到y(tǒng)軸的最短距離．答案．法一利用倒斜率直線方程＋韋達(dá)定理設(shè)，，，為了避免討論斜率，因此，設(shè)動弦AB所在的直線為：，與拋物線方程聯(lián)立：，，，且．則M到y(tǒng)軸的最短距離…①，又，即，可得，代入①，并整理可得：，令，則，，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)，易知當(dāng)時，d關(guān)于s是單調(diào)遞增的，故，此時，．法二利用拋物線的兩點式方程＋選擇合適的弦長公式設(shè)，，，則直線AB的方程為：（倒斜率直線方程），即，又點M在直線AB上，可得：…又，代入消去，整理可得： ，其中，利用對勾函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，易知當(dāng)，即，即AB垂直于x軸時，取得最小值為．法三利用和差設(shè)點法設(shè)，，，其中為直線AB的傾斜角，且．將點A、B代入拋物線方程：，①－②可得：，再將此式代入①中，整理可得：，后略．注①對勾函數(shù)的性質(zhì)，考試不能直接用，需要借助導(dǎo)數(shù)，求極值點，進(jìn)而求最值．②法一和法二實質(zhì)一樣，只是書寫方式不同而已；對于法三，也比較巧妙，且實際的計算量也很小，同時，對于弦的等分點問題，除了我們常用的參數(shù)方程＋韋達(dá)套路，也可以嘗試此法進(jìn)行求解，有興趣的可以自行探究一下．

8.4拋物線的焦點弦模型如圖，過拋物線焦點F，且傾斜角為的直線交拋物線于、兩點，設(shè)是AB的中點，l是拋物線的準(zhǔn)線，過點A、M、B分別作l的垂線，垂足分別為C、D、N．AC、BD分別交y軸于點S、T．連結(jié)MN交拋物線于點Q，延長AB交準(zhǔn)線l于點P，則有如下的性質(zhì)：1.焦半徑，，其中；【極坐標(biāo)的形式，很常用，很好使，一定要熟記！不過，在大題中，需要提前推導(dǎo)一遍才能使用！！】2.；【可推廣至n個，結(jié)合前面的極坐標(biāo)專題！】3.焦點弦；此外，當(dāng)時，此時的焦點弦也叫作通徑，它是最短的焦點弦，長度為．4.原點O到焦點弦AB的距離為，又，則．【半個屁方除正弦】5.，．【顯然是等比替換性質(zhì)的特例】例(2012北京理)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線的焦點F，且與該拋物線相交于A、B兩點．其中點A在x軸上方．若直線l的傾斜角為60o，則△OAF的面積為．答案利用極坐標(biāo)易得，故．例(1)(2012安徽文)過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，若，則．(2)(2012重慶理)過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，若，，則．答案(1)利用結(jié)論：，，，故．(2)不妨令傾斜角為銳角，，．例(2012安徽理)過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，點O是原點，若，則△AOB的面積為()．A． B． C． D．答案選C．法一利用極坐標(biāo)，，，，，故．法二，，利用拋物線的等比性質(zhì)：，即，不妨假設(shè)點A在x軸的上方，則．例(2010湖南理)過拋物線的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于A、B兩點，A、B在x軸上的正射影分別為D、C．若梯形ABCD的面積為，則．答案2．解，，，故梯形ABCD的面積為，即．例已知拋物線，過點的直線與拋物線相交于，兩點，則的最小值是．答案32；或．例設(shè)拋物線的焦點為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點為Q，過點F作直線l與拋物線C交于A，B兩點，且，則()．A．1 B．2 C．3 D．4答案選D，下面給出一般情況的證明．一般情況已知拋物線的焦點為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點為N，過點F作直線與此拋物線交于A、B兩點，若，則有：．證法一易得，，又，解得．證法二假設(shè)點A在B的上方，設(shè)直線AB的傾斜角為，則，，故．又，即，故．例已知拋物線的焦點為F，過點F且斜率為的直線交拋物線于A、B兩點（點A在x軸上方）．設(shè)線段AB上有一點M，滿足，過點M作x軸的垂線，垂足為H，若，則．答案9．解利用極坐標(biāo)：，，，其中．由可得：，又，代入，可解得．6.(1)

以焦點弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切于點N，則①NA⊥NB；②在中，，，；③由于點O在以AB為直徑的圓內(nèi)，易知必為鈍角，即．證明①由于MN是梯形ACDB的中位線，故．例過拋物線焦點F的直線與拋物線C交于A、B兩點，，過線段AB的中點作y軸的垂線，垂足為P，則()．A．36 B．40 C．50 D．52答案選C．解設(shè)AB的中點為M，利用三角形的中線長定理，易得：．(2)

連結(jié)CF、DF，分別交y軸于點J、K，則點J、K分別是OS、OT的中點．【利用CSOF】(3)

以焦半徑為直徑的圓和y軸相切；如圖，以焦半徑AF為直徑的圓H和y軸交于點J．【證明可參照前面的焦點三角形中的相關(guān)專題】(4)

以兩垂足C、D直徑端點的圓與焦點弦AB相切，且切于焦點F，即FC⊥FD．【焦點對焦點弦在準(zhǔn)線投影點的張角】證明利用AC＝AF，AC∥OF，可得：∠AFC＝∠FCA＝∠CFO，同理可得：∠BFD＝∠DFO，故∠CFD＝90°．【此時的AJ過點N與否并不能確定，故不可以想當(dāng)然得到NC＝NF．】【利用解析法，則等價于證明：，即，這顯然是成立的！更多背景拓展見專題“極點極線模型之焦準(zhǔn)距的平方與共圓模型”】(5)

FN⊥AB；A、J、N三點共線，B、K、N三點共線（或AN垂直平分CF交y軸于點J，BN垂直平分DF交y軸于點K）；四邊形FJNK為矩形【全等是關(guān)鍵】證明由上面的(4)知：在中，有，又，，故△ACN∽△AFN，所以FN⊥AB；同時，結(jié)合(2)可知：A、J、N三點共線，即AN垂直平分CF交y軸于點J，同理可得：BN垂直平分DF交y軸于點K．【“FN⊥AB”的拓展參見“極點極線之切點弦方程之過焦點的切點弦”】(6)

以O(shè)S、OT為直徑的圓分別和焦半徑AF、BF相切．證明作JI⊥AF于點I，易知△ASJ≌△AFJ，故JF＝JS＝JO，注①焦點弦相關(guān)的垂直關(guān)系（亦即共圓關(guān)系）比較多，如果從幾何角度證明，可以大致記個證明的順序是：從矩形JNKF的左上角N→右下角F→余下的兩個角J、K．②上述的幾何證明了解即可，可不必硬性掌握，考試之中，如果出現(xiàn)，果斷利用解析法，畢竟解析法思路簡單直接，計算量也不是很大．例(2003北京春招理壓軸)已知動圓過定點，且與定直線相切，點C在l上．(1)

求動圓圓心的軌跡M的方程；(2)

設(shè)過點P，且斜率為的直線與曲線M相交于A、B兩點．(＝2\×

romani)

問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；(＝2\×

romanii)

當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標(biāo)的取值范圍．答案(1)

；(2)(＝2\×

romani)不存在；(＝2\×

romanii)或．解(1)

依題意，曲線M是以點P為焦點，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為．(2)(＝2\×

romani)直線AB為，假設(shè)點A在x軸的上方，則聯(lián)立，解得點、，則，假設(shè)存在點使得△ABC為正三角形，線段AB的垂直平分線為：，令，可得，即點C為，此時，但是與相矛盾，故直線l上不存在點C，使得△ABC是正三角形．(＝2\×

romanii)

法一求出三條邊長，利用余弦定理，但是，不要忘記排除共線的情況設(shè)點使△ABC成鈍角三角形，由，即點C為，此時A、B、C三點共線，故．由于，，，因此，①當(dāng)，即，即時，∠CAB為鈍角；②當(dāng)，即，即時，∠CBA為鈍角；③當(dāng)，即，即，該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角．因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是或．法二借助背景，即“以拋物線的焦點弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切”，只需要分析臨界情況即可以AB為直徑的圓的方程為，而圓心到直線的距離為，所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點．當(dāng)直線l上的C點與G重合時，∠ACB為直角，當(dāng)C與G點不重合，且A，B，C三點不共線時，∠ACB為銳角，即△ABC中∠ACB不可能是鈍角．因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角．過點A且與AB垂直的直線方程為，令，可得；過點B且與AB垂直的直線方程為，令，可得令；又，即點C為，此時A、B、C三點共線，故．因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是或．例(2013新課標(biāo)Ⅱ理)設(shè)拋物線的焦點為F，點M在C上，，若以MF為直徑的圓過點，則C的方程為()．A．或 B．或C．或 D．或答案選C．法一常規(guī)解法，利用拋物線的設(shè)點法＋圓的雙根式方程，不利用結(jié)論設(shè)點，由，可得，又，則以MF為直徑的圓的方程為：【圓的雙根式方程要熟練書寫！】，然后代入點，可得：，解得，進(jìn)而，解得或8，故選C．法二