.10拋物線兩條切線的交點——雙切線模型焦點在x軸如圖所示，直線和拋物線交于A、B兩點，過點A、B分別作切線交于點P，設，，則點P的坐標為．因此，過點P作PQ平行x軸，交AB于點Q，則Q是弦AB的中點．證明易知拋物線在點A、B處的切線方程為：，即，由①－②可得：，即，進而易得．記憶說明顯然，切線交點P的縱坐標是兩個切點A、B縱坐標和的一半，而橫坐標和拋物線的替換性質很相似，這又是為何？如圖所示，不妨設直線AB和x軸交于點，由于極點M對應的極線是，因此，點P的橫坐標必定也是，再結合拋物線的替換性質有，顯然是一致的！例如，直線CD也過點，設，，則C、D兩點的切線方程的交點為，亦即．焦點在y軸直線和拋物線交于A、B兩點，過點A、B分別作切線交于點P，設，，則點P的坐標為．注(1)

這個模型很重要，不僅是考試的熱門題型，同時，也是解決關于拋物線的極點極線問題的一把利器，比如在前面的拋物線的極點極線專題中的相關證明中的應用．(2)

這個模型實質就是拋物線的阿基米德三角形，同時，拋物線阿基米德三角形的諸多性質都可以利用此模型進行解決，具體參考下面的阿基米德三角形專題．(3)

實際上，焦點在y軸的情況更常見，因此，要熟練焦點在y軸的套路推導過程！例(2012遼寧文壓軸、理)已知P、Q為拋物線上兩點，點P、Q的橫坐標分別為4、，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為．答案．法一易得P、Q兩點的切線方程為：，解得．法二利用結論：，即．例已知二次函數(shù)，點．若存在兩條都過點P且互相垂直的直線和，它們與二次函數(shù)的圖象都沒有公共點，則a的取值范圍為()．A． B． C． D．答案選A．解根據(jù)題意，可以轉化為：過點P所作拋物線的兩條切線的夾角小于，此時，就轉化為我們常見的雙切線模型的問題．法一設點法＋利用拋物線的雙切線模型＋向量點乘小于0設，，則，又，故，因此， ，結合，可解得．法二設線法＋雙切線問題的處理套路＋到角公式設過點P的切線方程為：，與拋物線聯(lián)立：，令可得：，設過點P的兩條切線、的斜率分別為、，則．不妨假設，則到的角θ滿足：，即．法三也可以借助常用結論及拋物線開口的變化規(guī)律求解；當兩條切線垂直時，切線的交點在拋物線的準線上（類似橢圓的蒙日圓），故，即；又對于拋物線，a越大拋物線的開口越小，因此，必有．例如圖，拋物線與圓相交于A、B兩點，且點A的橫坐標為2．過劣弧AB上動點作圓O的切線交拋物線E于C、D兩點，分別以C、D為切點作拋物線E的切線、，與相交于點M．(1)

求p的值；(2)

求動點M的軌跡方程，以及點M到直線CD距離的最大值．答案(1)

1；(2)軌跡方程為，，最大值為．解(1)

，代入E，解得；(2)

設，利用上述套路，易求得切點弦CD的方程為：…①，直線CD和圓相切，故，即，即動點M的軌跡方程為：，接下來求范圍．又圓在點處的切線亦為直線CD，其方程為：…②，由于①②是同一條直線，故，即點M為；又，故，即動點M的軌跡方程為：，．點到直線距離為 ，d關于是單調遞減的，因此，當時，有．例(2013遼寧文理)如圖，拋物線，．點在拋物線上，過M作的切線，切點為A、B(M為原點O時，A、B重合于O)．當時，切線MA的斜率為．(1)

求p的值；(2)

當M在上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程(A、B重合于O時，中點為O)．答案(1)2

；(2)．．分析第小(2)問利用拋物線的雙切線套路可以輕松解決掉，但是，要注意解題的完備性，不要看到西瓜，就丟了芝麻！解(1)

對于拋物線，，由于切線MA的斜率為，易得點，進而可得切線MA的方程為，由于點在切線MA和拋物線上，故，，解得．(2)

法一利用拋物線的雙切線套路求交點設，，，線段AB中點，則，．切線MA、MB的方程為：、，聯(lián)立可解得切線MA、MB的交點坐標為：，，又點M在上，即，即，進而可得，即．此外，當，即A、B重合于O時，此時中點N為O，亦滿足．綜上所述，線段AB中點N的軌跡方程是．法二直線AB也是極點M對應的極線，也可以不求解交點，而是利用同一法進行求解設，，，則切線MA、MB的方程為：，由于點在切線MA、MB上，故，顯然點A、B在直線上，亦即直線AB為：．設中點，則，將點N代入直線AB：…，【此時只需要設法將用含有的式子表示出來即可！】又，進而，將代入，整理得，即為．此外，當，即A、B重合于O時，此時中點N為O，亦滿足．綜上所述，線段AB中點N的軌跡方程是．注①法一和法二相比較，法一思路相對更簡單一些，但是如果不知道拋物線雙切線套路，法一就有可能會在計算上受阻！此外，法一和法二，在參數(shù)的處理上，實際上是一樣的，先設出軌跡上的一點，然后將其他未知參數(shù)都用含x、y的式子表示出來，同時結合條件化簡求解即可?。、诳梢詫⒎ㄒ缓头ǘ惐?，注意體會同一法和拋物線雙切線套路的設點和求解區(qū)別．例(2012大綱卷文壓軸、理)已知拋物線與圓有一個公共點A，且在A處兩曲線的切線為同一直線l．(1)

求r；(2)

設m、n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m、n的交點為D，求D到l的距離．答案(1)

；(2)．分析對于第(1)小問，是圓錐曲線和圓相切的問題，此類問題的一般優(yōu)先利用套路求解，即利用圓錐曲線切線斜率與切點到圓心的斜率，兩個斜率乘積為．對于第(2)小問，估計會有同學把直線m、n設成形式，然后利用相切關系構造兩個方程進行求解，但是，此法在嘗試后，會發(fā)現(xiàn)及其繁瑣．不過，如果能注意到所求的點D到直線l的距離，而點D恰好也是拋物線的兩條切線的交點，此時，顯然可以利用設點法，結合拋物線的雙切線交點模型即可輕松求解．解(1)

設，由于，故l的斜率，又時，不合題意，故．圓心，由于l⊥MA，故，解得，則，從而．(2)

設為C上一點，則C在該點處的切線方程為：，若該直線與圓M相切，則有：，化簡可得：，解得，，．故l、m、n三條切線分別為：，…①，…②由②③解得，，即，故點D到l的距離為．例(2007江蘇)如圖，在平面直角坐標系xOy中，過y軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于A、B兩點，一條垂直于x軸的直線，分別與線段AB和直線交于P、Q，(1)

若，求c的值；(2)

若P為線段AB的中點，求證：QA為此拋物線的切線；(3)

試問(2)的逆命題是否成立？說明理由．答案(1)2

；(2)略；(3)成立．解設，，則直線AB為：，代入點得：．由于，故拋物線在點處的切線為：…①，同理，拋物線在點處的切線為：…②由①②解得：，，因此，兩條切線的交點坐標為．(1)

此時，結合，解得．(2)

若點P為線段AB的中點，則，又，此時，點Q和點H的坐標相同，因此，QA為此拋物線的切線．(3)

(2)的逆命題是：若QA為此拋物線的切線，則P為線段AB的中點．由于QA為此拋物線的切線，則點Q亦為點H，顯然此逆命題成立．例(2006重慶文壓軸)如圖，對每個正整數(shù)n，是拋物線上的點，過焦點F的直線交拋物線于另一點．(1)

試證：；(2)

取，并記為拋物線上分別以與為切點的兩條切線的交點．試證：．分析第(1)小問，根據(jù)拋物線的替換性質，顯然有；第(2)小問，顯然也是拋物線雙切線模型的應用．證明(1)

由于，，故直線的方程為，代入點，可得．(2)

由于，故拋物線在點的切線為…①，同理可得拋物線在點的切線為…②，聯(lián)立①②解得：，，即點C的坐標為．故，即．又，因此，．例過點作拋物線的兩條切線，切點分別為、．(1)

證明：為定值；(2)

記△PAB的外接圓的圓心為點M，點F是拋物線C的焦點，對任意實數(shù)a，試判斷以PM為直徑的圓是否恒過點F？并說明理由．答案(1)

；(2)是，理由略．分析(1)

極線對應的極點是，故直線AB恒過定點，故，．(2)

此問的計算量稍大，估計有些同學會畏于嘗試，不敢去求垂直平分線方程，或者求了，看到很復雜，可能也不敢繼續(xù)算下去．解(1)

，故，故直線PA的方程為：，即為…①，同理，可得直線PB的方程為：…①【利用替換法則求切線方程①②??！】由①②解得，又點，故，．(2)

法一硬算，求出三條中垂線，進而求出點M．由于，，，故線段PA的垂直平分線為：，即為－③，同理，線段PB的垂直平分線為：…④，又，故線段AB的的垂直平分線為：，即為…⑤由③④可得，代入⑤，可得，即M為，由于，故，，由于，故MF⊥PF，即對任意實數(shù)a，以PM為直徑的圓恒過點F．法二巧妙轉化，如果能逆向推導求出點M的坐標，即可判斷存在，若求不出，則不存在．練習如圖，點F是拋物線的焦點，點A是拋物線上的定點，且，點B、C是拋物線上的動點，直線AB、AC斜率分別為．(1)

求拋物線的方程；(2)

若，點D是點B、C處切線的交點，即△BCD的面積為S，證明S為定值．答案(1)；(2)

S為定值32；略解如下：，設，，則，即．又，直線BC的方程為：，故 ．例已知拋物線L的方程為，直線截拋物線L所得弦長為．(1)

求p的值；(2)

若直角三角形ABC的三個頂點在拋物線L上，且直角頂點B的橫坐標為1，過點A、C分別作拋物線L的切線，兩切線相交于點D，直線AC與y軸交于點E，當直線BC的斜率在上變化時，直線DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直線BC的方程；若不存在，請說明理由．答案(1)

；(2)最大值為，此時直線BC的方程為．解(2)設，，則直線AC的方程為：，令可得點．由于、BA⊥BC，故，即．由于，故拋物線在C、A處切線方程分別為：、，聯(lián)立方法可解得點D的坐標為，故．又，故，即．由于關于是單調遞增的，因此，當時，取得最大值為，此時直線BC的方程為．例已知A、B為拋物線上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限，分別過點A、B且與拋物線C相切，P為的交點．設C、D為直線與直線的交點，求△PCD面積的最小值．略解設，，，利用判別式法求得切線方程：，聯(lián)立解得，又，，故 ，令，則，利用導數(shù)易得當，即，即時，△PCD的面積取得最小值為．注最后的最值也可以借助高次均值不等式得到： ．如圖所示，拋物線在點A、B處的切線相較于點P，拋物線在點I處的切線分別交PA、PB于點S、T，△PST為切線三角形，△IAB為切點三角形．(1)A、B、P設P、S、T、F四點共圓特殊地，設直線AP、BP分別與y軸交于點C、D，則P、C、D、F四點在以PF為直徑的圓上．證明設，，，易得，，．注意到∠SPT，即∠APB的大小只和有關，因此，只要能夠證明∠SFT的大小也只和有關，而與無關，亦即利用到角公式，證明成立即可．易知，，故；由于，同理，故，因此，，亦即，即P、S、T、F四點共圓得證．證明直線AP為，令，可得，因此，，顯然，同理可得，所以，，即P、C、D、F四點在以PF為直徑的圓上．例過點作拋物線的兩條切線、，設、與y軸分別交于點B、C，則△ABC的外接圓方程為．法一通法先行，常規(guī)方法，硬解設切線方程為，與拋物線聯(lián)立：，利用，可得，進而易得，．因此，可設△ABC的外接圓為：，代入點、，可解得，，即．法二利用拋物線的雙切線模型設切線、與拋物線的切點為、，則拋物線在切點P、P的切線分別為，此方程組的解為點A，故，．同時，令，可得，，設△ABC的外接圓方程為，令，可得，則，即，即，代入點，可得，因此，△ABC的外接圓是．法三拋物線的焦點為，利用上述結論可知：△ABC的外接圓是以AF為直徑的圓，利用圓的雙根式，即為，即．△PST的垂心H在拋物線的準線上．易得直線TH為：，令，可得，由于、、是輪換的，同理可得直線PH、SH與準線的交點縱坐標亦為，因此，△PST的垂心H為，即H在拋物線的準線上．已知拋物線和直線，P是直線l上一點，過P作拋物線的兩條切線，切點分別為A、B．若PA、PB分別交y軸于M、N，求△PMN外接圓半徑的最小值．解利用結論可知，當FP⊥l時，所求外接圓的半徑最小，即．8.11阿基米德三角形阿基米德三角形的定義及名稱由來拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形，這個三角形常被稱為阿基米德三角形．這是由于阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的．阿基米德三角形問題的處理方法(1)

綜合利用拋物線的兩點式方程＋拋物線的雙切線模型；(2)

和極點極線有關的問題，要熟練利用設而不求法，即“同一法”，求極點的極線或極線對應的極點．阿基米德三角形的常見性質此處以拋物線為例進行說明：如圖，以F為焦點的拋物線在點A、B處的切線相交于點P，則△PAB就是阿基米德三角形，且稱弦AB為阿基米德三角形的底邊．拋物線在點I處的切線分別交PA、PB于點S、T，此時，一般稱△PST為切線三角形，△IAB為切點三角形．1.設點，，則點P的坐標為．2.(1)

若點P為定點，則底邊AB的方程為；(2)

若底邊AB過定點，則點P在定直線上；特殊地，若底邊AB過的定點是焦點，則點P在準線上．【參考拋物線的極點極線專題】3.

(1)

阿基米德三角形的底邊中線平行于x軸，如圖，設底邊AB的中點為Q，則PQ∥x軸；(2)

設PQ與拋物線交于點M，則M是線段PQ的中點；(3)

過點M作拋物線的切線，則此切線和底邊AB平行．拋物線的中切線性質已知二次函數(shù)的割線與二次函數(shù)相交于A、B兩點，若二次函數(shù)在點C處的切線與割線平行，則A、B中點與點C的橫坐標相同．證明不妨令二次函數(shù)為，設，，，則．例(2011四川文理)在拋物線上取橫坐標為，的兩點，過這兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓相切，則拋物線頂點的坐標為()．A． B． C． D．答案利用上述性質易知切點為，則切線方程為，…，選A．例(2005湖南理壓軸)已知函數(shù)，，．(1)

若，且存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)

設函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交、于點M、N，證明：在點M處的切線與在點N處的切線不平行．答案(1)

；(2)

設，，則，又，，假設在點M處的切線與在點N處的切線平行，則，即，即，即，設，則…令，則，因為時，，所以在上單調遞增．故，則．這與矛盾，假設不成立，故在點M處的切線與在點N處的切線不平行．4．，即、、成等比數(shù)列．【AB不是焦點弦也成立！】5．．【4和5的證明，可參考下面的例題，對于5的證明，也可以利用光學性質，具體參見前面的相關專題】例(2005江西理壓軸)如圖，設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點．(1)

求△APB的重心G的軌跡方程；(2)

證明：；(3)

(自編)若，求的值．分析利用拋物線的雙切線套路，即可輕松處理掉此題！同時，實際上，對于第(2)、(3)兩小問，直線是打醬油的??！因此，對于這種利用結論出的題確實坑了點，不知道背景的同學，估計會糾結于如何使用直線l．解(1)

設，，則切線AP、BP分別為：、，聯(lián)立這兩個方程可解得，，設△APB的重心G為，【向點P的坐標靠攏即可！！】則：，，即，將點P代入直線可得：，即．(2)

因為，，，焦半徑，，故，同理可得：，即得證．(3)

由(2)知，又，故．6.切點△IAB的面積是切線△PST面積的2倍，即．證明設，，，則，，．注意到，，聯(lián)想到三角形面積的分割法！因此，過點I作x軸的平行線交AB于點，過點P作x軸的平行線交ET于點，則 ，，所以，欲證明成立，只需證明成立即可．直線AB的方程為：，令得：．拋物線在點I處的切線為：，令得：．由于，，顯然，是成立的！7.(1)

切線△PST的外接圓過拋物線的焦點F，即P、S、T、F四點共圓，如圖中的圓；(2)

特殊地，設直線AP、BP分別與y軸交于點C、D，則P、C、D、F四點在以PF為直徑的圓上，如圖中的圓．證明(1)

設，，，易得，，．注意到∠SPT，即∠APB的大小只和有關，因此，只要能夠證明∠SFT的大小也只和有關，而與無關，亦即利用到角公式，證明成立即可．易知，，故；由于，同理，故 ，因此，，亦即，即P、S、T、F四點共圓得證．(2)

直線AP為，令，可得，因此，，顯然，同理可得，所以，，即P、C、D、F四點在以PF為直徑的圓上．例過點作拋物線的兩條切線、，設、與y軸分別交于點B、C，則△ABC的外接圓方程為．答案．法一通法先行，常規(guī)方法，硬解設切線方程為，與拋物線聯(lián)立：，利用，可得，進而易得，．因此，可設△ABC的外接圓為：，代入點、，可解得，，即．法二利用拋物線的雙切線模型設切線、與拋物線的切點為、，則拋物線在切點P、P的切線分別為，此方程組的解為點A，故，．同時，令，可得，，設△ABC的外接圓方程為，令，可得，則，即，即，代入點，可得，因此，△ABC的外接圓是．法三拋物線的焦點為，利用上述結論可知：△ABC的外接圓是以AF為直徑的圓，利用圓的雙根式，即為，即．例已知拋物線和直線，P是直線l上一點，過P作拋物線的兩條切線，切點分別為A、B．若PA、PB分別交y軸于M、N，求△PMN外接圓半徑的最小值．答案利用結論可知，當FP⊥l時，所求外接圓的半徑最小，即．8.切線△PST的垂心H在拋物線的準線上．證明易得直線TH為：，令，可得，由于、、是輪換的，同理可得直線PH、SH與準線的交點縱坐標亦為，因此，△PST的垂心H為，即H在拋物線的準線上．9.(1)

當點P在直線上運動時，則底邊AB恒過定點，且為定值；(2)

特殊地，當點P在準線上運動時，則底邊AB恒過焦點，且，即PA⊥PB；同時，亦有，即PF⊥AB．【串聯(lián)到焦點弦模型】例(1)(2013大綱卷文壓軸、理)已知拋物線與點，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點，若，則()．A． B． C． D．2(2)(2014遼寧理)已知點在拋物線的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為()．A． B． C． D．答案(1)

選D；(2)選D．解(1)

法一由于點M在準線上，又，故直線MA、MB是C的兩條切線，設C的焦點為F，利用結論可知，此時MF⊥AB，故選D．法二如果不知道結論的話，或者當作解答題處理，那就老老實實通法先行，利用韋達定理計算！設，，直線AB為：（如果設成，后續(xù)的聯(lián)立和計算量都會稍大），與C聯(lián)立：，則，，，由可得：，即，即，解得，進而可得．法三當然，也可以利用拋物線的兩點式直線方程，不過分析和變形技巧稍高了點設，，則直線AB為：，代入得：，．由可得：，由于，故只需要設法求出的值即可，故，即，解得，故．(2)

利用結論易知AF⊥BF，易得選D．例(1)

已知拋物線的焦點為F，準線為l，過l上一點P作拋物線的兩條切線，切點分別為A、B，若，，則．(2)

已知拋物線的焦點為F，直線l與C相切于Q點，P是l上一點（不與Q重合），若以線段PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過F，則的最小值是．答案(1)

PA⊥PB，PF⊥AB，故，解得．(2)

利用上述總結可知：點P在拋物線的準線上，顯然，當點P為時，取得最小值為4．10.設底邊AB與x軸的焦點為N，則，即成等差數(shù)列．11.(1)

設，則阿基米德△PAB的面積為：；(2)

特殊地，當?shù)走匒B過焦點時，由于，故此時的最小值為．證明(1)

直線AB的方程為：，又，故點P到直線AB的距離為： ，又，故．如果利用換掉，亦可得到．注①原汁原味含參推導是最快的，且和拋物線的兩點式方程相呼應！即使是過焦點?。、诎⒒椎氯切蚊娣e公式的形式有兩個，該選擇哪個？根據(jù)具體的題目具體選擇使用，可結合下面的例題理解．例已知拋物線的焦點為F，是拋物線上一點，且．(1)

求p的值；(2)

過F作直線l交拋物線于A、B兩點，過點A、B分別作拋物線的切線，與x軸交于P、Q兩點