④設f是平面M上的線性變換，，則對任意實數(shù)k均有．其中的真命題是（寫出所有真命題的編號）答案①③④．解對于①④，分別令和，，易知兩個命題都正確；對于③，由于，故，進而，，該命題正確．例(1)(2012廣東文壓軸)對任意兩個非零的平面向量和，定義；若兩個非零的平面向量，滿足：與的夾角，且，都在集合中，則()．A． B．1 C． D．(2)(2012廣東理壓軸)對任意兩個非零的平面向量和，定義；若平面向量，滿足，與的夾角，且，都在集合中，則()．A． B．1 C． D．答案(1)選A；(2)選C．解(1)令，，其中；又，即，顯然，即．(2)法一由于，故，又在集合中，所以，即，進而，所以．法二類似文科處理：，，其中；又，故；，顯然，即，．例(2009湖北文理)如圖，在Rt△ABC中，已知，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問與的夾角取何值時，的值最大？并求出這個最大值.答案0．解，顯然，當且僅當時，取得最大值為0．例(2006天津理壓軸)設函數(shù)，點表示坐標原點，點，若向量，是與的夾角（其中），設，則．答案1．解由于，故，進而，顯然，．例(2007天津理壓軸)設兩個向量和，其中，m，為實數(shù)．若，則的取值范圍是()．A． B． C． D．答案選A．解依題意有：，故 ，解得；又，由于，則在區(qū)間的兩個端點處取得最值，即．例(2011浙江文理)若平面向量，滿足，，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是．答案．解面積，又，，故，又，故．例(2009浙江理)設向量，滿足：，，．以，，的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為()．A．3 B．4 C．5 D．6答案選C．解直角三角形的內切圓半徑為，相切時有三個交點，內切圓稍微移動，最多四個交點．例(2016上海理壓軸)如圖，在平面直角坐標系xOy中，O為正八邊形的中心，，任取不同的兩點、，點P滿足，則點P落在第一象限的概率是．答案．法一基本事件為個；令，則點P落在第一象限等價于點Q落在第三象限，從到依次分析可知，符合條件的分別為、、、、，總共有5組．法二基本事件為個，由于，根據(jù)對稱性可知，點P落在四個象限是等可能的，易知當、關于坐標軸或原點對稱時，點P在坐標軸上，總共有8種情況，因此，點P落在第一象限有5種情況．例如圖，O是坐標原點，圓O的半徑為1，點，，點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，在圓O上按逆時針方向運動．若點P的速度大小是點Q的兩倍，則在點P運動一周的過程中，的最大值是．答案2．法一（代數(shù)法）由于點P的速度大小是點Q的兩倍，設，則，故，，即，故 ．法二（幾何法）如圖，設AP的中點為M，由于，故M、O、Q三點共線，所以．例已知平面上三個不同的單位向量、、滿足，若為平面內的任意單位向量，則的最大值為．答案．解．例已知，對任意滿足的實數(shù)x，都有成立，則的最大值是．答案40．解由于，因此，此問題可以轉化為求、的最大值．令，只須且成立即可，即且，此時，可以畫出相應的可行域，得到的最大值；或者利用絕對值不等式，即，即的最大值是40，當且僅當、取得等號．練習：若對任意滿足的實數(shù)，都有成立，則的取值范圍是．如圖，易得點評：本題就是將一次函數(shù)轉變?yōu)槎魏瘮?shù)，異曲同工。例在△CAB中，，，記，則的最大值為()．A．1 B． C． D．答案選B．解由于，故，其中M為AB的中點，令，其中N為CB的中點，則CM與AN的交點為重心G，作CH⊥AN，故．例在平面直角坐標系xOy中，設A、B為函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點，C、D為函數(shù)圖象上的兩個動點，且C、D在x軸的上方（不含x軸），則的取值范圍為．答案．例若向量、滿足，則的最大值為．答案．法一換元＋利用恒等式變形令，則等價于“已知，求的最大值”．由極化恒等式得：，又，故 ，即，當且僅當取得最大值．法二如果將向量符號去掉，就變成了常規(guī)的求最值題目，一般利用判別式即可求解；類似的，和向量有關的最值問題，判別式法也是適用的??！令，則，即，令，可解得．例已知、、是三個單位向量，且，則對于任意的正實數(shù)t，的最小值為，則．答案或．．解依題意，設，則，故 ，令，其中，由于對稱軸，故 ，解得或，所以或．幾何法暫略；例已知單位向量、的夾角為，設，則當時，的取值范圍是．答案．例已知向量、，若對任意兩個單位向量、，均有，則的最小值為．解例設△ABC的面積為2，若角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則的最小值為．答案．法一（作高法）設BC邊上的高為，則，即；設，則，故 ，當且僅當、取得等號．法二（萬能建系）如圖進行建系，則，此法實質和法一是一樣一樣的．法三（解三角形），，令，則 ，即，故，即．法四（轉化為向量），，故 ．例已知平面向量、、，其中、的夾角為，若，(為實數(shù))，則的最小值是．答案．法一，令，則，故 ，解得，又，故．法二（作高法）如圖，由和可知，的終點到所在直線的距離是，設在上的投影為，則 ，當且僅當時取得等號．例若△ABC的面積為1，則的最小值為．答案．例關于x的方程（其中、、都是非零平面向量），且、不共線，則該方程的解的情況是()．A．至多有一個解 B．至少有一個解 C．至多有兩個解 D．可能有無數(shù)個解答案選A．解由于、不共線且為非零平面向量，因此，根據(jù)平面向量分解定理可知：存在唯一的實數(shù)對，使得，又，故，即，該方程至多有一個解．例在△ABC中，若，則的最小值為．答案．解，即，即 ，即，即，故．正弦平方差公式：例已知向量、滿足，且，則的最小值為()．A． B． C． D．答案選C．解結合條件和所求，只須將，利用、表示出來即可，故 ，解得，其中為與的夾角，．例△ABC中，，點M在BC上，，N是AM的中點，，，則()．A．1 B．2 C．3 D．4答案選A．法一分析可知，此題最直接的解法，顯然是直接建系比較簡單，但是會有一定的計算量，具體過程此處略．法二方向1由于，故，所以．方向2在△ABM、△ACM分別利用正弦定理得： ，又，故，；又，則，解得，故 ．法三（等腰三角形的性質）設，，分別利用等腰三角形的性質、余弦定理得： 、，聯(lián)立消去x得：，即，故．證明方法例在△ABC中，a、b、c為角A、B、C所對的邊，，，若，則的取值范圍是．答案．解易得，即，又，故，即，然后，利用極化恒等式即可．例已知平面向量、滿足，且，記的最小值為，則的取值范圍是．答案．解設，，，代入得：；，即，又，易得．例已知SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，，記、、中的最大值為M，當a取遍一切實數(shù)時，M的取值范圍是_____．解例已知、、為平面上三個不共線的定點，平面上點M滿足（是實數(shù)），且是單位向量，則這樣的點M有()．A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個答案選C．解由于、、為平面上三個不共線的定點，又，因此，M的個數(shù)等價于實數(shù)的個數(shù)；又 ，故這樣的點M有2個．例已知動點P在直線上，過點P作互相垂直的直線PA、PB分別交x軸、y軸于A、B兩點，M為線段AB的中點，O為坐標原點，則的最小值是