專(zhuān)題09二項(xiàng)式定理一、考情分析二、考點(diǎn)梳理1．兩個(gè)重要公式(1)排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)(n，m∈N*，且m≤n)．2．三個(gè)重要性質(zhì)和定理(1)組合數(shù)性質(zhì)①Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(C\o\al(n－m,n))(n，m∈N*，且m≤n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝eq\a\vs4\al(C\o\al(m,n)＋C\o\al(m－1,n))(n，m∈N*，且m≤n)；③Ceq\o\al(0,n)＝1.(2)二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－k·bk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn，其中通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr.(3)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)①Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)，Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n－1,n)，…，Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n)；②Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；③Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.三、題型突破重難點(diǎn)題型突破(一)二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用①．求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)例1．（1）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再求指定項(xiàng)作答.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，由解得：，則，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D（2）的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為（

）A．10 B． C．20 D．【答案】A【分析】寫(xiě)出的展開(kāi)式的通式，利用x的次數(shù)為1列方程求出，進(jìn)而可得x的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式的通式為：令得，x的系數(shù)為.故選：A.【變式訓(xùn)練1-1】展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是___________.【答案】【分析】由題可得，即得.【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為令，可得常數(shù)項(xiàng)是.故答案為：.【變式訓(xùn)練1-2】的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又的展開(kāi)式的通項(xiàng)所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：.②．求二項(xiàng)展開(kāi)式中某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)例2．（1）若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．（用數(shù)字作答）【答案】-192【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和可得，解出n，結(jié)合通項(xiàng)公式計(jì)算即可求出的系數(shù).【詳解】由題意知，二項(xiàng)式系數(shù)之和，所以所以，所求的系數(shù)為.故答案為：-192（2）若的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（

）．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】求得二項(xiàng)展開(kāi)式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為，，可得，解得.故選：B.【變式訓(xùn)練2-1】已知的二項(xiàng)式展開(kāi)式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______.（結(jié)果用數(shù)值表示）【答案】1120【分析】由的二項(xiàng)展開(kāi)式的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為可求得的值，進(jìn)而可寫(xiě)出該二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，再代入通項(xiàng)即可求得結(jié)果.【詳解】由于的二項(xiàng)展開(kāi)式的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為，解得.的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，解得.因此，的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.【變式訓(xùn)練2-2】已知（）的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256B．展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大C．展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)D．展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為35【答案】BC【分析】由題意得，，再由組合數(shù)的性質(zhì)，求出，再令結(jié)合展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024求出，利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式的性質(zhì)即可判斷四個(gè)選項(xiàng)．【詳解】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，可得，又展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，即當(dāng)時(shí)，，所以，所以二項(xiàng)式，因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A錯(cuò)誤；由可知展開(kāi)式共有11項(xiàng)，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，因?yàn)榕c的系數(shù)均為1，所以該二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的系數(shù)相同，所以第6項(xiàng)的系數(shù)最大，故B正確；若展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，由通項(xiàng)可得，解得，故C正確；令，可得，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，故D錯(cuò)誤．故選：BC．重難點(diǎn)題型突破(二)二項(xiàng)式定理的性質(zhì)的應(yīng)用①．二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)的系數(shù)和問(wèn)題例3．（1）已知的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則該展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．896 B．1024 C．1792 D．2048【答案】C【分析】由展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，可得，從而可得展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，再令求出，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榈恼归_(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，所以，解得，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以該展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)為，故選：C.（2）若的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，則該展開(kāi)式中的系數(shù)是______.【答案】5【分析】利用賦值法令表達(dá)出展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和，求出，根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)榈恼归_(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，令，得，所以，又，所以該展開(kāi)式中的系數(shù)是．故答案為：5【變式訓(xùn)練3-1】已知的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，則它展開(kāi)式中x2的系數(shù)___________.【答案】【分析】利用二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，求出n，然后通過(guò)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求出項(xiàng)即可．【詳解】解：的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以，所以，由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式得：當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為：②．二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)的最值問(wèn)題例4．（1）若在的展開(kāi)式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是___________.【答案】60【分析】先求出k，再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開(kāi)式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則.的展開(kāi)式通項(xiàng)，當(dāng)，即時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，故常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：60（2）已知，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．D．展開(kāi)式中系數(shù)最大的為【答案】BD【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)可求得，知A錯(cuò)誤；采用賦值法，令和，則可求得B正確；采用賦值法，令可求得，由此可計(jì)算知C錯(cuò)誤；根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)分別求得展開(kāi)式中系數(shù)為正的項(xiàng)，則可知D正確.【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)公式為：，對(duì)于A，令，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則；令，則；，B正確；對(duì)于C，令得：，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，為正數(shù)，為負(fù)數(shù)，又，，，，展開(kāi)式中系數(shù)最大的為，D正確.故選：BD.【變式訓(xùn)練4-1】若，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】分別把與代入題干所給的式子中，再求出的系數(shù)，即可得到答案.【詳解】令，得；令，得；展開(kāi)式中的系數(shù)為2，故.所以.故選：A.【變式訓(xùn)練4-2】的展開(kāi)式中，x的指數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A．64 B．48 C．32 D．16【答案】D【分析】根據(jù)與的展開(kāi)式中x的指數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)相乘及與的展開(kāi)式中x的指數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)相乘，得到展開(kāi)式中x的指數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)之和.【詳解】的展開(kāi)式中，所有x的指數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)之和為.故選：D.專(zhuān)題09二項(xiàng)式定理A組基礎(chǔ)鞏固1．在的展開(kāi)式中的系數(shù)為20，則常數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式，求得的項(xiàng)數(shù)后，由系數(shù)為20可得參數(shù)值．【詳解】由題意得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，依題意，令，則，，解得．故選：A．2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)求得正確答案.【詳解】依題意..故選：C3．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A． B． C．10 D．15【答案】A【分析】首先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，再令求出，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，故的系數(shù)為；故選：A4．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．－50 B．－10 C．10 D．50【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得出展開(kāi)式的通項(xiàng)，求出，，進(jìn)而得出的系數(shù).【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則，，故展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：A5．若的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（

）A．240 B．－240 C．160 D．－160【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式可求得，再由二項(xiàng)定理展開(kāi)式的通項(xiàng)求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】由二項(xiàng)式定理性質(zhì)可知，二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以，根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，則，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為240.故選：A.6．的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)計(jì)算即可得解.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，可得，因此，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.7．展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．8 B．28 C．56 D．70【答案】B【分析】根據(jù)題意求得，再結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)確定的值，即可求解.【詳解】由展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，令，可得，解得，即，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為.故選：B.8．已知的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為128，則展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（

）A．0 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】先根據(jù)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和求出，得到通項(xiàng)公式，求出有理項(xiàng)個(gè)數(shù).【詳解】由題展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為，解得，所以二項(xiàng)式為，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，1，2…，7.所以當(dāng)，3，6時(shí)，為有理項(xiàng)，所以展開(kāi)式中有理項(xiàng)共3項(xiàng).故選：C.9．的各項(xiàng)系數(shù)和為（

）A． B．27 C．16 D．【答案】A【分析】使用二項(xiàng)式定理將式子展開(kāi)即可求解.【詳解】，各項(xiàng)系數(shù)和為.故選：A.10．若的展開(kāi)式中的系數(shù)為75，則（

）A．-3 B．-2 C．2 D．3【答案】A【分析】結(jié)合二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式以及多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算可得，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為，由題知，，解得．故選：A.11．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A．40 B． C．80 D．【答案】D【分析】求出的展開(kāi)式為，在令，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式為令，所以的系數(shù)為.故選：D.12．已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則該二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．640 D．320【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求的展開(kāi)式中項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，從而可求出的值；然后再利用二項(xiàng)式定理求該二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得；令，得(舍去).故的展開(kāi)式中的系數(shù)為，解得.令，得(舍去)；令，得.故的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.13．的展開(kāi)式中的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令的次數(shù)等于5，求出的值，從而可求出答案【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令8－3r＝5，得r＝1，故所求的系數(shù)是－4故答案為：14．若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.【答案】28【分析】根據(jù)給定條件求出冪指數(shù)n，再求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可推理計(jì)算作答.【詳解】因二項(xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則，解得，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，由，即得：，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為28.故答案為：2815．若二項(xiàng)武的展開(kāi)式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值是_________．【答案】7【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為0，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值為7.故答案為：7.故答案為：.16．的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)______．【答案】3【分析】先求得通項(xiàng)公式，再令，求得k＝3，代入求解即可.【詳解】由二項(xiàng)式定理可得：展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則由，解得k＝3，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，解得a＝3．故答案為：317．若的展開(kāi)式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)a的值是___________.【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，求得含的項(xiàng)為，從而求得參數(shù)值.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，則，解得，故答案為：-218．的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)___________【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.【詳解】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，故當(dāng)時(shí)，的二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)為，其系數(shù)為.故答案為：19．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為，則實(shí)數(shù)___________.【答案】2【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式的展開(kāi)式公式，令，結(jié)合題意即可求出參數(shù)a【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為令，解得，因?yàn)槌?shù)項(xiàng)為14，所以，解得，故答案為：220．二項(xiàng)展開(kāi)式中的x的有理項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)_____【答案】255【分析】易得展開(kāi)式的通項(xiàng)為，再由為有理數(shù)求解.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，若為有理數(shù)，則，所以x的有理項(xiàng)的系數(shù)和為，故答案為：255

B組能力提升21．（多選）下列關(guān)于多項(xiàng)式的展開(kāi)式的結(jié)論中，正確的是（

）A．各項(xiàng)系數(shù)之和為 B．各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為C．不存在項(xiàng) D．常數(shù)項(xiàng)為【答案】AD【分析】賦值法判斷A、B；根據(jù)已知多項(xiàng)式，結(jié)合二項(xiàng)式定理判斷C、D的正誤.【詳解】令得，故A正確﹔取多項(xiàng)式，將代入多項(xiàng)式可得，故B錯(cuò)誤﹔由題設(shè)，，若要得到含項(xiàng)，只需個(gè)因式中個(gè)取，剩下個(gè)取，故C錯(cuò)誤;個(gè)因式中個(gè)取，個(gè)取，剩下個(gè)取，得5個(gè)因式中個(gè)取個(gè)取，剩下個(gè)取，得，5個(gè)因式中均取，得.故常數(shù)項(xiàng)為，D正確.故選：AD.22．（多選）關(guān)于多項(xiàng)式的展開(kāi)式，下列結(jié)論正確的是（

）A．各項(xiàng)系數(shù)之和為1B．各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為212C．存在常數(shù)項(xiàng)D．x3的系數(shù)為40【答案】BCD【分析】令，可以判斷A；多項(xiàng)式的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和與多項(xiàng)式的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和相等,可判斷選項(xiàng)B；利用通項(xiàng)公式可判斷C，D.【詳解】由題意令可得，各項(xiàng)系數(shù)之和為26，故A錯(cuò)誤；多項(xiàng)式的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和與多項(xiàng)式的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和相等，故令，得各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為212，故B正確；由，易知該多項(xiàng)式的展開(kāi)式中一定存在常數(shù)項(xiàng)，故C正確；由題中的多項(xiàng)式可知，若出現(xiàn)x3，可能的組合只有和，結(jié)合排列組合的性質(zhì)可得x3的系數(shù)為，故D正確.故選：BCD.23．（多選）已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為256C．展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 D．展開(kāi)式系數(shù)的絕對(duì)值的和為【答案】AD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，令二項(xiàng)式中的為1得到展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和得到，求解；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)和為,由于，從而展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和