引言齒輪傳動是利用齒輪輪齒之間的嚙合傳遞動力和運動的一種機械傳動方式，廣泛應用于航空航天、船舶、汽車、工程機械、能源、石油化工及機器人等領域。齒輪工作中承受了大量的循環(huán)載荷，齒輪齒根由于齒根過渡圓角和加工刀痕等因素引起應力集中效應，更易產(chǎn)生疲勞裂紋，并隨著工作載荷和工作時長的增加逐步擴展，最終導致彎曲疲勞失效。作為齒輪失效的主要形式之一，據(jù)統(tǒng)計，齒根彎曲疲勞占齒輪總失效的32％。齒輪彎曲疲勞失效不僅會造成巨大的經(jīng)濟損失，同時也會對人機產(chǎn)生嚴重安全隱患。因此，開展齒根裂紋擴展規(guī)律和時變剛度的分析研究，對提高齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)性能及運行可靠性具有十分重要的理論意義和工程實用價值。針對裂紋擴展問題，目前多采用數(shù)值模擬方法進行研究，然后通過實驗驗證模型的準確性。齒輪疲勞斷裂的數(shù)值模擬方法主要為有限元法和擴展有限元法。ZOUARI

等使用

Fortran

程序和

Ansys

軟件對含齒根裂紋的二維模型進行裂紋路徑預測，研究了裂紋深度、初始方向和裂紋位置對應力強度因子和裂紋路徑的影響。李有堂等利用有限元法研究了裂紋閉合效應對裂紋擴展的影響，結(jié)果顯示，閉合效應對擴展路徑影響不大，但會降低裂紋的擴展速率，延長疲勞壽命。THIRUMURUGAN

等利用三維有限元模型分別建立單齒和三齒齒輪模型，分析研究了單齒嚙合最高點加載和齒面均勻加載兩種不同載荷形式下裂紋的擴展趨勢。RAGHAV

等結(jié)合擴展有限元法和劉易斯理論，研究了靜載荷和動載荷作用下不同初始裂紋角度和初始裂紋長度下的裂紋擴展路徑和疲勞壽命。針對故障齒輪的時變嚙合剛度，目前多采用實驗法、解析法和有限元法。實驗法的求解結(jié)果較精確，但操作復雜并且對實驗設備要求高，應用的普遍性不高。解析法是利用材料的解析表達式來計算齒輪嚙合剛度。有限元法是基于彈塑性理論和接觸力學理論，將齒輪系統(tǒng)仿真為若干節(jié)點連接若干單元體，具有計算精度高，并且可以建立各種復雜的齒輪模型的優(yōu)點，因此，在齒輪箱故障分析與研究中應用廣泛，并且常在無法進行嚙合剛度實驗時作為其他方法的結(jié)果驗證。VERMA等利用擴展有限元法模擬齒根裂紋擴展路徑，計算了同裂紋程度下的嚙合剛度。CHEN

等建立了含齒面剝落的斜齒輪副有限元剛度分析模型，研究了不同剝落參數(shù)下的嚙合剛度、接觸應力和齒根應力。孟宗等基于有限元法對含裂紋故障的輪齒進行嚙合剛度分析，使用Ansys靜力學分析模塊確定裂紋初始位置，使用Ansys瞬態(tài)動力學模塊計算嚙合剛度。張兆新等使用拋物線擬合齒根裂紋形狀，建立了不同形狀的齒根裂紋，并通過剛度劣化率分析了不同程度裂紋對嚙合剛度的影響。綜上所述，眾多學者從不同角度研究了齒根裂紋擴展特性以及齒輪時變嚙合剛度的變化規(guī)律。但針對齒根裂紋擴展仿真的研究大多將齒面嚙合載荷簡化為施加在單齒嚙合最高點或齒頂?shù)暮阒刀ㄝd荷，沒有考慮齒輪傳動過程中的真實接觸位置對裂紋擴展路徑的影響；針對齒根裂紋引起的嚙合剛度變化，研究大多將裂紋簡化為不同角度、長度的直線或拋物線，沒有考慮裂紋真實擴展路徑對嚙合剛度的影響。因此，本文以含齒根裂紋的齒輪副為研究對象，建立考慮接觸情況的齒輪動態(tài)嚙合有限元，確定齒根裂紋萌生的位置，根據(jù)彈性斷裂力學理論對裂紋擴展路徑進行模擬仿真；并基于裂紋仿真路徑，研究了不同裂紋程度對嚙合剛度的影響。為實際生產(chǎn)中齒根裂紋的擴展路徑及其對嚙合剛度的影響提供了依據(jù)。1

裂紋擴展理論和剛度計算原理1.1

裂紋擴展理論根據(jù)斷裂力學相關理論，裂紋主要分為Ⅰ型（張開型）裂紋、Ⅱ型（滑移型）裂紋、Ⅲ型（撕裂型）裂紋，如圖1所示。圖1裂紋類型不同類型的裂紋可以通過裂紋尖端應力場和位移場來表示。裂紋尖端應力場分布如圖2所示。裂紋尖端應力場可統(tǒng)一表示為式中，r

為與裂紋尖端的距離；θ

為偏移角度；fij

(θ

)為裂紋形狀與外載荷條件下的分布函數(shù)；K為應力強度因子。3

種不同類型裂紋對應的應力強度因子分別為圖2

裂紋尖端附近應力場疲勞裂紋擴展一般分為裂紋萌生、穩(wěn)定擴展和失穩(wěn)擴展

3個階段，當應力強度因子幅值

ΔK小于門檻值ΔKth時，裂紋不發(fā)生擴展，為裂紋萌生階段；ΔKth<ΔK

<ΔKIC時，進入裂紋穩(wěn)定擴展階段；當應力強度因子

K大于材料斷裂韌性KIC時，裂紋發(fā)生失穩(wěn)斷裂。在工程實際中，一般使用

Pairs來表示裂紋擴展速度。Pairs經(jīng)驗公式為式中，a

為裂紋長度；N

為疲勞擴展壽命；C

和

m

為實驗獲得的零件表面材料的疲勞裂紋擴展性能參數(shù)。因此，只要確定材料參數(shù)

ΔKth、ΔKIC

和裂紋尖端應力強度因子幅值ΔK，將Pairs公式積分，即可得到疲勞裂紋的擴展壽命，即式中，a0、ac分別為初始、臨界裂紋長度。1.2

剛度計算原理齒輪嚙合剛度指的是在1mm齒寬上使一對或多對同時嚙合的無誤差輪齒產(chǎn)生沿嚙合線方向總計為1μm

的變形所必需的載荷。在齒輪傳動過程中，在受載變形和齒輪誤差的影響下，從動輪的轉(zhuǎn)動位置會偏離其理想位置，實際位移與理想轉(zhuǎn)動位移的差值定義為傳動誤差，如圖3所示。使用齒輪副傳動誤差來計算齒輪時變嚙合剛度，由于考慮了接觸產(chǎn)生的局部變形和彎曲產(chǎn)生的輪齒位移等因素，能夠得到較為準確的計算結(jié)果。圖3傳動誤差示意圖將齒輪副在負載下的受載傳動誤差轉(zhuǎn)換為嚙合線方向上的位移，一般表示為式中，Rbp、Rbg分別為主、從動輪基圓半徑；eTE為傳動誤差；θp、θg分別為主、從動輪轉(zhuǎn)角；zp、zg分別為主、從動輪齒數(shù)。在有限元分析過程中，幾個模型誤差以及有限元網(wǎng)格劃分產(chǎn)生的幾何誤差也會產(chǎn)生不可避免的無負載傳動誤差，其表達式為式中，?p、?g分別為無載荷施加的情況下主、從動輪轉(zhuǎn)動的角度。所以，齒輪嚙合剛度Km

的計算式為式中，δn

為齒輪受載的綜合彈性變形量；Fn為沿嚙合線的相互作用力。2

齒輪嚙合剛度計算模型2.1

齒輪動態(tài)嚙合模型在建立齒根裂紋擴展和時變嚙合剛度計算模型前，首先要對各模型進行有限元受力分析，以等速嚙合的準靜態(tài)齒輪嚙合過程為研究對象，建立模擬齒輪動態(tài)嚙合過程的靜力學分析模型。本文基于文獻61-62建立齒輪模型，齒輪的材料為14NiCrMo13-4，齒輪的其他參數(shù)如表1所示。表1

齒輪參數(shù)為提高模型計算效率，本文只保留參與嚙合的3個輪齒和嚙合前后的2個輪齒，使用三維建模軟件建立齒輪副的三維模型，并將模型導入

Hypermesh

進行網(wǎng)格劃分，模型采用

C3D8R

六面體網(wǎng)格法，并在齒面接觸嚙合部分和齒根部分進行局部網(wǎng)格細化。網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖4所示。圖4齒輪嚙合的網(wǎng)格模型和局部網(wǎng)格細化在Abaqus軟件中建立齒輪動態(tài)嚙合有限元模型，如圖5所示。齒輪中心控制點RP1、RP2與齒輪內(nèi)徑表面進行動態(tài)耦合連接，并限制除沿Z軸旋轉(zhuǎn)的其他5個方向的自由度。在控制點RP1施加135664N·mm的力矩模擬齒輪負載，并在控制點

RP2施加

1rad的旋轉(zhuǎn)角位移模擬齒輪轉(zhuǎn)動。在兩齒輪各面之間建立摩擦接觸，摩擦因數(shù)為0.015。然后提交分析計算。圖5相互作用和載荷邊界條件設定齒輪的整個嚙合過程分

50個嚙合位置，嚙合過程中雙齒嚙合和單齒嚙合交替進行。齒輪整體在嚙入和嚙出的不同階段的最大拉應力結(jié)果如圖6所示。圖6不同時刻的等效應力和最大主應力選取第三對齒的最大拉應力點（N-207194）為研究對象，分析其在整個嚙合過程中的最大拉應力變化規(guī)律，如圖

7

所示。仿真結(jié)果顯示，在嚙合過程中，齒根最大拉應力發(fā)生在單齒嚙合最高點。參考第一強度理論，材料斷裂通常發(fā)生在最大拉應力處，因此，設定此節(jié)點坐標為裂紋萌生處。圖7轉(zhuǎn)動過程中第三對齒的齒根最大主應力歷程2.2

齒根裂紋擴展模型由于斷裂分析過程較為復雜，根據(jù)最大周向拉應力理論，裂紋擴展主要取決于最大拉應力的數(shù)值，因此，可以將齒輪動態(tài)嚙合過程中齒根的載荷歷程簡化為最大主應力為最大值時的脈動循環(huán)載荷，使用靜態(tài)嚙合模型代替動態(tài)嚙合模型進行裂紋擴展仿真。根據(jù)動態(tài)嚙合過程兩齒輪的相對位置，建立第三對齒的單齒嚙合最高點的靜態(tài)分析模型，并在控制點

RP2

施加固定約束，其他相互作用和載荷邊界條件設定與動態(tài)嚙合過程相同。如圖8所示，簡化后模型的等效應力和最大主應力的應力分布與圖

6（c）、圖

6（d）相同，最大值分別為等效應力

899MPa和

902MPa、最大主應力490MPa和484MPa。圖8靜態(tài)嚙合模型的等效應力和最大主應力參考文獻中160-163的實驗齒輪，使用

Franc3D在齒根最大主應力處植入

0.23mm

的貫穿型裂紋。植入初始裂紋的齒根裂紋擴展模型如圖9所示。對裂紋擴展進行仿真分析，并根據(jù)

Pairs定律計算脈動載荷加載下裂紋的擴展速率和疲勞壽命。圖9植入初始裂紋的齒根裂紋擴展模型2.3

齒輪嚙合剛度計算模型根據(jù)齒輪動態(tài)嚙合有限元模型進行剛度相關計算。圖10為含裂紋齒輪的嚙合剛度計算流程圖。圖10含裂紋齒輪的嚙合剛度計算流程圖首先，根據(jù)齒輪參數(shù)和載荷邊界條件在

Abaqus中建立動態(tài)嚙合的有限元模型，并進行應力分析，確定齒根最大拉應力時刻即單齒嚙合上界點時刻兩齒輪的相關轉(zhuǎn)動角度；其次，根據(jù)上一步模型的結(jié)果建立單齒嚙合的靜態(tài)嚙合有限元模型，并在此模型上植入初始裂紋，進行裂紋擴展仿真研究；最后，將獲取的裂紋擴展路徑同原有的動態(tài)嚙合模型相結(jié)合，創(chuàng)建含裂紋輪齒的動態(tài)嚙合有限元模型，求解齒輪的變形量和載荷分布，計算齒輪的嚙合剛度。3

結(jié)果與分析根據(jù)本文提出的裂紋擴展模型和嚙合剛度計算模型，對表1中齒輪進行動態(tài)嚙合仿真、齒根裂紋擴展仿真和時變嚙合剛度計算。3.1

齒根疲勞裂紋擴展在齒根拉應力最大處植入

0.23mm

的貫穿型初始裂紋，將最大周向正應力理論作為裂紋開裂判斷依據(jù)，每階段裂紋擴展距離為

0.15mm，對齒根裂紋擴展進行仿真分析。仿真裂紋路徑與實驗裂紋路徑160-163對比結(jié)果如圖

11

所示，裂紋呈以中心線為對稱線的微型圓弧狀曲線。計算不同階段的裂紋前緣應力強度因子和裂紋擴展壽命，分別如圖

12~圖

15

所示。從整個裂紋擴展過程來看，應力強度因子KI和KII都隨著裂紋深度的增加而增大，且KI的數(shù)值遠大于KII和KIII，這說明齒根裂紋的斷裂形式主要以張開型裂紋為主。在裂紋擴展的前期，KI的分布曲線呈兩邊高、中間低的對稱形狀，表明裂紋向輪緣的方向擴展；在裂紋擴展的后期，KI的分布曲線基本呈水平狀，表明裂紋開始朝著齒根的方向均勻擴展。從裂紋擴展的剩余壽命來看，起初裂紋擴展速度較慢；隨著擴展次數(shù)的增加，裂紋擴展速度逐漸增大。本文模型中，裂紋從

0.23mm擴展到

6.1mm對應的仿真計算疲勞壽命為

1.34×105，將仿真壽命曲線與文獻中實驗壽命曲線進行對比，仿真結(jié)果前期數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)基本相同。圖11裂紋擴展路徑圖12不同階段裂紋的應力強度因子KI圖13不同階段裂紋的應力強度因子KII圖14不同階段裂紋的應力強度因子KIII圖15裂紋擴展剩余壽命曲線3.2

含裂紋齒輪的嚙合剛度為研究裂紋擴展過程中不同階段裂紋對齒輪嚙合剛度的影響，將裂紋擴展模型中的初始裂紋和第5、12、25、39階段裂紋路徑模型與原有的動態(tài)嚙合模型相結(jié)合，創(chuàng)建含不同程度裂紋的輪齒動態(tài)嚙合有限元模型。然后提交求解齒輪的綜合變形量和受載分布，計算齒輪的嚙合剛度。不同階段裂紋擴展的路徑如圖16所示。圖16不同階段對應的裂紋擴展路徑長度齒輪受載的綜合彈性變形量和時變嚙合剛度分別如圖17、圖18所示。圖17綜合彈性變形量曲線圖18時變嚙合剛度曲線由圖

17

和圖

18

可知，在含裂紋齒輪的正常雙齒-單齒-雙齒交替嚙合過程中，單齒嚙合區(qū)域內(nèi)，裂紋對綜合變形量和嚙合剛度的影響最大；第一個雙齒嚙合區(qū)域因其所受的載荷略大于第二個雙齒嚙合區(qū)，從而前者對綜合變形量和嚙合剛度的影響略大于后者。從整個裂紋擴展過程來看，裂紋長度與最小嚙合剛度的對應關系如表2和圖19所示。表2

裂紋長度與最小嚙合剛度圖19裂紋路徑長度與最小嚙合剛度當裂紋深度較小時，擴展路徑對齒輪綜合嚙合剛度的影響較小；隨著裂紋深度的增大，這種影響逐漸明顯，含裂紋齒輪的最小嚙合剛度與裂紋路徑的長度近似呈線性遞減關系。4

結(jié)論以直齒圓柱齒輪齒根疲勞裂紋為研究對象，提出了一種模擬齒根疲勞裂紋擴展和計算含齒根裂紋齒輪嚙合剛度的模型。首先，建立齒輪動態(tài)嚙合有限元，確定齒根裂紋萌生的位置；然后，建立裂紋擴展仿真模型，模擬齒根裂紋的擴展路徑；最后，根據(jù)裂紋擴展路徑，利用有限元計算了含裂紋齒輪的時變嚙合剛度。主要得出以下結(jié)論：1）齒根裂紋的斷裂形式