廣東省部分重點(diǎn)中學(xué)2026屆高三上學(xué)期10月學(xué)術(shù)能力診斷性測試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，則.故選：C.2.已知全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由及，可得：，又因?yàn)?，所?故選：B.3.命題p：“”，命題q：“”，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，則，即“”可推出命題“”；當(dāng)時(shí)，，但是不成立，即由命題“”推不出“”；故命題“”是命題“”的充分不必要條件.故選：A.4.3個(gè)男同學(xué)和3個(gè)女同學(xué)排成一列，進(jìn)行遠(yuǎn)足拉練．要求排頭和排尾必須是男同學(xué)，則不同的排法有（）種．A.36 B.108 C.120 D.144【答案】D【解析】總共有3個(gè)男同學(xué)，排頭必須是男同學(xué)，所以排頭的選擇有種，所以排尾只能從剩余2個(gè)男同學(xué)選取，有種，最后剩余4人安排在中間4個(gè)位置，有種，所以一共有種．故選：D．5.已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，得，由函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，得，即當(dāng)時(shí)，，等號(hào)成立時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的最小值為1，故選：A.6.已知力作用于某一物體，使該物體從移動(dòng)到，則力對(duì)該物體做的功為（）A.2 B.4 C.6 D.10【答案】D【解析】因?yàn)?，所以力?duì)該物體做的功為.故選：D.7.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為直徑的圓與C在第二象限交于點(diǎn)P，若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得⊥，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，故，即為坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離，則，所以，由雙曲線定義可得，所以，又，由勾股定理得，故，解得，故離心率為.故選：C.8.若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意均有則實(shí)數(shù)a的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，的取值是以12為周期的序列.在一個(gè)周期內(nèi)的取值組成的集合為.根據(jù)的單調(diào)性、對(duì)稱性及的周期性，不妨令，則的最大值在或中取得.可使的最大值取得最小值，需使.根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性，此時(shí)兩角關(guān)于對(duì)稱，即.此時(shí)，解得，.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)但不全得3分，有錯(cuò)選的得0分．9.如圖所示，已知A、B、C、D、E、F分別是正方體所在棱的中點(diǎn)，則下列直線中與直線EF異面的是（）A.直線AB B.直線BCC.直線CD D.直線DA【答案】CD【解析】如圖所示的正方體中，A、B、C、D、E、F分別是所在棱的中點(diǎn)，正方體中有且，四邊形為平行四邊形，有且，又，，所以且，所以為梯形，故直線與相交，A錯(cuò)誤；正方體中，因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面，所以直線與直線無公共點(diǎn)，又，，所以直線與直線不平行，即直線與直線是異面直線，故C正確；因?yàn)槠矫?，平面，，故直線與異面，D正確.故選：CD.10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為M，直線l經(jīng)過左焦點(diǎn)與C交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．則下列判斷正確的是（）A.的周長為4 B.為等邊三角形C.的最小值為1 D.存在點(diǎn)N，使得【答案】BC【解析】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，直線過點(diǎn)，對(duì)于A，的周長為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，點(diǎn)，則，為等邊三角形，B正確；對(duì)于C，當(dāng)且僅當(dāng)為橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值，C正確；對(duì)于D，假設(shè)存在點(diǎn)，令，由，得，則，顯然此方程組無解，即不存在點(diǎn)，使得，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】，，，，，，，或，若，，代入已知，得到，這是不可能的，則舍去，，故選項(xiàng)A正確；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故選項(xiàng)B正確；，，，，，，，，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)，，，，，，設(shè)，，在內(nèi)是減函數(shù)，，，在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，利用二分法思想，，的零點(diǎn)在內(nèi)，，，，，，，，，，，，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，則________.【答案】【解析】由題設(shè)，，根據(jù)換底公式，則.故答案為：.13.擲一枚質(zhì)地不均勻的骰子，記向上面的點(diǎn)數(shù)為X，若，則的最小值為______．【答案】【解析】設(shè)，則，且，由，得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，即，此時(shí)，，，合題意，所以的最小值為.故答案為：.14.一個(gè)軸截面為等邊三角形、高為6cm的封閉圓錐形容器內(nèi)有一個(gè)半徑為1cm的小球，小球在該容器內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，則小球能接觸到的圓錐內(nèi)壁的面積為______．【答案】【解析】在圓錐內(nèi)壁側(cè)面，小球接觸到的區(qū)域圍成一個(gè)圓臺(tái)側(cè)面，如圖所示，圓錐軸截面為等邊三角形，高為，則圓錐的母線長與底面圓的直徑均為．由小球的半徑1cm，，得，又都是等邊三角形，則，圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為，母線長，因此圓臺(tái)的側(cè)面積為，在圓錐底面，小球接觸到的區(qū)域是一個(gè)圓，其半徑為，其面積為，所以圓錐內(nèi)壁上小球能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁總面積為故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.為了研究生活習(xí)慣M與患有疾病N的關(guān)系，某疾控中心隨機(jī)調(diào)查了其他條件都基本相同的340人，調(diào)查數(shù)據(jù)如表所示．無習(xí)慣M者有習(xí)慣M者合計(jì)沒患疾病N者120160280患有疾病N者154560合計(jì)135205340（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷患有疾病N與有生活習(xí)慣M是否有關(guān)？（2）常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件Ｂ發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計(jì)中稱為似然比．現(xiàn)從340人中任選一人，A表示“選到的人是有習(xí)慣M者”，B表示“選到的人患有疾病N者”，請(qǐng)利用樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)的值．附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）零假設(shè)：患有疾病N與有生活習(xí)慣M無關(guān)，依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得，根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷零假設(shè)不成立，即認(rèn)為患有疾病N與有生活習(xí)慣M有關(guān)．（2）.16.已知各項(xiàng)均不為的數(shù)列的前項(xiàng)和為當(dāng)時(shí)，（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，設(shè)，若對(duì)于任意正整數(shù)，均有，求正整數(shù)的值．（1）證明：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以，可得當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，等式兩邊同除可得，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．（2）解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，故，因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，則，所以，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為，所以對(duì)任意正整數(shù)，均有，．17.如圖所示四棱錐，底面ABCD是邊長為2的正方形，M、N分別為BC、PD的中點(diǎn)．（1）證明：平面PAB；（2）若，平面平面ABCD，求二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）．（1）證明：設(shè)AD中點(diǎn)為Q，連接,因?yàn)镸、N分別為BC、PD的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB，所以平面PAB，平面PAB，平面NQM，平面NQM，且，所以平面平面PAB，因?yàn)槠矫?，所以平面．?）解：設(shè)AB中點(diǎn)為O，CD中點(diǎn)為R，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，且平面平面，平面，所以平面ABCD，進(jìn)而，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OR、OP為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，因?yàn)槿簦?，所以，，，，，N為PD中點(diǎn)，所以，設(shè)平面AMN的法向量為，因?yàn)?，，，，所以，，取，則，，，平面AMD的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，所以．18.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在上，且．（1）求拋物線的方程；（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)F，且與交于A、B兩點(diǎn)．①點(diǎn)P是拋物線上位于A、B之間的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離d的最大值為，求的最小值；②設(shè)線段的垂直平分線與交于M、N兩點(diǎn)，若A、M、B、N四點(diǎn)共圓，求直線l的方程．解：（1），所以，拋物線的方程為．（2）①設(shè)，，，，為直線l與x軸正半軸的夾角，則直線l的方程為，將直線方程代入拋物線方程得，不妨設(shè)，則，，，所以，即，點(diǎn)P到直線l的距離（當(dāng)時(shí)取等）所以（，時(shí)取等），所以的最小值為1．②設(shè)方程為，，，AB中點(diǎn)，直線的方程為，，，因?yàn)榇怪逼椒?，且四點(diǎn)共圓，所以關(guān)于對(duì)稱，且MN是直徑，將方程代入拋物線方程得，所以，，因?yàn)镃既在AB上，又在MN上，所以，，得，將方程代入拋物線方程得，因?yàn)?，所以，得，即，進(jìn)而，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，得，所以直線l的方程為或．19.已知．（1）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)于任意，均有；（2）①若是R上的增函數(shù)，證明：；②證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有唯一的極值點(diǎn)和唯一的零點(diǎn)，且．證明：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增.所以在處取得最小值，最小值為.進(jìn)而對(duì)任意，均有．（2）①由，得.因?yàn)槭荝上的增函數(shù)，所以在R上恒成立.設(shè)，則.若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上遞減，在上遞增.不合題意.若.令，則.當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則，所以在上遞減，存在，與是R上增函數(shù)矛盾；當(dāng)時(shí)，則，設(shè)，則.所以在上遞增，，與是R上增函數(shù)矛盾；當(dāng)時(shí)，由（1）知，所以滿足要求，綜上所述，．②由，得.設(shè)，由①知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋栽诤愠闪?，即方程在上無解.由（1）