.5.2：圓與圓的位置關系【考點歸納】【知識梳理】知識點1兩圓的位置關系及其判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關系如下：位置關系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|(2)代數(shù)法：設兩圓的一般方程為C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個數(shù)與兩圓的位置關系如下：方程組解的個數(shù)2組1組0組兩圓的公共點個數(shù)2個1個0個兩圓的位置關系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含知識點2兩圓的位置關系與公切線條數(shù)的關系位置關系公切線條數(shù)圖示外離4外切3相交2內(nèi)切1內(nèi)含0【題型歸納】題型一、兩圓位置關系的判斷【例1】．（25-26高二上·江蘇連云港）圓和圓的位置關系是（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】B【分析】求出兩圓心距，與半徑之差的絕對值，半徑之和比較大小即可判斷.【詳解】圓，，圓心分別為，，半徑分別為，.因為，，，因為，所以兩圓相交.故選：B.【變式1】．（24-25高二上·吉林長春·期末）已知圓，圓，則這兩個圓的位置關系為（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)含【答案】C【分析】求出圓心距，與半徑之和，半徑之差的絕對值比較大小即可判斷.【詳解】由題可得：,,,,所以，則，則這兩個圓的位置關系為相交；故選：C【變式2】．（25-26高二上·河南南陽·階段練習）已知直線與圓相切，則圓和圓的位置關系是（

）A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．外離【答案】A【分析】首先根據(jù)直線與圓的位置關系求，再計算圓心距，結合公式判斷兩圓的位置關系.【詳解】圓的圓心，半徑，由直線與圓相切，得，解得（負根舍去），所以，，圓的圓心，半徑，因為，所以圓和圓相交.故選：A題型二、由圓與圓的位置關系求參數(shù)問題【例2】．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圓與圓有且僅有2條公切線，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩圓的公切線數(shù)量得出兩點間距離范圍，再結合一元二次不等式求解即可.【詳解】因為圓：與圓：有且僅有2條公切線，所以圓：與圓：相交，所以，所以或.故選:D.【變式1】．（24-25高二上·貴州黔南·階段練習）已知圓與圓外離，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別求出兩圓的圓心和半徑，結合兩圓外離求解即可.【詳解】由，圓心為，半徑為，圓，即，則圓心，半徑為，，又，且兩圓外離，則，即，解得，所以，即的取值范圍是.故選：C【變式2】．（24-25高二上·海南·期末）已知圓，則點，若圓上存在一點滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設點，由求得點的軌跡方程為，將問題轉(zhuǎn)化成兩圓有公共點問題，利用兩圓位置關系的判斷方法解不等式即得.【詳解】設點，因，則由可得：，化簡整理得：，即點的軌跡方程為，依題意，圓與圓有公共點，又，兩圓半徑分別為，故得，即，即，解得.故選：A.題型三、圓與圓的位置關系確定圓的方程【例3】．（24-25高二上·全國）已知半徑為1的動圓與圓相切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A．B．或C．D．或【答案】D【分析】先求出已知圓圓心和半徑，再根據(jù)圓和圓的位置關系求解即可.【詳解】由，圓心為，半徑為4，設動圓圓心為，若動圓與已知圓外切，則，即；若動圓與已知圓內(nèi)切，則，即.綜上所述，動圓圓心的軌跡方程是或.故選：D.【變式1】．（23-24高二上·河南南陽·階段練習）以為圓心，且與圓相外切的圓C的方程為（

）A． B．C．=16 D．【答案】B【分析】根據(jù)兩圓外切求圓的半徑，即可求解.【詳解】由題意可知，兩圓的圓心距為5，設圓的半徑為，因為兩圓相外切，則，得，所以圓的方程為.故選：B【變式2】．（22-23高二上·廣西河池·階段練習）已知動圓與圓外切，同時又與軸相切，則圓的圓心軌跡方程為（

）A． B．和C． D．和【答案】D【分析】設動圓圓心為，半徑為，則由題意可得化簡可得答案.【詳解】的圓心為，半徑為2設動圓圓心為，半徑為，由題意得，即當時，化簡得：，當時，化簡得：，故選：D.題型四、兩圓的公共弦方程【例4】．（24-25高二上·廣西河池·期末）已知圓和圓，則兩圓公共弦所在直線的方程為.【答案】【分析】將圓和圓作差即可得兩圓公共弦所在直線的方程.【詳解】圓：和圓，兩圓作差相減，得直線方程為，經(jīng)檢驗，直線方程滿足題意；故答案為：.【變式1】．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知圓：與圓：相交于A，B兩點，則兩圓的公共弦所在的直線方程為.【答案】【分析】兩圓的方程直接相減即可得到結果.【詳解】圓：與圓：相交于A，B兩點，則兩圓的公共弦所在的直線方程讓兩圓的方程直接相減得.故答案為：.【變式2．（24-25高二上·上?！て谀﹫A：與圓：的相交弦所在直線方程為．【答案】【分析】通過已知的圓的方程，利用相減法找到兩個圓的交點所在直線方程即可.【詳解】圓的方程是，簡化后為，聯(lián)立，兩式相減，得到，化簡可得.因此，過兩圓交點的直線方程為.故答案為：.題型五、兩圓的公共弦長問題【例5】．（24-25高二下·湖北·期中）已知圓和圓，則兩圓的公共弦長為.【答案】【分析】先求出相交兩圓的公共弦所在直線方程，再求出圓心到公共弦直線的距離，根據(jù)弦長公式即可求得公共弦長.【詳解】

如圖，由圓與圓相減，整理可得兩圓的公共弦所在直線方程為：，由圓的圓心到直線的距離為，由弦長公式，可得兩圓的公共弦長為.故答案為：.【變式1】．（24-25高二上·貴州·期中）已知圓：與圓：的交點為、，則．【答案】【分析】首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標，再兩圓方程作差求出公共弦方程，求出圓心到公共弦的距離，最后由勾股定理計算可得.【詳解】圓：，即，則圓心，半徑；圓：，即，則圓心，半徑；所以，所以，所以兩圓相交，則兩圓公共弦方程為，即，則圓心到直線的距離，所以公共弦.故答案為：【變式2】．（24-25高二上·天津·期中）已知圓與圓相交于點、．①若，則公共弦所在直線方程為．②若弦長，則．【答案】或0【分析】對于①直接由兩圓方程相減得，對于②兩圓的方程相減得直線方程，再結合弦長的幾何法求解即可解決問題.【詳解】①若，則圓：，圓：，兩個方程相減得，化簡并整理得公共弦所在直線方程為，②若弦長，而兩圓方程相減得，化簡并整理得公共弦所在直線方程為，則到直線的距離為：，則，解得：，或，故答案為：；或0.題型六、兩圓的公切線長問題【例6】．（25-26高二上·湖南·階段練習）已知直線l與圓和都相切，則直線l的一般式方程為．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一，或填或填）【分析】先判斷兩圓位置關系可得公切線條數(shù)，再分不同情況進行討論即可得.【詳解】設圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線的方程為，直線與直線的交點為，設過該點的直線為，則，解得，從而該切線的方程為.故答案為：.（答案不唯一，或填或填）【變式1】．（2024·江西·模擬預測）寫出圓與圓的一條公切線方程．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)圓的方程判斷兩圓位置關系，即外切，進而求切點，結合已知求公切線方程，即可得答案.【詳解】由題設，圓心、，則，即兩圓外切，設切點為，，得，所以，又過與垂直的直線為兩圓的內(nèi)公切線，斜率為，該公切線方程為，整理得．設兩圓的一條外公切線與兩圓的切點分別為，連接，作，垂足為（如圖），則，所以，所以直線，即直線的斜率為，設直線為，則，所以，故為．由圖易知，另一條外公切線的方程為．故兩圓的公切線方程為或或（填其中之一即可）．故答案為：（答案不唯一）【變式2】．（24-25高二上·湖南·期中）寫出與圓和圓都相切的一條直線方程.【答案】（或或，任寫一條即可，答案不唯一）【分析】求出兩圓圓心和半徑，兩圓圓心距以及兩圓心所在直線方程即可得兩圓公切線情況，再結合直線垂直關系以及兩平行直線距離公式即可求公切線方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓心距為，故兩圓外切，兩圓圓心所在直線的方程為，即，中點為，切線垂直于直線，且經(jīng)過中點，所以切線的方程為；切線平行于直線，且到直線的距離為，設平行于直線切線方程為，則或，所以切線的方程分別為.

故答案為：（或或，任寫一條即可，答案不唯一）.題型七：兩圓的公切線條數(shù)【例7】．（25-26高二上·全國·單元測試）圓：與圓的公切線條數(shù)是．【答案】3【分析】分析圓心距和兩圓半徑的關系，可知兩圓外切，即可得到兩圓公切線條數(shù).【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑．因為，所以兩圓外切，所以圓與圓的公切線有3條．【變式1】．（24-25高三下·江蘇徐州·階段練習）已知圓與圓恰有三條公切線，則.【答案】【分析】根據(jù)兩圓恰有三條公切線，可得兩圓外切，利用圓心距等于半徑之和即可求解.【詳解】由題知，兩圓外切，由圓方程得，半徑，由圓方程得，半徑，則，解得.故答案為：【變式2】．（24-25高二上·寧夏吳忠·期中）若圓與圓有且僅有三條公切線，．【答案】【分析】根據(jù)條件直接求出兩圓的圓心和半徑，再利用兩圓的位置關系，即可求解.【詳解】易知圓的圓心為，半徑為，由，得到，則，即，圓的圓心為，半徑為，因為圓與圓有且僅有三條公切線，所以圓與圓外切，則，即，解得，故答案為：.【變式3】．（24-25高二上·江蘇南通·期末）已知圓和圓，則的公切線共有條.【答案】2【分析】先判斷兩圓的位置關系，得到公切線的條數(shù)即可．【詳解】由題意得圓的圓心坐標為，半徑為1，的圓心坐標為，半徑為2，則圓心距為，故兩圓相交，則兩圓的公切線的條數(shù)是2條.故答案為：2題型八：圓與圓位置關系的綜合【例8】．（25-26高二上·廣東·階段練習）已知圓的圓心在直線：上，圓過點，且圓與x軸相切，圓：（）與圓內(nèi)切，切點為A．(1)求圓的標準方程；(2)求r的值以及點A的坐標；(3)過點A的直線l與圓，在第一象限分別交于B，C兩點，若，求直線l的方程．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）設圓，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)兩圓的位置關系可求出，聯(lián)立兩圓的方程可求出點的坐標；（3）設直線的方程為，表示出兩圓的弦心距進而表示出和，最后利用列方程即可求解.【詳解】（1）設圓，由題意可知，解得，所以圓的標準方程為.（2）圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距為，因為兩圓內(nèi)切于點，所以，解得或（舍去），所以圓的標準方程為，聯(lián)立，解得，所以點的坐標為.（3）由題意可知，直線的斜率顯然是存在的且大于，設直線的方程為，即，圓的圓心到直線距離，根據(jù)弦長公式可得，圓的圓心到直線距離，根據(jù)弦長公式可得，所以，解得或（舍去），故直線的方程為.【變式1】．（25-26高二上·安徽·階段練習）已知圓C：與圓：．(1)若圓C與圓有3條公切線，求r的值．(2)若，試求：①圓C與圓所得的公共弦長；②經(jīng)過圓C與圓的交點且過坐標原點O的圓M的方程．【答案】(1)(2)①；②（或?qū)懀海痉治觥浚?）根據(jù)兩圓外切求出r即可；（2）①先判斷兩圓的位置關系，再利用垂徑定理求出弦長；②利用圓系方程，設圓，求出即可.【詳解】（1）圓C：的圓心，半徑為r，圓：的圓心，半徑為，由圓C與圓有3條公切線，所以圓C與圓相外切，故，所以；（2）①當時，圓C：，則，故圓C與圓相交，兩圓方程相減得，點C到直線距離為，所以圓C與圓所得的公共弦長為；②，，設圓M的方程為，因為圓M過坐標原點，所以把代入，可得：，即，故圓M的方程為，所以圓M的方程為（或?qū)懀海咀兪?】．（25-26高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習）已知：圓的圓心在第一象限，與軸相切，與軸交于、兩點，且，，點在斜率為的直線上.(1)求圓的標準方程；(2)若直線與圓交于，兩點，且，求直線的方程；(3)若存在圓心在直線上，半徑為1的圓與圓外切，求的取值范圍.【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）設圓，根據(jù)題意列出方程求解；（2）設直線，求出圓心到直線的距離，結合，求出得解；（3）由題，求出到的距離，利用，求解.【詳解】（1）設圓，根據(jù)題意，可得，解得，所以圓的標準方程為.（2）設直線，圓心到的距離，因為，所以，即，所以或，所以直線的方程為或.（3）若存在圓與圓外切，即存在點使得，因為到的距離，所以，所以，即，解得或，所以的取值范圍為或.【高分演練】一、單選題1．（25-26高二上·北京·階段練習）已知圓與圓外切，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出兩圓的圓心和半徑，再利用兩圓外切列方程求解.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，由圓外切，得，則，所以.故選：C2．（25-26高二上·山西晉中·階段練習）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】求出兩圓圓心距離和半徑后，可得位置關系，由位置關系可得公切線的條數(shù).【詳解】由圓，得圓心，半徑；由圓，得，即圓心，半徑.兩圓圓心距，所以，即兩圓相交，所以兩圓公切線有2條.故選：C.3．（25-26高二上·江蘇南京·階段練習）已知圓：（，為常數(shù)）與：.若圓心與關于直線對稱，則圓與的位置關系為（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．相切 D．相離【答案】B【分析】根據(jù)條件求出的圓心，再根據(jù)圓心的距離即可判斷.【詳解】圓的方程為，依題意，，因為圓心與關于直線對稱，所以，又，，，，，所以兩個圓相交；故選：B.4．（25-26高二上·河北邢臺·階段練習）已知圓與圓相交于兩點，則點到直線的距離是（

）A．3 B． C． D．2【答案】B【分析】利用兩圓的公共弦方程結合點到直線的距離計算即可.【詳解】由題意可得直線的方程為，即0，則點到直線的距離是.故選：B5．（25-26高二上·河南駐馬店·階段練習）若圓上總存在兩個點到點的距離為6，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的定義、兩圓相交的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】，圓心，半徑為，設動點到點的距離為6的軌跡為圓，圓心為，因為圓上總存在兩個點到點的距離為6，所以圓與圓相交，于是有，解得，或，故選：C6．（25-26高二上·江蘇南京·階段練習）已知，若兩圓和恰有三條公切線，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得兩圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓有三條公切線，可得兩圓外切，即可求得，令，代入上式，化簡整理，可得關于m的一元二次方程，根據(jù)，結合判別式，即可得答案.【詳解】圓，整理得，則圓心為，半徑為1，圓，整理得，則圓心為，半徑為2，因為兩圓恰有三條公切線，所以兩圓外切，即圓心距等于半徑和，所以，解得，

令，則，代入，得，展開得，因為，所以，解得.所以的最大值為.故選：D7．（25-26高二上·江西·階段練習）已知圓與圓交于A，B兩點，則直線AB的一般式方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)公共弦直線方程的求解方式，用兩圓聯(lián)立相減即可.【詳解】聯(lián)立兩式相減可得.故選：D.8．（25-26高三上·湖南長沙·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C的方程為若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系和點到直線的距離公式建立不等式，解之可得選項.【詳解】圓的標準方程為，半徑，當圓心到直線的距離時，滿足題意，圓心在直線上的射影點即滿足題意，故有，解得，即的最大值為，故選：D.9．（25-26高三上·河北·開學考試）若圓：與圓：有且僅有2條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可知圓與圓相交，故，所以點在以原點為圓心，半徑分別為2和4的圓所夾的圓環(huán)內(nèi)部（不含邊界）.分析可得代表點到直線的距離的5倍.根據(jù)圓內(nèi)點到直線距離最值的求法即可求解.【詳解】由題可知圓，半徑，圓，半徑.∵圓與圓有且僅有2條公切線，∴圓與圓相交，∴，∴點在以原點為圓心，半徑分別為2和4的圓所夾的圓環(huán)內(nèi)部（不含邊界）.又，∴代表點到直線的距離的5倍.∵圓心到直線的距離為1，∴圓環(huán)內(nèi)的點到直線的距離，∴的取值范圍為.

故選：C.10．（25-26高三上·河北衡水·開學考試）已知A，B是圓O:與x軸的兩個交點，動點滿足，記點M的軌跡為，則（

）A．與圓O相切B．是兩條平行的直線C．的最大值為D．上的點到原點O的距離的最大值為6【答案】C【分析】依題意，設，利用先求出動點M的軌跡方程，得到是圓心在點，半徑為的圓，結合作圖，利用圓與圓之間位置關系判斷，圓的切線性質(zhì)以及圓上的點到定點距離的最值求解逐一判斷各選項即可.【詳解】設，由題意，，因，代入坐標可得：，兩邊取平方，整理得：，即，故點M的軌跡為是圓心在點，半徑為的圓.對于A，因圓與圓的圓心距滿足，故兩圓相交，即A錯誤；對于B，由上分析知是圓心在點，半徑為的圓，故B錯誤；對于C，如圖，當與圓相切時，取得最大值，此時記切點為，因，則，故得的最大值即，故C正確；對于D，由上分析，因圓的圓心與原點O都在軸上，故圓與軸的右交點到原點O的距離最大，且距離最大為，故D錯誤.故選：C.二、多選題11．（25-26高二上·江蘇連云港·階段練習）已知圓和圓的公共點為，，則（

）A． B．直線的方程是C． D．為等腰三角形【答案】BCD【分析】兩圓相減就是直線的方程，再利用圓心距，利用弦長公式逐項判斷即可.【詳解】對于A，圓的圓心，半徑為1，圓，圓心，半徑為2，圓心距為2，故A錯誤；對于B，公共弦所在的直線方程為：，即，故B正確；對于C，圓心到的距離為，所以，故C正確；對于D，，，，為等腰三角形，故D正確.故選：BCD.12．（25-26高一上·河南駐馬店·開學考試）已知圓與圓，下列選項正確的有（

）A．若，則兩圓外切B．若，則直線為兩圓的一條公切線C．若，則兩圓公共弦所在直線的方程為D．若，則兩圓公共弦的長度為【答案】BD【分析】利用圓與圓的位置關系可判斷A選項；利用直線與圓的位置關系可判斷B選項；將兩圓方程相減可判斷C選項；利用勾股定理可判斷D選項.【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為，對于A選項，若兩圓外切，則，解得，A錯；對于B選項，若，圓心到直線的距離為，則直線與圓相切，圓心到直線的距離為，則直線與圓相切，故當時，則直線為兩圓的一條公切線，B對；對于C選項，若，因為，此時兩圓相交，將兩圓方程相減得，即，故當時，兩圓公共弦所在直線的方程為，C錯；對于D選項，當時，圓心到直線的距離為，此時兩圓的公共弦長度為，D對.故選：BD.13．（25-26高二上·重慶·階段練習）圓和圓的交點為A，B，則有（

）A．圓的圓心為，半徑為B．公共弦AB所在直線方程為C．線段AB中垂線方程為D．P為圓上一動點，則P到直線AB距離的最大值為【答案】ABC【分析】求出圓的標準方程即可判斷A選項，根據(jù)圓與圓的位置關系，兩圓的方程作差得出公共弦所在直線方程，判斷選項B；利用公共弦的中垂線過圓心即可求出線段的中垂線方程，判斷選項C；利用點到直線的距離即可判斷選項.【詳解】對于，由圓：可得，所以圓的圓心為，半徑為，故A正確；對于B，由圓：與圓的交點為A，B，兩式作差可得，即公共弦所在直線方程為，故B正確；對于C，圓：的圓心為，，則線段中垂線斜率為，即線段中垂線方程為：，整理可得，故C正確；對于D，圓，圓心到的距離為，半徑，所以P到直線AB距離的最大值為，故D不正確；故選：ABC14．（25-26高二上·河北保定·階段練習）已知點在直線上，點在圓上，過點向圓作切線，切點分別為，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．若，則直線的方程為C．的最小值為D．的最小值為【答案】BCD【分析】先由圓心到直線距離得到直線與圓相離，由即可判斷A；以P為圓心、為半徑的圓與圓C作差即可求解判斷B；設，由將問題轉(zhuǎn)化為當取最大值時取最小值，接著在由即可求解判斷C；由結合C即可求解判斷D.【詳解】由題圓心，半徑，過圓心作，垂足為，則，直線與圓相離，所以，故A錯誤；當時，，則，故以為圓心，為半徑的圓的方程為，依題意，直線即圓與圓的公共弦，故直線的方程為，即B正確；設，因為，所以，所以當取最大值時，取最小值，而，所以當取最大值時，取最小值．在，此時，的最小值為，故C正確；由C項，，當時等號成立，故D正確．故選：BCD15．（25-26高二上·湖南·階段練習）已知點，圓，動點滿足，為坐標原點，記點的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（

）A．若過點的直線與圓相切于點，且，則B．若過點的直線與圓相切于點，則面積的最大值為C．若與圓僅有一個公共點，則D．若與圓有兩個公共點，則【答案】ABD【分析】利用軌跡方程求法中的直接法求出點的軌跡，對于選項AB，作出圖象，數(shù)形結合可得答案；對于選項CD，利用兩圓的位置關系可得答案.【詳解】已知點，，設點，滿足，，，代入條件：，兩邊平方得：，整理：，，配方得：，因此，點的軌跡是以為圓心、半徑2的圓.圓的方程為，圓心為，半徑.對于選項A：，圓心，距離，切線長公式：，代入：，故選項A正確；對于選項B：中，（半徑垂直于切線），所以是直角三角形，直角在，的面積，其中，因此，故在時取到最大值.故選項B正確；選項C：圓：圓心，半徑；圓：圓心，半徑，圓心距，兩圓相切（一個公共點）的條件：或，由，得或，由，得（舍去）.因此或，故選項C錯誤；選項D：兩圓有兩個公共點的條件：。，恒成立，只需：，故選項D正確.故選：ABD

16．（25-26高二上·江蘇·期中）圓與圓相交于、兩點，則（

）A．的直線方程為B．公共弦的長為4C．線段的垂直平分線方程為D．圓上的點與圓上的點的最大距離為【答案】ABD【分析】利用兩圓的公共弦方程計算可判定A，利用弦長公式可計算判定B，利用兩直線位置關系結合圓的對稱性可判定C，利用圓的性質(zhì)結合圖象可判定D.【詳解】對于A選項，將兩圓方程作差可得，即，所以直線的方程為，A對；對于B選項，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，B對；對于C選項，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，連接、、、，因為，所以直線過圓心，易知為的中點，又因，所以，所以垂直平分線段，，則直線的方程為，即，C錯；對于D選項，圓上的點與圓上的點的最大距離為，D對.故選：ABD.三、填空題17．（25-26高二上·陜西商洛·階段練習）兩圓與的公共弦長等于.【答案】【分析】由圓的方程求公共弦的方程，得到圓的圓心在公共弦上即可求解.【詳解】由題意，兩圓的標準方程為，，兩圓方程相減可得公共弦方程為：，因為圓心為，半徑為，該圓的圓心在公共弦上，所以公共弦長為該圓的直徑.故答案為：18．（25-26高二上·河南南陽·階段練習）圓經(jīng)過點，且與圓相切于坐標原點，則圓的標準方程為.【答案】【分析】根據(jù)條件確定圓D與圓C相外切，確定圓心D的坐標及圓D的半徑，從而得到圓的標準方程.【詳解】圓的標準方程為，則圓心，半徑，圓C過原點.因為圓與圓相切于坐標原點，且過點，所以圓與圓相外切，圓心是線段的垂直平分線與直線的交點.直線的方程為，線段的垂直平分線的方程為，所以，所以圓的半徑，所以圓的標準方程為.故答案為：

19．（25-26高三上·重慶·階段練習）已知曲線，若圓與都相切，則圓的標準方程為.【答案】【分析】由，得，由，得，由，得，畫出曲線的圖像，利用對稱性可設，即，解出即可.【詳解】由，得，則曲線表示圓的上半部分，由，得，則曲線表示圓的上半部分，由，得，則曲線表示圓的上半部分，畫出曲線，如圖所示.根據(jù)對稱性可知，圓的圓心在軸的正半軸上，設圓的標準方程為，則，解得，故圓的標準方程為.故答案為：.20．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）已知與有且只有兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】由題可得兩圓相交，據(jù)此可得答案.【詳解】得的圓心，半徑．將化為標準方程得，易知的圓心，半徑．又兩圓只有兩條公切線，故兩圓相交，即，顯然，則，即，解得．故答案為：.21．（25-26高二上·全國·單元測試）已知圓和圓，M，N分別是圓C，D上的動點，為直線上的動點，則的最小值是．【答案】【分析】先得到，設關于直線的對稱點為，求出的最小值，進而得到的最小值．【詳解】的圓心為，半徑為1.，圓心為，半徑為2．因為，所以兩圓相離，如圖所示．則，當且僅當三點共線，三點共線且在之間，在之間時，等號成立．設關于直線的對稱點為，連接，與直線交于點，此時，故即為的最小值，故的最小值為．故答案為：.四、解答題22、（24-25高二上·云南·階段練習）已知圓和圓.(1)判斷和的位置關系；(2)求與的公共弦所在直線的一般式方程以及公共弦的弦長.【答案】(1)相交(2)，【分析】（1）首先求解兩圓的圓心距，利用兩圓的位置關系的公式，即可判斷；（2）兩圓相減，即可求解兩圓公共弦所在的直線方程，利用點到直線距離公式以及弦長公式求得正確答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑，圓，圓心為，半徑，所以圓心距，因為，故圓和圓相交.（2）將兩圓方程相減，有，所以兩圓公共弦所在直線的方程為，圓心到的距離，故公共弦的弦長為.23．（25-26高二上·山東菏澤·階段練習）已知圓，圓，(1)證明圓與圓相交，(2)求圓與圓的公共弦所在直線的方程.(3)求公共弦長.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程，求出圓心和半徑，根據(jù)圓心距離和半徑的關系，說明圓相交即可.（2）由（1）知兩圓相交，則根據(jù)一般方程作差得公共弦方程，求出結果即可；（3）根據(jù)弦長公式，利用半徑和弦心距，求出弦長即可.【詳解】（1）圓的標準方程為，所以圓心，半徑；圓的標準方程為，所以圓心，半徑；兩圓圓心距，，；所以圓與圓相交.（2）由（1）知，圓與圓相交，所以將圓與圓的方程相減，得兩圓的公共弦所在直線的方程，得，化簡得.（3）圓心到的距離為，圓的半徑，此時弦長為，即公共弦長為.24．（25-26高二上·江蘇南京·階段練習