2/22第11章簡單幾何體（高效培優(yōu)單元測試·強化卷）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．把半徑分別為3，4，5的三個鐵球，熔成一個大球，則大球半徑是．【答案】6【分析】由大球的體積等于三個鐵球的體積和列式計算.【詳解】設(shè)大球的半徑為，則，解得.所以大球的半徑為6.故答案為：6.2．如圖，“蘑菇”形狀的幾何體是由半個球體和一個圓柱體組成，球的半徑為2，圓柱的底面半徑為1，高為3，則該幾何體的表面積為．【答案】【分析】根據(jù)給定的組合體，結(jié)合球的表面積公式、圓柱的側(cè)面積公式計算即得.【詳解】依題意，該幾何體的表面積是半球的表面積與圓柱側(cè)面積的和，所以所求表面積為.故答案為：3．單位正方體的最大截面積是．【答案】【分析】根據(jù)正方體截面的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】當(dāng)截面為對角面時，截面面積最大，該截面為長方形，其長為正方體的面對角線，長為，寬為正方體的棱長為1，所以最大截面積為，即單位正方體的最大截面積是.故答案為：.4．若圓錐、圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則圓錐、圓柱、球的體積比為．【答案】【分析】根據(jù)幾何體的體積公式，求出各幾何體體積，求出結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則圓錐的體積為，圓柱的體積為，球的體積為，圓錐、圓柱、球的體積比為，故答案為：.5．如圖所示，已知在水平放置的的斜二測直觀圖中，，，若該以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)形成幾何體的側(cè)面積為.【答案】【分析】由直觀圖得到平面圖，即可求出所對應(yīng)的線段，旋轉(zhuǎn)后的圖形為圓錐，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式計算可得.【詳解】如圖，在中，，，，所以，由題意繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后所形成的幾何體為圓錐，圓錐的底面半徑，母線，則圓錐的側(cè)面積為.故答案為：6．《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，其中討論了“垣”“塹”等建筑的體積問題.某工程要完成一個形如直四棱柱的“塹”型溝渠的土方作業(yè)（如圖），其中與平面所成的角均為，，米，米，米，則需要挖土立方米.【答案】【分析】根據(jù)條件得四邊形為等腰梯形，再根據(jù)棱柱的體積公式計算即可.【詳解】因為與平面所成角均為，且,所以四邊形為等腰梯形，因為,所以等腰梯形的高，故，所以直四棱柱體積.故答案為：.7．隨著畜牧業(yè)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和牧民生活的改善，穹廬或氈帳逐漸被蒙古包代替．一個普通的蒙古包可視為一個圓錐與一個圓柱的組合體.如圖，已知該圓錐的高為3m，圓柱的高為4m，底面直徑為8m，該蒙古包的體積是.【答案】【分析】由題知該蒙古包由圓柱和圓錐構(gòu)成，利用圓柱和圓錐體積公式計算即可.【詳解】根據(jù)題意該蒙古包由圓柱和圓錐構(gòu)成，則該幾何體體積為.故答案為：.8．在三棱錐中，點到平面的距離為6，點D，E為邊，的中點，且為正三角形，若，則點到平面的距離為.【答案】6【分析】根據(jù)三棱錐的體積公式及求解即可.【詳解】因為點D，E為邊，的中點，所以，因此，故也為正三角形，且邊長為的兩倍，面積是四倍，設(shè)的面積為S，則的面積為.三棱錐的體積為，設(shè)點到平面的距離為，三棱錐的體積為.所以三棱錐的體積也為，又因為點D，E為邊，的中點，所以，相似比為，面積比為，故三棱錐與三棱錐的體積之比為，所以，即.故答案為：9．如圖，在正方體中，分別是棱的中點，則正方體被平面所截得的截面周長是.【答案】【分析】首先確定截面的位置和特征，然后根據(jù)已知條件中的線段和角的關(guān)系求截面的周長即可.【詳解】在正方體中，取的中點,的中點為,連接，由是的中點，得，則四邊形，，由是的中點，得，梯形是正方體被平面所截得的截面，，所以所求截面的周長是.故答案為：.10．在四面體ABCD中，，則四面體ABCD的外接球的體積為.【答案】/【分析】將四面體放入長方體中，利用長方體的處接球即為四面體的外接球，求解即可.【詳解】將四面體放入長方體中，如圖所示：設(shè)長方體的長，寬，高分別為，則，所以，設(shè)長方體的外接球半徑為，則，解得，又長方體的處接球即為四面體的外接球，所以四面體的外接球的體積為.故答案為：.11．如圖，某圓臺形臺燈燈罩的上、下底面圓的半徑分別為5cm，12cm，高為17cm，則該燈罩外接球的表面積為.【答案】【分析】如圖，設(shè)圓臺上下底面圓心為，上下底面圓周上兩點為E，F(xiàn).上下底面圓半徑為，外接球半徑為.分球心在如圖，，可分別得關(guān)于R的方程，即可得答案.【詳解】如圖，設(shè)圓臺上下底面圓心為，上下底面圓周上兩點為E，F(xiàn).上下底面圓半徑為，外接球半徑為.若球心在如圖，則，整理得：，不合題意；若球心在如圖，則，整理得：，則，從而外接球面積為：.故答案為：12．如圖，已知點是某球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上，兩點與點在同一條直線上，且在點的同側(cè)．若在處分別測得球體建筑物的最大仰角為和，且，則球體建筑物的表面積為．【答案】【分析】根據(jù)題意作出截面圖，設(shè)球的半徑為，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，，利用列式，化切為弦利用輔助角公式求得，代入球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖，設(shè)球的半徑為，，，，，，即球體建筑物的表面積為.故答案為：二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正確選項)13．若用長為4cm，寬為2cm的矩形紙片卷成一個圓柱筒，則這個圓柱筒的最大體積為（

）A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3【答案】D【分析】我們可以分圓柱的底面周長為4，高為2和圓柱的底面周長為2，高為4，兩種情況進(jìn)行討論，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．【詳解】若圓柱的底面周長為4cm，則底面半徑，，此時圓柱的體積，若圓柱的底面周長為2cm，則底面半徑，，此時圓柱的體積∴圓柱的最大體積為cm3.故選：D．14．一個正四棱錐的高是2，底面邊長也為2，則正四棱錐的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正四棱錐的性質(zhì)及勾股定理即可求出側(cè)面積.【詳解】

由正四棱錐頂點在底面的投影是底面正方形的中心，所以根據(jù)題意，可知，在直角三角形中，有，所以三角形的面積為，即正四棱錐的側(cè)面積是，故選：C.15．如圖，在長方體中，，，則四棱錐的體積為（

）

A．2 B．4 C．6 D．10【答案】B【分析】利用棱錐的體積公式求解即可.【詳解】因為長方體，底面，，，所以四棱錐的體積，故選：B16．我國元代瓷器元青花團(tuán)菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤澤，底足露胎，胎質(zhì)致密．碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書有一文字，碗外壁繪有一周纏枝團(tuán)菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫．該元青花團(tuán)菊花紋小盞口徑8.4厘米，底徑2.8厘米，高4厘米，它的形狀可近似看作一個圓臺，則該圓臺的體積約為（

）（單位：立方厘米）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用圓臺體積公式直接求解即可.【詳解】設(shè)該圓臺的上底面、下底面的半徑分別為，，由題意，．則該圓臺的體積為立方厘米．故選：D．三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．如圖，正三棱柱中，，點是的中點.(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求這個三棱柱的側(cè)棱長.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，交于點N，連接，易得，由線面平行的判定定理得證；（2）由三棱錐體積公式求解.【詳解】（1）連接，交于點N，連接，因為四邊形為矩形，所以為的中點，又點是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）因為為等邊三角形，是的中點，所以，又，故，因為平面，設(shè)，則，所以，即，解得，故這個三棱柱的側(cè)棱長為3.18．如圖，在四棱錐中，底面，底面為平行四邊形，．(1)證明：平面；(2)若，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）利用等體積法即可求解.【詳解】（1）底面，平面，，又，，平面，平面；（2）底面，平面，，，，設(shè)點到平面的距離為，則，由（1）可知，平面，平面，，，，，，，點到平面的距離為．19．如圖，在邊長為4的正方體中，點在上.(1)當(dāng)是中點時，證明平面；(2)當(dāng)和重合時，求三棱錐的表面積和體積；【答案】(1)證明見詳解(2)，【分析】（1）連接，交于，在正方體中，易得為中點，結(jié)合是中點，可得，然后可證的平面；（2）由題知，，利用三角形面積公式即可求表面積，又平面，再利用錐體體積公式即可三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：連接，交于，連接，在正方體中，底面為正方形，所以為中點，又是中點，所以，又平面，平面，所以平面.（2）當(dāng)和重合時，在正方體中，平面，，，所以三棱錐的表面積，體積，所以三棱錐的表面積為，體積為.20．如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為梯形，且.

(1)求證：；(2)線段上是否存在，使得平面？若存在，求出值；若不存在，請說明理由.(3)求多面體的體積.【答案】(1)證明見解析.(2)(3)【分析】(1)由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，根據(jù)線面垂直的定義可知.(2)由已知可得平面,若線段上是否存在，使得平面，則平面平面.所以問題可轉(zhuǎn)化為過直線作平面的平行平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可得,問題轉(zhuǎn)化為過點作的平行線，該平行線與的交點即為點,放入梯形分析，可得的值.(3)將多面體分割成三棱錐和三棱柱，分別求出三棱錐和三棱柱的體積，即可得到多面體的體積.【詳解】（1）因為四邊形為正方形，所以.平面平面，且平面平面，平面,所以平面.因為平面,所以.（2）設(shè)線段上存在，使得平面.顯然點與點不重合.所以不在平面中，平面,因為四邊形為正方形，所以.所以平面.因為平面，所以平面平面.因為平面平面，平面平面,所以因為四邊形為梯形，且.如圖，取BC的中點H，連接AH,則,所以四邊形為平行四邊形，四邊形是正方形.所以,且與的交點即為點,點是的中點.所以.

當(dāng)點為的中點時，因為所以.延長交于點.因為所以.所以,所以,所以點是的中點.連接因為四邊形為正方形，所以.所以,所以四邊形為平行四邊形.因為不在平面中，平面,所以平面.因此，線段上是否存在，使得平面，的值為.（3）多面體由三棱錐和三棱柱組成.由(1)知平面,由已知，.所以三棱錐的體積.三棱柱體積.所以多面體的體積為.故答案為：.21．如圖，在四棱錐中，面，且，，，，是的中點，.(1)求證：平面；(2)設(shè)平面平面，判斷并證明與平面的位置關(guān)系；(3)判斷四棱錐是否存在外接球，如果存在，直接指出球心的位置，并寫出球的體積；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)證明過程見解析(2)與平面平行，理由見解析；(3)四棱錐存在外接球，球心的位置為的中點，球的體積為.【分析】（1）先得到，由勾股定理和等腰三角形三線合一得到⊥，從而得到線面垂直；（2）由余弦定理得到，，從而得到平面，由線面平行的性質(zhì)得到，從而得到平面；（3）四棱錐是否存在外接球，取決于四邊形是否有外接圓，由于⊥，，故的中點即為四邊形的外接圓圓心，又面