2/37專題1.1柱體教學(xué)目標(biāo)1、理解祖暅原理，掌握棱柱、圓柱體積公式的推導(dǎo)邏輯，能熟練應(yīng)用公式計(jì)算體積2、通過“地標(biāo)建筑任務(wù)”驅(qū)動(dòng)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、知識遷移能力3、通過地標(biāo)建筑，感悟數(shù)學(xué)對城市建設(shè)、文化傳承的支撐作用，增強(qiáng)應(yīng)用意識與文化認(rèn)同感教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：通過對實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、圓柱的結(jié)構(gòu)特征教學(xué)難點(diǎn)：①理解棱柱、圓柱之間的關(guān)系．②能運(yùn)用棱柱、圓柱的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)和有關(guān)計(jì)算．知識點(diǎn)01多面體空間幾何體分類定義圖形及表示相關(guān)概念多面體由三角形或平面多邊形圍成的封閉幾何體稱為多面體；面：構(gòu)成多面體表面的各三角形或平面多邊形；棱：相鄰面的公共邊；頂點(diǎn)：棱與棱的交點(diǎn)；知識點(diǎn)02棱柱一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱底面(底)：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)（2）棱柱的圖形（3）棱柱的分類及表示①按棱柱底面邊數(shù)分類:②按棱柱側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類:③直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱表示法：用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如圖棱柱【即學(xué)即練】下列立體圖形為平行六面體的是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】平行六面體是一種底面為平行四邊形的四棱柱?，屬于特殊的四棱柱結(jié)構(gòu)，其六個(gè)面均由平行四邊形組成，即可依次判斷ABCD.【詳解】由平行六面體的定義，選項(xiàng)A,C,D底面不為平行四邊形，故A,C,D錯(cuò)誤；選項(xiàng)B滿足平行六面體的特征.故選：B.知識點(diǎn)03圓柱以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊（2）圓柱的圖形（3）圓柱的表示圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱【即學(xué)即練】在一個(gè)密閉透明的圓柱桶內(nèi)裝一定體積的水，將圓柱桶分別豎直、水平、傾斜放置時(shí)，圓柱桶內(nèi)的水平面所在平面截圓柱桶所成的截口曲線的所有類型有：（

）①矩形

②圓

③橢圓

④部分拋物線

⑤部分橢圓A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④【答案】C【分析】對不同的放置情況分別判斷，得出結(jié)論【詳解】當(dāng)圓柱桶豎直放置時(shí)，截口曲線為圓；當(dāng)圓柱桶水平放置時(shí)，截口曲線為矩形；當(dāng)圓柱桶傾斜放置時(shí)，若液面經(jīng)過底面，則截口曲線為橢圓的一部分；當(dāng)圓柱桶傾斜放置時(shí)，若液面不經(jīng)過底面，則截口曲線為橢圓；故選：C知識點(diǎn)04祖暅原理祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，如果被平行于這兩個(gè)平面的任意平面截得的兩個(gè)截面都有相等的面積，那么這兩個(gè)幾何體的體積必相等；【說明】1、祖暅原理；（1）“冪勢既同，則積不容異”，即“夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”；（2）作用：等底面積、等高的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等；【即學(xué)即練】我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”（“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高），意思是兩個(gè)同高的幾何體，若在等高處截面的面積恒相等，則它們的體積相等.已知某幾何體與三視圖（如圖所示）所表示的幾何體滿足“冪勢既同”，則該幾何體的體積為A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三視圖得到原圖的結(jié)構(gòu)，由圓柱和圓錐的體積公式計(jì)算得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為圓柱挖掉一個(gè)圓錐所得，故體積為.根據(jù)“冪勢既同”可知，所求幾何體的體積為，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖，考查組合體體積的計(jì)算，考查中國古代數(shù)學(xué)文化.屬于基礎(chǔ)題.知識點(diǎn)05柱體體積1、棱柱的體積①棱柱的高：柱體的兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點(diǎn)向另一底面作垂線，這點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長.②棱柱的體積：柱體的體積等于它的底面積和高的乘積，即.2、圓柱的體積：【即學(xué)即練】如圖，在直三棱柱中，，，，則直三棱柱的體積為．【答案】1【分析】根據(jù)直三棱柱的體積公式，可得答案.【詳解】直三棱柱的體積為.故答案為：.知識點(diǎn)06柱體表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和；所以，棱柱、圓柱的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和；圖形表面積公式多面體多面體的表面積就是各個(gè)面的面積的和，也就是展開圖的面積直棱柱圓柱（為圓柱的母線長，為圓柱底面的半徑）底面積：側(cè)面積：表面積：【即學(xué)即練】在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，則該四棱柱的表面積為（

）A．10 B．8 C．4 D．2【答案】A【分析】利用正四棱柱的表面積公式列式求解即可.【詳解】在四棱柱中，底面是正方形，底面，則四棱柱為正四棱柱，其表面積為.故選：A題型01棱柱的結(jié)構(gòu)特征【典例1】圖1為一個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，在外表面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6.若將這樣三個(gè)相同的正方體疊放于地面上，如圖2，則能看見的13個(gè)正方形面上的數(shù)字和的最小值為.

【答案】41【分析】根據(jù)正方體的表面展開圖，有數(shù)字1的正方形與有數(shù)字6的正方形相對，有數(shù)字2的正方形與有數(shù)字4的正方形相對，有數(shù)字5的正方形與有數(shù)字3的正方形相對，由最大可得答案．【詳解】根據(jù)正方體的表面展開圖，有數(shù)字1的正方形與有數(shù)字6的正方形相對，有數(shù)字2的正方形與有數(shù)字4的正方形相對，有數(shù)字5的正方形與有數(shù)字3的正方形相對，可得，，要使能看見的13個(gè)正方形面上的數(shù)字和的最小，最上面的一個(gè)正方體的有數(shù)字6的正方形面朝下，與中間的正方體面接觸，中間的正方體有數(shù)字5的正方形與有數(shù)字3的正方形面朝上下，與上下正方體接觸，最下面的正方體有數(shù)字5的正方形與有數(shù)字3的正方形面朝上下，與上面正方體和地面接觸，所以能看見的13個(gè)正方形面上的數(shù)字和的最小值為.故答案為：41.【變式1】下列關(guān)于七棱柱的判斷正確的是（

）A．七棱柱共有七個(gè)頂點(diǎn) B．七棱柱共有八個(gè)面C．七棱柱共有十四條棱 D．七棱柱共有九個(gè)面【答案】D【分析】根據(jù)七棱柱共有14個(gè)頂點(diǎn)，21條棱，9個(gè)面判斷即可.【詳解】如圖，可知七棱柱共有14個(gè)頂點(diǎn)，21條棱，9個(gè)面.故選：D.【變式2】下列說法不正確的是（）A．平行六面體是四棱柱 B．正方體是平行六面體C．長方體是平行六面體 D．直四棱柱是長方體【答案】D【分析】根據(jù)長方體、直四棱柱、平行六面體的定義、性質(zhì)和關(guān)系判斷即可得解.【詳解】平行六面體是底面為平行四邊形的四棱柱，故A正確；正方體的對面平行，是平行六面體，故B正確；長方體的對面平行，是平行六面體，故C正確；直四棱柱的側(cè)棱垂直底面，當(dāng)?shù)酌娌皇蔷匦螘r(shí)直四棱柱不是長方體，故D錯(cuò)誤；故選：D.【變式3】如圖，在透明塑料制成的長方體容器中灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊置于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，其中正確的命題序號是．

①水的形狀成棱柱形；

②當(dāng)容器傾斜如（2）時(shí)，水的形狀成棱臺；③水面始終為矩形．

④水面的面積不變．【答案】①③【分析】根據(jù)棱柱的定義，判斷①②，根據(jù)矩形的面積，線面垂直關(guān)系，判斷③④.【詳解】如（2）傾斜，是四棱柱，如（3）傾斜是三棱柱，故①正確；②錯(cuò)誤；由旋轉(zhuǎn)過程可知，，所以四邊形是平行四邊形，且，所以平面，平面，所以，所以四邊形始終為矩形，故③正確；旋轉(zhuǎn)過程可知，不變，變化，所以水面的面積變，故④錯(cuò)誤.故答案為：①③【變式4】有三個(gè)命題：甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是直平行六面體．其中真命題的個(gè)數(shù)是個(gè)．【答案】1【分析】理解、把握平行六面體，長方體和直平行六面體的概念即可一一判斷正誤.【詳解】對于甲命題，因四棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，故底面是平行四邊形的四棱柱的表面都是平行四邊形，即甲命題正確；對于乙命題，因平行六面體的表面都是平行四邊形，底面是矩形時(shí)，側(cè)面也可以是平行四邊形，故得不到長方體，即乙命題錯(cuò)誤；對于丙命題，直四棱柱是指側(cè)棱垂直于底面的四棱柱，底面形狀可以是任意的四邊形，故不能判斷為直平行六面體，即丙命題錯(cuò)誤.故答案為：1有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱題型02棱柱的展開圖及最短距離問題【典例1】在正四棱柱中，，分別為側(cè)棱上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．14【答案】A【分析】將正四棱柱的側(cè)面展開，由直線段最短求解.【詳解】如圖所示：，將正四棱柱（圖1）的側(cè)面展開，得到展開圖（圖2），當(dāng)五點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且最小值為.故選：A【變式1】如圖，在一本打開的書封面上有一只螞蟻，在封底有一小塊餅干.螞蟻想爬過書脊到達(dá)餅干處.若螞蟻和餅干離書脊的距離分別為4cm和3cm，書脊的長度是20cm，螞蟻爬行的最短距離.【答案】【分析】將書展開可，根據(jù)已知結(jié)合勾股定理，即可得出答案.【詳解】將書展開可得如圖（螞蟻在處，餅干在處）最短路線為，，由已知可得，，，則.又，由勾股定理可得，所以，.故答案為：.【變式2】已知正方體的棱長為2，若點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)展開圖結(jié)合圖形特征計(jì)算求解.【詳解】將正方體表面沿展開，如圖所示則.故答案為：.【變式3】如圖，已知正三棱柱的底面邊長為，高為，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達(dá)點(diǎn)的最短路線的長為.

【答案】【分析】沿著正三棱柱的側(cè)棱剪開，把側(cè)面展成一個(gè)平面圖形，得到一個(gè)矩形，結(jié)合矩形的對角線長，即可求解.【詳解】如圖所示，沿著正三棱柱的側(cè)棱剪開，把正三棱柱的側(cè)面展成一個(gè)平面圖形，可得一個(gè)長為，寬為一個(gè)矩形，可矩形的對角線長為，即最短路線的長為.故答案為：.

【變式4】如圖，棱長為2的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為.【答案】【分析】將三角形沿翻折與平面共面且與在的異側(cè)，連接，則的長度即為距離和最小值.【詳解】如圖所示：將三角形沿翻折得到該圖形（與平面共面且與在的異側(cè)），連接與相交于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，延長，過作于點(diǎn)，又，，所以為等腰直角三角形，所以，在中，，故的最小值為.故答案為：將棱柱展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短求解題型03棱柱的體積【典例1】已知直三棱柱外接球的直徑為6，且，，則該棱柱體積的最大值為．【答案】16【分析】將直三棱柱外補(bǔ)全成長方體，從而可得直三棱柱外接球的直徑即為該長方體的對角線，從而可得，再根據(jù)重要不等式，即可求解．【詳解】如圖，將直三棱柱外補(bǔ)全成長方體，則直三棱柱外接球的直徑即為該長方體的對角線，設(shè)，，則，，直三棱柱的體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，該棱柱體積的最大值為16．故答案為：16．【變式1】一個(gè)封閉的正三棱柱容器的高為，內(nèi)裝水若干（如圖甲，底面處于水平狀態(tài)），將容器放倒（如圖乙，一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài)），這時(shí)水面與各棱交點(diǎn)，，，分別為所在棱的中點(diǎn)，則圖甲中水面的高度為.【答案】/【分析】由題意，根據(jù)圖乙將棱柱的體積用的面積表示出來，設(shè)出甲圖中水面高度，利用放倒前后水的體積相等即可求得.【詳解】設(shè)的面積為，因，，，分別為所在棱的中點(diǎn)，則，，，設(shè)圖甲中水面高度為，則，解得，，即圖甲中水面的高度為.故答案為：.【變式2】如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱桂挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為，高為，內(nèi)孔直徑為，則此六角螺帽毛坯的體積是.【答案】【分析】用正六棱柱的體積減去圓柱體體積即可得.【詳解】.故答案為：.【變式3】已知直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上，，，則此直棱柱的體積為．【答案】【分析】設(shè)底面的外接圓的半徑為，由正、余弦定理求得，進(jìn)而求得外接球的半徑為，結(jié)合已知可求得，即可求得直三棱柱的體積.【詳解】設(shè)，如圖所示，在中，，設(shè)底面的外接圓的半徑為，由余弦定理得，所以，由正弦定理可得，所以，設(shè)的外心為，的外心為，則外接球的球心為的中點(diǎn)，所以外接球半徑，所以外接球表面積為，所以，解得，所以此直棱柱的體積為.故答案為：.【變式4】一個(gè)封閉的正三棱柱容器的高為，容器內(nèi)裝水若干（如圖1，底面處于水平狀態(tài)）.圖1中水面的高度為，現(xiàn)將容器放倒（如圖2，一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài)），若此時(shí)水面與各棱的交點(diǎn)分別為，，，，則的值為.【答案】/【分析】根據(jù)棱柱的體積公式求解.【詳解】設(shè)正三棱柱的底面積為，梯形的面積為，則根據(jù)等體積可得，所以，所以，又因?yàn)?，所以相似于，且，?故答案為：.題型04棱柱的側(cè)面積和表面積【典例1】已知長方體的長、寬、高的和為384，的長為366，則該長方體的表面積為.【答案】【分析】由題意得到和兩個(gè)等式，將兩邊同時(shí)平方并將代入得到，即為長方體表面積.【詳解】如圖，，，，∴，∴，該長方體的表面積為：13500故答案為：13500【變式1】已知一個(gè)正六棱柱底面邊長為，高為，則這個(gè)正六棱柱的側(cè)面積為.【答案】36【分析】根據(jù)正棱柱的側(cè)面積公式求解.【詳解】由正棱柱的側(cè)面積公式可得，故答案為：36【變式2】在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的對角線長分別為9，15，高是5，則該直四棱柱的表面積是【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)底面對角線，，再列式求解菱形的邊長，進(jìn)而求得直四棱柱的表面積即可.【詳解】如圖所示，設(shè)底面對角線，，交點(diǎn)為O，對角線，，，

所以，即，故，由，即，故，因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以，即，所以該直四棱柱的?cè)面積為，表面積為.故答案為：【變式3】如圖，斜三棱柱中，底面是邊長為1的正三角形，側(cè)棱長為2，，則該斜三棱柱的側(cè)面積是．【答案】/【分析】過點(diǎn)作于，證出≌，得出，證得平面，得出，結(jié)合再證明出，得出平行四邊形為矩形，即可計(jì)算出斜三棱柱的側(cè)面積．【詳解】過點(diǎn)作于，如圖所示，，，，≌，，，即，又，平面，又平面，，又，，∴平行四邊形為矩形，∴該斜三棱柱的側(cè)面積為：，故答案為：．【變式4】如圖，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一.現(xiàn)制作一件三層六角宮燈模型，三層均為正六棱柱（內(nèi)部全空），其中模型上、下層的底面周長均為120cm，高為5cm.現(xiàn)在其內(nèi)部放入一個(gè)體積為的球形燈，且球形燈球心與各面的距離不少于9cm.則該模型的側(cè)面積至少為【答案】【分析】由球心到各面距離為9，求出對應(yīng)正棱柱的側(cè)面積，即可得解.【詳解】依題意，上下兩層是底面周長，高為的正六棱柱，其側(cè)面積為，當(dāng)球形燈球心到各面的距離等于時(shí)，中層正六棱柱的高為，由球心到側(cè)面距離為9，得中層正六棱柱底面邊長為，因此中層正六棱柱的側(cè)面積，所以該模型的側(cè)面積至少為，故答案為：題型05圓柱的結(jié)構(gòu)特征【典例1】用易拉罐包裝的飲料是超市和自動(dòng)售賣機(jī)里的常見商品．如圖，是某品牌的易拉罐包裝的飲料．在滿足容積要求的情況下，飲料生產(chǎn)商總希望包裝材料的成本最低，也就是易拉罐本身的質(zhì)量最小．某數(shù)學(xué)興趣小組對此想法通過數(shù)學(xué)建模進(jìn)行驗(yàn)證．為了建立數(shù)學(xué)模型，他們提出以下3個(gè)假設(shè)：（1）易拉罐容積相同；（2）易拉罐是一個(gè)上下封閉的空心圓柱體；（3）易拉罐的罐頂、罐體和罐底的厚度和材質(zhì)都相同．你認(rèn)為以此3個(gè)假設(shè)所建立的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際情況相符嗎？若相符，請?jiān)谝韵聶M線上填寫“相符”；若不相符，請選擇其中的一個(gè)假設(shè)給出你的修改意見，并將修改意見填入橫線．．【答案】假設(shè)2中，易拉罐的頂部類似于圓臺；假設(shè)3中，易拉罐的罐頂和罐底材質(zhì)比罐體的材質(zhì)厚【分析】根據(jù)題意，結(jié)合易拉罐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及要求易拉罐的質(zhì)量最小，結(jié)合假設(shè)，即可求解.【詳解】由題意知，某品牌的易拉罐包裝的飲料，在滿足容積要求的情況下，飲料生產(chǎn)商總希望包裝材料的成本最低，也就是易拉罐本身的質(zhì)量最小，所以假設(shè)2不合理，應(yīng)為“易拉罐的頂部類似于圓臺”；假設(shè)3不合理，應(yīng)為“易拉罐的罐頂和罐底材質(zhì)比罐體的材質(zhì)厚”.故答案為：假設(shè)2中，易拉罐的頂部類似于圓臺；假設(shè)3中，易拉罐的罐頂和罐底材質(zhì)比罐體的材質(zhì)厚.【變式1】圓柱側(cè)面的母線有條.【答案】無數(shù)【分析】根據(jù)圓柱的母線的定義判斷即可.【詳解】以矩形一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線，故圓柱的母線就是圓柱側(cè)面上同時(shí)垂直于兩底面的直線段，它有無數(shù)條.故答案為：無數(shù)【變式2】將一個(gè)邊長為4和8的矩形紙片卷成一個(gè)圓柱，則圓柱的底面半徑為．【答案】或【分析】需分類討論，一種是將8作為母線長，一種是將4作為母線長，利用圓的周長公式即可求解【詳解】將8作為母線長，則；將4作為母線長，則．故答案為：或【變式3】圓柱的母線與圓柱的旋轉(zhuǎn)軸的位置關(guān)系是.【答案】平行【分析】根據(jù)圓柱母線的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)闊o論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線，所以圓柱的母線與圓柱的旋轉(zhuǎn)軸的位置關(guān)系是平行，故答案為：平行題型06圓柱的體積【典例1】已知一個(gè)圓柱形容器的內(nèi)部有一個(gè)棱長為2的正方體，若該正方體可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該圓柱形容器的容積的最小值為.【答案】【分析】先求出正方體的外接球，再根據(jù)正方體的外接球是圓柱的內(nèi)切球求出圓柱的高進(jìn)而求出體積即可.【詳解】因?yàn)樵撜襟w可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正方體的外接球恰為圓柱的內(nèi)切球時(shí)該容器的容積最小.由正方體的棱長為2，可得其外接球的直徑，正方體的外接球恰為圓柱的內(nèi)切球時(shí)該容器的容積最小，此時(shí)圓柱的底面半徑為，高為，容積.故答案為：【變式1】與圓柱底面成角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體，截面上的點(diǎn)到圓柱底面距離的最大值為，最小值為，則該幾何體的體積為．【答案】【分析】由圖形可知所求幾何體是由底面直徑相同，高為1的圓柱和高為2的圓柱的一半拼成，由圓柱體積公式可求得結(jié)果.【詳解】作出幾何體的軸截面如下圖所示：則所求幾何體是由一個(gè)底面直徑為2，高為1的圓柱，和一個(gè)底面直徑為2，高為2的圓柱的一半構(gòu)成，則所求幾何體體積為：，故答案為：.【變式2】已知圓柱底面圓的周長為，母線長為4，則該圓柱的體積為．【答案】【分析】根據(jù)條件，直接求出，再利用圓柱的體積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，所以，得到，又圓柱的母線長為，所以圓柱的體積為，故答案為：.【變式3】一圓柱側(cè)面展開圖是邊長為8的正方形，則該圓柱的體積為．【答案】【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖求出半徑，進(jìn)而利用體積公式計(jì)算.【詳解】設(shè)該圓柱的底面半徑為，則，所以，故該圓柱的體積為．故答案為：.【變式4】圓柱的軸截面面積為24，底面半徑為4，則其體積為.（結(jié)果保留）【答案】【分析】根據(jù)圓柱的軸截面面積及底面半徑求得圓柱的高，再求其體積【詳解】如圖，平面是圓柱的軸截面，是一個(gè)矩形，過圓柱的軸AB，在矩形中，，，所以，所以.故答案為：.題型07圓柱的表面積【典例1】如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)直三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內(nèi)，且底面是正三角形，如果三棱柱的體積為圓柱的底面直徑與母線長相等，則圓柱的側(cè)面積為.【答案】【分析】首先根據(jù)正弦定理求出正三角形邊長與圓柱底面半徑的關(guān)系，然后根據(jù)三棱柱體積求出圓柱底面半徑，進(jìn)而根據(jù)圓柱側(cè)面積公式求出側(cè)面積的值.【詳解】設(shè)底面正三角形的邊長為，則正三角形的高為.由于直三棱柱的底面是正三角形且在圓柱底面內(nèi)，可知正三角形的外接圓半徑為.所以根據(jù)正弦定理，所以.易知圓柱母線，所以三棱柱的體積為.所以.那么圓柱的側(cè)面積為.故答案為：.【變式1】已知一個(gè)圓柱的軸截面是一個(gè)正方形，且其面積是4，則此圓柱的下底面面積為.【答案】【分析】根據(jù)圓柱的幾何性質(zhì)，并設(shè)出底面半徑與母線長，由題意建立方程，求得底面半徑與母線長，利用圓柱底面面積公式，可得答案.【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為，母線長為，則圓柱的軸截面是邊長為和的矩形，由題設(shè)知，圓柱的軸截面是一個(gè)正方形，且其面積為4，所以，解得，所以圓柱的下底面積為.故答案為：.【變式2】底面半徑為2，高為2的圓柱的側(cè)面積為.（結(jié)果保留）【答案】【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，結(jié)合數(shù)據(jù)得到矩形的長和寬，即可計(jì)算圓柱的側(cè)面積.【詳解】圓柱側(cè)面展開圖為矩形，長為圓柱底面圓周長，寬為圓柱的高.故圓柱的側(cè)面積為.故答案為：.【變式3】若圓柱的底面半徑為，高為，若，則圓柱側(cè)面積的最大值為.【答案】【分析】先根據(jù)側(cè)面積公式表示出側(cè)面積，然后利用基本不等式求解出最大值即可.【詳解】由題意可知：圓柱的母線長度為，側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以側(cè)面積的最大值為，故答案為：.【變式4】已知圓柱的軸截面是正方形，這個(gè)正方形的面積為，則該圓柱的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)條件，可求出圓柱的底面直徑，母線長，然后根據(jù)圓柱的表面積公式求解【詳解】由于圓柱的軸截面是正方形，面積為，即正方形的邊長是，則圓柱的母線長是，底面直徑是，于是圓柱的底面積是，側(cè)面積是，于是表面積是.故答案為：題型08柱體表面積，體積公式的應(yīng)用【典例1】魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾?魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具，自1974年魔方問世起，世界上陸續(xù)出現(xiàn)了各種各樣的魔方，魔方愛好者小明擁有一款“Zcube三面體曲面三階魔方”，它的直觀圖如圖所示，它由27個(gè)小塊構(gòu)成（其中，包含18個(gè)邊長為的正方體小塊，9個(gè)底面半徑為，高為的個(gè)圓柱小塊），則該魔方的表面積為；體積為（魔方中的空邠忽略不計(jì)）.

【答案】//【分析】分析得到魔方表面共有邊長為的正方體小塊30個(gè)，半徑為的扇形小塊6個(gè)和個(gè)圓柱的側(cè)面9個(gè)，求出面積相加得到表面積，再計(jì)算出18個(gè)邊長為的正方體小塊體積和9個(gè)底面半徑為，高為的個(gè)圓柱小塊體積，相加得到魔方體積.【詳解】魔方表面共有邊長為的正方體小塊30個(gè)，故面積為，魔方表面共有半徑為的扇形小塊6個(gè)，故面積為，魔方表面共有個(gè)圓柱的側(cè)面9個(gè)，故面積為，故該魔方的表面積為；18個(gè)邊長為的正方體小塊，體積為，9個(gè)底面半徑為，高為的個(gè)圓柱小塊體積為，故魔方體積為.故答案為：，.【變式1】中國古建筑屋頂形式比較多元化，十字歇山頂就是經(jīng)典樣式之一，圖1角樓的頂部即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱柱交疊而成的幾何體（圖2），這兩個(gè)三棱柱有一個(gè)公共側(cè)面ABCD.在底面EBC中，若，則該幾何體的表面積為【答案】【分析】根據(jù)幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體表面積的計(jì)算公式可求表面積.【詳解】如圖所示，該幾何體可視為兩個(gè)直三柱挖去一個(gè)四棱錐，且四棱錐為正四棱錐，其斜高長為.由題設(shè)有，故，故兩個(gè)直三棱柱的表面積和為，兩者有公共側(cè)面，其面積為，而四棱錐的側(cè)面積為，故幾何體的表面積為，故答案為：.【變式2】已知長軸與短軸長分別為2a與2b的橢圓圍成區(qū)域的而積為，現(xiàn)要切割加工一個(gè)底面半徑為、高為的圓柱形零件(如圖所示)，截面經(jīng)過圓柱的一個(gè)底面中心，并且與底面所成角為，然后在切割后得到的兩個(gè)部件表面都刷上油漆，則所刷油漆的面積為.

【答案】【分析】設(shè)底面中心為，設(shè)橢圓的長軸端點(diǎn)為，證得平面，得到，進(jìn)而求得截面所在橢圓的長半軸為，短半軸為，得到截面的面積以及圓柱的表面積，進(jìn)而求得答案.【詳解】設(shè)底面中心為，截面與底面交于線段AB，由圓雉曲線定義可得截面為半個(gè)橢圓，如圖所示，設(shè)橢圓的長軸端點(diǎn)為，且底面圓周上的點(diǎn)滿足DE垂直于底面，可得，因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，截面與底面所成角的平面角是，則，所以截面所在橢圓的長半軸為，短半軸為，所以截面的面積為，而圓柱的表面積是，因此所刷油漆的面積為．故答案為：.

【變式3】有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是）六角螺母，共重.如圖，每一個(gè)螺母的底面是正六邊形，邊長為，內(nèi)孔直徑為，高為，這堆螺母大約有個(gè)（參考數(shù)據(jù)：）.

【答案】248【分析】首先計(jì)算一個(gè)螺母的體積，其體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，再由總重量除以一個(gè)螺母的重量，即可得解.【詳解】六角螺母的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即，，所以螺母大約有248個(gè).故答案為：248.1．在直三棱柱中，，直線與平面的夾角為，該直三棱柱的體積為.【答案】/【分析】連接，先證明平面，即得為與平面所成的角，由此求得，進(jìn)而求得，利用棱柱體積公式計(jì)算即得答案.【詳解】如圖，在直三棱柱中，因?yàn)?，則，又平面，平面，所以，又，平面，故平面，連接，則為與平面所成的角，即，因?yàn)?，所以，在中，，解得，所?所以直三棱柱的體積為.故答案為：.2．底面半徑為1的圓柱的側(cè)面積是圓柱表面積的，則該圓柱的高為．【答案】【分析】利用圓柱的表面積公式求解即可.【詳解】設(shè)該圓柱的高為，則該圓柱的側(cè)面積，表面積，由題意可得，即，解得，即該圓柱的高為，故答案為：3．日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈正四棱柱狀，烘焙店的包裝盒如圖所示，正四棱柱的底面是正方形，且，.

店員認(rèn)為在彩繩扎緊的情況下，按照圖A中的方向捆扎包裝盒會(huì)比按照圖B中的十字捆扎法更節(jié)省彩繩（不考慮打結(jié)處的用繩量和彩繩的寬度）.則圖A比圖B最多節(jié)省的彩繩長度為.【答案】【分析】計(jì)算出兩種捆扎法中繩的長度后相減即得．【詳解】圖A，沿彩繩展開正四棱柱，彩繩長度最小值為，

圖B，彩繩長度最小值為，則圖A比圖B最多節(jié)省的彩繩長度為.故答案為：.4．已知圓柱的側(cè)面積為，底面半徑為1，則圓柱的體積為【答案】【分析】根據(jù)已知求出母線長，再由圓柱體積公式求體積.【詳解】由圓柱的側(cè)面積為，底面半徑為1，得母線長，所以該圓柱的體積為.故答案為:5．如圖，一個(gè)啤酒瓶的高度為，瓶中裝有高度的水，將瓶蓋蓋好后倒置，這時(shí)瓶中水面高度，則瓶中水的體積和瓶子的容積之比為.（瓶底的厚度不計(jì)）【答案】【分析】由于瓶子的容積不變，瓶中水的體積也不變，故可將左圖上部分不規(guī)則的空氣體積，用右圖上部分規(guī)則的空氣體積來代替,設(shè)瓶的底面積為，分別表示出，，即可求體積之比.【詳解】雖然啤酒瓶的形狀不規(guī)則，但是瓶子的下部可視圓柱體，由于瓶子的容積不變，瓶中水的體積也不變，故可將左圖上部分不規(guī)則的空氣體積，用右圖上部分規(guī)則的空氣體積來代替．設(shè)瓶的底面積為，則，，，所以.故答案為：6．已知圓柱的底面半徑為，高為，A、B分別為該圓柱上、下底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)．若直線和該圓柱的軸始終是異面直線，則線段AB長度的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征及異面直線定義，數(shù)形結(jié)合判斷線段長度范圍.【詳解】如下圖，要使直線AB與該圓柱的軸始終互為異面直線，則不能與重合，假設(shè)能與重合，若與重合時(shí)線段AB長度最小為3；若與重合時(shí)線段AB長度最大為，綜上，線段AB長度的取值范圍是.故答案為：.7．如圖，圓柱的軸截面ABCD是一個(gè)邊長為6的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)繞圓柱表面先爬到上底面圓周上，再爬到BC的中點(diǎn)E，則螞蟻爬行的最短距離為.

【答案】【分析】將由軸截面分成的半圓柱側(cè)面展成平面圖形，再作點(diǎn)E關(guān)于直線DC的對稱點(diǎn)即可求解.【詳解】將由軸截面分成的半圓柱側(cè)面展成平面圖形，得長寬分別為的矩形，作點(diǎn)E關(guān)于直線DC的對稱點(diǎn)，連接交于，連接，如圖，

，所以所求最短距離為.故答案為：.8．如圖，一個(gè)直三棱柱容器中盛有水，側(cè)棱．若側(cè)面水平放置時(shí)，水面恰好過的三等分點(diǎn)（靠近和），此時(shí)容器中的水形成的幾何體為（填“棱柱”或“棱臺”）．當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為．【答案】棱柱【分析】根據(jù)棱柱的定義判斷容器中的水形成的幾何體為棱柱；不同放置方式水的體積相等，結(jié)合柱體的體積公式求解即可.【詳解】當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)，由于水面恰好過的三等分點(diǎn)，此時(shí)平面平面，其余各面都是平行四邊形，且每相鄰四邊形的公共邊互相平行，所以容器中的水形成的幾何體為棱柱；設(shè)當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高度為，依題意，側(cè)面水平放置時(shí)，液面恰好過的三等分點(diǎn)處，，所以水的體積，解得.故答案為：棱柱；9．如圖，在邊長為3的正方體中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，過、、作與正方體的截面為，則截面的周長為.【答案】【分析】根據(jù)題意在正方體中找到截面，算出各邊長再求周長即可.【詳解】在正方體中，設(shè)直線與直線，分別交于，，連接，分別與，交于點(diǎn)，，連接，，則五邊形是過、、的正方體的截面.由為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，得，，則，同理.，即，，同理，.，，，所以截面的周長為.故答案為：.10．已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2，、分別是兩底面的直徑，、是母線.若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線的長度是.（結(jié)果保留根式）.【答案】【分析】在圓柱側(cè)面展開圖中，矩形對角線的長度即為所求.【詳解】如圖，在圓柱側(cè)面展開圖中，線段