新定義閱讀題

一、知識(shí)技能梳理

1、新定義的類(lèi)型：一般分為三種類(lèi)型：

(1)定義新運(yùn)算；

(2)定義初、高中知-只銜接〃新知識(shí)〃；

(3)定義新概念

本節(jié)難點(diǎn)突破主要研究新概念。

2、解決定義新概念的關(guān)鍵：正確理解新定義概念的意義.

⑴理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.

⑵重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”。歸納“舉

例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類(lèi)情況.

(3)類(lèi)比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問(wèn)題.

3、利用的數(shù)學(xué)思想：

(1)轉(zhuǎn)化的思想，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的知識(shí)。

(2)遷移的應(yīng)用，對(duì)全新的概念，需要靈活的遷移運(yùn)用。

(3)類(lèi)比的思想。

二、學(xué)習(xí)過(guò)程

模塊一：以函數(shù)為載體

例題1:在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱(chēng)該點(diǎn)為

“雁點(diǎn)”.例如(l/)°02L2°21)……都是“雁點(diǎn)，，.

4

y=—

(1)求函數(shù)X圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo)；

(2)若拋物線)'=〃、5x+c上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)，，E,該拋物線與x軸交于M

N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)).當(dāng)時(shí).

①求c的取值范圍；②求NEMN的度數(shù)；

(1)如圖，拋物線尸一9+21+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，P

是拋物線kT'2X+3上一點(diǎn)，連接8P,以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造等腰肋△8PC,

是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)C恰好為“雁點(diǎn)”？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)(2,2)和(-2,-2)；(2)①0vc<4：②45。：(3)存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為悖?

或

屈3]或卜*，|、

Fa

4

【分析】（1）根據(jù)“雁點(diǎn)”的定義可得片x,再聯(lián)立產(chǎn)一求出"雁點(diǎn)〃坐標(biāo)即可；

X

4

（2）根據(jù)y=*+5x+c和），=*可得ad+4x+c=0,再利用根的判別式得到c=’,再求出

a的取值范圍；將點(diǎn)c代入解析式求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，令尸0,求出M的坐標(biāo)，過(guò)七點(diǎn)向x軸

作垂線，垂足為〃點(diǎn)，如圖所示，根據(jù)七”二M"得出為等腰直角三角形，（3EMN的度

數(shù)即可求解；

（3）存在，根據(jù)圖1,圖2,圖3進(jìn)行分類(lèi)討論，設(shè)C（m,〃?），P（x,y）,根據(jù)三角形全

等得出邊相等的關(guān)系，再逐步求解，代入解析式得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

_4

【詳解】解：（1）聯(lián)立

.）'=x

解得二x=-2

或，

y=-2

即：函數(shù)y=士4上的雁點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）和（-2,-2）.

x

y=x

（2）①聯(lián)立?

y=ax2+5x+c

得adi4xi<?=O

a這樣的雁點(diǎn)E只有一個(gè)，即該一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,

團(tuán)A=42—4ac=0

團(tuán)4>1

00<c<4

（2）將。二一代入，得，嘮+4加——0

aa

解得寸］,0《一看用

對(duì)于y=ax?+5x+3,令y=0

a

有cue+5x+—=0

41

解得XM=----，XN=--

aa

0”卜小。)

過(guò)￡點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為”點(diǎn),

2242

EH=-,MH=——(——)=-

aaaa

0EH=MH=-

0為等腰直角三角形，ZEMN=45。

(3)存在，理由如下:

如圖所示：過(guò)戶作直線/垂直于x軸于點(diǎn)％,過(guò)C作CH0PK于點(diǎn)，

設(shè)C(/〃，/〃)，P(x,y)

團(tuán)團(tuán)CP8為等腰三角形,

團(tuán)PC=〃B,0CPB=90°,

釀K〃8+(3"PC=90°,

團(tuán)團(tuán)HPC+回”。。=90°,

^KPB^HCP,

團(tuán)團(tuán)，=用?KB=90°,

同回C7/P02PKB,

?CH=PK,HP=KB,

rn-x=y

即《

j7i-y=3-x

3

x=—

as2

3

v=w--

當(dāng)X,7時(shí)，)，=(—/7+2q7+3吟15圖1

0嗎9

如圖2所示，同理可得：^KCP^JPB

0KP=JB,KC=JP

設(shè)P(x,y),C(〃?，〃?)

^KP=x-m,KC=y-mfJB=y,JP=3-x,

即x-m=：y

y-m=3-x

3

x=m+—

解得q2

J

一口

令,/+21+3=]

解得寸嚶石子

團(tuán)打印分或雇孝與

2222

/\

如圖3所示，

兆R(shí)CP007P8

由RC=TP,RP=TB

設(shè)P（x,y）,C（〃?，tn）

即，y-m=3-x

x-m=y

3

x=/??+-

2

解得3

3

3

令+2x+3=-

2

解得x產(chǎn)生普此二邛

0此時(shí)P與第②種情況重合

綜上所述，符合題意。的坐標(biāo)為弓耳）或/

圖3

邛心或（￥《）

2222

例題2、城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到

達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平

面直角坐標(biāo)系xOy,對(duì)兩點(diǎn)A(xi，yj和B(x2，y2)，用以下方式定義兩點(diǎn)間距離:

d(A,B)=|xj-x2|+|y1-y2|.

數(shù)學(xué)理解：

(1)①已知點(diǎn)A(-2,1),0為原點(diǎn)，則d(0,A)=.

②函數(shù)y=-2x4-4(0<x<2)的圖象如圖①所示，B是圖象上一點(diǎn)，0為原點(diǎn)，

d(0,B)=3,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是.

(2)函數(shù)y=3(x>0)的圖象如圖②所，0為原點(diǎn)。求證：該函數(shù)的圖象上不

X

存在點(diǎn)3使d(0,C)=3.

(3)函數(shù)y=x2-5x+7(x>0)的圖象如圖③所示，D是圖象上一點(diǎn)，求d

(0,D)的最小值及本應(yīng)的點(diǎn)D的坐標(biāo).

問(wèn)題解決：

(4)某市要修建一條通往景觀湖的道路,如圖④，道路以M為起點(diǎn)，先沿MN

方向到某處,再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊,如何修建能使道路最短？(要

求：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫(huà)出示意圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由)

(1)①由題意得：d(0,A)=|0+2|+|0-l|=2+l=3；

②設(shè)B(x,y),由定義兩點(diǎn)間的距離可得：|0-x|+|0-y|=3,

0O<x<2,團(tuán)x+y=3,

電累;L解得:x=l

y=2‘

0B(1,2),

故答案為：3,(1,2)；

(2)假設(shè)函數(shù)y=￡(x>0)的圖象上存在點(diǎn)C(x,y)使d(O,C)=3,

根據(jù)題意，得|%-0|+總一0|=3,

0x>0?0->0?|x—0|+|-—0|=

回x+±=3,0x2+4=3x,

X

0x2—3%+4=0,團(tuán)4=/-4。。=-7vo,

團(tuán)方程產(chǎn)一3x+4=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

田該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C,使d(O,C)=3.

(3)設(shè)D(x,y),

根據(jù)題意得，d(0,D)=|X-0|+|X2-5X+7-0|=|x|+|x2-5x+7|,

0x2-5%+7=(x-1)+；>0，

又x>0,

0d(0,D)=|x|+\x2-5x4-7|=%4-x2-+7

=x2-4%+7=(x-2)2+3,

回當(dāng)x=2時(shí)，d(0,D)有最小值3,此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,1).

(4)如圖，以M為原點(diǎn)，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,

將函數(shù)y=-x的圖象沿y軸正方向平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點(diǎn)時(shí)

停止，

設(shè)交點(diǎn)為E,過(guò)點(diǎn)E作EHE1MN,垂足為H,

修建方案是：先沿MN方向修建到H處，再沿HE方向修建到E處.

理由：設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線h與x軸相交于點(diǎn)F.

在景觀湖邊界所在曲線上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線12回I】，12與X軸相交于點(diǎn)G.

00EFH=45°,

0EH=HF,d(0,E)=OH+EH=OF,

同理d(0,P)=0G,

0OG>OF,

(3d(0,P)2d(0,E),

團(tuán)上述方案修建的道路最短.

練習(xí)1:

定義：若一次函數(shù)y=a產(chǎn)力和反比例函數(shù)y=-￡滿足a-力=力-c,則稱(chēng)尸

x

為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的“等差”函數(shù).

⑴判斷尸產(chǎn)6和尸-上是否存在“等差”函數(shù)？若存在，寫(xiě)出它們的“等差”

X

函數(shù)；

(2)若y=5產(chǎn)力和y=-￡存在“等差”函數(shù)，且“等差”函數(shù)的圖象與y=-士

xx

的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(3)若一次函數(shù)和反比例函數(shù)y=--(其中a、b、。為常數(shù)，且a>0,

X

c>0,a=jb)存在“等差”函數(shù)，且尸a產(chǎn)6與“等差”函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)力(0

%)、B5,%),試判斷“等差”函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)尸(x,y)(其中均

<x<x>,使得的面積最大？若存在，求出點(diǎn)夕的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【分析】(1)假設(shè)存在，根據(jù)等差函數(shù)定義得出8=4,從而得出解析式；

(2)根據(jù)等差函數(shù)定義得出5+c=2〃，即c=2b-5,根據(jù)“等差”函數(shù)的圖象與)，=-￡的圖

x

象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，列出方程即可求得。，進(jìn)而求得C,即可解決問(wèn)題.

3

(3)存在，由題意〃=”，a+c=2b,推出〃=2c,a=3cf則一次函數(shù)解析式為y=3cx+2c,

"等差”函數(shù)解析式為_(kāi)V=3CX2+2CA+C,即3x2-x-1=0,可得x/+*=；,x/%2=-；>|A/-X2|

=J(N+S)2—4XM2=半，再構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

⑴

存在，假設(shè)一次函數(shù)與反比例函數(shù))，=-巳3存在"等差"函數(shù)，

x

貝!Ja=l,c=3,a+c=2hf

解得：b=2,

回存在“等差”函數(shù)，其解析式為)，=/+入+3：

(2)

根據(jù)題意知：。=5,5+c=2b,

團(tuán)。=20-5,

則〃等差〃函數(shù)的解析式為y=5/+/M+2/2-5,反比例函數(shù)的解析式為y=--

x

y=5x2+bx+2b-5

根據(jù)題意，將％=1代入’2/7-5，

y=--------

得：5+3+2/?-5=-2/?+5,解得力=1,c=-3,

故一次函數(shù)的解析式為Y=5A+1,反比例函數(shù)的解析式為），=-

X

（3）

存在.

3

根據(jù)題意知：a+c=2b,

M=2c,a=3c,

則“等差”函數(shù)的解析式為y=3cx2+2cx+c,一次函數(shù)解析式為y=3cx+2c,

13y=3以+2c與“等差”函數(shù)y=3以2+2cx+c有兩個(gè)交點(diǎn)A（x/f），/）、B（X2,）堂），

03CV2-ex-c=0,即3/-x-1=0,

11

0A7+X2=-,XfX2=~~.

33

2

0|,r/-X2\=yl(xl+x2)-4x^2=當(dāng)3,

如圖，過(guò)點(diǎn)尸(x,SCJ^+ZCX+C)作軸,交.AB于H,則H(x,3cx+2c),

八y

AdZ

▼人

團(tuán)點(diǎn)P（x,y）（其中.盯V/V.x2),

團(tuán)。點(diǎn)在A,4之間，

=-3CX2+CX+C,=-3c(/-^-X--)=-3f[(x-y)2-E],

BPH=3cx+2c-Oc^+Zcxfc）

33636

*「(一品尸一半(廠,一％

13S=；|力-X2卜尸〃=；x3C[XJ)2C[2

223

最大值為電叵c.

回當(dāng)時(shí)，S取得最大值，

672

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（［，^c）.

練習(xí)2：

定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱(chēng)該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的

“等值點(diǎn)”.例如，點(diǎn)。，1）是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”.

（1）分別判斷函數(shù)），=1+2,〉，=/-1的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，

求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由；

（2）設(shè)函數(shù)）=士。＞0）」=r+力的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)兒反過(guò)點(diǎn)〃作ACJ_x

x

軸，垂足為C當(dāng)“IBC的面積為3時(shí)，求。的值；

（3）若函數(shù)）'=/一23之⑼的圖象記為叱，將其沿直線行機(jī)翻折后的圖象記為

嗎.當(dāng)心嗎兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，直接寫(xiě)出"的取值范

圍。

【詳解】解：（1）同函數(shù)）=x+2,令），=x,則x+2=x,無(wú)解，

團(tuán)函數(shù)產(chǎn)x+2沒(méi)有“等值點(diǎn)”；

回函數(shù)y=f-x,令尸x,則f_x=x,即x（x-2）=0,

解得：X=2,x2=0,

團(tuán)函數(shù)y=X的"等值點(diǎn)，，為（0,0）,（2,2）；

（2）團(tuán)函數(shù)￥=?,令y=x,則/=3，

x

解得：工=75（魚(yú)值已舍），

回函數(shù)的"等值點(diǎn)"為人（6，73）；

X

團(tuán)函數(shù)）'=一”+人，令》=工，則x=-x+〃，

解得：K=g，

回函數(shù)y=T+力的"等值點(diǎn)〃為1）；

△A8C的面積為:BC?|x8fl=；?臥卜6=3,

即入2舟-24=0,

解得：〃=4>回或一26；

（3）將監(jiān)沿x=/〃翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2.

同W/與1%兩部分組成的函數(shù)W的圖象關(guān)于1=，〃對(duì)稱(chēng),

y=x2-2（x>m）

回函數(shù)W的解析式為，，

y=（2m-x）-2（x<m）

令y=x,則f-2=x,即.V2—X-2=0,

解得：x1=2,x,=-1,

團(tuán)函數(shù)y=Y—2的"等值點(diǎn)”為（；，-1）,（2,2）；

令），=x,ijiij（2m-x）2-2=.v,即X’一（4〃?十l）x十4〃[-2=0,

當(dāng)〃此2時(shí)，函數(shù)W的圖象不存在恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”的情況;

當(dāng)-1<m<2時(shí)，觀察圖象，恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”；

當(dāng)"2<-1時(shí),

磯心的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”(；，-1),(2,2),

團(tuán)函數(shù)W2沒(méi)有“等值點(diǎn)”，

HA=[-(4/M+1)]2-4xlx(4m2-2)<0,

整理得：8"?+9<0,

解得：〃?<一.

O

9

綜上，，〃的取值范圍為〃?<-7或一

O

練習(xí)3、

我們規(guī)定：關(guān)于x的反比例函數(shù)尸山稱(chēng)為一次函數(shù)y=ax^b的“次生函數(shù)”，

x

關(guān)于X的二次函數(shù)-稱(chēng)為一次函數(shù)的"再生函數(shù)”.

⑴按此規(guī)定：一次函數(shù)p=x-3的“次生函數(shù)”為：—，“再生函數(shù)”為：—；

(2)若關(guān)于x的一次函數(shù)曠=廣。的“再生函數(shù)”的頂點(diǎn)在x軸上，求頂點(diǎn)坐標(biāo);

(3)若一次函數(shù)y=a代。與其“次生函數(shù)”交于點(diǎn)(1,?2)、(4,?g)兩點(diǎn),

其“再生函數(shù)”與x軸交于46兩點(diǎn)(點(diǎn)力在點(diǎn)6的左邊)，與y軸交于點(diǎn)￡

①若點(diǎn)〃(1,3),求/C如的正切值；

②若點(diǎn)￡在直線矛=1上，且N。必=45°,求點(diǎn)少的坐標(biāo).

(1)

團(tuán)一次函數(shù)y=工一3的4=1,b=-3,

回y=x-3的“次生函數(shù)〃為y=上再=二，

XX

y=x-3的“再生函數(shù)〃為y=ixx2+(-3)x-[l+(-3]=x2-3x+2,

2

故答案為)=——，＞'=x2-3x+2；

x

(2)

0y=A+/?的"再生函數(shù)"為：y=x2+bx-(\+b),

又13y=V+灰-(+力)的頂點(diǎn)在二軸上,

0A=Z?2-4x|x[-(l+/?)]=(),

回解得：4=&=一2,

回y=F-2.r+1=(x-I)2,

團(tuán)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,0)；

(3)

①3，=ar+方與其“次生函數(shù)〃的交點(diǎn)為：(1,-2)、(4,-；),

-2=a+b

團(tuán)《1)」

——=4a+b

2

1

a=—

解得：2

b=--

2

同一次函數(shù)的解析式為尸白-生，

0.y=ix-1的"再生函數(shù)"為:y=^x2-^x+2,

令y=0,M-x2--x+2=0,

22

解得：x/=l,X2=4,

團(tuán)4(1,0),B(4,0),C(0,2),

XH=DH=1,

釀CO〃=45。.

乂團(tuán)40=48=3,

團(tuán)04。3=45°,

團(tuán)團(tuán)COB=90°.

^CD=>JCH2+DH2=V2?BD=、JAB2+AD2=3夜，

0tan^CBD=-=^==-x

BD3J23

②如圖，若點(diǎn)石在x軸的下方，

D

雕C8E=0/WO=45°,

團(tuán)財(cái)BF=(3CBO,

又能］EAB=13C力8=90°,

^CBD^EBA,

CDAE1AE1

0—=—=-,即nn一=-,

BDAB333

囿4￡=1

0￡(1,-1)；

如圖，若點(diǎn)E在工軸的上方，

/卜

'1E

\

\

\

‘\

,\

，\

過(guò)點(diǎn)。作CM3C8,交BE于點(diǎn)、M,過(guò)點(diǎn)M作MM》軸于點(diǎn)N,

團(tuán)團(tuán)CBE=45°,回3cM=90,,

WC=CM,

回⑶BCO+0MGV=9O°,^BCO+WBC=90°,

^MCN=WBC,

/MCN=/OBC

因在△8OCI30MNC中，,NMNC=N8OC=90°,,

CM=BC

^BOC^MNC(AAS),

(WN=OC=2,NC=0B=4,

0M(2,6),

設(shè)直線BM的表達(dá)式為：v=^+/7,

6=2k+b

則八〃J

k=-3

解得：Ln，

(3直線8M的表達(dá)式為：y=-3.r+12,

把x=l代入得：y=9,

BE(1,9),

練習(xí)4、

如果拋物線G的頂點(diǎn)在拋物線Q上，拋物線C，的頂點(diǎn)也在拋物線&上時(shí)，那么

我們稱(chēng)拋物線&與Q“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線.如圖1,已知拋物線小匕=（f+x

與&：必『八壯c是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)出8分別是拋物線&,C，的頂

點(diǎn)，拋物線心經(jīng)過(guò)點(diǎn)〃（6,-1）.

⑴直接寫(xiě)出力，3的坐標(biāo)和拋物線&的解析式；

⑵拋物線心上是否存在點(diǎn)反使得△1比、是直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)后

的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶如圖2,點(diǎn)尸（-6,3）在拋物線&上，點(diǎn)也“分別是拋物線a,a上的動(dòng)

點(diǎn)，且點(diǎn)機(jī)N的橫坐標(biāo)相同，記△力丹/面積為S（當(dāng)點(diǎn)"與點(diǎn)力，尸重合時(shí)S,

=0）,△力成.的面積為z（當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)兒4重合時(shí)，S，=0），令5=$+￡,觀察

圖象，當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出x的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)S的最大值.

【詳解】(1)拋物線。：y=；/+X=；*+2)2-1

(M(-2,-1),

f4?2Ic=I

將A(-2,-1),0(6,-1)代入拋物線Cz：y=ar+x+c,得：.

23o?+6+c=—I

解得：一二一K,

c-2

22

0y2=-—x+x+2=-^(JV-2)+3,

(2,3)；

(2)設(shè)直線AB的解析式為：廣辰+b,

解得：L?

b-\

（3直線AB的解析式：y=Afl,

①若A為直角頂點(diǎn)，BE3AB,kBEkAB=-l,

瞅8E=-1,

故可設(shè)直線BE解析式為？=—+"，

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得：3=-2+N，

解得：加=5,

直線/在解析式為），=T+5.

y=-x+5

聯(lián)立1->c，

y=——A*+x+2

4

%=2々=6

解得

)'i=3%=T

0E(6,-1)；

②若A為直角頂點(diǎn)，AK明8,

同理得4E解析式：.V=-x-3.

y=-x-3

聯(lián)立1->c，

v=——廠+x+2

4

X=-29=10

解得

y=T%=-13'

0E(10,-13)：

③若E為直角頂點(diǎn)，設(shè)E（〃?，-；"/+m+2）

由AE^BEknE'k,M^-1,

，

——1m~+m-i.——1m~o+m+\.

即ni1」4=_1

in-2m+2

整理，得：（〃?+2）（小2）（根—6）+16]=。,

0/77+2=0或m-2=0或?！?2)(m-6)+16=0(無(wú)解),

團(tuán)解得，〃=2或-2（不符合題意舍去）,

回點(diǎn)E的坐標(biāo)E(6,-1)或E(10,-13)；

（3）Hy,《必，

0-2<x<2,

設(shè)M(f.［產(chǎn)+，)?N(t,--t2+t+2).

且一2?，42.

44

-2m+〃=1

設(shè)直線A尸的解析式為>=,則J

-6m+〃=3'

m--\

解得：

n=-3

團(tuán)直線45的解析式：y=-.r-3,

如圖，過(guò)M作x軸的平行線MQ交A尸于Q,

回d=-CM*|?-yA|=-r+4Z+6.

乙乙

0S=S[+S2=41+8,

回當(dāng)1=2時(shí)，S的最大值為16.

模塊二以三角形、四邊形為載體

例題1:以三角形為載體

【定義理解】如圖I,在△"(?中，E是BC的中點(diǎn),「是八上的中點(diǎn)，就稱(chēng)CP是2\A8C

的“雙中線”，NACB=90°,AC=3,AB=5,則CP=.

(2)【類(lèi)比探究】

①如圖2,E是菱形A5C。一邊上的中點(diǎn)，。是8E上的中點(diǎn)，則稱(chēng)4P是菱形48CO的

“雙中線”，若A8=4,ZBAD=\20°,貝ijAP=

②如圖3,AP是矩形A3CO的“雙中線”，若A3=4,

BC=6,求AP的長(zhǎng).

(3)【拓展應(yīng)用】

如圖4,AP是平行四邊形ABC。的“雙中線”，若AB

=4,BC=6,ZBAD=\20°,求AP的長(zhǎng).

解：（1）【定義理解】如圖1中，

0ZACB=9O°MC=3,A^=5,

^RC=ylAR1-AC2=752-32=4?

回E是8c的中點(diǎn)，

圖1

0EC=EB=2,

^AE=y/AC2+EC2=>/32+22=713?

團(tuán)尸是AE的中點(diǎn)，

^PC=-AE=—.

22

故答案為：巫.

2

(2)【類(lèi)比探究】①延長(zhǎng)隨交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡

團(tuán)四邊形A3CO是菱形，

團(tuán)A8=AO=8C=4,AO〃8C,

?/F=/CBE,

又回N3EC=NO瓦

(3△BCESAFDE(AAS),

0^C=DF=4,BE=EF,

EAF=8,

圖2

過(guò)點(diǎn)8作3M_LAO,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

0ZfiAD=12O°,

團(tuán)NM44=600,

0ZABM=3O°,

團(tuán)人M=3^8,BM=2瓜

(3M/=4W+A/=2+8=10,

^BF=y)BM2+MF2=^(2x/3)2+102=4^,

(3AP是菱形ABC。的“雙中線〃，

團(tuán)弓尸石，

2

?BP=LBF=、4&=小，

44

H

圖3

②如圖3中，連接DP,延長(zhǎng)DP交4B的延長(zhǎng)線于機(jī)

在矩形48co中，ZDA?=90°,AB//CD,

田NH=/PDE,』PBH=/PED,

0AP是矩形/WCZ)的“雙中線〃,

?BP=EP,DE=-CD=2,

2

回△”摩/朋(AAS),

⑦DE=BH=>CD=2、DP=PH,

2

?AH=AB+BH=6,

在RSA?！敝?，DHUX/AH、AD2=,62+62=6及，

田DP=PH,

0PA=-D//=3x/2.

2

(3)【拓展應(yīng)用】如圖4中，連接OP,延長(zhǎng)OP交48的延長(zhǎng)線于”,

在平行四邊形力中，

/WCNDAB=90°,AB//CD,I3C=AD=6t

6NH=NPDE,4PBH=/PED,

13Ap是平行四邊形ABC。的〃雙中線”,

3EP'DE[CD=2.

伺APBHgJED,

0DP=PH,DE=BH=2,

^AH=AB+BH=4+2=6,

團(tuán)4)=八〃，

團(tuán)APJLOH,§PZAPD=90°,

回四邊形ABC。是平行四邊形，N84O=120。,

團(tuán)ND4P=N〃AP=60。，

0ZAPP=3OO,

0AP=-AD=3.

2

例題2以四邊形為載體

我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形做“等鄰角四邊形”，例如：如圖I,/8=NC,則

四邊形ABCD為等鄰角四邊形.

(1)定義理解：已知四邊形A8CO為等鄰角四邊形，且/A=130°,ZB=120°,則N。

=度.

(2)變式應(yīng)用：如圖2,在五邊形A3CDE中，ED//BC,對(duì)角線6。平分/A3c.

①求證：四邊形ABQE為等鄰角四邊形；

②若N4+NC+NE=300°,NBDC=NC,請(qǐng)判斷△4C。的形狀，并明理由.

(3)深入探究：如圖3,在等鄰角四邊形ABC。中，/B=NBCD,CE1AB,垂足為石，

點(diǎn)P為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PN工CD,垂足分別為M,N.在點(diǎn)尸的運(yùn)

動(dòng)過(guò)程中，判斷PM+PN與CE的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)遷移拓展：如圖4,是一個(gè)航模的截面不意圖.四邊形ABCD是等鄰角四邊形，NA

=AABC,E為4B邊上的一點(diǎn)，ED±AD,EC上CB,在足分別為。、C,AB=2^13dm,

AD=3dm,BD=437dm.M、N分別為A￡、的中點(diǎn)，連接。例、CM求△￡>￡〃與^

CEN的周長(zhǎng)之和.

A

(1)解：???四邊形A3C。為等鄰角四邊形，ZA=130°,N8=120°,

AZC=ZD,

.\ZD=55°,

故答案為：55；

(2)①證明：平分NABC,

，/ABD=NDBC,

*：ED//BC,

:?/EDB=/DBC,

：.ZEDB=ZABD,

???四邊形ABDE為等鄰角四邊形;

②解：是等邊三角形，理由如下：

VZBDC=ZC,

:?BD=BC,ZDBC=180°-2ZC,

AZA+ZE=36O0-2ZABD,

VZ2t+ZC+ZE=3(X)°,

???300°-ZC=360°-2(180°-2ZC),

/.ZC=60°,

又?：BD=BC,

是等邊三角形；

(3)解：PM+PN=CE,理由如下：

圖3

'：NB=NBCD,

:?HB=HC,

丁S/,BCH=S.-,BPH+S/xCPHt

/.—XBHXCE=-XB/7XXCHXPN,

222

：,CE=PM+PN；

（4）解：如圖，延長(zhǎng)40,BC交于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)B作8G_LA〃于G,

*：ED±AD,EC1CB,M.N分別為AE、8E的中點(diǎn)，

：,AM=DM=ME,EN=NB=CN,

'：AB1=BG2+AG2,BD2=BG2+DG2,

A52-(3+DG)2=37-DG2,

：.DG=\,

???8G=4DB2-DG2=6,

由(3)可得DE+EC=BG=6,

:?ADEM與△CEN的周長(zhǎng)之和=ME+OW+OE+EC+EN+CN=AE+8E+BG=A8+BG=(6+2

V13)dm.

練習(xí)1：我們約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個(gè)小三角形中有一

個(gè)三角形與原三角形相似，我們則稱(chēng)原三角形為關(guān)于該邊的“優(yōu)美三角形”.例

如：如圖1,在△力比'中，力〃為邊6。上的中線，△48〃與△47。相似，那么稱(chēng)

△4以為關(guān)于邊函的“優(yōu)美三角形”.

(1)如圖2,在△幺胴中，成=后&求證：△/阿為關(guān)于邊仇?的“優(yōu)美三

角形”；

(2)如圖3,已知△/勿為關(guān)于邊外的“優(yōu)美三角形”，點(diǎn)〃是△力回邊以

的中點(diǎn)，以劭為直徑的恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)4

①求證：直線。與。0相切：

②若。。的直徑為2捉，求線段力)的長(zhǎng);

(3)已知三角形4%為關(guān)于邊比'的“優(yōu)美三角形"，BC=A,/夕=30°,求

△48。的面積.

圖2

【分析】(1)利用兩邊成比例，夾角相等證明即可求解；

(2)①連接04,證明NCAQ+NOAQ=90°,可得04_LAC,再由04是。。的半徑,

即可證明直線AC與。。相切；

②由△CAQS^CBA,求出AC=4?,再由&=幽=亞，設(shè)人。=孤%，則48=2x,

ADDC2

在R【A4B。中，利用勾股定理求出x的值,即可求48=4；

(3)過(guò)點(diǎn)人作人E_L8C交于E點(diǎn)，分兩種情況討論：①若△BAOS/XBCA,可求A8=

2注,在RtZ\A8￡中，AE=LAB=&,則SA43C=工辦￡?8。=2近；②若△CADs

22

△C1M,可求AC=2血，在RI/XA8七中，設(shè)4E=x,則笈E=?.r,CE=4-Jjx,在

RtA4￡C中，利用勾股定理可求x=?±l,再求S“3C=2?AE?8C=2d§±2.

2

【解答】(1)證明：???AD是中線，

：.BD=1，BC=^-AB,

22

.BD_AB_V2

一直CBT，

；?△XBDs△CBN,

???△/IBC是關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”；

(2)①證明：連接OA,

???△ABC為關(guān)于邊8c的“優(yōu)美三角形”，

???△C4￡)s/\C8A,

：.ZCAD=ZCBA,

?：OA=OB,

：?NOAB=NCBA,

：,ZCAD=ZOAB,

???8。是。。的直徑，

/.ZBAD=90°,

：.^OAB+ZOAD=W,

???/CAO+NO40=90°,

：,OA1AC,

???04是00的半徑，

???直線AC與。0相切；

②解：VACAD^ACSA,

???Ad=CD?RC,

：.AC=4^3,

..ADACV2

,ABBC2,

設(shè)4O=V^v，貝ijA8=2x,

在RtZ\A8O中，AB2+AD2=BD2,即4?+2?=24,

/?x=2>

?MB=4；

（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AEJ_8C交于E點(diǎn)，

①若ABADsABCA,

工AB2=BD?BC,

:.AB=2近,

在RtZ^AB七中，N4=30",

：,AE=—AB=yf2^

2

：,S^AHC=—?AE+BC=2a：

2

②若△CAQS2\C84,

:.AC2=CD*BC,

:.AC=2近,

在RlaABE中，N8=30°,

設(shè)4E=x，則BE=“x,

CE=4-V3x,

在Rt△人七。中，AC2=AE1+CE1,

???/+(4-V3.v)2=8,

解得x二?±I，

：.S^ABC-*AE-BC=2y/3±2；

乙

綜上所述：△48C的面積為2&或2近±2.

圖1

練習(xí)2、我們不妨定義：有兩邊之比為1：正的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”.

（1）下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是;（填序號(hào)）

①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三

角形.

（2）如圖1,△ABC是0。的內(nèi)接三角形，AC為直徑，。為A8上一點(diǎn)，且BO=2AD,

作DE_LOA,交線段OA于點(diǎn)尸，交。。于點(diǎn)E,連接8E交AC于點(diǎn)G.試判斷AAEO

和AABE是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請(qǐng)給出證明，并求出的值；如果不是，請(qǐng)

BE

說(shuō)明理由；

（3）如圖2,在（2）的條件下，當(dāng)ABFG=2：3時(shí)，求的余弦值.

E

C

G—B

O

A

DZB

Ml圖2

【分析】(1)根據(jù)“勒業(yè)三角形”的定義進(jìn)行計(jì)算，即可一一判定；

(2)如圖，連結(jié)0￡設(shè)NA8E=a,可證得/AE￡)=NA8E=a,^ADE^/XAEB,可得

AEr=AB*AD,結(jié)合可得48=J§AE,即可判定△AEO和△”￡：都是"勤

3

業(yè)三角形“，再根據(jù)札似三角形的性質(zhì)即可求得?2的值；

BE

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)G作G/〃A8交?！暧邳c(diǎn)/,可得ArG/s△加。，AE/G^AEDB,可

證得毀烏旦后

EBBDED4

設(shè)EG=3"，則BE=4a,利用里巫.可求得七。=延,七/=會(huì)旦從而可得

BE335

答案.

【解答】解：①等邊三角形各邊的比值為1,故等邊三角形不是“勒業(yè)三角形“；

②等腰直角三角形兩直角邊的比值為1,直角邊與斜邊的比為1：血，故等腰直角三角

形不是“勤業(yè)三角形”；

③設(shè)含30角的直角三角形的最短邊長(zhǎng)為小則斜邊長(zhǎng)為2小另一條直角邊長(zhǎng)為a：

V3?=l：如，故含30°角的直角三角形是“勤業(yè)三角形”；

④如圖：△ABC中，AB=AC,Z67=120°,過(guò)點(diǎn)4作4O_L8C于點(diǎn)。，

設(shè)4。=小則A4=AC=2a,BD=DC=4^a,

:.BC=2MU,

?MB：BC=AC：BC=\：

???含120°角的等腰三角形是“勤業(yè)三角形”,

故答案為：③④；

（2）解：△4ED和△44E都是“勤業(yè)三角形”,

證明如下：

如圖：連接0，設(shè)NA8E=a,

???N4OE=2N48E=2a,

?：OA=OE,

：.ZOAE=—(180°-ZAOE')=—(1800-2a)=90°

22

XVDEIAC,

???NAEO+NOAE=90°,即NAEZ)+90°-a=90°,

/.ZAED=ZABE=a,

叉?：NEAD=NBAE,

：.XADEsXAEB,

.AEADDE

AB-AE-EB

AEr=AD*AB,

?；BQ=2AD,

：,AD=-AB,

3

,AE24AB2,AE1=3AD2,

.AE1AD1

ABV3AEV3

???AAED和△ABE都是“勤業(yè)三角形”,

.DE_AE_1_V3

,,西詁否工

(3)解：如圖：過(guò)點(diǎn)G作G/〃AB交DE于點(diǎn)/,

???△尸G/s△欣。，AEIGS/\EDB,

.GIJYJYJEG/二1I

一而赤宙巧,EB'BD'ED

q

AG/=—AD,

2

\'BD=2AD,

??■GI=—3，

BD4

?EGJI二flJ3

**EB=BD'ED

設(shè)EG=3a,EB=4a,

EDV3

由(2)知,

_BE3

:.ED=￡^-a,

3

：,E\=^ED=y/3a,D1=ED-a=^-a.

433

-—3_V§_

JF7^Dl=_z^a,

DD

???EF=EI+lF=/^a+與=，

5a5a

在Rt^EFG中,

673

cosZFEG=-^

EG'3a-5

即―/〃；?/)=a：巨

5

練習(xí)3、定義：對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四

邊形的“中點(diǎn)四邊形”.如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做

“中方四邊形”.

概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是—.

A.平行四邊形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

性質(zhì)探究：如圖1,四邊形48C。是“中方四邊形”，觀察圖形，寫(xiě)出關(guān)于四邊形A8CO的

兩條結(jié)論：

問(wèn)題解決：如圖2,以銳角△A8C的兩邊AB,4C為邊長(zhǎng)，分別向外側(cè)作正方形48OE和正

方形AC廣G,連結(jié)8E,EG,GC.求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；

拓展應(yīng)用：如圖3,已知四邊形A8CO是“中方四邊形”，M,N分別是A8,CO的中點(diǎn)，

(1)試探索4C與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)若AC=2,求48+8的最小值.

圖1圖2圖3

【分析】概念理解：根據(jù)定義“中方四邊形”，即可得出答案；

性質(zhì)探究：由四邊形A3CD是“中方四邊形”，可得EFG”是正方形且E、F、G、”分別是

A/3、BC、CD、AQ的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理即可得出答案：

問(wèn)題解決：如圖2,取四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為P、Q,R、A并順次連接成四邊形MNRL,

連接CE交A8于P,連接8G交CE于K,利用三角形中位線定理可證得四邊形MN應(yīng)是

平行四邊形，再證得△￡〃?0△84G(SAS),推出圈MNRL是菱形，再由NL0N=9O°,可

得菱形MNRL是正方形，即可證得結(jié)論；

拓展應(yīng)用：(1)如圖3,分別作40、的中點(diǎn)￡、”并順次連接￡N、NF、FM.ME,W

得四邊股ENFM是正方形，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；

(2)如圖4,分別作40、BC的中點(diǎn)七、尸并順次連接EN、NF、FM、ME,連接B。交AC

于0,連接0M、0N,當(dāng)點(diǎn)。在MN上(即M、0、N共線)時(shí)，OM+ON最小,最小值為

MN的長(zhǎng)，再結(jié)合(1)的結(jié)論即可求得答案.

【解答】解：概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四邊形”，

理由如下:

因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線相等H互相垂直，

故選：。；

性質(zhì)探究：①AC=BD,②ACJ_8。；

理由如下：如圖1,

???四邊形48CQ是“中方四邊形”，

???EFGH是正方形且E、尸、G、”分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，

；?/FEH-90°,EF-EH,EH//EH---BD,EF//AC,EF---AC,

22

，AC_L8。，AC=BD,

故答案為：AC.LBD,AC=BD：

問(wèn)題解決：如圖2