一元二次不等式的應用1一元二次不等式的應用2習題2.3目錄CONTENTS3小結與復習4復習題二一

一元二次不等式的應用一在2.3.1節(jié)中，我們學習了一元二次不等式的解法，本節(jié)我們將通過具體實例的分析與求解，體會一元二次不等式的實際應用．一元二次不等式的應用一一元二次不等式的應用某產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間滿足如下關系式：y=3000+20x－0.1x2(x∈(0，240)，x∈N+).若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產量為多少？例7一一元二次不等式的應用

解根據題意可得25x－(3000+20x－0.1x2)≥0，整理得x2+50x－30000≥0．方程x2+50x－30000=0有兩個不相等的實數根x1=150，x2=－200．由圖象得不等式x2+50x－30000≥0的解集為｛x|x≤－200或x≥150}．在這個實際問題中，x>0，所以x的最小值為150，即生產者不虧本時的最低產量為150臺．一一元二次不等式的應用已知汽車從踩剎車到停車所滑行的距離L(m)與速度v(km/h)之間有如下關系式：L＝k·M·v2，其中k是比例系數，且k>0，M是汽車質量(t).若某輛卡車不裝貨物(司機體重忽略不計)以36km/h的速度行駛時，從剎車到停車需要走20m.當這輛卡車裝著等于車重的貨物行駛時，為保證安全，要在發(fā)現前面20m處有障礙物時能在離障礙物5m以外處停車，則最高速度應低于多少(設司機發(fā)現障礙物到踩剎車需經過1s)?例8一一元二次不等式的應用

解設卡車本身質量為M(t)，速度為v(km/h)，剎車滑行距離為L(m)，則依題意可得L＝k·M·v2.將v＝36，L＝20代入得k·M＝.又卡車司機從發(fā)現障礙物到踩剎車需經過1s，這1s內卡車已行駛的路程為v·

m/s·1s＝m.因此，

＋k·2M·v2<20－5，整理得

方程有兩個不相等的實數根v1=－27，v2=18．由圖象得不等式

的解集為{v|－27<v<18}

．在這個實際問題中，v>0，所以最高速度應低于18km/h

.一一元二次不等式的應用某化學試劑生產廠以xkg/h的速度運輸生產某種產品（生產條件要求邊生產邊運輸，且1≤x≤10），每小時可獲得利潤元．

(1)要使運輸生產該產品2h獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍.

(2)要使運輸生產900kg該產品獲得的利潤最大，該工廠應該選取何種運輸生產速度？并求最大利潤．例9一一元二次不等式的應用

解(1)依題意可得≥3000，即≥0.因為1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，即(x－3)(5x+1)≥0，解得x≥3或x≤－15．結合1≤x≤10知，x的取值范圍為3≤x≤10．

(2)設利潤為y元，則依題意可得

y=

因此，當，即運輸生產速度為6kg/h時，該工廠獲得的利潤最大，最大利潤為457500元．一一元二次不等式的應用由上觀之，我們利用一元二次不等式解決實際問題的一般步驟是：

(1)理解題意，分析清楚量與量之間的關系；

(2)建立相應的不等關系，把實際問題抽象為一元二次不等式問題；

(3)解這個一元二次不等式得到實際問題的解．一一元二次不等式的應用

1.一家汽車制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產的摩托車數量x(輛)與創(chuàng)收價值y(元)之間有如下關系式：y=－2x2+220x．若這家制造廠希望在一個星期內利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個星期內生產的摩托車數量x應滿足什么條件？練習一一元二次不等式的應用

2.汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，這段距離稱為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要指標．在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現情況不對，同時剎車，但還是相碰了．事后現場勘查測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速v(km/h)分別有如下關系式：s甲=0.1v+0.01v2，s乙=0.05v+0.005v2．問：試用解一元二次不等式的方法判斷甲、乙兩輛汽車有無超速現象？練習返回目錄二

習題2.3二習題2.3學而時習之

1.下面四個不等式中解集為空集的是()

(A)3x2－7x－10≤0(B)－x2+6x－9≤0

(C)－2x2+x<－3

(D)x2－4x+7≤0

2.集合A={x|x2－x－12≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6≤0，x∈Z}，則A∩B的元素個數為()

(A)6

(B)

5

(C)4

(D)3二習題2.33.一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為R的一個充要條件是()

(A)

(B)

(C)

(D)

4.解下列一元二次不等式：

(1)2x2－2

+1>0；(2)x2+x－1<0；

(3)－3x2+5x－4≥0；

(4)(2x－1)2<4；

(5)(x+1)(x+2)<(x+1)(2－x)+1；(6)(3x+2)(x+2)>4．

5.解不等式：(1)>4；(2)

≤3.二習題2.3

6.某服裝公司生產的襯衣，在某城市年銷售8萬件，現該公司在該市設立代理商來銷售襯衫，代理商向服裝公司收取銷售金額r%的代理費.為此，該襯衫每件價格要提高到

元才能保證公司利潤.由于提價每年將少銷售0.62r萬件，如果代理商每年收取的代理費不少于16萬元，求r的取值范圍.溫故而知新

7.已知U=R，A={x|x2－16<0}，B={x|－x2+3x+18>0}，求A∩B，A∪B.

8.解關于x的不等式：x2－(2m+1)x+m2+m<0.二習題2.3

9.某旅店有200張床位．若每張床位一晚上的租金為50元，則可全部租出；若將出租收費標準每晚提高10x元(x為正整數)，則租出的床位會相應減少10x張．若要使該旅店某晚的收入超過12600元，則每張床位的出租價格可定在什么范圍內？10.已知關于x的一元二次方程x2－2mx+m+2=0的兩根的平方和大于2，求實數m的取值范圍.11.已知一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|x<2或x>3}，求不等式bx2+ax+c>0的解集.

二習題2.3

10.在一次體育課上，某同學以初速度v0=12m/s豎直上拋一排球，該排球能夠在拋出點2m以上的位置最多停留多長時間？(注：若不計空氣阻力，則豎直上拋的物體距離拋出點的高度h(m)與時間t(s)滿足關系式h=v0t－gt2，其中g=9.8m/s2.)三

小結與復習三小結與復習一、知識結構圖相等關系與不等關系從函數觀點看一元二次方程不等式不等式的基本性質基本不等式及其應用（最大、最小值問題）一元二次不等式解法及應用一元二次不等式與相應函數、方程的聯系三小結與復習二、回顧與思考

1.相等關系、不等關系是現實世界最基本的數量關系.現實生活中存在著大量的不等關系，你能舉出一些實例，并用不等式來描述這些不等關系嗎？

2.試類比學過的等式與不等式的性質，進一步探索等式與不等式的共性與差異.

3.基本不等式以及不等式的性質是證明不等式的重要手段和方法.你能證明基本不等式嗎？在使用基本不等式解決最大（?。┲祵嶋H問題時，需要注意什么？三小結與復習

4.從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式，可以感悟到數學知識之間的緊密關聯——相等與不等是可以相互轉化的，正是這種相互轉化，使我們可以借助函數圖象和方程的解來求解不等式.試結合問題，體會解一元二次不等式的方法與步驟.

5.不等式可以刻畫現實世界中的數量關系.嘗試從實際問題中抽象出一元二次不等式模型，并進行求解，進而解決簡單的實際問題.返回目錄四

復習題二四復習題二學而時習之

1.證明下列不等式：

(1)若a＞b＞0，則a3b＞ab3；

(2)對任意x∈R，有x(x＋2)＜(x＋1)2；

(3)對任意x∈R，有x2＞4x－5；

(4)若x≠－1，則≥－.

2.證明不等式：

(1)若a＜b＜0，c＜d＜0，則ac＞bd；

(2)若a＞b＞0，c＞d＞0，則a2c＞b2d.四復習題二

3.證明不等式：

(1)若a，b，c，d都是正數，求證：(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd；

(2)若a，b，c是非負實數，則a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥6abc；

(3)若a，b是非負實數，則a＋b＋2≥2(

＋

)；

(4)若a，b∈R，則

≥.

4.已知二次函數y=x2－(m－1)x+2m在［0，1］上有且只有一個零點，求實數m的取值范圍.四復習題二

5.解不等式：

(1)－3x2＋8x－4＜0；

(2)4x2－20x＋25≤0；

(3)4＜x2－x－2＜10；

(4)－1<2x2－x－2＜1.

6.(1)在面積為定值S的扇形中，半徑是多少時扇形的周長最小？

(2)在周長為定值P的扇形中，半徑是多少時扇形的面積最大？

7.某種型號的汽車在水泥路面上的剎車距離s(m)與汽車行駛速度v(km/h)之間有如下關系式：

在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離大于39.5m，那么這輛汽車剎車前的速度至少為多少？四復習題二

8.已知關于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集為，求a和b的值．溫故而知新

10.小王從甲地到乙地往返的速度分別為akm/h和bkm/h(其中a<b)，其全程的平均速度為vkm/h，則(

)

(A)a<v<

(B)v=

(C)

(D)四復習題二

四復習題二

購地總費用建筑總面積

14.某單位用2160萬元購得一塊空地，準備在該地上建造一棟至少10層、每層2000m2的樓房．經預算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為(560+48x)元．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=