2025年蘇教版高三數(shù)學(xué)下冊(cè)期中考試題庫(kù)卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______1.選擇題（共30分）（1）設(shè)函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，則$f(2\pi)=\text{}$。（2）已知數(shù)列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，且對(duì)任意的$n\in\mathbb{N}^{*}$，都有$a_{n+1}=\sqrt{a_{n}^{2}+2}$，則數(shù)列$\{a_{n}\}$的通項(xiàng)公式為$\text{}$。（3）設(shè)集合$A=\{x|x^{2}-3x+2>0\}$，$B=\{x|x<1\}$，則集合$A\capB=\text{}$。（4）已知橢圓$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左焦點(diǎn)為$F_{1}$，右焦點(diǎn)為$F_{2}$，點(diǎn)$P$在橢圓上，且$PF_{1}=2$，則$PF_{2}$的取值范圍是$\text{}$。（5）設(shè)$a$，$b$，$c$為等差數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，且$a^{2}+b^{2}+c^{2}=24$，則$3ab+2ac$的值為$\text{}$。2.填空題（共30分）（1）已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，則$f'(x)=\text{}$。（2）若數(shù)列$\{a_{n}\}$是等比數(shù)列，且$a_{1}=2$，$a_{5}=32$，則公比$q=\text{}$。（3）設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(1,1)$，$B(-2,3)$，則線段$AB$的中點(diǎn)坐標(biāo)為$\text{}$。（4）已知圓$C:(x-2)^{2}+y^{2}=4$，直線$l:x+y-5=0$，則圓心到直線$l$的距離$d=\text{}$。（5）若等差數(shù)列$\{a_{n}\}$的首項(xiàng)$a_{1}=3$，公差$d=2$，則$a_{10}+a_{20}=\text{}$。3.解答題（共90分）（1）證明：對(duì)于任意的$x\in\mathbb{R}$，有$(x+1)^{2}\geq2x+1$。（2）已知函數(shù)$f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x-1$，求函數(shù)$f(x)$的極值。（3）設(shè)數(shù)列$\{a_{n}\}$滿足$a_{1}=1$，且對(duì)任意的$n\in\mathbb{N}^{*}$，都有$a_{n+1}=\sqrt{a_{n}^{2}+4}$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n}$。（4）已知橢圓$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的左焦點(diǎn)為$F_{1}$，右焦點(diǎn)為$F_{2}$，點(diǎn)$P$在橢圓上，且$\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ}$，求橢圓的離心率。（5）設(shè)$a$，$b$，$c$為等差數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，且$a^{2}+b^{2}+c^{2}=24$，$a^{3}+b^{3}+c^{3}=108$，求等差數(shù)列的公差$d$。試卷答案（1）$\sqrt{2}$解析：$f(2\pi)=\sin(2\pi)+\cos(2\pi)=0+1=\sqrt{2}$。（2）$a_{n}=2^{n-1}$解析：由遞推公式得$a_{n+1}^{2}=a_{n}^{2}+2$，即$(a_{n+1}-\sqrt{2})(a_{n+1}+\sqrt{2})=2$。由于$a_{n+1}>0$，故$a_{n+1}+\sqrt{2}=2$，即$a_{n+1}=2-\sqrt{2}$。又$a_{1}=1$，故數(shù)列$\{a_{n}\}$為等比數(shù)列，公比$q=2-\sqrt{2}$，通項(xiàng)公式為$a_{n}=2^{n-1}$。（3）$\{x|x>1\}$解析：$A=\{x|x^{2}-3x+2>0\}=\{x|x>2\text{或}x<1\}$，$B=\{x|x<1\}$，所以$A\capB=\{x|x<1\}$。（4）$2\sqrt{3}$解析：橢圓的半焦距$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{4-3}=1$，所以$F_{1}F_{2}=2c=2$。圓心到直線$l$的距離$d=\frac{|2+0-5|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=2\sqrt{3}$。（5）7解析：$a^{2}+b^{2}+c^{2}=24$，$a+b+c=3b$，$b=\frac{a+c}{2}$。代入$a^{2}+b^{2}+c^{2}=24$得$3b^{2}=24$，$b^{2}=8$，$b=2\sqrt{2}$。$a+c=2b=4\sqrt{2}$，$d=\frac{a+c-2b}{2}=\frac{4\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{2}=0$。所以$a^{3}+b^{3}+c^{3}=27b=54$。（1）證明：$x+1)^{2}\geq2x+1$。解析：$(x+1)^{2}-2x-1=x^{2}+2x+1-2x-1=x^{2}\geq0$，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$x=0$。（2）求函數(shù)$f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x-1$的極值。解析：$f'(x)=3x^{2}-6x+3=3(x-1)^{2}\geq0$，故函數(shù)$f(x)$在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)遞增，無(wú)極值。（3）求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n}$。解析：$a_{n+1}^{2}=a_{n}^{2}+4$，即$(a_{n+1}-2)(a_{n+1}+2)=4$。由于$a_{n}>0$，故$a_{n+1}+2=2$，即$a_{n+1}=0$。所以$a_{n}=0$，$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{0}{n}=0$。（4）求橢圓的離心率。解析：$PF_{1}^{2}+PF_{2}^{2}=F_{1}F_{2}^{2}$，$a^{2}-c^{2}+a^{2}-c^{2}=4c^{2}$，$2a^{2}=5c^{2}$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。（5）求等差數(shù)列的公差$d$。解析：$a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)(a^{2}-ab+ac+b^{2}-bc+c^{2})=3b(b^{2}-bc+c^{2})=108$，$3b(3b^{2}-4b^{2}+2bc)=108