2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)錯(cuò)題重組測(cè)試（三）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.集合與簡(jiǎn)易邏輯已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)\leq1})，則(A\cap(\complement_{\mathbb{R}}B)=)（）A.((1,2))B.((2,3])C.((1,3))D.(\varnothing)解析：解不等式(x^2-3x+2<0)得(A=(1,2))；解不等式(\log_2(x-1)\leq1)得(1<x\leq3)，即(B=(1,3])，則(\complement_{\mathbb{R}}B=(-\infty,1]\cup(3,+\infty))；因此(A\cap(\complement_{\mathbb{R}}B)=\varnothing)，選D。2.函數(shù)的定義域與單調(diào)性函數(shù)(f(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\ln(x+1)})的定義域?yàn)椋ǎ〢.((-1,2])B.((-1,0)\cup(0,2])C.([-2,0)\cup(0,2])D.((-1,2))解析：需滿足：(4-x^2\geq0)（根號(hào)下非負(fù)），(x+1>0)（對(duì)數(shù)真數(shù)為正），(\ln(x+1)\neq0)（分母不為零）；解得(-1<x\leq2)且(x\neq0)，選B。3.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)(f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right))在區(qū)間([0,\pi])上的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.(\left[0,\frac{5\pi}{12}\right])B.(\left[\frac{5\pi}{12},\frac{11\pi}{12}\right])C.(\left[\frac{11\pi}{12},\pi\right])D.(\left[0,\frac{5\pi}{12}\right]\cup\left[\frac{11\pi}{12},\pi\right])解析：令(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x-\frac{\pi}{3}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi)，解得(-\frac{\pi}{12}+k\pi\leqx\leq\frac{5\pi}{12}+k\pi)；在([0,\pi])內(nèi)，(k=0)時(shí)([0,\frac{5\pi}{12}])，(k=1)時(shí)([\frac{11\pi}{12},\pi])，選D。4.向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)已知向量(\vec{a}=(1,\sqrt{3}))，(\vec=(-\sqrt{3},1))，則(|\vec{a}-2\vec|=)（）A.(2\sqrt{5})B.(5\sqrt{2})C.(3\sqrt{2})D.(4\sqrt{3})解析：計(jì)算(\vec{a}-2\vec=(1+2\sqrt{3},\sqrt{3}-2))；模長(zhǎng)(\sqrt{(1+2\sqrt{3})^2+(\sqrt{3}-2)^2}=\sqrt{1+4\sqrt{3}+12+3-4\sqrt{3}+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5})，選A。5.數(shù)列的通項(xiàng)與求和已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_5=25)，(a_4=7)，則公差(d=)（）A.1B.2C.3D.4解析：由(S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}=5a_3=25)得(a_3=5)；又(a_4-a_3=d=7-5=2)，選B。6.不等式的解法若關(guān)于(x)的不等式(ax^2+bx+2>0)的解集為((-\frac{1}{2},\frac{1}{3}))，則(a+b=)（）A.-14B.-10C.10D.14解析：由解集知(a<0)，且方程(ax^2+bx+2=0)的根為(-\frac{1}{2})和(\frac{1}{3})；由韋達(dá)定理：(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{a})，(-\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{a})；解得(a=-12)，(b=-2)，則(a+b=-14)，選A。7.函數(shù)的奇偶性與周期性已知函數(shù)(f(x))是定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)，且滿足(f(x+4)=f(x))，當(dāng)(x\in(0,2))時(shí)，(f(x)=2x^2)，則(f(2025)=)（）A.-2B.2C.-1D.1解析：周期(T=4)，(2025=506\times4+1)，則(f(2025)=f(1))；因(f(x))為奇函數(shù)，(f(1)=-f(-1))，但(x\in(0,2))時(shí)(f(1)=2\times1^2=2)，選B。8.直線與圓的位置關(guān)系圓(C:x^2+y^2-2x+4y-4=0)被直線(l:x-y+1=0)截得的弦長(zhǎng)為（）A.(2\sqrt{2})B.(3\sqrt{2})C.(4\sqrt{2})D.(5\sqrt{2})解析：圓(C)配方得((x-1)^2+(y+2)^2=9)，圓心((1,-2))，半徑(r=3)；圓心到直線距離(d=\frac{|1-(-2)+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2})；弦長(zhǎng)(2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{9-8}=2)，無(wú)正確選項(xiàng)？（注：計(jì)算錯(cuò)誤，應(yīng)為(d=\frac{|1+2+1|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2})，弦長(zhǎng)(2\sqrt{9-8}=2)，題目可能有誤，正確答案應(yīng)為2，但選項(xiàng)中無(wú)。）9.概率與統(tǒng)計(jì)某中學(xué)高一（1）班50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示（數(shù)據(jù)分組為([40,50),[50,60),\dots,[90,100])），則成績(jī)?cè)?[80,90))內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（）A.10B.15C.20D.25解析：頻率分布直方圖中，組距為10，設(shè)([80,90))的頻率為(p)；所有頻率之和為1，即((0.004+0.006+0.01+0.016+p+0.01)\times10=1)，解得(p=0.054)？（注：典型錯(cuò)誤，應(yīng)為((0.004+0.006+0.01+0.016+p+0.01)\times10=1)，(0.046+p=0.1)，(p=0.054)，人數(shù)(50\times0.054\times10=27)，題目數(shù)據(jù)可能有誤，正確思路需結(jié)合圖形計(jì)算頻率。）10.導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線(y=x\lnx)在點(diǎn)((e,e))處的切線方程為（）A.(y=2x-e)B.(y=-2x+3e)C.(y=x)D.(y=e)解析：求導(dǎo)(y'=\lnx+1)，在(x=e)處(y'=2)；切線方程(y-e=2(x-e))，即(y=2x-e)，選A。11.解三角形在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(c=)（）A.(\sqrt{10})B.(\sqrt{13})C.4D.(\sqrt{7})解析：由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{3}=9)，則(c=3)，無(wú)正確選項(xiàng)？（注：計(jì)算錯(cuò)誤，應(yīng)為(c^2=4+9-4=9)，(c=3)，選項(xiàng)中無(wú)，題目可能有誤。）12.不等式的恒成立問(wèn)題若不等式(x^2-ax+1\geq0)對(duì)任意(x\in[1,2])恒成立，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.((-\infty,2])B.([2,+\infty))C.((-\infty,\frac{5}{2}])D.([\frac{5}{2},+\infty))解析：分離參數(shù)(a\leqx+\frac{1}{x})，(x\in[1,2])；函數(shù)(y=x+\frac{1}{x})在([1,2])上單調(diào)遞增，最小值為(2)（(x=1)時(shí)），則(a\leq2)，選A。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)的值域函數(shù)(f(x)=\frac{x^2+2x+3}{x+1})（(x>-1)）的值域?yàn)開(kāi)_______。解析：令(t=x+1)（(t>0)），則(f(x)=t+\frac{2}{t}\geq2\sqrt{2})（基本不等式），當(dāng)(t=\sqrt{2})時(shí)取等號(hào)，值域?yàn)?[2\sqrt{2},+\infty))。14.數(shù)列的遞推關(guān)系已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，則(a_5=)________。解析：遞推式變形為(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，即({a_n+1})是等比數(shù)列，公比為2；(a_n+1=2^{n-1}(a_1+1)=2^n)，則(a_n=2^n-1)，(a_5=31)。15.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值已知(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)________。解析：分子分母同除以(\cos\alpha)得(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3)。16.立體幾何體積計(jì)算一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為_(kāi)_______(\text{cm}^3)。解析：由三視圖知該幾何體為長(zhǎng)方體挖去一個(gè)三棱錐，長(zhǎng)方體體積(3\times2\times2=12)，三棱錐體積(\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times2\times3=2)，則體積(12-2=10)。三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.（10分）解三角形在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(A=\frac{\pi}{3})。（1）求角(B)的大小；（2）求(\triangleABC)的面積。解析：（1）由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB})，得(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2})；因(a>b)，則(A>B)，(B=\frac{\pi}{6})；（2）(C=\pi-A-B=\frac{\pi}{2})，面積(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}\times2\times1=2\sqrt{3})。18.（12分）數(shù)列求和已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且(a_1=1)，(S_3=13)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列({a_n+n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。解析：（1）設(shè)公比為(q)，(S_3=a_1(1+q+q^2)=1+q+q^2=13)，解得(q=3)或(q=-4)；通項(xiàng)公式(a_n=3^{n-1})或(a_n=(-4)^{n-1})；（2）當(dāng)(q=3)時(shí)，(T_n=S_n+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{3^n-1}{2}+\frac{n(n+1)}{2})；當(dāng)(q=-4)時(shí)，(T_n=\frac{1-(-4)^n}{5}+\frac{n(n+1)}{2})。19.（12分）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)。（1）求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)(f(x))在區(qū)間([-1,3])上的最大值與最小值。解析：（1）求導(dǎo)(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))；令(f'(x)>0)得(x<0)或(x>2)，單調(diào)遞增區(qū)間為((-\infty,0))和((2,+\infty))；令(f'(x)<0)得(0<x<2)，單調(diào)遞減區(qū)間為((0,2))；（2）計(jì)算端點(diǎn)及極值點(diǎn)：(f(-1)=-2)，(f(0)=2)，(f(2)=-2)，(f(3)=2)；最大值為2，最小值為-2。20.（12分）立體幾何證明與體積如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC)，(D)為(BC)的中點(diǎn)，求證：（1）(AD\perpB_1C)；（2）若(AB=2)，(AA_1=3)，(\angleBAC=90^\circ)，求三棱錐(A_1-ABD)的體積。解析：（1）因(AB=AC)，(D)為(BC)中點(diǎn)，故(AD\perpBC)；直三棱柱中(BB_1\perp)底面(ABC)，則(BB_1\perpAD)；(BC\capBB_1=B)，故(AD\perp)平面(B_1BCC_1)，因此(AD\perpB_1C)；（2）(V_{A_1-ABD}=V_{D-A_1AB}=\frac{1}{3}\timesS_{\triangleA_1AB}\timesAD)；(S_{\triangleA_1AB}=\frac{1}{2}\timesAB\timesAA_1=3)，(AD=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2})（(BC=2\sqrt{2})）；體積(\frac{1}{3}\times3\times\sqrt{2}=\sqrt{2})。21.（12分）直線與橢圓的位置關(guān)系已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過(guò)點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(OA\perpOB)（(O)為原點(diǎn)），求(m)的取值范圍。解析：（1）離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，則(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})；將點(diǎn)((2,1))代入橢圓方程：(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{8}{a^2}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)；標(biāo)準(zhǔn)方程(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程：((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)；由(OA\perpOB)得(x_1x_2+y_1y_2=0)，代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得(5m^2=8k^2+8)；由判別式(\Delta>0)得(m^2<8k^2+2)，結(jié)合(5m^2=8k^2+8)，解得(m^2\geq\frac{8}{5})，即(m\in(-\infty,-\frac{2\sqrt{10}}{5}]\cup[\frac{2\sqrt{10}}{5},+\infty))。22.（12分）函數(shù)的綜合應(yīng)用已