上海市徐匯中學(xué)2025-2026學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.52．直線l1的傾斜角,直線l1⊥l2，則直線l2的斜率為A.- B.C.- D.3．函數(shù)的圖象大致為A. B.C. D.4．下面四種說法：①若直線異面，異面，則異面；②若直線相交，相交，則相交；③若，則與所成的角相等；④若，，則.其中正確的個數(shù)是()A.4 B.3C.2 D.15．為了得到函數(shù)，的圖象，只要把函數(shù)，圖象上所有的點（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度6．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，則不等式解集為A. B.C. D.7．如圖，在正方體中，分別為的中點，則異面直線和所成角的大小為A. B.C. D.8．已知，，若對任意,或，則的取值范圍是A. B.C. D.9．若函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)向右平移個單位，縱坐標(biāo)保持不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為（）A. B.C. D.10．已知直線與直線平行，則的值為A. B.C.1 D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．請寫出一個同時滿足下列兩個條件的函數(shù)：____________.（1），若則（2）12．如圖，矩形是平面圖形斜二測畫法的直觀圖，且該直觀圖的面積為，則平面圖形的面積為______.13．已知函數(shù)，若在上是增函數(shù)，且直線與的圖象在上恰有一個交點，則的取值范圍是________.14．定義A-B={x|x∈A且xB}，已知A={2，3}，B={1，3，4}，則A-B=______15．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知是圓上一點，折疊該圓兩次使點分別與圓上不相同的兩點（異于點）重合，兩次的折痕方程分別為和，若圓上存在點，使，其中的坐標(biāo)分別為，則實數(shù)的取值集合為__________16．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最值，則的取值范圍為_______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某商人計劃經(jīng)銷A，B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，當(dāng)投資額為萬元時，在經(jīng)銷A，B商品中所獲得的收益分別是，，已知投資額為0時，收益為0.（1）求a，b值;（2）若該商人投入萬元經(jīng)營這兩種商品，試建立該商人所獲收益的函數(shù)模型；（3）如果該商人準(zhǔn)備投入5萬元經(jīng)營這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收益的最大值.18．已知正方體，分別為和上的點，且，.（1）求證：；（2）求證：三條直線交于一點.19．已知（1）畫出這個函數(shù)的圖象（2）當(dāng)0<a<2時f(a)>f(2),利用函數(shù)圖象求出a的取值范圍20．如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=2AB=4，點E為線段BC的中點，點F在線段AD上，且EF∥AB，現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，點P為幾何體中線段AD的中點（Ⅰ）證明：平面ACD⊥平面ACF；（Ⅱ）證明：CD∥平面BPE21．已知函數(shù)（1）若，成立，求實數(shù)的取值范圍;（2）證明：有且只有一個零點，且

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】由可得，將整理為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故選：A2、C【解析】由題意可得L2的傾斜角等于30°+90°＝120°，從而得到L2的斜率為tan120°，運算求得結(jié)果【詳解】如圖：直線L1的傾斜角α1＝30°，直線L1⊥L2，則L2的傾斜角等于30°+90°＝120°，∴L2的斜率為tan120°＝﹣tan60°，故選C【點睛】本題主要考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題3、A【解析】利用函數(shù)為奇函數(shù)及在時函數(shù)值正負，即可得答案.【詳解】由于函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且,所以函數(shù)的奇函數(shù),排除B,C選項；又因為,故排除D選項.故選：A.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式選擇函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想，求解時注意根據(jù)解析式發(fā)現(xiàn)函數(shù)為奇函數(shù)及特殊點函數(shù)值的正負.4、D【解析】對于①，直線a，c的關(guān)系為平行、相交或異面．故①不正確對于②，直線a，c的關(guān)系為平行、相交或異面．故②不正確對于③，由異面直線所成角的定義知正確對于④，直線a，c關(guān)系為平行、相交或異面．故④不正確綜上只有③正確．選D5、C【解析】利用輔助角公式可得，再由三角函數(shù)的平移變換原則即可求解.【詳解】解：，，為了得到函數(shù)，的圖象，只要把函數(shù)，圖象上所有的點向左平移個單位長度故選：C．6、B【解析】，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，解得.考點：偶函數(shù)的性質(zhì).【思路點睛】本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)函數(shù)奇偶性可得，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得；然后再解不等式即可求出結(jié)果7、D【解析】連DE，交AF于G，根據(jù)平面幾何知識可得，于是，進而得．又在正方體中可得底面，于是可得，根據(jù)線面垂直的判定定理得到平面，于是，所以兩直線所成角為【詳解】如圖，連DE，交AF于G在和中，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∴又在正方體中可得底面，∵底面，∴，又，∴平面，∵平面，∴，∴異面直線和所成角的大小為故選D【點睛】求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，將空間角的問題轉(zhuǎn)化為平面問題處理，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．計算異面直線所成的角時通常放在三角形中利用解三角形的方法進行求解，有時也可通過線面間的垂直關(guān)系進行求解8、C【解析】先判斷函數(shù)g（x）的取值范圍，然后根據(jù)或成立求得m的取值范圍.【詳解】∵g（x）＝﹣2，當(dāng)x<時,恒成立，當(dāng)x≥時，g（x）≥0，又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥時恒成立，即m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥時恒成立，則二次函數(shù)y＝m（x﹣2m）（x+m+3）圖象開口只能向下，且與x軸交點都在（，0）的左側(cè)，∴，即，解得＜m＜0，∴實數(shù)m的取值范圍是：（，0）故選C【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件確定f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥時恒成立是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大9、B【解析】由題設(shè)可得，根據(jù)已知對稱性及余弦函數(shù)的性質(zhì)可得，即可求的最小值.【詳解】由題設(shè)，關(guān)于軸對稱，∴且，則，，又，∴的最小值為.故選：B.10、D【解析】由題意可得：，解得故選二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、，答案不唯一【解析】由條件（1），若則.可知函數(shù)為R上增函數(shù)；由條件（2）.可知函數(shù)可能為指數(shù)型函數(shù).【詳解】令，則為R上增函數(shù)，滿足條件（1）.又，故即成立.故答案為：，（，等均滿足題意）12、【解析】由題意可知，該幾何體的直觀圖面積，可通過，帶入即可求解出該平面圖形的面積.【詳解】解：由題意，直觀圖的面積為，因為直觀圖和原圖面積之間的關(guān)系為，所以原圖形的面積是故答案為：.13、【解析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性以及圖象的分析得出的取值范圍.【詳解】因為在上是增函數(shù)，所以，解得因為直線與的圖象在上恰有一個交點，所以，解得，綜上.故答案為：14、{2}【解析】∵A={2，3}，B={1，3，4}，又∵A-B={x|x∈A且xB}，∴A-B={2}故答案為{2}.15、【解析】由題意，∴A（3，2）是⊙C上一點，折疊該圓兩次使點A分別與圓上不相同的兩點（異于點A）重合，兩次的折痕方程分別為x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，∴圓上不相同的兩點為B（1，4），D（5，4），∵A（3，2），BA⊥DA∴BD的中點為圓心C（3，4），半徑為1，∴⊙C的方程為（x﹣3）2+（y﹣4）2=4過P，M，N的圓的方程為x2+y2=m2，∴兩圓外切時，m的最大值為，兩圓內(nèi)切時，m的最小值為，故答案為[3，7]16、【解析】當(dāng)函數(shù)取得最值時有，由此求得的值，根據(jù)列不等式組，解不等式組求得的取值范圍（含有），對賦值求得的具體范圍.【詳解】由于函數(shù)取最值時，，，即，又因為在區(qū)間內(nèi)有最值.所以時，有解，所以，即，由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，又，，所以的范圍為.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)最值的求法，考查不等式的解法，考查賦值法，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）投入A商品4萬元，B商品1萬元，最大收益12萬元.【解析】（1）根據(jù)直接計算即可.（2）依據(jù)題意直接列出式子（3）使用還原并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【小問1詳解】由題可知：【小問2詳解】由（1）可知：，設(shè)投入商品投入萬元，投入商品萬元則收益為：【小問3詳解】由題可知：令，則所以所以當(dāng)，即時，（萬元）所以投入A商品4萬元，B商品1萬元，最大收益12萬元18、（1）詳見解析；（2）詳見解析【解析】（1）連結(jié)和，由條件可證得和，從而得到∥.（2）結(jié)合題意可得直線和必相交，根據(jù)線面關(guān)系再證明該交點直線上即可得到結(jié)論【詳解】證明：(1)如圖，連結(jié)和，在正方體中，，∵，∴，又，，∴又在正方體中，，,∴，又，∴同理可得，又，∴∴∥.（2）由題意可得（或者和不平行），又由(1)知∥，所以直線和必相交，不妨設(shè)，則，又，所以，同理因為，所以，所以、、三條直線交于一點【點睛】（1）證明兩直線平行時，可根據(jù)三種平行間的轉(zhuǎn)化關(guān)系進行證明，也可利用線面垂直的性質(zhì)進行證明，解題時要注意合理選擇方法進行求解（2）證明三線共點的方法是：先證明其中的兩條直線相交，再證明該交點在第三條直線上．解題時要依據(jù)空間中的線面關(guān)系及三個公理，并結(jié)合圖形進行求解19、（1）見解析；（2）{a|0＜a＜}.【解析】（1）由函數(shù)整體加絕對值知，只需將函數(shù)位于x軸下方的圖像關(guān)于x對稱即可；（2）利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合a范圍即可得解.【詳解】（1）如圖：?（2）令f(a)=f(2)，即|log3a|=|log32|，解得a=或a=2.從圖像可知，當(dāng)0＜a＜時，滿足f(a)＞f(2)，所以a的取值范圍是{a|0＜a＜}.【點睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象及圖象變換，利用數(shù)形結(jié)合解不等式.20、證明過程詳見解析【解析】（Ⅰ）證明AF⊥平面EFDC，得出AF⊥CD；再由勾股定理證明FC⊥CD，即可證明CD⊥平面ACF，平面ACD⊥平面ACF；（Ⅱ）取DF的中點Q，連接QE、QP，證明BPQE四點共面，再證明CD∥EQ，從而證明CD∥平面EBPQ，即為CD∥平面BPE【詳解】（Ⅰ）由題意知，四邊形ABEF是正方形，∴AF⊥EF，又平面ABEF⊥平面EFDC，∴AF⊥平面EFDC，∴AF⊥CD；又FD=4，F(xiàn)C=AB=2，CD=AB=2，∴FD2=FC2+CD2，∴FC⊥CD；又FC∩AF=F，∴CD⊥平面ACF；又CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ACF；（Ⅱ）如圖所示，取DF的中點Q，連接QE、QP，則QP∥AF，又AF∥BE，∴PQ∥BF，∴BPQE四點共面；又EC=2，QD=DF=2，且DF∥EC，∴QD與EC平行且相等，∴QECD為平行四邊形，∴CD∥EQ，又EQ?平面EBPQ，CD?平面EBPQ，∴CD∥平面EBPQ，即CD∥平面BPE【點睛】本題主要考查直線和平面平行與垂直的判定