試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)上海市2025學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷高三數(shù)學(xué)（滿分150分，完卷時(shí)間120分鐘）

2025.12考生注意：1．本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分.2．答題前，務(wù)必在答題紙上填寫座位號(hào)和姓名.3．答題紙與試卷在試題編號(hào)上是一一對(duì)應(yīng)的，答題時(shí)應(yīng)特別注意，不能錯(cuò)位.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1．已知集合，，則．2．拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為．3．不等式的解集為．4．復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．5．某運(yùn)動(dòng)員在某次男子10米氣手槍射擊比賽中的得分?jǐn)?shù)據(jù)（單位：環(huán)）如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．6．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是.7．比較兩數(shù)的大?。海?．設(shè)，若，則的值為．9．已知平面內(nèi)兩個(gè)非零向量、相互垂直，，若，則實(shí)數(shù)k的值為．10．將3名男生和3名女生排成一排，若從左邊第一個(gè)學(xué)生開(kāi)始依次往右數(shù)，無(wú)論數(shù)到幾人，男生人數(shù)都大于或等于女生人數(shù)，則有種不同的排法．（結(jié)果用數(shù)值表示）11．某社區(qū)為擴(kuò)大居民的活動(dòng)區(qū)域，計(jì)劃將社區(qū)內(nèi)原有的半徑為10m的圓形花壇擴(kuò)建成一個(gè)矩形花園．若要求擴(kuò)建前的圓與擴(kuò)建后矩形的兩鄰邊和一條對(duì)角線都相切，則矩形花園占地面積的最小值為．（結(jié)果精確到）12．在三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的體積為．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號(hào)涂黑.13．若空間中三條不同的直線，，滿足，，則是，，共面的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．下列函數(shù)中，對(duì)任意的、時(shí)，均有的是（

）A． B．C． D．15．已知函數(shù)其表達(dá)式為，，函數(shù)其表達(dá)式為，若對(duì)任意，都有，則方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．916．定義：一個(gè)平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”．在中，，邊上的高等于，以的各邊為直徑向外分別作三個(gè)半圓，記三個(gè)半圓圍成的平面區(qū)域的“直徑”為，則以下兩個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②的最大值為（

）A．①正確，②錯(cuò)誤 B．①②都正確 C．①錯(cuò)誤，②正確 D．①②都錯(cuò)誤三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17．已知函數(shù)（、，）的周期為，在時(shí)取到最大值，記．(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，，，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面底面ABCD．(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．19．在乒乓球比賽中，一個(gè)發(fā)球回合時(shí)長(zhǎng)是指從運(yùn)動(dòng)員發(fā)球開(kāi)始，到其中一方得分為止的時(shí)間．現(xiàn)記錄一場(chǎng)比賽中運(yùn)動(dòng)員連續(xù)10個(gè)發(fā)球回合時(shí)長(zhǎng)（單位：秒），數(shù)據(jù)如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9．(1)求這組數(shù)據(jù)的極差和中位數(shù)；(2)如果定義一個(gè)發(fā)球回合時(shí)長(zhǎng)超過(guò)5.0秒為“長(zhǎng)發(fā)球回合”，那么從這10個(gè)發(fā)球回合時(shí)長(zhǎng)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至少有2個(gè)是“長(zhǎng)發(fā)球回合”的概率；(3)假設(shè)甲乙運(yùn)動(dòng)員相約進(jìn)行一次比賽，比賽有兩種賽制可選：①一局定勝負(fù)：只打一局，勝者贏得比賽；②三局兩勝：先贏得兩局者為勝，最多打三局．若甲在一局中獲勝的概率為．從甲的角度考慮，哪種賽制對(duì)他更有利？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)．的最大值是，的最小值是，滿足．(1)求該橢圓的離心率；(2)若，點(diǎn)在橢圓上，且在軸上方，線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，求直線的斜率；(3)設(shè)線段的中點(diǎn)為的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．記的面積為，的面積為，求的取值范圍．21．已知函數(shù)，正常數(shù)，記．(1)當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)既存在極小值也存在極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)求證：對(duì)于任意正整數(shù)n，都有．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，所以.故答案為：2．4【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，所以所求距離為.故答案為：43．【分析】將分式不等式化為一元二次不等式，進(jìn)而求解解集即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，可得，解?故答案為：4．【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法法則將化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.5．【分析】先讀取莖葉圖得到數(shù)據(jù)，再利用平均數(shù)公式求解平均數(shù)即可.【詳解】由題意得得分?jǐn)?shù)據(jù)分別為，則平均數(shù)為.故答案為：6．10【解析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和為得到，再利用二項(xiàng)式定理得到答案.【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故.展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，取得到項(xiàng)的系數(shù)是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.7．【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性分析即可.【詳解】設(shè)函數(shù)，由，令，解得：當(dāng)，當(dāng)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以，故答案為：.8．2【分析】根據(jù)題意利用誘導(dǎo)公式結(jié)合弦化切可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的值為2.故答案為：2.9．【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積運(yùn)算律及夾角公式列式求解.【詳解】由兩個(gè)非零向量、相互垂直，得，而，則，，因此，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以實(shí)數(shù)k的值為.故答案為：10．【分析】根據(jù)分類加法與分步乘法原理將第二位分為男生和女生兩種情況，結(jié)合排列組合數(shù)逐步計(jì)算即可得結(jié)論.【詳解】由題可知，從左邊開(kāi)始第一個(gè)學(xué)生為男生有種安排方法：①若第二位為男生：第三位為男生時(shí)的方法數(shù)為種，第三位為女生時(shí)第四位為男生時(shí)有種，第四位為女生時(shí)種，綜上，第二位為男生的方法總數(shù)為；②若第二位為女生：第三位必為男生，則第四位為男生時(shí)有種，第四位為女生時(shí)種，綜上，第二位為女生的方法總數(shù)為；根據(jù)分類分步計(jì)數(shù)原理可得總方法數(shù)為種不同的排法．故答案為：.11．.【分析】設(shè)，，可得圓的半徑m，利用基本不等式運(yùn)算求解即可.【詳解】如圖，在矩形中，設(shè)，，，則，圓的半徑m，因?yàn)?，，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，即，解得，所以矩形花園占地面積的最小值為.故答案為：.12．【分析】過(guò)作于，連接，利用余弦定理與勾股定理可證得，結(jié)合線面垂直判定定理得平面，則用等體積法即可得此三棱錐的體積.【詳解】如下圖：過(guò)作于，連接，

因?yàn)椋?，，在中，由余弦定理得：，則，于是，故，又平面，所以平面，故此三棱錐的體積為.故答案為：.13．B【分析】通過(guò)特例說(shuō)明不能推出，，共面，即充分性不成立；再由平面幾何知識(shí)得出同一平面內(nèi)的直線不平行必相交，推出一定成立，即必要條件成立，兩者綜合即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示：滿足，，且，但是，所以可知是，，共面的不充分條件；當(dāng)，，共面時(shí)，由平面幾何知識(shí)可知同一平面內(nèi)的直線不平行必相交，又因?yàn)椋?，所以必然有，即是，，共面的必要條件，綜上可知是，，共面的必要不充分條件.故選：B.14．C【分析】先確定函數(shù)的單調(diào)性，再對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，?duì)任意的、時(shí)，均有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.對(duì)A：因?yàn)?，所以冪函?shù)在上單調(diào)遞減，不合題意；對(duì)B：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不合題意；對(duì)C：因?yàn)椋灾笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上就是單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)D：因?yàn)?，所以?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，不合題意.故選：C15．B【分析】由題意可求得，將函數(shù)寫成分段函數(shù)，得出其值域?yàn)?，作出兩函?shù)的圖象，將原方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，都有，令，則有，解得，從而得；令，則有，所以，即，所以對(duì)任意恒成立，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，方程無(wú)解；所以，所以的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無(wú)解；作出和的部分圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，令，解得或，此時(shí)方程有2個(gè)解.由此可得兩函數(shù)圖象有7個(gè)交點(diǎn)，即方程有7個(gè)解.故選：B.16．B【分析】根據(jù)“直徑”的定義，找出“直徑”與三角形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，分別對(duì)兩個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】結(jié)論①：，BC邊上的高等于，.在中，，又，所以，即，解得，因此，.當(dāng)封閉區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)位于在同一半圓上時(shí)，以在上任取兩點(diǎn)，為例，連接，則，又，所以，當(dāng)封閉區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)位于在不同半圓上時(shí)，以在上取一點(diǎn)，在上取一點(diǎn)為例，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，連接，，，，由兩點(diǎn)間線段最短可得，當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，綜上，，所以，故結(jié)論①正確.結(jié)論②：設(shè)中角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，設(shè)邊上的高為，即，.由三角形面積公式可得，所以，由余弦定理可得，即，所以.，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).由①知，將，代入可得，當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點(diǎn)共線，時(shí)取等號(hào)，所以，故結(jié)論②正確.故選：B17．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知條件求出、、的值，進(jìn)而得到函數(shù)的表達(dá)式；（2）先根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求出和的值，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而得到，最后根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出.【詳解】（1）由題意，函數(shù)（、，）的周期為，所以，即，解得，又函數(shù)在時(shí)取到最大值，所以，解得，，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的表達(dá)式為；（2）由（1）知，函數(shù)的表達(dá)式為，所以，，又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，則，解得，，所以，又，所以，即數(shù)列為首項(xiàng)是，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線線垂直.（2）利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，.因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平?平面，所以，又底面是直角梯形，，所以.又分別為，中點(diǎn)，所以，所以.所以兩兩垂直.故以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，?所以，.因?yàn)?所以，所以.（2）由（1）得，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得.所以點(diǎn)到平面的距離為：.19．(1)，(2)(3)一局定勝負(fù)對(duì)甲更有利【分析】（1）根據(jù)極差和中位數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（2）根據(jù)古典概型的概率的計(jì)算公式結(jié)合組合數(shù)公式即可求解；（3）分別計(jì)算一局定輸贏和三局兩勝情況下甲獲勝的概率，比較大小.【詳解】（1）將題中數(shù)據(jù)按從小到大的排序排列得：3.2，4.1，4.7，5.3，5.8，6.5，7.2，8.9，9.6，12.4．故極差為；中位數(shù)為.（2）因?yàn)殚L(zhǎng)發(fā)球回合數(shù)，短發(fā)球回合數(shù)，所以從10個(gè)中隨機(jī)抽取3個(gè)，至少有2個(gè)是長(zhǎng)發(fā)球回合的概率為：；（3）對(duì)于甲來(lái)說(shuō)，一局定勝負(fù)的情況下，贏得比賽的概率為，三局兩勝的情況下，贏得比賽的概率為，則，因?yàn)?，所以，即，所以一局定勝?fù)對(duì)甲更有利.20．(1)(2)(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，由橢圓性質(zhì)得，結(jié)合題意得到，即可求出離心率；（2）若，結(jié)合（1）得到和橢圓的方程，設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，列方程組計(jì)算得到點(diǎn)，再根據(jù)直線的斜率公式計(jì)算即可.（3）根據(jù)題意，設(shè)出橢圓方程和直線方程，兩方程聯(lián)立，消參，利用韋達(dá)定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范圍.【詳解】（1）設(shè)，則根據(jù)橢圓性質(zhì)得，而，所以有，即，因此橢圓的離心率為.（2）若，因?yàn)?，所以，且，以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，則，消化簡(jiǎn)可得，解得或，因?yàn)椋?，?jì)算得，點(diǎn)，所以直線的斜率為；（3）由（1）可知，，橢圓的方程為.根據(jù)條件直線的斜率一定存在且不為零，設(shè)直線的方程為，并設(shè)則由消去并整理得從而有，所以.因?yàn)?，所以?由與相似，所以令，則，從而，即的取值范圍是.21．(1)函數(shù)在區(qū)間上