專升本數(shù)學(xué)專業(yè)2025年線性代數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.設(shè)A為n階矩陣，若A可逆，則det(A)等于（）。（A）0（B）1（C）-1（D）非零任意實(shí)數(shù)2.設(shè)向量組α?,α?,α?線性無(wú)關(guān)，則下列向量組中線性相關(guān)的是（）。（A）α?+α?,α?+α?,α?+α?（B）α?,α?+α?,α?（C）α?+α?,α?-α?,α?（D）α?,α?,α?+α?3.設(shè)A是3階矩陣，其特征值為1,2,-1，則det(A)等于（）。（A）0（B）2（C）-2（D）-14.非齊次線性方程組Ax=b，若其增廣矩陣（A|b）的秩為r，系數(shù)矩陣A的秩為r'，則（）。（A）r=r'時(shí)，方程組有唯一解（B）r>r'時(shí)，方程組無(wú)解（C）r=r'+1時(shí)，方程組有無(wú)窮多解（D）r=r'時(shí)，方程組有無(wú)窮多解5.二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+3x?2+2x?x?+2x?x?+4x?x?的矩陣形式為（）。（A）[x?,x?,x?][111][x?]（B）[x?,x?,x?][122][x?][123][x?]（C）[x?,x?,x?][101][x?][022][x?][123][x?]（D）[x?,x?,x?][111][x?][122][x?][123][x?]二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分。）6.設(shè)A為4階方陣，det(A)=-2，則det(2A)等于_________。7.若向量組α?,α?,α?線性相關(guān)，α?+kα?+α?=0，且k≠0，則k=_________。8.設(shè)A是2階矩陣，且A2=A，則det(A)的可能值為_(kāi)________。9.齊次線性方程組x?+x?+x?=0的解空間的維數(shù)是_________。10.若矩陣A=[12;34]的逆矩陣為A?1，則A?1[1;1]=_________。三、計(jì)算題（本大題共4小題，滿分40分。）11.（本小題滿分10分）計(jì)算行列式D的值：D=|1-12||3-21||120|12.（本小題滿分10分）設(shè)矩陣A=[12;-10]，求矩陣A的逆矩陣A?1（若存在）。13.（本小題滿分10分）解線性方程組：{x?+2x?+x?=1{2x?+3x?+2x?=3{x?+x?+2x?=214.（本小題滿分10分）求矩陣A=[1-12;02-1;003]的特征值和特征向量。四、證明題（本大題共2小題，滿分25分。）15.（本小題滿分12分）設(shè)向量組α?,α?,α?線性無(wú)關(guān)，證明向量組α?+α?,α?+α?,α?+α?也線性無(wú)關(guān)。16.（本小題滿分13分）設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，且滿足A2=A。證明：存在正交矩陣P，使得P?AP=對(duì)角矩陣。試卷答案一、選擇題1.D2.A3.B4.C5.B二、填空題6.-167.-18.0,19.210.[3;-2]三、計(jì)算題11.解：按第一列展開(kāi)計(jì)算行列式D：D=1×|-21|-(-1)×|31|+2×|3-2||20||-20||-22|D=1×((-2)×0-1×2)+1×(3×0-1×(-2))+2×(3×2-(-2)×(-2))D=1×(-2)+1×2+2×(6-4)D=-2+2+2×2D=-2+2+4D=412.解：計(jì)算行列式det(A)：det(A)=(1)(0)-(2)(-1)=0+2=2≠0因?yàn)閐et(A)≠0，所以矩陣A可逆。利用伴隨矩陣法求逆：A?1=1/det(A)*Adj(A)A?1=1/2*[0-2;-(-1)1](計(jì)算伴隨矩陣Adj(A))A?1=1/2*[0-2;11]A?1=[0-1;1/21/2]13.解：寫出增廣矩陣，并進(jìn)行行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣：[121|1][232|3][112|2]→[121|1]R?-2R?→R?[0-10|1][112|2]R?-R?→R?[0-11|1]→[121|1]R?+R?→R?[0-10|1][001|2]→[120|-1]R?-R?→R?[0-10|1]R?×(-1)→R?[001|2]→[100|1]R?-2R?→R?[010|-1][001|2]對(duì)應(yīng)的方程組為：x?=1x?=-1x?=2解為：x?=1,x?=-1,x?=2.14.解：計(jì)算特征多項(xiàng)式det(λI-A)：λI-A=[λ-11-2;0λ-21;00λ-3]det(λI-A)=(λ-1)|λ-21|(按第一行展開(kāi))[0λ-3][0λ-3]det(λI-A)=(λ-1)[(λ-2)(λ-3)-0]=(λ-1)(λ2-5λ+6)det(λI-A)=(λ-1)(λ-2)(λ-3)特征值為λ?=1,λ?=2,λ?=3.求特征向量：對(duì)λ?=1：(I-A)x=[01-2;0-11;00-2][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[01-2;0-11;00-2][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[01-2;0-11;00-2][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[01-2;01-1;000](R?+R?→R?)→[01-2;01-1;000](R?+2R?→R?)→[000;01-1;000](R?-2R?→R?)對(duì)應(yīng)方程組：x?-x?=0,x?=x?.x?無(wú)約束，令x?=c?,x?=c?,x?=c?.特征向量形式為k?[1;1;1](k?≠0).對(duì)λ?=2：(2I-A)x=[11-2;001;00-1][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[11-2;001;00-1][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[11-2;001;00-1][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[11-2;001;00-1][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[11-2;001;00-1][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[11-2;001;000](R?+R?→R?)→[11-2;001;000](R?+2R?→R?)→[110;001;000](R?+2R?→R?)對(duì)應(yīng)方程組：x?+x?=0,x?=0.x?無(wú)約束，令x?=c?,x?=-c?,x?=0.特征向量形式為k?[0;-1;1](k?≠0).對(duì)λ?=3：(3I-A)x=[21-2;011;000][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[21-2;011;000][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[21-2;011;000][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[21-2;011;000][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[21-2;011;000][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[21-2;011;000][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[21-2;011;000][x?;x?;x?]=[0;0;0]→[20-1;011;000](R?-R?→R?)對(duì)應(yīng)方程組：2x?-x?=0,x?+x?=0.x?=x?/2,x?=-x?.令x?=c?,x?=c?/2,x?=-c?.特征向量形式為k?[1/2;-1;1](k?≠0).四、證明題15.證明：假設(shè)α?+α?,α?+α?,α?+α?線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)k?,k?,k?使得k?(α?+α?)+k?(α?+α?)+k?(α?+α?)=0(k?+k?)α?+(k?+k?)α?+(k?+k?)α?=0由于α?,α?,α?線性無(wú)關(guān)，上式成立當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)全為零：{k?+k?=0{k?+k?=0{k?+k?=0解此方程組：由(2)得k?=-k?.代入(1)得k?-k?=0,0=0(恒成立).代入(3)得-k?+k?=0,k?=k?.將k?=k?代入(1)得k?+k?=0,2k?=0,k?=0.則k?=-k?=0,k?=k?=0.這與k?,k?,k?不全為零矛盾。因此，假設(shè)錯(cuò)誤，α?+α?,α?+α?,α?+α?線性無(wú)關(guān)。16.證明：A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則其特征值λ都是實(shí)數(shù)，且存在正交矩陣P（列向量是單位正交向量），使得P?AP=P?1AP=對(duì)角矩陣D（對(duì)角元為A的特征值）。由題設(shè)A2=A，即A是冪等矩陣。對(duì)任意向量x，有(A2)x=Ax。由冪等性得A(Ax)=Ax。等式兩邊左乘P?，得P?A(Ax)=P?(Ax)。由P是正交矩陣，P?A=AP?，P?x是x在P的基下的坐標(biāo)向量。等式變?yōu)?AP?)(Ax)=(AP?)x。設(shè)P?AP=D=diag(λ?,λ?,...,λ?)