2025年專升本數(shù)學概率論模擬試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。1.設事件A，B，C兩兩獨立，且滿足A∪B=C，則事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率是（）。（A）P(A)+P(B)-P(A)P(B)（B）P(A∪B)（C）P(C)-P(A)P(B)（D）P(A)P(B∪C)2.現(xiàn)有5件產(chǎn)品，其中3件正品，2件次品，從中隨機抽取2件，則抽到2件次品的概率是（）。（A）1/10（B）1/5（C）3/10（D）2/53.已知隨機變量X的分布律為P(X=0)=0.3，P(X=1)=0.5，P(X=2)=0.2，則X的期望E(X)等于（）。（A）0.5（B）1（C）1.1（D）1.34.設隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且E(X^2)=2，則λ等于（）。（A）1（B）2（C）√2（D）1/25.設隨機變量X～N(μ,σ^2)，則隨機變量Y=aX+b（a≠0）服從的分布是（）。（A）N(μ,σ^2)（B）N(aμ+b,a^2σ^2)（C）N(μ/a,σ^2/a^2)（D）N(aμ+b,σ^2/a^2)二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。請將答案填在題中橫線上。6.設A，B是兩個事件，且P(A)=0.7，P(A∪B)=0.9，則P(A|B)=_______。7.若隨機變量X服從區(qū)間[0,10]上的均勻分布，則P(X>6)=_______。8.設隨機變量X的期望E(X)=2，方差D(X)=4，則根據(jù)切比雪夫不等式，P(|X-2|≥3)≤_______。9.設離散型隨機變量X的分布律為P(X=k)=C(k+1)/20，k=1,2,3，則常數(shù)C=_______。10.設隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(1,9)，Y～N(0,4)，則隨機變量Z=X-2Y的方差D(Z)=_______。三、解答題：本大題共4小題，共50分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。11.（本小題滿分12分）袋中有5個紅球和3個白球，從中不放回地依次抽取3個球。（1）求第三次抽取到紅球的概率。（2）求恰好有2個紅球的概率。12.（本小題滿分12分）設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x<0;{ax^2+bx,0≤x≤1;{1,x>1。其中a，b為常數(shù)。已知E(X)=3/4，求a和b的值，并計算X的方差D(X)。13.（本小題滿分12分）設隨機變量X和Y相互獨立，X～N(0,1)，Y～N(1,4)。（1）求隨機變量Z=X+2Y的分布函數(shù)。（2）計算概率P(Z≤1)。14.（本小題滿分14分）設甲、乙兩人獨立地射擊同一目標，甲射擊命中目標的概率為0.9，乙射擊命中目標的概率為0.8。（1）求目標被命中一次的概率。（2）求目標被命中兩次的概率。（3）求目標至少被命中一次的概率。---試卷答案一、選擇題1.A2.C3.C4.B5.B二、填空題6.0.67.2/58.16/99.410.13三、解答題11.（1）解：方法一：利用古典概型?；臼录倲?shù)為C(8,3)。事件“第三次抽取到紅球”包含的基本事件數(shù)為C(5,1)*C(3,2)。所求概率為P=[C(5,1)*C(3,2)]/C(8,3)=(5*3)/(8*7*2/6)=15/56。方法二：利用條件概率。P=P(第一次或第二次抽到紅球且第三次抽到紅球)=P(第一次抽到紅球)P(第三次抽到紅球|第一次抽到紅球)+P(第一次抽到白球)P(第三次抽到紅球|第一次抽到白球)=(5/8)*(4/7)+(3/8)*(5/7)=20/56+15/56=35/56=15/28。方法三：利用對立事件。P(第三次抽到紅球)=1-P(第三次抽到白球)=1-[C(5,2)/C(8,3)]=1-(10/56)=46/56=23/28。（2）解：P(恰好有2個紅球)=P(第一次紅,第二次紅,第三次白)+P(第一次紅,第二次白,第三次紅)+P(第一次白,第二次紅,第三次紅)=(5/8)*(4/7)*(3/6)+(5/8)*(3/7)*(4/6)+(3/8)*(5/7)*(4/6)=60/336+60/336+60/336=180/336=15/28。12.解：由分布函數(shù)性質(zhì)，F(xiàn)(0)=0，F(xiàn)(1)=1。所以a*0^2+b=0，a*1^2+b=1。解得b=0，a=1。所以F(x)={0,x<0;{x^2,0≤x≤1;{1,x>1。X是離散型隨機變量，由分布律P(X=k)=F(k)-F(k-)。P(X=0)=F(0)-F(0-)=0-0=0。P(X=1)=F(1)-F(1-)=1-0=1。P(X=2)=F(2)-F(2-)=1-1=0。（注意：此處根據(jù)F(x)形式，X只取0,1,2值。若需嚴格按泊松分布性質(zhì)檢查，P(X=1)=1可能不合理，但按題意F(x)形式計算如下）P(X=0)=0,P(X=1)=1,P(X=2)=0。E(X)=0*0+1*1+2*0=1。題目給出E(X)=3/4，說明此F(x)構造有誤或題設矛盾。若按F(x)形式計算期望，E(X)=1。（若題目意圖是X服從參數(shù)為1/4的泊松分布，則E(X)=1/4，分布律為P(X=k)=((1/4)^k*e^(-1/4))/k!。但分布函數(shù)F(x)不匹配此泊松分布。)假設按F(x)形式計算方差，E(X)=1。E(X^2)=0^2*0+1^2*1+2^2*0=1。D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=1-1^2=0。（此結果顯然不合理，說明題目條件或F(x)設定存在問題。若忽略矛盾，按F(x)形式計算，期望E(X)=1，方差D(X)=0。）13.解：（1）因為X～N(0,1)且Y～N(1,4)，且X,Y相互獨立。所以X+Y～N(μ_X+μ_Y,σ_X^2+σ_Y^2)=N(0+1,1^2+2^2)=N(1,5)。Z=X+2Y=(X+Y)+Y。由正態(tài)分布性質(zhì)，Z也服從正態(tài)分布。其期望E(Z)=E(X+Y)+E(Y)=1+1=2。其方差D(Z)=D(X+Y)+D(Y)=D(X)+D(Y)+2*sqrt(D(X))*sqrt(D(Y))*Cov(X,Y)=1+4+2*1*2*0=5。所以Z~N(2,5)。Z的分布函數(shù)F_Z(z)=P(Z≤z)=P((Z-2)/sqrt(5)≤(z-2)/sqrt(5))=Φ((z-2)/sqrt(5))，其中Φ(x)是標準正態(tài)分布函數(shù)。（2）P(Z≤1)=Φ((1-2)/sqrt(5))=Φ(-1/sqrt(5))。由于標準正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)是偶函數(shù)，Φ(-x)=1-Φ(x)。所以P(Z≤1)=1-Φ(1/sqrt(5))。14.解：設A為甲命中目標事件，B為乙命中目標事件。P(A)=0.9，P(B)=0.8。A,B相互獨立。（1）目標被命中一次=(甲命中且乙未命中)或(甲未命中且乙命中)。P(命中一次)=P(A∩B')+P(A'∩B)=P(A)P(B')+P(A')P(B)=0.9*(1-0.8)+(1-0.9)*0.8=0.9*0.2+0.1*0.8=0.18+0.08=0.26。（2）目標被命中兩次=甲命中