【培優(yōu)版】北師大版數(shù)學(xué)九上第一章特殊的平行四邊形單元測試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一

個(gè)是正確的）

1.如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED,過點(diǎn)D作DF_LBC,垂足為F,

則DF的長為（）

A.2百+2B.5-竽C.3-V3D.V3+1

2.如圖，P是矩形4BC。內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接24、PB、PC、PD,得至必PDA,APAB,APBC,

△PCD,設(shè)它們的面積分別是Si，S2,S3,S4,給出如下結(jié)論：@SX+S2=S3+S4@S2+S4=

Si+S3③若S3=2Si，則=2s2④若Si=S2,貝IJP點(diǎn)在矩形的對角線上.其中正確的結(jié)論的序號

是（）

3.如圖，在正方形A8CO外取一點(diǎn)E,連接AE,BE,DE.過點(diǎn)A作AE的垂線交。E于點(diǎn)H4E二

AP=1,PB=展.下列結(jié)論：?^APD=^AEB；（2）EBLED；③點(diǎn)3到直線AE的距離是季

@S正方形ABCD4+^,其中所有正確的結(jié)論是（）

D

B

A.②③B.①④

。①②④①②③④

4.如圖，四邊形/WCD中，AB=BC,/-ABC=90%點(diǎn)。為對角線AC.的中點(diǎn)，8占1C。于點(diǎn)￡,若

Z-DBE=45°,Z.COE=a,則2C40的度數(shù)是（）

5.如圖，在正方形48co中，點(diǎn)E,尸分別在8C,CD上，連裝AE,AF,EF,LEAF=45°.若

Z-BAE=a,則々PEC一定等于()

A.2aB.90°-2aC.450-aD.90°-a

6.如圖，在菱形ABCD中，ZBAD=60°,AC與BD交于點(diǎn)O,E為CD延長線上的一點(diǎn)，且

CD=DE,連接BE分別交AC、AD于點(diǎn)F、G,連接OG,則下列結(jié)論：①OG二)\B②與△DEG

全等的三角形共有5個(gè)：③四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等：④由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的

四邊形是菱形。其中一定成立的是()

BA

cDE

A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④

7.已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示.，頂點(diǎn)力(5,0)，B(8,4),點(diǎn)P是對角線OB

上的一個(gè)動點(diǎn)，0(0,1),當(dāng)CP+OP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(）

A.（0,0）B.（1,i）。.亭|）D.（學(xué)，1）

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形0A8C的邊長為2遍，點(diǎn)8在％軸的正半軸上，且乙AOC=60。,

將菱形048c繞原點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到四邊形。49C'（點(diǎn)4與點(diǎn)C重合），則點(diǎn)夕的坐標(biāo)是

（）

A.（3遍，3企）B.(3x/2,3V6)C.(3&,6V2)D.(6V2,3V6)

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分,共15分）

9.如圖，菱形48CD中，/AEC=60。，AB=2,E、〃分別是邊8c和對角線8。上的動點(diǎn)，且BE

=D扛則AE+A/的最小值為

10.如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是線段BC上的動點(diǎn)，以BE為邊作正方形BEFG,連接

AF,M為AF的中點(diǎn)，且48=4,則線段EM的最小值是.

11.如圖，在矩形紙片ABCD口，AB=7,AD=6V5,點(diǎn)E是AD邊上一動點(diǎn)，連接BE.將ABE

沿BE折疊得到AFBE,連接FC.當(dāng)△BCF的面積為6訴時(shí)，線段AE的長為.

A-ED

12.四邊形48co是正方形，點(diǎn)E是直線4。上的一點(diǎn)，連接CE(C、E、F、G四個(gè)點(diǎn)按照逆時(shí)針

方向排序)，直線8E與直線G。交于點(diǎn)"，若AE=2,則點(diǎn)尸到GH的距離為.

13.如圖，在邊長為10的菱形4BCD中，對角線BD=16，點(diǎn)0是線段BD上的動點(diǎn)，0E1

AB于E,。"14D于F.則0E+0F=.

三、解答題

14.在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對角線AC(不含點(diǎn)A)上的任意一點(diǎn)，AB=2&,

(1)如圖1,將^ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△DCF,連接EF

①把圖形補(bǔ)充完整(無需寫畫法)，②求EF2的取值范圍；

(2)如圖2,求BE+AE+DE的最小值

15.如圖，在正方形48C0中，點(diǎn)E是對角線4C上一動點(diǎn)，連接0E,作EFJ.DE交BC于點(diǎn)F,以E0

和EF為鄰邊作矩形EFGD.

AD

(1)猜想：AE,CG的位置關(guān)系是:

(2)求證：△04E=hDCG.

16.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,點(diǎn)E是對角線AC上的一點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)E作

EF1DE,交AB于點(diǎn)F,以DE,EF為鄰邊作矩形GFED,連接AG,

(1)求證：矩形GFED是正方形。

(2)求AG+AE的值。

17.如圖1,在正方形中，E是AB上一點(diǎn),F是力。延長線上一點(diǎn)，且DF=BE.

圖1圖2翱3

(I)求證：CE=CF：

(2)在圖1中，若G在4。上，且NGCE=45。，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？

(3)運(yùn)用(I)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下題：

①如圖2,在直角梯形48CD中，ADIIBC(BOAD),乙B=90。，AB=BC=12,E是4B上一

點(diǎn)，且4CE=45。，BE=4,則OE的長為(直接寫出結(jié)果，不需要寫出計(jì)算過程).

②如圖3,在△A8C中，ZR4C=45°,AD1BC,BD=2,CD=3,則AABC的面積為

(直接寫出結(jié)果，不需要寫出計(jì)算過程)

18.已知：如圖，在矩形中，點(diǎn)E在邊8C上，以DE為邊作矩形DEGF,其中GF經(jīng)過點(diǎn)4連接

AE.BG.

(1)若點(diǎn)4是GF的中點(diǎn),求證：E7)是乙4EC的平分線;

若8G=4G,CE=1,AF=2,求40的長;

(3)若四邊形48co是邊長為10的正方形，BG=BE,求出AG的長.

19.實(shí)踐操作：第一步：如圖1,將矩形紙片48co沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在C0上的點(diǎn)

4,處，得到折痕0E,然后把紙片展平.第二步：如圖2,將圖1中的矩形紙片A8C0沿過點(diǎn)E的

直線折疊，點(diǎn)C恰好落在A。上的點(diǎn)C,處，點(diǎn)B落在點(diǎn)力處，得到折痕E尸，BC交于點(diǎn)

M：CF交DE于點(diǎn)N,再把紙片展平.

問題解決:

(I)如圖1,填空：四邊形AEA0的形狀是.

(2)如圖如線段MC，與ME是否相等？若相等，請給出證明；若不等，請說明理由;

(3)如圖2,若力C'=2cm,DC'=4cm,求ON：EN的值.

20.綜合與實(shí)踐

［問題情境］

如圖1,小華將矩形紙片ABCD先沿對角線BD折疊,展開后再折疊，使點(diǎn)B落在對角線BD

上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)記為B',折痕與邊AD,BC分別交于點(diǎn)E,F.

(I)［活動猜想］如圖2,當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，四邊形BEDF是哪種特殊的四邊形？并給予證

明.

(2)［問題解決］如圖1,當(dāng)AB=4,AD=8,BF=3時(shí)，連結(jié)BC則BB的長為

(3)［深入探究］如圖3,請直接寫出AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有與對角線AC平

行？

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)A分別作AG_LBC于點(diǎn)G,AH_LDF于點(diǎn)H,

...乙CFD=乙AHF=乙AGF=90°,

???四邊形HFGA是矩形，

.-.HF=AG,

???△ARC是等邊二角形，

LCAB=60",AB=BC=2,

:.乙BAG=30°,BG=1,

???AG=V/1F2-BG2=V22-l2=

HF=顯,

在正方形ABED中，AD=AB=2,^BAD=90°,

ALDAH=BAG=30°,

1

DH=T^AD=1,

乙

???DF=DH+HF=6+I.

故答案為：D

【分析】過點(diǎn)A分別作AGBC于點(diǎn)G,AHDF于點(diǎn)H,可構(gòu)造矩形HFGA,從而得到HF二AG,再

由等邊三角形ABC的性質(zhì)可得乙BAG=30°,

BG=1,進(jìn)一步得到HF=百，再證明乙D4H=/MG=30°,由直角三角形的性質(zhì)即可求解.

2.【答案】D

3.【答案】C

【解析】【解答］解：Z.BAP=90°,/.PAD+Z.BAP=90°,

???乙瓦48=d。，

乂:4E=4P,AB=AD,

在A4PD和LEB中

AE=AP

乙EAB=/.PAD

AB=AD

???A4P。三△4E8,故①正確；

由AAPO三△AEG得，Z.AEP=Z-APE=45°,

：.LAPD=乙AEB=135°,

工"BEP=90。，故②正確;

過B作BFJ.AE,交4E的延長線于F,則B尸的長是點(diǎn)。到直線4E的距離,

在A4EP中，由勾股定理得PE=VL

在A8EP中，PB=遮，PE=戲，由勾股定理得：BE=6,

*：LPAE=乙PEB=乙EFB=90。，AE=AP,

：.^AEP=45°,

J.LBEF=180°-45°-90°=45°,

:?乙EBF=45°,

：.EF=BF,

在AEFB中，由勾股定理得：EF=BF=第，故③錯誤:

?；AAPD=^AEB,

：.LADP=Z.ABE,

連接BD,

3

'S^BPD=xBE=2'

?*S&ABD=S&APD+S&BPD=2+苧'

:?S正方形ABCD=2szMBD=4+V6,故④正確:

故答案為：c.

【分析】根據(jù)SAS證明三△AES,即可判斷①；根據(jù)maAEB,可得

ZAEP=ZAPE=45°,得至l]NBEP=90。，即可判斷②；過B作BF_LAE,交AE的延長線于F,則BF

的長是點(diǎn)B到直線AE的距離，利用勾股定理即可求得BF的長，即可判斷③：連接BD,根據(jù)△

APDWAAEB,可得NADP二NABE,可得到△BPO和△力B0的面積，即可計(jì)算出正方形ABCD的面

積，即可判斷④；

4.【答案】A

【解析】【解答】解：如圖，延長0E到點(diǎn)尸，使得?！?連接8幾

?:BE1CD,

:,乙BED=乙BEF=90°,

DE=EF

;乙BED=Z-BEF

BE=BE

/.△DBE三△”8E(S4S),

:.BD=BF/DBE=乙FBE,

?:乙DBE=45°,

：.LFBE=45°,

:,乙DBF=90°,Z-FBE=4DBE=4BDF=乙BFD=45°,

:,BE=DE=EF；

'：LDBF=90°,LABC=90°,

:.乙CBF=90°一乙DBC=乙ABD,

AB=CB

乙ABD二4CBF

BD=BF

/.△BAD￡△BCF(SAS),

：.LADB=Z.CFB,

?:(CFB=45°,

：.LADB=45°,

J.LADE=乙ADB+乙BDE=90°,

A.4D||BE,

：.LCAD=MME,

?:乙COE=a,乙CME=乙COE+乙HEG=乙HEG+a

/.LCAD=乙HEG+a：

過點(diǎn)A作A”_LBE于點(diǎn)”，延長￡。交4〃于點(diǎn)G,

則四邊形4DEH是矩形，

：.AH=DE=BE=EF,AH||DC,

：.LOAG=乙OCE,乙OGA="EC,

(Z.OGA=乙OEC

斗。4G=4。3

IOA=OC

：.^AOG三△COEG4s4),

：,AG=CE,

,,(BA=BC

?=BE

:.'BAHZACBE(HL),

:?BH=CE,

:,BH=AG,

=AH-AG,

:?HG=HE,

???△GHE是等腰直角三角形，

：.LHEG=45°,

C.LCAD=乙COE+Z.HEG=45°4-a,

故答案為：A.

【分析】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，矩

形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)A作A/718E于點(diǎn)”，延長E。交力”于點(diǎn)G,延長OE到點(diǎn)F,使得。E=

EF,連接8/，根據(jù)已知條件可證明△力OG三2\COEG4SA),ADBE三△FBE(SAS),△BAD

BCF(SAS),ABAH三ACBE(HL),利用全等三角形的性質(zhì)可推出等腰直角三角形GHE,進(jìn)而得出

乙HEG=45°,利用角的運(yùn)算可求出々GW=Z.CME=乙COE+乙HEG=45°+a.

5.【答案】A

【解析】【解答】將△4DF繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至A/W，，

;四邊形4BC0是正方形，

：,AB=AD,乙ABC=Z.D=^BAD=4=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：Z-DAF=LBAH,Z.D=Z.ABH=90°,AF=AH,

+/.ARC=180°.

，點(diǎn)、H,B,C三點(diǎn)共線，

'：LBAE=a,LEAF=45°,/.BAD=￡.HAF=90°,

：.LDAF=4BAH=45°一a,LEAF=/.EAH=45°,

9：LAHB+/-BAH=90°,

：.LAHB=45。+。，

在AAE尸和中

AF=AH

Z-FAE=乙HAE，

AE=AE

：.△AFE三△AHE(SAS),

C.LAHE=Z.AFE=450+a,

J.LAHE=^AFD=AAFE=45。+a,

：.LDFE=^AFD+^AFE=90°+2a,

'：LDFE=乙FEC+zC=Z.FEC+90°,

LFEC=2a,

故選：A.

【分析】

利用三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，再證明三角形全等，最后根據(jù)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：:四邊形ABCD為菱形

AAB=BC=AD=DA,AB〃CD,OA=OC,OB=OD,AC±BD

AZBAG=ZEDG,△ABO^ABCO^ACDO^AAOD

VCD=DE

，AB二DE

:、&ABG^ADEG

.*.AG=DG

???0口為4ACD的中位線

AOG=1CD=1AB,即①正確；

???AB〃CE,AB=DE

???四邊形ABDE為平行四邊形

VZBCD=ZBAD=60°

?二△ABD、△BCD為等邊三角形

，AB二BD=AD,ZODC=60°

AOD=AG,四邊形ABDE為菱形，即④正確

AAD±BE,由菱形的性質(zhì)可得，△ABGgZXBDG絲ZSDEG

:?&ABG^ADCO

:ABO^ABCO^ACDO^AAOD^AABG^ABDG^ADEG,即②不正確；

VOB=OD,

??ABG=SADGE

???四邊形ODEG與四邊形OEAG面積相等，即③正確

故答案為：A.

【分析】根據(jù)菱形、全等三角形、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的中位線定理，相似三角形

的判定和性質(zhì)求出答案即可。

7.【答案】D

【釋析】【解答】解：連接AC、AD分別交OB于點(diǎn)G、點(diǎn)P,如圖，

???四邊形OABC是菱形，

.-.AC1OB,點(diǎn)A,點(diǎn)C關(guān)于直線OB對稱，

.-.PC+PD=PA+PD=AD,

此對PC+PD最短，

設(shè)直線OB的表達(dá)式為y=k]X+b;

???直線OB過點(diǎn)O(0,0)和點(diǎn)B(8,4),

(卜—n他i=0

.?.將O(0,0)和點(diǎn)B(8,4)代入表達(dá)式得4，解得71，

(4=8kl+b\[儲=2

???直線OB的表達(dá)式為y=

???直線AD過點(diǎn)A(5,0)和點(diǎn)D(0,1),

同理：可求得直線AD的表達(dá)式為y=—￡+l,

丫=鼻

聯(lián)立方程組，/,

y=-尹+1

z

fX-170

得

解j5

l-

-

ly7

??.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(號,|)

故答案為：D.

【分析】連接AC、AD分別交OB于點(diǎn)G、點(diǎn)P,作BK_LOA的延長線于點(diǎn)K,已知四邊形OABC

是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到點(diǎn)A,點(diǎn)C關(guān)于直線OB對稱，PC+PD=PA+PD=AD,此時(shí)PC+PD最

短，利用待定系數(shù)法結(jié)合點(diǎn)。、A、B、D的坐標(biāo)分別求出直線OB、直線AD的表達(dá)式，聯(lián)立方程

組即可求解點(diǎn)P的坐標(biāo).

8.【答案】B

【解析】【解答】解：如圖所示：延長BC交x軸于點(diǎn)D,

AZCOD=30°,

丁將菱形048。繞原點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到四邊形（點(diǎn)4與點(diǎn)C重合），

.*.ZC'OC=ZAOC=60°,

JZC'OC+ZCOD=60o+30o=90°,

???點(diǎn)C在y軸上，

，BC〃y軸，

ACD10B,

**,CD=OC=V6,OD=OC=3y/2f

:?B'D=+CO=2幾+n=3遍,

???點(diǎn)9的坐標(biāo)是（3魚，3遍），

故答案為：B.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)求出/COD=30。，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出/C'OC=/AOC=60。，最后計(jì)算

求解即可c

9.【答案】2V2

【解析】【解答】解：在BC的下方作乙CB7=30。，在87上截取8T,使得87=4。，連接ET,AT.

如圖所示：

AD

???四邊形48co是菱形，乙ABC=60°,

???LCBA=^CDA=60°,/_FDA=^CDA=30。,

VBT=AD,/-FDA=Z-EBT=30%BE=DF,

???AADF=ATBE(SAS),

ET=AF,

???LABT=Z-ABC+乙CBT=60°+30°=90°,AB=AD=BT=2,

根據(jù)勾股定理可得,

TA=\/AB2+BT2=V22+22=2VL

???AE+AF=AE+ET,

???AE+ET>TA,

?**AE+AF》2V2>

???/1E+4F的最小值為2四，

故答案為2&.

【分析】在BC的下方作NC8T=30。，在上截取BT,使得B7=4D,連接E7\AT,先根據(jù)菱形的

性質(zhì)得到4CB4=Z.CDA=60°,^FDA=|zCD/l=30。，進(jìn)而根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)證明

I/O尸三，TBE(S4S)即可得至l」Er=4凡從而根據(jù)勾股定理即可求出TA,再結(jié)合題意即可得到

AE+AF的最小值。

10.【答案】V2

【解析】【解答】解：取FG的中點(diǎn)，連接MN交EB于點(diǎn)P,

則MN〃AG,MN=1AG=1(AB+BG)=2+1BG,四邊形EPNF為矩形,

AEP=EN=1FG=1BG,PN=EF=BG,

AMP=MN-BG=2-1BG,

,/EM2=EP2+MP2=(IBG)2+(2-1BG)2=1(BG-2)2+2,

當(dāng)BG=2時(shí)，EM?二有最小值二2,

EM的最小值為四.

故答案為：V2.

【分析】取FG的中點(diǎn)，連接MN交EB于點(diǎn)P,可得MN〃AG,MN=1AG=1(AB+BG)

=2+1BG,四邊形EPNF為矩形，從而得出EP=EN=：BG,PN=BG,繼而得出MP二MN-BG=2^BG,

利用勾股定理求出EM2,求出EM?的最小值即可得解.

11.【答案】竽或笠?

【解析】【解答】解：在矩形紙片ABCD中，AB=CD=7,AD=BC=6傷，ZA=90°.

對于點(diǎn)F的位置，分兩種情況討論：

(1)當(dāng)點(diǎn)F在矩形紙片ABCD內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)F作GH_LAD,如圖1.

圖1

,/△BCF的面積為6遍，

.*.|fiC-FH=ix6V5-FH=6店.

AFH=2.

AFG=5.

在RM8H/中，BF=AB=7,ABH=V5F2-FH2=V72-22=3V5.

/.EG=AG-AE=BH-AE=3遙-AE.

由折疊的性質(zhì)可知，AE=EF.

在RtZiEGF中，由勾股定理，得EG2+FG2=EF2,即（3V5-AE）2+52=AE2.

解得AE二革；

（2）當(dāng)點(diǎn)F在矩形紙片ABCD外部時(shí)，過點(diǎn)F作FG_LAD交BC于點(diǎn)H,如圖2.

圖2

與（1）同理可得，F(xiàn)G=9,EG=3A/5-AG.

由折疊的性質(zhì)可知，AE=EF.

在RSEGF中，由勾股定理，得EG2+FG2=EF,即（3V5-AE）2+92=AE2.

解得AE二尖1

故答案為：軍或竿.

。KJ

【分析】對于點(diǎn)F的位置，分兩種情況討論：（1）當(dāng)點(diǎn)F在矩形紙片ABCD內(nèi)部時(shí)；（2〕當(dāng)點(diǎn)F在

矩形紙片ABCD外部時(shí)，然后構(gòu)造自.角二角形，逋過勾股定埋列方程即可求解.

12.【答案】第

【解析】【解答】解：.??四邊形ABCD是正方形，四邊形FGCE是正方形,

ACD=CB,CG=CE,ZGCE=ZDCB=90°,

AZGCD=ZECB,且CD=CB,CG=CE,

/.△GCD^AECB(SAS),

ACG=CE,BE=GD,

如圖，過點(diǎn)F作FN_LGH于點(diǎn)過點(diǎn)C作CM_LGH于點(diǎn)M,

VAE=2,AB=4

AD=CD=AB=4,DE=AD-AE=3,BE=\/AE24-AB2=2炳,

?"E=y/CD2+DE2=2遙，

?"G=CE=2通，

,BE=DG=2遙，

VZFGC=90°,

AZFGD+ZDGC=90°,ZFGD+ZGFD=90°,

AZGFN=ZDGC,且FG=GC,ZFNG=ZCMG=90°,

/.△FGN^AGCM(AAS),

AFN=GM,

VCM2=CG2-GM2,CM2=CD2-MD2,

?9-20-GM2=16-(2遙-GM『，

?*,GM=

，點(diǎn)F到GH的距離/TE=絳，

故答案為：黑I

J

【分析】根據(jù)正方形的四條功相等，四個(gè)角是宜角可得CD=CB,CG=CE,ZGCE=ZDCB=90°,根

據(jù)兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，全等三角形的對應(yīng)邊相等可得CG=CE,BE=GD,

結(jié)合題意和勾股定理：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方可求得BE,CE,CG,BE的

值，根據(jù)兩角及其?角的對邊對應(yīng)相等的三角形全等，全等三角形的對應(yīng)邊相等可得FN=GM,根據(jù)

勾股定理列出方程，可求GM的長，即可得點(diǎn)F到GH的距離.

13.【答案】9.6

【解析】【解答】解：連接AC、0A,如圖所示，

???四邊形ABCD為菱形，對角線BD=16,邊長為10,

ADG=8,AC_LBD,

,AG=V102-82=6，

'?^AABD=^ABOA+^ADOA?

即^BD-AG=-OE4-^AD-OF,

LLL

A16x6=100E+100F,

解得：OE+OF=9.6,

故答案為：9.6.

【分析】連接AC、OA,先由菱形性質(zhì)得到DG=8,AC1BD,再由勾股定理得到AG=6,接著根據(jù)

SAABD=SAB0A+S/DO小由等面積法得到OE+OF的值.

正方形，AB=2>/2,ABC=AB=2V2,ZB=90°,ZBAC=ZDAE=45°,AAC=V2AB=4,XVAADE

繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9()。得到△DCF,.\ZDCF=ZDAE=45°,AE二CF,

/.ZECF=ZACD+ZDCF=90°,設(shè)AC=CF=x,EF2=y,則CE=4?x,在RsECF中,

VEh2=CE2+Cb2,/.y=(4-x)2+x2=2x2-8x+I6=2(x-2)2+8(0<x<4),?二次函數(shù)開口向上，???當(dāng)

2

x=2時(shí)，ymln=8,當(dāng)x=4時(shí)，yx=16,/.8<EF<16.

(2)解.：將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AAFG,連結(jié)EG、DF,作FH_LAD于點(diǎn)H,如圖

BE=FG,ZEAG=60°,J△AEG為等邊三角形,

AAE=EG,VDE+EG+GF>DF,AE=EG,BE=FG,ADE+AE+BE>DF,HR(DE+AE+BE)min=DF,

在RlZkAFH中，VZFAH=30°,AF=2或,；.FH弓AF二冠，AH=〃產(chǎn)_而一遍,在RIADFH中,

VDH=V6+2V2，???DF=J0H2+77H2=2+28,(DE+AE+BE)m>?=2+2V3.

【解析】【分析】(1)①根據(jù)題意作出圖形即可.

②根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=4,ZECF=90°,SAC=CF=x,EF2=y,則CE=4-x,

在RsECF中，根據(jù)勾股定理得y=2(x-2)2+8(0<x<4),由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.

(2)將^ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△AFG,連結(jié)EG、DF,作FH1AD于點(diǎn)H,根據(jù)等邊三

角形的判定可得△AEG為等邊三角形，因?yàn)镈E+EG+G史DF,等量代換得DE+AE+BE2DF,即

(DE+AE+BE)min=DF,在RMAFH中，根據(jù)勾股定理求得FH、AH長在RQDFH中，根據(jù)勾股

定理求得DF長即可.

15.【答案】(1)AE1CG.

(2)證明：如圖，作EQ1BC于點(diǎn)Q,EPJ.CD于點(diǎn)P,

???LEQF=乙EPD=90°,

?.?正方形4BCD中，

Z.BCD=Z.ADC=90°,AD=CD,4c平分/BCD,

四邊形EQCP為正方形，

???LQEP=90°,QE=PE,

???矩形EFGD4L乙FED=90°,

：?Z.QEP=乙FED,

貝I］乙QE『-乙FEP=乙FED-乙FEP,

口|J4QEF=乙PED,

EQ"SEPD中，

ZQEF=(PED

QE=PE

Z-EQF=Z-EPD

EQF三△EPO(ASA),

???EF=ED,

.?.矩形EFGD是正方形，

DE=DG,乙EDG=90°,

:.LADC=Z.EDG,

貝I」乙4DC一乙EDC=Z.EDG一乙EDC,

即乙40E=乙CDG,

???△ZZ4E和AOCG中，

(AD=CD

\z-ADE=Z-CDG

(DE=DG

DAE三△DCG(SAS).

【解析】【解答］解：(1)AELCG,

如圖，作EQJ.BC于點(diǎn)Q,EP1CD于點(diǎn)P,

???LEQF=乙EPD=90°,

???正方形A6c。中，

/.BCD=Z.ADC=90°,AD=CD,AC平分乙BCD,

四邊開2EQCP為正方形，

?%LQEP=90°,QE=PE,

?.?矩形EFGO中，乙FED=90°,

:.LQEP=乙FED,

貝I」乙QEP-乙FEP=乙FED-乙FEP,

即乙QEF=乙PED,

.?.△EQ/和△￡「/)中

(乙QEF=乙PED

QE=PE

Z-EQF=乙EPD

EQF三△EPDG4s4),

???EF=ED,

???矩形是正方形，

???DE=DG,乙EDG=90°,

???LADC=Z.EDG,

則乙4OC-Z-EDC=乙EDG-乙EDC,

BPr/lDE=乙CDG,

???△/Z4E和ADCG中，

(AD=CD

\z-ADE=/-CDG

(DE=DG

???△DAE^ADCG(SAS),

ALDAE=Z.DCG,

???等腰直角△4CO中有NZX4E+LDCA=90°,

???LDCG+乙DCA=90°,

^LACG=90°,AE1CG.

【分析】（1）如圖所示，AE、CG的位置關(guān)系很明顯不是平行，容易推測是垂直，但看起來簡單，

證明起來過程比較冗長；看到下一問是全等三角形的證明，如果結(jié)論得證，則可以由對應(yīng)角相等得

到AE

、CG的交角是90。，故思路比較消晰起來，先證△04E三△OCG；

（2）由正方形性質(zhì)，可得一組全等證明需要的等邊，由AC是角平分線想到角平分線性質(zhì)可得等

邊，故嘗試作EQ_LBC于點(diǎn)Q,EP1CD于點(diǎn)P,得EQ=EP,由同角NFEP的余角相等得到證明

EF二ED的條件，此時(shí)可以推導(dǎo)出矩形EFGO是正方形，至此證明全等的條件還缺少兩對應(yīng)邊的夾

角：再次由同角4COE的余角相等得到該夾角相等，至此此時(shí)全等的條件足夠，符合SAS定理，整

理思路推導(dǎo)即可。由全等可知對應(yīng)角々/ME=/OCG=45。，則有乙4CG=4OC4+/DCG=90。，垂

直關(guān)系得證。

16.【答案】（1）證明：作EM_LAD于M,ENJ_AB于N.

???四邊形ABCD是正方形,

.-.ZEAD=ZEAB.

???EM±AD,EN±AB

AEM=EN.

VZEMA=ZENA=ZDAB=90°,

???四邊形ANEM是矩形，.

AZMEN=ZDEF=90°,

AZDEM=ZCFEN.

vZEMD=ZENF=90°

EM二EN,

.△EMD^AENF,

???ED=EF.

.?泗邊形GFED是矩形，.

四邊形GFED是正方形.

（2）解：.四邊形GFED是正方形，四邊形ABCD是正方形,

.-.DG=DE,DC=DA=AB=4.

ZGDE=ZADC=90°,

ZADG=ZCDE,

AADG=ACDE

.?.AG=CE

AG+AE=EC+AE=AC=>/2AD=4y/2

【解析】【分析】（1）如圖，作EM_LAD于M,ENJ_AB于N.只要證明△EMD@Z\ENF即可解決問

題：根據(jù)正方形的性質(zhì)得ZEAD=ZEAB.,AC是角平分線，所以EM=EN；根據(jù)矩形的判定定

理得：四邊形ANEM是矩形，因?yàn)镋F1DE,NDEM+NFEM=NFEN+NFEM,得ZDEM=

ZFEN,根據(jù)“ASA”可證明△EMDgaENF,即可解得。

(2)由(1)得DG=DE,DC=DA=AB,ZGDE=ZADC,所以/ADG=NCDE可證明

△ADG^ACDE,可得AG=EC即可解次問題.

17.【答案】(1)證明：?.?在正方形4BC0中??.C8=CO,Z.B=^CDA=90°,

:.乙CDF=180°-Z-CDA=90%z/?=^CDF

CB=CD

???在△BCE^LOCF中，乙B=ACDF,A△BCE=△DCF(SAS).：,CE=CF.

BE=DF

(2)解：GE=BE+GO成立.理由如下：

「乙8co=90°,Z.GCE=450???乙BCE十乙GCD=45°.

V△BCESADCF：?乙BCE=乙DCF.

：.LGCF=^GCD+乙DCF=^GCD+乙BCE=45°..*.Z/?CG=乙FCG.

CE=CF

;在△ECG和△FCG中，乙ECG=乙FCG,△ECG=△FCG(SAS).：.GE=FG.

CG=CG

?:FG=GO+OF,

：,GE=BE+GD

(3)10；15

【解析】【解答］解：(3)過點(diǎn)C作CH_LAD交AD延長線于點(diǎn)H,延長DH至點(diǎn)I,使得HI=BE,

連接CI,

ADHI

I---------7V--------i7

VZA=ZB=ZAHC=90°,且AB=BC,

，四邊形ABCH是正方形，

同(2)可證，ABCE"HCI(SAS),△DCEW2\DC/(S4S),

：.Hl=BE=4,AE=AB-BE=8,AH=AB=BC=12,DF=DI=DH+HI,

設(shè)DE=%,?\DH=DI-H!=DE-HI=x-4,

：.AD=71H-DH=12-(x-4)=16-x：

在R￡A￡;4O中，由勾股定理可得OF?=AE2+AD2,

即，-82+（16-X）?

解得x=10；

???則DE的長為10；

②將RsADB和RSADC延AB和AC翻折，對應(yīng)點(diǎn)分別為M,N,延長MB交NC延長線于點(diǎn)

P,連接AM,AN,

由翻折可知，AM=AN=AD,/_MAB=LDAB,乙NAC=cCAD，zM=Z/V=Z.ADC=LADB=

90°,

BM=BD=2,CN=CD=3

：.LMAN=24840+2/-CAD=2x45°=90°,

二四邊形AMPN是正方形，

設(shè)A。=AM=AN=NP=MP=m,

則BP=PM-BM=m-2,CP=PN—CN=m-3,

在RtABCP中,由勾股定理可得B勾=BP2+CP2,

即5?=（山-2）2+（巾一3）2,

解得m=6或者ni=-l（舍去）

.*.CD=m=6

11

,SACGf=2，GF，CD=7X5X6-15

，圖3中的A48C得面積為&UBC=15：

【分析】（1）根據(jù)題意可知乙8=CB=CD,CE=CF,即可證明△8CE三△OCF,可得

CE=CF；

（2）此問考核半角模型，通過證明△ECG三△??；,可得GE=FG,再利用二BE,等量代換即

可證明GE=BE+GD；

（3）①利用問題（2）的結(jié)論以及勾股定埋列方程求解即可；

②類似問題利用45。翻折構(gòu)造完整正方形，進(jìn)而利用正方形的性質(zhì)和勾股定理求出高AD即可.

18.【答案】(1)證明：,??點(diǎn)［是G尸的中點(diǎn),

：.AF=AGf

???四邊形DEGF是矩形，

:?DF=GE,zF=乙FGE=90°,

A△ADF三△4EG(S4S),

.'.AD=AE,

：.LADE=LAED,

V.4D||BC,

J.LADE=乙DEC,

：.LDEC=Z-AED,

，EO是乙4EC的平分線.

(2)解：如圖1中，延長4G交C8的延長線十7.

圖1

???四邊形DEG尸是矩形，

:.DE||FT,DE=FG,

VDE||FT,

?"T=乙DEC,

*：LABT=〃：=90°,AB=DC,

ABT三(44S),

：.AT=DE,BT=CE=1,

XVDE=FG,

：.AT=FG,

：,AF=GT=2,

*：GA=GB,

?.LGAB=乙GBA,

*：^GAB+47=90°,Z.GBA+乙GBT=90°,

：.LT=乙GBT,

：.GT=GB=GA=2,

?MB=7AT?-BT'2=V42-l2=V15，

*：AG=GT,EG1AT,

：,EA=ET,

設(shè)氏4=ET=x,

在R￡448E中，AE2=AB2+BE2

則有/=(位)2+Q-I)2

解得：x=8,

：.AE=ET=8,

V.4T=DE,AT||DE,

???四邊形/WET是平行四邊形，

：.AD=ET=8.

(3)解：如圖2,延長4G交C8的延長線于T.

圖2

?；BG=BE,

工乙BGE=乙BEG,

???四邊形。EGF是矩形，

：.LEGT=90°,AT||DE,

???乙BGE+匕BGT=90。,Z.T+^BEG=90°,

:?乙BGT=47,

:?GB=BT,

：.BT=BE=BG,

???四功形48co是正方開北

.AD||ET,AB±BC,

V.4D||ET,AT||DE,

???四邊形ADET是平行四邊形,

：.AD=ET=10,

?BT=BE=3ET=S,

-AE=7AB2+BE?=V102+52=S近,

*BT=BE,AB1BC,

-AT=AE=5^5^

S.AET=2xET,AB=-^xAT,GE>

ETxAB10x10

.GE==4后

AT575

?AG=yjAE2-GE2=J(5近＞-(4A/5)2=3遍.

【解析】【分析】(1)證明尸三△4EG(S4S),可得可得=44￡7),利用平行線

的性質(zhì)可得NDEC=乙4E7)=NADE,繼而得解;

(2)延長4G交CB的延長線于幾證明△ABTDCE(44S),可得AT=DE,BT=CE=1,易證

EG垂直平分AT,可得EA=ET,設(shè)瓦4=ET=x,在RMABE中，AE2=人5+BE2據(jù)止二構(gòu)建關(guān)于

x方程并解之，從而得出AE=ET=8,再證四邊形AOET是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)

即可求解；

13)延長力G交CB的延長線于幾先求BT=BE=BG=5,由勾股定理求出AE的長，再利用面積發(fā)

求出GE的長，最后利用勾股定理求出AG即可.

19.【答案】(1)正方形

(2)解：MC=ME

理由如下：如圖，連接EC',

G/、

?、、一

由（1）知：AD=AE

???四邊形48CD是矩形,

A.4D=BC,Z.EAC1==90°

由折疊