???三年（2023-2025）中考真題分類匯編

專題01平面直角坐標

考點（）1平面直角坐標系

1.12024.通遼?中考真題）剪紙是我國民間藝術(shù)之一，如圖放置的剪紙作品，它的對稱軸與平面直角坐標系

的坐標軸重合.則點4（T,2）關(guān)于），軸對稱的點的坐標為（）

A.（T,—2）B.（4,-2）C.（4,2）D.（—2,-4）

【答案】C

【詳解】解：???圖形的對稱軸是）軸，

???在平面直角坐標系X。中，點4（-4,2）關(guān)于y軸對稱的點的坐標為（4,2）,

故選：C.

2.12024.包頭.中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形0A3C各頂點的坐標分別是0（0.0）,A（l,2）,

4（3,3）,C（5,0）,則四邊形。48c的面積為（）

A.14B.11C.10D.9

【答案】D

【詳解】解：過A作AM_LOC于M,過B作BN上OCFN,

???0(0,0),4(1,2),8(3,3),C(5.0),

???OM=1,AM=2,ON=BN=3,CO=5,

:?MN=ON-OM=2,CN=OC-ON=2,

???四邊形OABC的面積為SAOM+S梅影AMNB+SBCN

=9,

故選：D.

專題02函數(shù)

考點點一次函數(shù)綜合

1.（2024.通遼?中考真題）如圖，在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)V=+A與），=%/+”（其中4芯工0,

K，Q瓦,燈為常數(shù)）的圖象分別為直線上/2.下列結(jié)論正確的是（）

A.4+么>。B.32>0C.用+&<0D.k&v。

【答案】A

【詳解】解：由一次函數(shù)4：y=kd+A的圖象可得:

4>0,/?)>1,

由一次函數(shù)小的圖象可得:

攵2>0,Z?2=-1,

/>1+b2>0,皿<0,吊+的>0,k/2>。，

正確的結(jié)論是A,符合題意，

故選A.

2.12024?包頭?中考真題）在平面直角坐標系中，若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，請寫出一個符

合該條件的一次函數(shù)的表達式.

【答案】、='+1（答案不唯一）

【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為、=kx+b（k?0）,

???一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，

：.k>0,b>0,

???符合該條件的一個一次函數(shù)的表達式是：y=x+l（答案不唯一）.

故答案為：y=x+i（答案不唯-）.

【詳解】解：一次函數(shù)y=2x-3中，令x=o,則產(chǎn)一3；令產(chǎn)0,則工=?，

???一次函數(shù)y=2x-3的圖象經(jīng)過點（0,—3）和《可，

???次函數(shù)），=2工-3的圖象經(jīng)過、三、四象限，

故選：D.

4.12025?內(nèi)蒙古?中考真題）在閉合電路中，通過定值電阻的電流/（單位：A）是它兩端的電壓U（單位:

V）的正比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當(dāng)該電阻兩端的電壓為15V時，通過它的電流為（）

Z/A

?

O51015

A.12AB.8AC.6AD.4A

【答案】A

【詳解】解：由題意得設(shè)電流/關(guān)于電壓U的函數(shù)解析式為：/=kU(kwO),

由圖象可代入(5,4)得:5k=4,

解得：U=0.8,

AI=0.SU(U＞0),

當(dāng)U=15,則/=0.8x15=12A

故選：A.

【詳解】解：①當(dāng)化＜0時，一攵＞0,

一次函數(shù)丁=-履+2經(jīng)過第一、三、四象限，反比例函數(shù)y=1(k￥0)經(jīng)過第二、四象限；

②當(dāng)女＞。時，一攵＜o,

一次函數(shù)、=-履+2經(jīng)過笫一、一、四象限，反比例函數(shù)y伙#0)經(jīng)過第一、三象限：

故選：D.

6.(2023?包頭?中考真題)在平面直角坐標系中，將正比例函數(shù)y=-2x的圖象向右平移3個單位長度得到一

次函數(shù))，=&+以女/。)的圖象，則該一次函數(shù)的解析式為()

A.y=-2x+3B.y=-2x+6C.y--2x-3D.y=-2x-6

【答案】B

【詳解】解：正比例函數(shù)y=-2x的圖象向右平移3個單位長度得：

y=-2(x-3)=-2x+6,

故選:B.

7.（2024?呼倫貝爾興安盟?中考真題）點P（x,），）在直線y=-（x+4上，坐標（國），）是二元一次方程5x-6y=33

的解，則點P的位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

3,

y=——x+4

【詳解】解：聯(lián)立方程組*,4

5x-6y=33

x=6

解得

y=——

（-2

二?P的坐標為（6,一；

???點P在第四象限,

故選：D.

8.12023?通遼包頭?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知點*0/），點A（4,l）,以點P為中心，把

點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到點出在必（-1,-⑺），％，4,（）］,6-1），%（2,2#）四個點中,

【答案】B

【詳解】解：???點A（4,l）,點尸（0,1）,

???PA_Ly軸，E4=4,

由旋轉(zhuǎn)得：NA尸8=60。，AP=PB=4,

如圖，過點8作5c_Ly軸于C,

:.ZBPC=30°,

ABC=2,PC=2^,

???B(2,l+2⑹),

設(shè)直絞0B的解析式為：)，=丘+〃，

則］2八〃=1+23

.Jk=6

??V，

b=l

，直線的解析式為：y=Gx+l,

"iX=-1時，y-->/3+1.

???點、%(-1,-75)不在直線心上，

當(dāng).丫=一"時，y=￡x(-#)+l=0,

???W2-手，°在直線所匕

當(dāng)工=1時），=6+1,

???弘（1，6-1）不在直線網(wǎng)上,

當(dāng)工=2時，），=26+1,

???M,（2,26）不在直線用上.

故選:B.

9.12024?呼倫貝爾興安盟?中考真題）已知某同學(xué)家、體育場、圖書館在同一條直線上.卜面的圖象反映的

過程是：該同學(xué)從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后乂步行I可家吃早餐，飯后騎自行車到圖書館.圖

中用x表示時間，），表示該同學(xué)離家的距離.結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

（I）體育場離該同學(xué)家2.5千米；

（2）該同學(xué)在體育場鍛煉了15分鐘；

（3）該同學(xué)跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；

（4）若該同學(xué)力行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，則。的值是3.75：

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】解：由圖象可知：體育場離該同學(xué)家2.5千米，故（1）正確；

該同學(xué)在體育場鍛煉了30-15=15（分鐘），故（2）正確；

該同學(xué)的跑步速度為2.5+15=:〔千米/分鐘），步行速度為2.5*65-30）=；（千米/分鐘），則跑步速度

I17

是步行速度的倍，故（3）錯誤；

6143

若該同學(xué)騎行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，則該同學(xué)騎行的平均速度為L5x，=0（千米/分鐘），

64

所以。=；x（103—88）=3.75,故：4）正確，

故選：C.

10.（2024?包頭?中考真題）圖是1個碗和4個整齊疊放成一摞的腕的示意圖，碗的規(guī)格都是相同的.小亮嘗

試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，探究整齊疊放成一摞的這種規(guī)格的碗的總高度了（單位：cm）隨著碗的數(shù)量x（單

位：個）的變化規(guī)律.卜.表是小亮經(jīng)過測量得到的y與工之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)：

個1234

y/cm68.410.813.2

(1)依據(jù)小亮測量的數(shù)據(jù)，寫出)'與X之間的函數(shù)表達式，并說明理由；

(2)若整齊疊放成一摞的這種規(guī)格的碗的總高度不超過28.8cm,求此時碗的數(shù)量最多為多少個？

【詳解】(1)解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加2.4cm,

y=6+2.4(x—l)=2.4x+3.6,

檢驗：當(dāng)x=l時，y=6；

當(dāng)“2時，y=8.4；

當(dāng)％=3時，y=I0.8；

當(dāng)*=4時，y=13.2：

:.y=2.4x4-3.6；

(2)解：根據(jù)題意，得2.4X+3.6M28.8,

自《得kW10.5,

，碗的數(shù)量最多為10個.

II.(2023?呼倫貝爾興安盟?中考真題)端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豆沙粽禮盒的進價比肉

粽禮盒的進價每盒便宜10元，某商家用2500元購進的肉粽和用2000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同.

(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的進價；

(2)商家計劃只購買豆沙粽禮盒銷售，經(jīng)調(diào)查了解到有4,3兩個廠家可供選擇，兩個廠家針對價格相同的

豆沙粽禮盒給出了不同的優(yōu)惠方案：

A廠家：一律打8折出售.

“廠家：若一次性購買禮盒數(shù)量超過25盒，超過的部分打7折.該商家計劃購買豆沙粽禮盒x盒，設(shè)去人

廠家購買應(yīng)付M元，去6廠家購買應(yīng)付為元，其函數(shù)圖象如圖所示：

①分別求出,，力與*之間的函數(shù)關(guān)系；

②若該商家只在一個廠家購買，怎樣買劃算？

【詳解】（1）解：設(shè)每盒豆沙粽的進價為〃元，則每盒肉粽的進價為（〃+1。）元

2000_2500

a-?+10

方程兩邊乘得2000（〃+10）=2500。

解得a=40

檢驗：當(dāng)〃=40時，。（。+10）/0

???〃=40是原方程的解

a+10=50

答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的進價分別為50元和40元.

（2）解：?y,=40x80%x=32x（X20且x為整數(shù)）

當(dāng)0WXW25且3為整數(shù)時，y2=^x

當(dāng)了>25且x為整數(shù)時，必=1000+（40x7000）x70%=28x+300

.40x（0J425且x為整數(shù)）

…”—128x+300（x>25Mx為整數(shù)）

②當(dāng)x>25且x為整數(shù)，

y=為時32x=28x+300

解得：x=75

由圖象可知：購買粽子禮盒少于75盒，去八廠家購買劃算；購買粽子禮盒等于75盒，去人廠家或8廠家

購買一樣劃算；購買粽子禮盒多于75盒，去8廠家購買劃算.

12.（2024.呼倫貝爾興安盟.中考真題）某超市從某水果種植基地購進甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)水果，經(jīng)調(diào)查，這兩種

水果的進價和售價如表所示：

水果種類進價（元/千克）售價（元/千克）

甲a22

乙b25

該超市購進甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購進甲種水果30千克和乙種水果15千克需705

元.

⑴求。涉的值；

（2）該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共150千克進行銷售，其中甲種水果的數(shù)量不少于50千克，且不大

于120千克.實際銷售時，若甲種水果超過80千克，則超過部分按每千克降價5元銷售.求超巾當(dāng)天銷售

完這兩種水果獲得的利潤〉（元）與購進甲種水果的數(shù)量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取

值范圍），并求出在獲得最大利澗時，超市的進貨方案以及最大利潤.

18。+66=366

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得〈

30〃+15人=705

。=14

解得，

b=\9

(2)解：當(dāng)50WXW80時，

根據(jù)題意，得y=(22-14)x+(25—19)(150—x)=2x+900.

V2>（）,

???y隨x的增大而增大，

???當(dāng)x=80時，y有最大值，最大值為2x80+900=1060,

即購進甲種水果80千克,乙種水果70千克,最大利潤為1060元；

當(dāng)80d20時，

根據(jù)題意，^y=（22-14）x80+（22-14-5）x（x-80）+（25-19）（150-x）=-3x+1300,

V-3<0,

???》隨x的增大而減小，

/.x=8OH'J,）'有最人值，最人值為-3x80+1300=1060，

即購進甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤為1060元;

2x+900(50<x<80)

綜上，y=購進甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤為1060元.

-3x+I3(X)(80<x<120)

13.（2024.赤峰?中考真題）一段高速公路需要修復(fù);，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每天修

復(fù)公路比甲隊平均每天修復(fù)公路多3千米，且甲隊單獨修復(fù)60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復(fù)90

千米公路所需要的時間相等.

（1）求甲、乙兩隊平均每天修復(fù)公路分別是多少千米；

（2）為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那么15天的

工期，兩隊最多能修復(fù)公路多少千米？

【詳解】（1）解：設(shè)甲隊平均每天修復(fù)公路x千米，則乙隊平均每天修復(fù)公路（工+3）千米,

4▼上，日6090

由題意得—，

xx+3

解得x=6,

經(jīng)檢驗，x=6是原方程的解，且符合題意，

x+3=9,

答：甲隊平均每天修復(fù)公路6千米，則乙隊平均每天修好公路9千米；

（2）解：設(shè)中隊的工作時間為，"天，則乙隊的工作時間為天，15天的工期，兩隊能修復(fù)公路卬千

米，

由題意得，

,w=6/??+9(15-/7?)=-3m+135

解得mN10,

:.w隨刑的增加而減少,

???當(dāng)相=10時，w有最大值,最大值為卬=-3x10+135=105,

答：15天的工期，兩隊最多能修復(fù)公路105千米.

14.（2024.呼市?中考真題）2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名.某廠家生產(chǎn)大

小兩種型號的“龍辰辰”，大號“龍辰辰''單價比小號“龍辰辰”單價貴15元，且用2400元購進小號“龍辰辰”的

數(shù)量是用2200元購進大號“龍辰辰”數(shù)量的1.5倍?，則大號“龍辰辰”的單價為元.某網(wǎng)店在該廠家購

進了兩種型號的“龍辰辰”共60個，且大號“龍辰辰”的個數(shù)不超過小號“龍辰辰”個數(shù)的一半，小號“龍辰辰”

售價為60元，大號“龍辰辰”的售價比小號“龍辰辰”的售價多30%.若兩種型號的“龍辰辰”全部售出，則該

網(wǎng)店所獲最大利潤為元.

【詳解】解：設(shè)大號“龍辰辰''的單價為x元，則小號“龍辰辰”的單價為"-⑸元，

由題意得:生％5a

x-15x

解得x=55,

經(jīng)檢驗，工=55是所列分式方程的解，

所以大號“龍辰辰”的單價為55元，小號嚨辰辰”的單價為40元.

設(shè)購進小號"龍辰辰''的數(shù)量為。個，則購進大號“龍辰辰”的數(shù)量為（60-。）個,

由題意得：0<60-?<|a,

解得40Kav60,

設(shè)該網(wǎng)店所獲利潤為w元，

則w=（60-40）a+[60x（l+30%）—55]（60-4）=-3a+1380,

由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在40KGV60內(nèi)，卬隨。的增大而減小，

則當(dāng)。=40時，卬取得最大值，最大值為-3x40+1380=1260,

即該網(wǎng)店所獲最大利潤為1260元，

故答案為：55；1260.

考點02反比例函數(shù)綜合

1.12023?通遼?中考真題）已知點A&,y）,雙孫為）在反比例函數(shù)丁=’的圖像上，且％<。<與，則下列

X

結(jié)論一定正確的是（）

A.兇+為<°B.y,+y2>0C.y,-y2<0D.-y2>0

【答案】D

【詳解】解：..?點A（N，yJ,8（七,方））是反比例函數(shù)y=的圖像上的兩點，

X

"?=42%=_2,

,/%<0<W，

：.y2<0<ylt即乂一為>0，故D正確.

故選：D.

2.（2023,呼倫貝爾興安盟?中考真題）如圖，直線y=at+b（"0）與雙曲線），=勺%工0）交于點A（-2,4）和點

現(xiàn)n-2）,則不等式0<如+。<^的解集是（）

A.-2<x<4B.-2<x<0

C.工<-2或0<x<4D.-2cx<0或x>4

【答案】B

【詳解】解：???把A（-2,4）,直線），=依+可。工0）與雙曲線y=：（2w0）交于點A（-2,4）和點8（皿一2）,

???當(dāng)-2<xv0時，直線在雙曲線的下方且直線在x軸的上方，

*,?不等<ax+b<—|j-j解集是：—2<x<0?

X

故選:B.

3.12024.包頭.中考真題）若反比例函數(shù)x，2,%=-二3，當(dāng)時，函數(shù)凹的最大值是明函數(shù)為的

*x

最大值是6,則/=.

【答案】1/0.5

【詳解】解：,.函數(shù)》=2，當(dāng)1WXW3時，函數(shù)力隨X的增大而減小，最大值為。，

X

「.x=l時，）1=2=。，

3

力=--，當(dāng)14x43時，函數(shù)為隨”的增大而減大，函數(shù)%的最大值為乃=T=〃，

x

/.^=2

2

故答案為：g.

4J2025?內(nèi)蒙古?中考真題）已知點A（"W）,都在反比例函數(shù)尸-上的圖象上，則下列結(jié)論一

?V

定正確的是（）

A.B.兇<乃

C.當(dāng)機<0時，<y2D.當(dāng)機<一1時，,<必

【答案】D

【詳解】解：對手反比例函數(shù)y=-二的圖象上，在各個象限內(nèi)，）'隨x的增大而增大，且第二象限的函數(shù)

X

值大于第四象限的函數(shù)值，

,:m<m+\,

當(dāng)m<m+1<0時，即〃z<-1時，

則M<J2，

當(dāng)0vm<m+1時,即〃?>0時，

則K<%,

當(dāng)用<0<〃?+1時，即一lv/〃vO時，

則K>必，

綜上，只有選項D正確，

故選：D.

5.12023?包頭?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，△OA3三個頂點的坐標分別為

0(0,0),人(26,0),B4,1)4OA'B與△048關(guān)于直線OB對稱，反比例函數(shù)y」(*>0*>0)的圖象與48交

A.2GB.地C.73D.立

22

【答案】A

【詳解】解?：如圖所示，過點B作軸，

V。(0.0),426,0),3(6,1),

???BD=I,OD=6,

/.AD=OD=yf3,tanZBOA=—=—,

OD3

,,OB=AB=\jOD2+BD~—2，/BOA=z^BAO=30°,

???/OBD=NABD=60。,NO胡=120。，

???OAA與△OA3關(guān)于直線08對稱，

/.“4v=i2(r,

NOAA+NOBD=180°,

???4,B,。三點共線，

A!B=AB=2^

???A'C=8C,

，BC=\,

???CO=2,

???C（V3,2）,

將其代入），=々攵>0，1>0）得：k=28,

X

故選：A.

6.：2023?呼市?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正六邊形A8C0EF的對稱中心P在反比例函數(shù)

y=：（&>0,x>0）的圖象上，邊AB在4軸上，點/在軸上，已知A8=2石.

（1）判斷點E是否在該反比例函數(shù)的圖象上，請說明理由；

（2）求出直線痔：為=6+"。工0）的解析式，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)x>0時，不等式以+人〉七的解集.

.1

【詳解】（1）解：:六邊形48CD四為正六邊形，AB=26

AAB=AF=2>/3,NE4O=60°,

OA=AFcos60°=>/3?OF=AF-sin60°=3,

AF（0,3）,A（?0）,

連接PRPA,

???六邊形ABCDEF為正六邊形，

???PE=PF=PA=PB、ZEPF=NFPA=/APB=60°,

，用RAFAPQABP為等邊三角形,

/.AF=PF=2y[i,

???P（2瓜3）,

把P（2x/5,3）代入y=￡得：3=點,

解得：k=6>73?

???反比例函數(shù)表達式為y=色巨.

?二EFPMAP為等邊三角形,

???點E和點A關(guān)于尸尸對稱，

??.E（后6）,

把工=百代入y=5^得：>>,==6

???點E在該反比例函數(shù)的圖象上;

ED

AB

（2）解：把E（石,6）,尸（24,3）代入必=or+》（"0）得:

3=2&+8

???直線EP的解析式為：y=-V3x+9,

?.?E（6,6）,42后3）,

，由圖可知，當(dāng)時，ax+b>~.

7.（2024.通遼?中考真題）如圖，平面直角坐標系中，原點0為正六邊形AACQ砂的中心，E/〃x軸，點E

在雙曲線y=A伏為常數(shù)，&>0）上，將正六邊形A8C￡花/向上平移6個單位長度，點。恰好落在雙曲線上,

X

則/:的值為（）

【答案】A

【詳解】解：如圖所示，過點E作軸于H,連接OE,

,/原點0為正六邊形ABCDEF的中心，

：.OE=OD,ZEOD=^—=60°,

6

???4。瓦）是等邊三角形，

:?DE=OD,

???EH1OD,

：.OH=DH=-OD,

2

_________G

EH=y/DE2-DH2=—OD^

2

設(shè)?！?gt;=2〃?，則0"=〃?，HE=V3w>

???將正六邊形AHCDEb向上平移力個單位長度，點。恰好落在雙曲線上,

???點（2帆,@在雙曲線上，

又丁點七也在雙曲線上,

k=2〃??m?6"??

解得/〃=2或〃?=（）（舍去），

:,k=2m/=4曰

故選：A.

8.12024?呼倫貝爾興安盟?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A,3的坐標分別為（5,0）,（2,6）,

過點3作8C〃x軸交》軸于點C,點。為線段A8上的一點，且班>=24）.反比例函數(shù)y=K（x>0）的圖象

X

經(jīng)過點D交線段BC于點、E,則四邊形ODBE的面積是一.

【答案】12

【詳解】如圖，作軸于朋，作力N_Lx軸于N,則ON/7AM,

??點A,3的坐標分別為(5,0),(2,6),

二BC=OM=2,BM=OC=6,AM=3,

：DN//BM,

4ADNSAABM,

.DNANAD

/BD=2AD,

.DNAN1

?'-==—,

633

,?DN=2,AN=1,

ON=OA-AN=4,

???D點坐標為（4,2）,代入y=人得，k=2x4=8,

.1

Q

，反比例函數(shù)解析式為y=2,

X

???BC〃x軸，

，點E與點〃縱坐標相等，且E在反比例函數(shù)圖象上,

*6/

：.E

4

：.CE=-,

3

?,$巴邊形OC8E=§梯形-SOCE

故答案為：12.

9.12024?赤峰?中考真題）在平面直角坐標系中，對于點M（5，H）,給出如下定義：當(dāng)點火（法為），滿足

NT電=X+%時，稱點N是點、M的等和點.

⑴已知點M（l,3）,在N[4,2）,凡（3,—1）,乂（0,—2）中，是點M等和點的有；

（2）若點“（3,-2）的等和點N在直線y=X+/）上，求〃的值；

⑶己知，雙曲線y=幺和直線為=工-2,滿足y的x取值范圍是心＞4或—2vxv0.若點。在雙曲線

X

y=&上，點/，的等和點。在直線為=%-2上，求點。的坐標.

X

【詳解】⑴解:由"（1,3）,N（4,2）得,%+占=—+%=5,

???點N（4,2）是點M的等和點：

由“（1,3）,M（3,-l）得，X,+X2=4,y+%=2,

'：xl+x2^yl+y2t

???M（3,-1）不是點"的等和點；

由乂（0,-2）得，%+占=）[+為=1，

???必（0,-2）是點M的等和點；

故答案為：N（4,2）和汽3（0,-2）：

（2）解：設(shè)點N的橫坐標為。,

???點N是點M（3,-2）的等和點，

???點N的縱坐標為3+。一（-2）=。+5,

???點N的坐標為（。,。+5）,

???點N在直線y=x+〃上，

a+5=a+b,

???〃=5；

（3）解：由題意可得，4＞0,雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設(shè)直線與雙曲線的交點分別為點44,如圖,

由“＜乃時x的取值范圍是工＞4或-2Vx＜0,可得點A的橫坐標為4,點8的橫坐標為-2,

把、=4代入y=x-2得，＞=4-2=2,

???A（4,2）,

把A（4,2）代入得，2=1,

???太=8,

???反比例函數(shù)解析式為y=9,

X

設(shè)點。的橫坐標為

???點。是點P的等和點,

Q

，點。的縱坐標為ffi+n——,

m

/.Q〃,〃?+〃一9）,

km）

???點。在直線必=工-2上，

8

m+n=n-2,

m

整理得，〃?-3+2=（）,

m

去分母得，＞+2〃]_8=0，

解得網(wǎng)=-4,町=2,

經(jīng)檢驗，加=-4,加=2是原方程的解?,

???點。的坐標為（々,-2）或（2,4）.

10.（2024?呼市?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)兇=e+〃（〃工0）的圖象與X軸、），軸分別

（2）已知變量x,%的對應(yīng)關(guān)系如卜表已知值呈現(xiàn)的對應(yīng)規(guī)律.

X???-4-3-2-1,11234

22???

_44

y???-1-2-4-88421???

2-33

寫出％與x的函數(shù)關(guān)系式，并在不題所給的平面直角坐標系中畫出函數(shù)為的大致圖象;

（3）一次函數(shù)》的圖象與函數(shù)內(nèi)的圖象相交于C，D兩點（點C在點。的左側(cè)），點C關(guān)于坐標原點的對稱

點為點E,點。是第一象限內(nèi)函數(shù)內(nèi)圖象上的一點，且點P位于點。的左側(cè)，連接夕C,PE,CE.若#CE

的面積為15,求點P的坐標.

-2k+b=0

【詳解】（1）解：將點從（一2,0）,8（0,1）代入），產(chǎn)區(qū)+〃攵工0）得：，

b=\

,k=-

解得2,

b=\

則一次函數(shù)的解析式乂=Jx+1.

4

（2）解：由表格可知，y,=一，

'x

畫出函數(shù)圖象如下：

y=51+i(x=-4fx/

(3)解：聯(lián)立:，解得.1或二，

4y=-l1>'=2

y=-1

?.?一次函數(shù)g的圖象與函數(shù)刈的圖象相交于r.￡）兩點（點c在點q的左側(cè)）.

???C（-4,-I）,￡＞（2,2）,

???點C關(guān)于坐標原點的對稱點為點E,

???￡（4,1）,

設(shè)直線CE的解析式為），=k0x+b。,

將點C(fT),E(4,l)代入得:|才心：一1，解得,

[4…=1"

則直線CE的解析式為y=

4

(4Y、

設(shè)點2的坐標為Pm,_(0</?<2),

Im)

如圖，過點尸作x軸的垂線，交直線CE于點尸，則尸所，；〃?)，

?，.PF=W加，點C到PF的距離與點E到尸產(chǎn)的距離之和為4-(-4)=8,

???-PCE的面積為15,

*'?-x8|---///|=15,即+15/??-16=0,

2\m4)

解得用=1或6=-16<0(不符合題意，舍去)，

經(jīng)檢驗，，〃=1是所列分式方程的解，

44

則一==4,

mI

所以點/)的坐標為(1,4).

考點03二次函數(shù)綜合

1.12024,包頭?中考真題)將拋物線)，=/+2*向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為()

A.y=(x+l)12-3B.y=(x^l)2-2C.y=(x-l)2-3D.y=(x-\)2-2

【答案】A

【詳解】解：拋物線y=/+2x向下平移2個單位后,

則拋物線變?yōu)閥=f+2x-2,

/=/+23一2化成頂點式則為），=（x+l『-3,

故選：A.

2.12024.呼市?中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)），=?-可。工0）和），=二（。=0）的圖象大致如圖

x'

所示，則函數(shù)尸加+公+《"0）的圖象大致為（）

【詳解】解.：???一次函數(shù)），=公一力（1/0）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

Aa＜0,-b＞0,即。＜0,匕＜0,

???反比例函數(shù)y=?（cH0）的圖象位于第二、四象限，

???-。＜0,即c＞0,

???函數(shù)y=加+云+4a#o）的開口向下，與＞軸的交點位于〉軸的正半軸，對稱軸為直線X=-（＜0,

故選：D.

3.12024?通遼?中考真題）關(guān)于拋物線），=爐_2g+疝+〃.4（〃?是常數(shù)），下列結(jié)論正確的是（填

寫所有正確結(jié)論的序號）.

①當(dāng)〃7=0時，拋物線的對稱軸是）'軸：

②若此拋物線與龍軸只有一個公共點，則機=~4；

③若點4（*2,yj,+在拋物線上，則X＜y2;

④無論〃，為何值，拋物線的頂點到直線了二工的距離都等于2&?

【答案】①④/④①

【詳解】解：當(dāng)旭=0時，y=x2-4,此時拋物線的對稱軸是y軸，故①正確;

???此拋物線與l軸只有一個公共點，

:.方程x2-2mx+m2+m-4=0（i勺辜彳兩個相等的實數(shù)根，

A=（-2/〃）"-4（〃?2+6—4）=0,

解得：m=4,故②錯誤：

*.*y=x2-2ntx+m2+-4=（x-m）~+nz-4,

???拋物線的對稱軸為直線x=

V1>O,

???離對稱軸距離越沅的點的縱坐標越大,

,點4（m一2,乂），8（陽+1,%）在拋物線上，且|冽-2-時>忱+1-/?|,

故③錯誤；

y=x2-2nix+m2+m-4=（^x-tn）'4,

???拋物線的頂點坐標為（見加-4）,

???拋物線的頂點坐標在直線y=x-4上，

如圖，過點A作A8_L直線y=x『點4,則點A（4,o）,Z4OB=45°,。4=4,

，叱日如2區(qū)即拋物線的頂點到直線…的距離都等于26故④正確.

故答案為：①④

4.（2024?赤峰?中考真題）如圖，正方形48co的頂點A,C在拋物線），=-/+4上，點。在），軸上.若AC

（〃>〃>（））,下列結(jié)論正確的是（)

m-n=\C.nui=ID—.—=

【答案】B

過點R作BN上MN卜點N,

:.ZBAN+^DAM=9(ffZDAM+ZADM=90°,

:.ZBAN=ZADM.

NBNA=ZAMD=90。,BA=AD,

:.t.ANB^DMA(AAS).

:.AM=NB,DM=AN.

,.點A、C的橫坐標分別為〃?、/i,

A(m,-nr+4),C(n,-n'+4).

,m+n-tn2-n2+8^.,八

???Er(f-,-------------),M(0,-rrr+4),

設(shè)D(0,b),則B(m+n,-nr-n'+8-Z?),N(m+n,-m!+4),

z.BN=-n2+4-b>AM=m,AN=n,DM=m2-4+b.

又AM=NB,DM=AN,

:,-n2+4-b=m.n=m2-4+b.

:.b=-rr-〃1+4.

:.n=m2-4-M2-，〃+4.

（w+〃）（，〃-n）=m+n.

:點A、。在y軸的同側(cè)，且點A在點c的右側(cè)，

二.川+〃H0.

：.m—n=].

故選:B.

5.12023?通遼?中考真題）如圖，拋物線），=片+法+?"0）與x軸交于點（大財，（2,0）,其中下

列四個結(jié)論：①a力c<0；②a+〃+c>0；③%+3cy。；④不等式一+b%+cV-：x+c的解集為0<x<2.其

【答案】C

【詳解】解：???拋物線開口向上，對稱軸在），軸右邊，與），軸交于正半軸,

??白>abvO,c>0,

abc<0,故①正確.

??當(dāng)x=l時，），<0,

*.a+b+c<0,故②錯誤.

??拋物線y=?+hx+e^x軸交于兩點。；,0）,（2,0）,其中0<$<1,

.2+0b2+1

.----<----<----,

22a2

17

當(dāng)一一乙<二時，h>一3a,

2a2

當(dāng)工=2時，y=4a+2b+c=0,

b——2。—c,

2

2

勿一＜?＞0,

2lj+3c=-4a-c+3c=-4a+2c=-2（2a-c）＜0,故③正確:

綜上，正確的有①③④，共3個，

故選：C.

6.（2023?包頭?中考真題）已知二次函數(shù)），=-紈2+2也+3（。>0）,若點P（〃13）在該函數(shù)的圖象上，且〃中0,

則用的值為.

【答案】2

【詳解】解：點尸（認3）在），=-紈2+2心+3I-.,

?*-3=-am2+lain+3，

-ain（ni-2）=0,

解得：“2=2,〃?=0（舍去）

故答案為：2.

7.12023?赤峰?中考真題）如圖，弛物線y=/-6x+5與x軸交于點4,B,與y軸交于點C,點。（2,〃?）在

拋物線上，點七在直線4c上，若NOE3=2NZ>C3,則點上的坐標是.

【答案】（*$和（拳T

JJJJ

【詳解】解：在y=/—6x+5中，當(dāng)％=0時，），=5,則有C（0,5）,

令y=0,則有人2-6工+5=0，

解得：X）=l,x2=6,

???A（L0）,8（5,0）,

根據(jù)。點坐標，Wm=22-6x2+5=-3

所以0點坐標（2,-3）

設(shè)BC所在直線解析式為），="+力，其過點。（0,5）、8（5,0）

:"=5

有

'5k+b=0

解得，

b=5

???BC所在直線的解析式為：y=-x+5

當(dāng)E點在線段BC上時，設(shè)七（。,-。+5）

/DEB=/DCE+Z.CDE

而/DEB=2/DCB

???/DCE=NCDE

???CE=DE

因為：E(a-a+5),C(0,5),D(2,-3)

仃+(-iz+5-5)"—-2)~+[-〃+5-(-3)「

解得：a=]，-a+5=]

所以七點的坐標為：(?,|)

當(dāng)E在C8的延長線上時，

在一8DC中，BD2=(5-2)2+32=18,BC2=52+52=50,DC2=(5+3)2+22=68

；?BD2+BC2=DC2

：.BDLBC

如圖延長所至￡,取BE=BE,

則有,OEE為等腰三角形，DE=DF：-

???4DEE=NDEE

XVNDEB=2/DCB

/DEE=2NDCB

則￡為符合題意的點，

?：OC=OB=5

???ZOfiC=45

I7QQQ

￡向橫坐標：5+（5---）=^—,縱坐標為一不；

JJJ

?7oa?Q

綜上￡點的坐標為：（子?或（不一?，

小故小答生案4為：（窿17句81或T（于33力81

8.12023?呼市?中考真題）關(guān)于x的二次函數(shù)y=〃/一6〃四一5（〃沖0）的結(jié)論

①對于任意實數(shù)。，都有玉=3+。對應(yīng)的函數(shù)值與玉=3-。對應(yīng)的函數(shù)值相等.

②若圖象過點A（XQ，J,點點C（2「13）,則當(dāng)王＞玉＞g時，25A＜0.

2百1彳2

4114

③若3KKK6,對應(yīng)的）'的整數(shù)值有4個，則-§＜〃?4一§或,

④當(dāng)機＞0且〃時，-14＜J＜/22+1,則〃=1.

其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【詳解】解：①：二次函數(shù)y=一6g-5（〃?￥0）,

???該函數(shù)的對稱軸為直線x=-鑼=3,

2m

再=3+a,x2=3—a,

???"5.=3,即（為,八）和（々，人）關(guān)于直線X=3對稱，

??..q=3+a對應(yīng)的函數(shù)值與々=3-。對應(yīng)的函數(shù)值相等，故①正確，符合題意；

②把。（2,-13）代入y=〃/-6〃a-5（〃?工0）得：-13=4/〃-12"；-5,

解得：m=\,

???二次函數(shù)表達式為丁=/一6-5,

???。=1＞0,該函數(shù)的對稱軸為直線x=3,

???當(dāng)x＞3時，），隨工的增大而增大，

：?K＞為，

/.%一%＞。，

???/二上＞0,故②不正確，不符合題意：

再一M

@Vy-inx2-6"a一5=，〃（x-3）~-5-9〃？,

???當(dāng)x=3時，y=-5-9/n,當(dāng)x=6時，），=一5,

當(dāng)加＞0時，

V3<x<6,

???）隨x的增大而增大，

V3<X<6,對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個，

???四個整數(shù)解為:-5,-6-7,-8,

14

A-9<-5-9/M<-8,解得：

Jy

當(dāng)〃7<0時，

V3<x<6,

???）隨％的增大而減小，

V3<X<6,對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個，

???四個整數(shù)解為：一5,T,-3,-2,

41

**?—2W—5—9/??<-1,解得：——<m<——,

4114

綜上：一5<〃?工一3或故③正確，符合題意；

④當(dāng)機>0且〃工X43時，），隨X的增大而減小，

V-14<y</?2+l,

?,?當(dāng)％=3時,y=-5-9m=-14,解得:tn=\,

y=x2-6x-5,

當(dāng).丫=〃時，y=n2-6n-5=n2+\,

解得：〃,故④不正確，不符合題意；

綜上：正確的有①③，共2個，

故選:B.

9.12024?呼市?中考真題）下列說法中，正確的個數(shù)有（）

①一次函數(shù).y=aP+Zn,+c（〃>0）的圖象經(jīng)過（2.1）.（-4.1）兩點，M”是關(guān)于.r的元一次方程

ar2+Zzr+c-M=0（0<&<l）的兩個實數(shù)根，且加<〃，則7<〃?v〃<2恒成立.

②在半徑為「的中，弦A及8互相垂直于點尸，當(dāng)O尸二加時，則4夕+。1/=8/-462.

?△ABC為平面直角坐標系中的等腰直角三角形且/4AC=90。，點A的坐標為（1,0），點8的坐標為（0,5）,

點C是反比例函數(shù)丁=4〃工0）的圖象上一點，則々=±30.

.1

④m知矩形的一組鄰邊長是關(guān)于X的一元二次方程丁-2包+山+42-1=0的兩個實數(shù)根，且矩形的周長值

與面積值相等，則矩形的對角線長是4遙.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【詳解】???二次函數(shù)），=如2+反+《〃>0）的圖象經(jīng)過（2,1）,（T,1）兩點，

???當(dāng)-4vxv2時，y<l,

??"，〃是關(guān)于x的元二次方程加+云+c-A=O（O<A<l）的兩個實數(shù)根，且m<〃，

-4<〃z<〃<2,故①正確；

如圖，過點。作0M_LCR0NJ_A4,垂足分別為M,N,連接QA。。,

???M、N分別為8,AB的中點，AN2=OA2-ON2,

???弦A昆C。互相垂直，

???明邊形OM0V是矩形，

ON=PM,

,OP1=OM2+PM'=OM2+ON2,

:?AB=2AN、CD=2DM,

???AB2=（24N）2=44"=4（Q/V一oM）,

同理可得8?=4（OD2-OM2）,

???AB2+CD2=4（Q42-ON2）+4（OD2-OM2）=8r2-4m2,故②正確;

當(dāng)點C在笫一象限時，過點C作CD_LO6于點

???ACDB=ZAOB=90°=ZABC,

???ZABO+NBAO=90。=ZABO+/DBC,

???/BAO=NDBC,

VAB=BC,

.?.A0g./)8C(AAS),

???點A的坐標為(1,0),點8的坐標為(0,5),

?,.AO=BD=tBO=CD=5,

：.OD=OB+BD=